CC BY
17
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 17. Выпуск 1.
УДК 517.5
САМОУЛУЧШЕНИЕ ^-НЕРАВЕНСТВА ПУАНКАРЕ
ПРИ р > 0
А. И. Порабкович (г. Минск) Аннотация
Классическое (в,р)-неравенство Пуанкаре на М"
¡ в \ 1/в , х i/p mífы-¿у//dM dM(y)) -гв (¿y/v/|p
\ B B J \ B
(rB — радиус шара B С Rn) обладает свойством самоулучшения — из (1,р)-неравенства, 1 < p < n, вытекает «более сильное» (д,р)-неравенство (Соболева-Пуанкаре), где 1/q = 1/p — 1/n (неравенство A < B означает, что A ^ cB с несущественной постоянной с). Такой эффект изучался в ряде работ для неравенств более общего вида
i/в , ч i/p в d„(y) 1 < ) ( 1 /gp,
|/(y) — Sb/|в dM(y) 1 < п(гв) ( -т^г gp dM
\ В / \ аВ
для функций на метрическом пространстве с мерой. Здесь / € Ь®ос, д € Ь0с, Бв/ — некоторое число, зависящее от шара В и функции /, п — некоторая положительная возрастающая функция, а ^ 1. В качестве БВ / выбиралось среднее значение функции / по шару В и рассматривался случай р ^ 1.
Мы изучаем свойство самоулучшения для таких неравенств на квазиметрических пространствах с мерой, удовлетворяющей условию удвоения с показателем 7 > 0. Существенным отличием нашей работы от предыдущих является рассмотрение случая р, в > 0. В этой ситуации функции не обязаны быть суммируемыми и мы берем Б в / = ^В/ — наилучшее приближение постоянными в метрике пространства Ь®(В).
Мы доказываем, что если возрастает при некотором а > 0, то при 0 < р < 7/а
и в > 0 из (в,р)-неравенства Пуанкаре вытекает (д,р)-неравенство с 1/д > 1/р — 7/а. При Р ^ 7(7 + а)-1 (при таких р функция / является локально суммируемой) отсюда вытекает также (д,р)-неравенство с интегральными средними на месте наилучших приближений
1В/.
В работе рассматриваются также случаи ар = 7 и ар > 7. Если ар = 7, то из (в,р)-неравенства Пуанкаре вытекает (д,р)-неравенство с любым д > 0 и, более того, справедливо экспоненциальное неравенство типа известного неравенства Трудингера.
Если же ар > 7, то из (в,р)-неравенства Пуанкаре вытекает неравенство
I/(х) — /(у)| < п№, у))[й(х, у)]-7/р < [<х, для почти всех х и у из любого фиксированного шара В (< зависит от В).
Ключевые слова: метрическое пространство с мерой, условие удвоения, неравенство Пуанкаре.
Библиография: 15 названий.
SELF-IMPROVEMENT OF (0,p) POINCARÉ INEQUALITY
FOR p > 0
A. I. Porabkovich (Minsk) Abstract
Classical Poincaré (0,p)-inequality on Rn
( в \ 1/в / \ 1 /p 1 ' " 4 ^ ' ' ' dp(y) | < rв I |V/|p dM
k(b)J \ B
f (y) - mf/dK
в
(rB is the radius of ball B c Rn) has a self-improvement property, that is (1,p)-inequality, 1 < p < n, implies the «stronger» (q,p)-inequality (Sobolev-Poincare), where 1/q = 1/p — 1/n (inequality A < B means that A < cB with some inessential constant c).
Such effect was investigated in a series of papers for the inequalities of more general type
i/e , ^ i/p
1 fl f(y) — Sb f |e dM(y)l < n(rB) I ^^ f gp dv
\ B J \ aB
for functions on metric measure spaces. Here f G Lfoc, g G Lfoc, and SB f is some number depending on the ball B and on the function f, n is some positive increasing function, a > 1. Usually mean value of the function f on a ball B is chosen as SB f, and the case p > 1 is considered.
We investigate self-improvement property for such inequalities on quasimetric measure spaces with doubling condition with parameter 7 > 0. Unlike previous papers on this topic we consider the case 6,p > 0. In this case functions are not required to be summable, and we take SBf = iB f. Here I^p f is the best approximation of the function f in L6(B) by constants.
We prove that if n(t)t-a increases with some a > 0, then for 0 < p < 7/a and 9 > 0 (0,p)-inequality Poincare implies (q,p)-inequality with 1/q > 1/p — 7/a. If p > 7(7 + a)-1 (then the function f is locally integrable) then it implies also (q,p)-inequality with mean value instead of the best approximations iB6)f.
Also we consider the cases ap = 7 and ap > 7. If ap = 7, then (q,p)-inequality with any q > 0 follows from Poincare (9,p)-inequality and moreover some exponential Trudinger type inequality is true.
If ap > y then Poincare (9,p)-inequality implies the inequality
If (x) — f (y)| < n(d(x, y))[d(x, y)]-Y/p < [d(x, y)]a-Y/p for almost all x and y from any fixed ball B (< does depend on B).
Keywords: Metric measure space, doubling condition, Poincare inequality.
Bibliography: 15 titles.
1. Введение
Классическое неравенство Пуанкаре на R
n 1
MB)
B
/ (y) -
KB)
№
B
i/p
dK(y) < rB
K(B)
|V/|p dK
B
хЗапись А < В всегда означает, что А < сВ, где с некоторая положительная постоянная зависящая, возможно, от некоторых параметров, но эти зависимости для нас несущественны (эти постоянные могут быть различными даже в пределах одной строки).
1
1
1
(г в — радиус шара В с Мп) обладает свойством самоулучшения — из него вытекает «более сильное» неравенство
1
МВ )У
в
/ (у) — ¿В)/ №
в
9 \ 1/9 / \ 1/Р
^(у)| < гв I IIV/|р ^
где р > 1, 1/д = 1/р — 1/п.
Такой эффект изучался для неравенств более общего вида
1 г V9 I 1 г \1/Р
^щ] I/(у) — Бв/19 ^(у) I < п(гв) I ^у у др Ф I . (1)
ч в / \ аВ /
для функций на метрическом пространстве с мерой (см., например, [1, 2]). Здесь / € ^9ос, д € Ьрос, Б в / — некоторое число, зависящее от шара В и функции /, п — некоторая положительная функция, а ^ 1.
В цитированных работах в качестве Бв/ выбиралось среднее значение функции / по шару В и рассматривался случай в ^ 1. Существенным отличием нашей работы от предыдущих является изучение свойства самоулучшения для неравенств (1) при в > 0 — при таких условиях рассматриваемые функции не обязаны быть суммируемыми. Для формулировки нашего основного результата нам понадобится ряд определений и обозначений.
Пусть (X, — хаусдорфово пространство с регулярной борелевской мерой ^ и квазиметрикой ^ (неравенство треугольника заменяется следующим: существует такая постоянная аа ^ 1, что ^(х, у) ^ аа[^(х, г) + ^(г, у)] для любых х, у, г € X). Кроме того, семейство открытых шаров
В(х, г) = {у € X : ^(х, у) < г}
образует базу окрестностей топологии X и
0 < ^ (В(х, г)) < х € X, г > 0.
Часто шар будет обозначаться просто В, тогда гв — его радиус, АВ с X — шар, концентрический с В, радиуса Агв. Кроме того, пусть
/в = / / Ф = ^(В) / / ^
вв
— среднее значение функции / € Ь^^) по шару В с X.
Говорят, что мера ^ удовлетворяет условию удвоения, если существует такое число а^ > 0,
что
^ (В(х, 2г)) ^ (В(х, г)), х € X, г> 0.
Этому условию можно придать количественный вид: существует 7 > 0 (можно взять 7 = 1о§2 ам), для которого выполнено неравенство
7
г /
^ (В(х,Д)) < ам (- ) ^ (В(х, г)), х € X, 0 <г < Д. (2)
Мы предполагаем (2) выполненным на протяжении всей работы. В таком случае тройка (X, называется пространством однородного типа [9].
Для 0 ^ а < в < то определим П[а, в] как множество положительных возрастающих функций п : [0,1) ^ [0, +то), для которых п(£)£-а возрастает и п(£)£-в убывает. Пусть еще
П[а,в)= и °[а,в'], П[а, то) = У П[а,в).
в' е[а,в) в>а
Пусть п € ^[0, то), а > 1 и 0,р > 0. Будем говорить, что пара функции / € Ь^ос(Х), д € ¿Рос(Х) удовлетворяет (а, п, 0,р)-неравенству Пуанкаре, если для всех шаров В С X
1/е / \ 1/р
!/(У) - !* dM(y)J < П(гв) ^ gp dß
(3)
Здесь /д)/ — постоянная наилучшего приближения функции / в (В) (см. ниже лемму 3) т.е.
1/е / х 1/0
!/(у) - ib0)/!0dß(y) ) = inf ( ^ !/(y) - I!0dß(y)
(4)
Основной результат нашей работы — следующая теорема, описывающая свойство самоулучшения неравенства Пуанкаре (3). Она была анонсирована в [14].
Теорема 1. Пусть 0,р > 0, 0 < а < 7/р, п € П[а, 7/р), а ^ 1. Пусть также функции / € ¿?ос(Х), д € ^Рос(Х) удовлетворяют (а, п, $,р)-неравенству Пуанкаре, 1/д ^ 1/р — а/7. Тогда для любого шара В С X
1) если 1/д = 1/р — а/7, то справедливо неравенство слабого типа
ß ({ж € B : | /(ж) - lB0)/!>л})
ß (B)
2) если 1/q > 1/p - а/7, то
<
п(гв)
(
\
1/р
gp dß
\4«1стВ
Л > 0;
(5)
1/9
1/p
!/(у) - ib0)/! 9dß(y)
< П(гв)
gp dß
(6)
/
где < не зависят от /, д и В.
Заметим, что если д ^ 1 (т.е. р ^ 7(7 + а)-1), то неравенства (5) и (6) в теореме 1 сохраняют силу, если в них заменить / на интегральные средние /в. Это следует из известного простого неравенства
1/9 / \ 1/9
! / (у) - /в ! 9 dß(y)
^ 2
!/(у) - ib9)/ !9dß(y)
справедливого при q ^ 1.
В случае p > 0 = 1 это утверждение имеется в [2] (при n(t) = t см. также [1, теорема 5.1]). Следовательно, из теоремы 1 вытекает распространение этих результатов из [1, 2] на случай
Р ^ Y(7 + а)-1.
Мы приведем доказательство теоремы 1 в разделе 3.
Кроме того, в пп. 3.2, 3.3 рассматриваются аналоги теоремы 1 для случаев а ^ 7/p.
9
Л
2. Вспомогательные утверждения
Лемма 1. Пусть В1 с В2 с X — два шара, причем 0 < гв1 ^ гв2 • Тогда
^ (В2) <( гв^ 7
^ (В1) ~ \гв
Эта лемма имеется, например, в [2, лемма 1]. Для в > 0, шара Во с X и х € Во положим
М9,во /(х) = ВИР | У" |/19^
вэх,тв <Гв0
1/9
I/
в
где точная верхняя граница берется по всем шарам В радиуса гв ^ гв0, содержащим точку х. Это — локальная максимальная функция Харди-Литтлвуда. Для нее справедливы следующие стандартные оценки с обычным доказательством (см. например, [10, 11]).
Лемма 2. Пусть 0 < ^ < р < ж, / € Ьр^^). Тогда для любого шара В с X справедливы неравенства
ц ({х € В : Мр,в/(х) > А}) < /А2^) р , А > 0 (7)
и
1|Мр,в/Ь(в) < ^(В)1/9-1/р II/Н^в). (8)
Следующие три леммы имеются в [14] — см. [14, лемма 3], [14, лемма 5] и [14, лемма 7] соответственно (по поводу леммы 5 см. еще [12, 13]).
Лемма 3. Пусть В с X, / € Ь9(В), в > 0. Тогда существует такое число Iв)/ € М, что выполнено (4).
Число 'в/ из леммы 3 определяется неоднозначно (если в ^ 1). В дальнейшем под 'в/ понимаем любое из его возможных значений.
Лемма 4. Пусть / € Ь^^), в > 0, В1,В2 с X — два шара, причем 0 < гв1 ^ гв2. Тогда:
1) если В1 с В2, то
|0 - 'в/к (/|/(у) — $/1' «•) / + (г^)17" (/|/(у) — ОГ ф /
в1 в1 в2
2) если В1 П В2 = 0, то для любой точки х0 € В1 П В2 выполнено неравенство
1/9 / . \ 1/9
|'в91)/ — 'в92)/1 < и |/(у) — 49)/19^1 + ^ |/(у) — 'в?/19^ I +
+ ( ^ гв1
1/
1/9 I г Х
|/(у) — 49(1о,я)/19 ^
\в(х"о,Я) /
где Д = 2а^гв2.
1
1
2
Лемма 5. Для любой функции / € Ь?ос(Х), в > 0 для почти всех ^Х.
41,)/ = / (х)
(9)
Точки, в которых выполнено соотношение (9), будем называть в-точками Лебега. Отметим еще, что для любой функции п € 0[а,в), 0 < а < в, выполнены неравенства
]Тп(2-к) < п(2-п), 2вкп(2-к) < 2впп(2-п).
(10)
к=га
к=0
3. Самоулучшение неравенств Пуанкаре
3.1. Доказательство теоремы 1
Пусть В С X — любой фиксированный шар, г = гв, Л = 2а^г. Рассмотрим любую в-точку Лебега х € В. Для произвольного 8 > 0 положим
/
■и(ж, 8) =
\
1/р
др ^ УВ(!,8) /
Отметим, что в силу условия удвоения (2) при £ ^ 8 выполнено неравенство
(
^ (В(ж,з))
^ (В(х,£))
\
1/р
V
др ^
/ \
1/р
<
Введем обозначения
(
7
др ^
\ стВ(ж,«) /
< )7/Рг,(®,а). (11)
\
1/р
др ^
и М = Мр,2а^ств д(х).
Очевидно, что I ^ М.
Докажем теперь неравенство
ар -| ар
I /(х) — 4(1,,)/ I < п(г)Т^М1-Т.
(12)
Пусть для краткости Вк = В(х, 2-кг), к ^ 0. Тогда по определению в-точки Лебега с помощью леммы 4 и неравенства (3) получаем
I / (х) — С,)/I =
е к+ /—о
к=0
< ^ п(2-кг)ф, 2-кг) = Е1 + Е2, (13)
к=0
где
Е1 = ^ п(2-кф(ж, 2-кг), Е2 = ^ п(2-кф(ж, 2-кг).
к=0 &=га+1
Выбор числа п € N будет указан позже.
Оценим Х1. В силу (11) и (10)
£1 = Е П(2-ЙФ(х, 2-йг) < г)2й7 < 2П7/п(2-гаг).
&=0
&=0
(14)
Для оценки Х2 также воспользуемся (10)
Х2 = п(2-йф(х, 2-йг) < М ^ П(2-йг) < Мп(2-Пг).
й=га+1
(15)
Поэтому, учитывая (14) и (15), видим, что
ф(х, 2-йг) < п(2-пг)
&=0
2П 7I + М
Если выбрать теперь
мы приходим к неравенству
п
) р
^2 ( у) 7
+ 1,
ф(х, 2-йг) < 2п(2-пг)М.
&=0
Учитывая также то, что а почти возрастает, получаем
^ п(2-'ф(х, 2-*г) < п(2-пг)М < Мп(г^) 7 ^ < п(г)
I \ 7 , ч ОР 1 _ 07
— ) М = п(г)1 7 М1 7 .
Таким образом, для любой в-точки Лебега доказано неравенство (12). Далее докажем для любой в-точки Лебега х € В неравенство
/д\ ар Л ар
|/(х) — 49)/1 < п(г)'^М1-Т,
которое подобно (12), но шар В(х, г) заменен на В. Для этого запишем очевидное неравенство
(16)
|/(х) — 'в9)/1 < |/(х) — 'в^)/1 + |'в7х,г)/ — 'в9) /1.
Первое из слагаемых в правой части неравенства оценивается аналогично (12). Для второго слагаемого мы применим утверждение 2 из леммы 4.
( )
( )
( )
(
I'(9) / _ '(9) / < |'в(х,г)/ 'в / | <
\
1/
|/(у) — /19 ^
+
\в(х,г) 1/
/
+1 -/" |/(у) — 49)/19 +
в
\
|/(у) — ^х,*)/19 Ф
\в(х,Д)
/
В силу условия (3) последнее неравенство преобразуется так:
/
14(1,,)/ — 4У)/1 < п(г)
\
1/р
др йр
ар 1_ар ар 1_ар
< п(г)/ т / - 7 < п(г)/ т М - ^
и (16) доказано.
Перейдем теперь непосредственно к доказательству утверждений теоремы 1. Неравенство (5) получается с помощью лемм 2 и 5 и оценки (16) следующим образом:
р ({х € В : |/(х) — /В/1 > А}) = р ({х € В : |/(х) — /19 > А9}) <
^ р \ х € В
(1 ра N ра
1-/9ра > А9
<
< р({х € 2^аВ : Мр > А9(п(гв))-91-9^ }) < А-9(п(гв))919^ / дрф
/ \ — + 1
\'1
= А-9 (п(гв ))9 р (аВ (х,Л))
др йр
<
<
V (аВ(х, Л))
п(гв) А
(
\
1/р"
др йр
у^в у
Для доказательства (6) обозначим 1/д0 = 1/р — а/7 и
/ \ 1/р
А = п(гв)
др йр
^В /
Тогда (5) можно переписать в виде
р ({х € В : |/ — 4/1 >А})
90
^ шт ^ 1, с | —
где с = 2а^а.
Положим А0 = с1/90 А, и, используя (17), оценим левую часть неравенства (6)
(в) 1 1 р ({х € В : |/ — 4в)/1 >Л)
|/ — 4в)/19 йр = А9-1——-^-^ ¿А =
в 0
Ао 1
р (В)
1 ^{х € В : I/ — 4/ >А}) + I А9-1——-—-и- йА <
0 А0 Ао 1
^ А9-1йА + I А9-
0 А0
р (В)
^у ({х € В : I/ — 49)/1 >а})
йА <
(17)
9
< л0 + у Л9-1с(^А)90 ^Л = сА9 + сА90 ^ Л9-90-1^Л <
Ао Ао
< А9 + А90 А9-90 = сА9. Последняя оценка справедлива, так как д < д0 и теорема 1 доказана.
3.2. Случай ар > 7
В случае ар > 7 условие п € ^[а,7/р) естественно заменить на п € ^[а, те).
Теорема 2. Пусть р > 0, а > 7/р, п € ^[а, те), а ^ 1. Пусть также функции f €
), 5 € ЬРос(Х) удовлетворяют (а, п, 9,р)-неравенству Пуанкаре (3). Тогда 1) для любой в-точки Лебега х и любого г > 0
(
И'(х) - I < п(г)
\
1/р
2) для любого шара В С X и любых в-точек Лебега х, у € В
/ \ 1/р
(18)
If(х) - f(у)| < п(г)
г = ^(х, у)
(19)
/
(< не зависят от f, х, у и г).
Доказательство. Обозначим
/
1/р
1/р
/
5р ^
и «(х,8) =
\СТВ(ж,г)
5р ^
ув(х,«)
В силу (13) и (11):
^(х) - I < Е п(2-кг)«(х, 2-кг) <
к=0
те те / Ч -у/р
< п(гв) Е 2-ак«(х, 2-кгв) < п(гв)1 Е 2-аМ
п(гв)/Е 2(7/р-а)к.
к=0
Последний ряд сходится, так как ар > 7, и (18) доказано.
Неравенство (19) выводится из (18) точно так же, как из (12) выводилось (16). Теорема 2 доказана.
Отметим, что при условиях теоремы 2 из неравенства (19) вытекает, что если В С X — произвольный шар и х, у € В в-точки Лебега, то
^(х) - f(у)| < п(^(х,у)Мх,у)Н/р < Нх,у)]а-7/р
при условиях теоремы 2. Здесь < зависит от шара В и функции д. В этом легко убедиться, используя (19) и условие удвоения 2. Последнее неравенство означает, что функция f после изменения на множестве меры нуль (см. лемму 5) становится равномерно непрерывной на любом шаре и ее модуль непрерывности на этом оценивается как f) < п(^)^-7/р.
3.3. Случай предельного показателя ар = 7
Теорема 3. Пусть р > 0, а = 7/р, п € П[а, то), / € ¿¿^(Х), а ^ 1. Пусть также функции / € £^ос(Х), д € ¿Рос(Х) удовлетворяют (а, п, в,р)-неравенству Пуанкаре (3). Тогда для любого шара В С X справедливы неравенства
(
/
в
ехр
I/ — 411
п(гв)
/
\
др йр
¿р < 1
(20)
/ у
1/9
1/р
I/ — /в/19¿р I < п(гв)
в
др йр
У4«^в У
д > 0.
(21)
Доказательство. Пусть х € В — в-точка Лебега функции /. Обозначим для краткости г = гв и
/ \ 1/р / \ 1/р
I (х) = у* др йр ув(ж,я) У где Л = 2а^г и М = Мр^^вд(х).
и ^(х,8) =
др йр
ув(ж,«) У
(л)
Оценим разность I/(х) — /в^,)I. Из условия (3) получим
I/(х) — 41,)/1 < Е п(2-кФ(х, 2-кг) = Е1 + Е2
к=0
где
Е1 = Е п(2-кф(х, 2-кг), Е2 = Е п(2-кф(х, 2-кг)
к=0
к=п+1
Будем оценивать эти суммы по отдельности. Используя условия п € П[а, то) и (11)
Е1 = ^ п(2-кф(х, 2-кг) < п(ф(х, г) Е 2-к^/р2к^/р < пп(г)и(х, г).
к=0 к=0
В силу очевидного неравенства -и(х, 2-кг) < М, Ук и условия п € ^[а, то)
оо
Е2 = Е п(2-кф(х, 2-кг) < М £ п(2-кг) <
к=п+1 к=п+1
Выберем
Тогда
< Мп(г) £ 2р < Мп(г)2-
к=п+1
п =
1о§2
ч р
М \ 7
/(х)
+ 1.
Е1 + Е2 < пп(г)-и(х, г) + Мп(г)2 пр < (п + 1)п(г)/(х).
и
п
р
Выбрав некоторое число 0 < в < р, получим следующую оценку
р /
^(х) - 1В()x>r)f I < п(г)1 ^ (у) 7 < п(г)11п (М"^'
(22)
Далее оценим разность
^(х) - 1 < |f(х) - /В^| + |/В9)f - 1В(х,г)f |.
Первое из слагаемых справа оценено в (22). Для оценки второго слагаемого используем часть 2) леммы 4 и неравенство (3)
(
|/Вв)/- | < п(г)
\
1/р
= п(г)/(х).
Мы использовали здесь то, что В С В(х, Л) и условие (2). Таким образом, мы получаем, что
^(х) - /В^| < п(г)/ша^ 1,1п ( /М)) ? <
(
<
п(г)
\
1/р
Далее из оценки (23) получаем неравенство
( , ( М\в'
шах < 1,1п I — I
(23)
eхp ■
If (х) - /В}/1
1/р
< шaм е,
( _М У
п(г) I / #Р ^
Проинтегрировав его по х € В, получаем
/eхp-'/(х) ^\1/р ^(х) <
В
1
в
п(г) I / #Р Ф
~ / » /(х) / (МР,2^стВ5(х))в Ф(х) < В
< ^(В)
/
В
\
-в/Р
уВ(ж,д) У
(Мр;2а^стВ5(х))в ф(х).
(24)
В силу очевидного неравенства
#Р ^ < у #Р ^
стВ стВ(ж,Я)
выполнено следующее
( \ -e/p / \ -в/Р
gp dß
< I gP dß
уБ(ж,Д) / VB
Поэтому в силу (8) неравенство (24) примет вид
If (x) - jgy | d ( ) < exp-(-B \ 1/p dß(x) <
B n(r) I ffl gp dß
/ \ -в/Р / \ в/Р
< 1 gp dßj ß(B)ß (В)1-в/Р U gp dßj < 1
что и доказывает (20).
Наконец, (21) вытекает из уже доказанной экспоненциальной оценки (20) и неравенства
Е- Ixlk Ixln
-т^ > —т, n = [q] + 1. k! n!
k=0
Отметим, что (20) — неравенство типа классического неравенства Трудингера [15].
4. Заключение
В работе доказано, что неравенство вида
\ 1/0 ( \ 1/р
If (У) - 40)/10 dß(y) j < сп(гв ) I gp dß
справедливое для всех шаров B в метрическом пространстве с мерой, удовлетворяющей условию удвоения, обладают свойством самоулучшения — из него вытекает такое же неравенство
(с некоторой большей постоянной с), но c заменой в в левой части на вполне определенный
(0)
больший показатель q. Здесь в,р > 0, n — возрастающая функция, n(+0) =0 I^f — постоянная наилучшего приближения функции / в пространстве L0(B). Такой эффект для в = 1 < p был известен.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. P. Hajlasz, P. Koskela Sobolev met Poincaré // Memoirs of Amer. Math. Soc. 2000. V. 145, P. 1-115.
2. И. А. Иванишко, В. Г. Кротов Обобщенное неравенство Пуанкаре-Соболева на метрических пространствах // Труды Ин-та математики НАН Беларуси. 2006. Т. 14, №1. С. 51-61.
3. Е. В. Игнатьева Неравенство типа Соболева-Пуанкаре на метрических пространствах в терминах шарп-максимальных функций // Мат. заметки. 2007. Т. 81, №1. С. 140-144.
4. V. G. Krotov Maximal Functions Measuring Smoothness // Recent Advances in Harmonic Analysis and Applications In Honor of Konstantin Oskolkov, Proc. in Math. and Stat. 2013. V. 25. С.197-223.
5. A. P. Calderon Estimates for singular integral operators in terms of maximal functions // Studia Math. 1972. V. 44, P. 167-186.
6. A. P. Calderon, R. Scott Sobolev type inequalities for p > 0 // Studia Math. 1978. V. 62, P. 75-92.
7. R. DeVore, R. Sharpley Maximal functions measuring local smoothness // Memoirs of the Amer. Math. Soc. 1984. V. 47, P. 1-115.
8. P. Hajlasz Sobolev spaces on an arbitrary metric spaces // Potential Anal. 1996. V. 5, №4. P. 403-415.
9. R. R. Coifman, G. Weiss Analyse harmonique non-commutative sur certain espaces homogen es. // Lecture Notes in Math. 1971. V. 242, P. 1-176.
10. J. Heinonen Lectures on Analysis on Metric Spaces. / Berlin: Springer-Verlag. 2001.
11. E. Stein Singular integrals and differentiability properties of functions. / Prinston Univ. Press. 1970.
12. В. Г. Кротов Количественная форма C-свойства Лузина. // Укр. Мат. Журнал. 2010.№3. C. 388-396.
13. В. Г. Кротов Критерии компактности в пространствах Lp, p ^ 0. // Мат. Сборник. 2012. №7. C.129-148.
14. В. Г. Кротов, А. И. Порабкович Оценки Ьр-осцилляций функций при p > 0. // Мат. заметки. 2015. Т. 97, №3. С. 407-420.
15. N. Trudinger On embedding into Orlicz spaces and some applications. // J. Math. Mech. 1967. Vol. 17. P. 473-483.
REFERENCES
1. Hajlasz, P., Koskela, P. 2000, "Sobolev met Poincare" , Memoirs of Amer. Math. Soc. vol. 145, pp. 1-115.
2. Ivanishko, I.A., Krotov, V.G. 2006, "Generalized Poincare-Sobolev inequality on metric spaces" , Inst. of Math. of NAS of Belarus, vol. 14, №1, pp. 51-61.
3. Ignat'eva, E.V. 2007, "Sobolev-Poincare-type inequality on metric spaces in terms of sharpmaximal functions", Math. Notes, vol. 81, №1, pp. 121-125.
4. Krotov, V.G. 2013, "Maximal Functions Measuring Smoothness", In Recent Advances in Harmonic Analysis and Applications In Honor of Konstantin Oskolkov, Springer Proc. in Math. and Stat., vol. 25, pp. 197-223.
5. Calderon, A.P. 1972, "Estimates for singular integral operators in terms of maximal functions" , Studia Math. vol. 44, pp. 167-186.
6. Calderon, A.P., Scott, R. 1978, "Sobolev type inequalities for p > 0" , Studia Math. vol. 62, pp. 75-92.
7. DeVore, R., Sharpley R. 1984, "Maximal functions measuring local smoothness" , Memoirs of the Amer. Math. Soc. vol. 47, pp. 1-115.
8. Hajlasz, P. 1996, "Sobolev spaces on an arbitrary metric spaces", Potential Anal. vol. 5, №4, pp. 403-415.
9. Coifman, R.R., Weiss, G. 1971, "Analyse harmonique non-commutative sur certain espaces homogenes" , Lecture Notes in Math vol. 242, pp. 1-176.
10. Heinonen, J. 2001, "Lectures on Analysis on Metric Spaces" , Springer-Verlag, Berlin
11. Stein, E. 1970, "Singular integrals and differentiability properties of functions" , Prinston Univ. Press.
12. Krotov, V.G. 2010, "Quantitative form of the Luzin C-property" , Ukr. Math. J.. vol. 62, №3, pp. 441-451.
13. Krotov, V.G. 2012, "Criteria for compactness in Lp-spaces, p ^ 0" , Sbornik: Mathematics vol. 303, №7, pp. 1045-1064.
14. Krotov, V.G., Porabkovich, A.I. 2015, "Estimates of Lp-oscillations of functions for p > 0" , Math. Notes vol. 97, №3, pp. 384-395.
15. Trudinger, N. 1967, "On embedding into Orlicz spaces and some applications" , J. Math. Mech. vol. 17, pp. 473-483.
Белорусский государственный университет.
Получено 29.12.2015 г.
Принято в печать 11.03.2016 г.
