О неравенствах Гросса и Талаграна на дискретном Кубе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1.Вып. 1.1995

УДК 517.2

О НЕРАВЕНСТВАХ ГРОССА И ТЛЛАГРАНА НА ДИСКРЕТНОМ КУБЕ1

С. Г. Бобков

В работе используется подход Дейвиса-Саймона для получения оценок больших уклонений для выпуклых липшицевых функционалов от бернуллиевских независимых случайных величин. Изучаются соотношения между неравенствами Гросса и Талаграна на дискретном кубе.

Обозначим через Р„ равномерное распределение наiîn — {—1,1}", приписывающее каждой точке х € Г2„ массу Р„({а-}) = 2~". Пусть /а(х) означает кратчайшее евклидово расстояние от точки х до непустого множества А С К". Если А выпукло, то справедливо следующее неравенство М.Талаграна [8]:

Ее^/8< 1 fl)

• S Рп(А)> [ )

где математическое ожидание (интеграл) понимается в смысле меры Рп. Так как {/,4 < h} = Ah (h > 0) есть Д-окрестность А и по неравенству Чебышева Рп{/а > h} < (Бе^/8)е-л2/8, получаем неравенство изопериметрического типа:

Pn(Ah) > 1 - p^fh2/8- (2)

Неравенство (2) может быть записано также на языке функций. Если / : R" —► R - выпуклая липшицева функция, j |/] |< 1,

1Работа выполнена при частичной поддержке Международного Научного Фонда,

грант №МХ2000, Российского Фонда фундаментальных исследований, грант № ЭЗ-

ОП-1454, Конкурсного Центра фундаментального естествознания при Санкт-

Петербургском госуниверситете и Грантового Центра по исследованиям в области ма-

тематики при Новосибирском госуниверситете.

© С.Г.Бобков, 1995.

12

го применяя (2) к множествам вида А = {/ < тр}, где тр -какая-нибудь) квантиль / порядка р € (0,1), т.е., такое число, что P„{f < тр} > р, Pn{f > тр] > 1 — р, и замечая, что Ah С {/ < гпр + /г}, приходим к неравенствам для уклонений /:

/'„{/ - тр > А}< V^8. (3)

Аналогично рассматривая А — {f < тпр — /г}, имеем

ВД - < -Л} < -е'^8. (4)

Р

Обратно, (3) превращается в (2) на функциях вида / = /д. Неравенства (1)-(4) были улучшены М.Талаграном в [9]. В частности, при р = когда тп = тр - медиана /, и при Л > y/log 2 (2) и (3) уточнены следующим образом [9, с. 127]:

РП(ЛЛ) > l-expj-i^-v^)2}, (5)

Pn{f~m>h) < exp{-i(A- v^g2)2}- (6)

Предположение о выпуклости А и / существенно во всех написанных неравенствах: если минимизировать левую часть (2) в классе всех множеств Д С К" с фиксированной мерой р — Рп (А) (эта задача решена Харпером в [6]), то окажется, что с ростом п наименьшее значение P„(Ah) стремится к р, в то время, как правая часть (2) -почти 1 при больших h вне зависимости от п. Наименьшее значение Рп{Ак) на классе выпуклых А с заданной мерой до сих пор неизвестно, так же, как и неизвестно, можно ли заменить правую часть (5) и (6) оценкой с некоторой универсальной постоянной К.

Но известно, что коэффициент —1/4 при h2 не может быть улучшен [8, сс.60-61]. Тем не менее, если т в (6) заменить математическим ожиданием Е/, то \flog2 можно опустить:

Pn{f — Е / > /¿) < е~/|2/4. (7)

В данной заметке мы покажем, как (7) и другие неравенства, близкие к (1)—(6), можно получить в качестве следствий логарифмического неравенства Л.Гросса, причем условие выпуклости / в (3)-(4)

и (6)-(7) может быть немного ослаблено. Обозначим через где х € fi„, 1 < г < п, точку с координатами xj при j ф г, и — при j = г (точка «¿(ж) - сосед х по г-ой координате). Для каждой функции / : fi„ —► Е определен ее дискретный градиент V/, так что

IVf(x)f = jr /(*)-/(*м2.

г=1

Имеет место следующее неравенство, справедливое для всех функций / на fi„.

Е /2 log/2 - Е /2 log Е /2 < 2ЕIV/I2. (8) .

(8) доказано Л.Гроссом в [3]. В случае n == 1, полагая а = /(—1), Ь = /(1), (8) превращается в элементарное неравенство

a2 log а2 + b2 log Ь2 а2 + Ь2 а2 + Ь2 < (а - Ь)2 2 2 °g 2 ~ 2 '

При п > 1, доказательство (8) легко провести по индукции. Если его применить к функциям вида /„ = g(Xi+^Xn), где # - гладкая функция на прямой с ограниченной второй производной, заметить, что |V/„(x')|2 = д'(х]+^хп)2 + 0(£) и, устремляя п —> оо, применить центральную предельную теорему, то в пределе (8) запишется в виде

Е 7д2 log g2 - Е 7д2 log Е 7д2 < 2Е 7(д')\ (9)

где Е7 означает математическое ожидание по отношению к стандартной гауссовской мере 7 на Е. Обычно, неравенством Гросса называют (9) и его многомерный аналог. Вышеупомянутое рассуждение приведено им в [4] и представляет собой упрощение первоначального доказательства (9), также основанного на (8). Им также отмечено [4, с.21], что (8) при п — 1 было ранее открыто в одной работе Бонами [2], долго остававшейся незамеченной многими исследователями, включая и самого Гросса. Публикация же Гросса [3] вызвала живой интерес, о чем можно судить по обширной библиографии (перечень работ, мотивированных (9), займет несколько страниц). Многие исследуемые вопросы концентрируются вокруг следующего: что можно сказать о вероятностном распределении /i в М", удовлетворяющем неравенству

E,/2log/2 -E.flogE,/2 < 2<j2e¡¡{иf \2, (10)

где / - произвольная гладкая функция на Шп и Df - ее обычный градиент, |D/(:r)|2 = \df(x)/dxi\2, а математической ожидание понимается в смысле меры /л. Применим (10) к функции вида / = е'9/2, где g - ограниченная гладкая липшицева функция, \Dg(x)\ < 1 для всех х G Шп (что означает, что ЦдЦь^ < 1). Введем функцию и равенством о'"'') = Е flct,J = Е^/2, t £ Ш. Замечая, что

E,/2log = \Df\2 = t {Dgff,

(10) примет вид t2u'(t)Е^/2 < ^-Е v\Dg\2f2, и так как \Dg\ < 1, получаем u'{t) < у. Разложения Тейлора Е^е<3 = 1 +ÎE¡¡,д + 0{12) и eMt) = i + tu^+Ofê) дают и(0) — Е^д. Следовательно, для любого t > 0 имеем

/ ч ^ ^Ч

u(t)-Eßg<—.

Окончательно получаем

Е^е'9 <expjiE^ + ^j, t > 0. (11)

Впервые такое рассуждение приведено М.Леду [7, с. 101], но идея получения дифференциальных неравенств приписывается Херб-сту(I.Herbst, не опубликовано) и Дейвису и Саймону [5] (допустившим небольшую ошибку при решении одного дифференциального неравенства) .Исправляя неточности, Аида, Масуда и Шигекава [1] провели рассуждение для функций вида / = е<92 и получили следующее неравенство (теорема 3.3):

Еме^2 < ехр ' ° - ^ < 1/(2<т2)- (12)

Покажем теперь, как точно такие же рассуждения можно провести в случае дискретного куба применительно к выпуклым функциям, причем свойство выпуклости можно понимать в некотором более широком смысле. Обозначим через йп объединение всех ребер куба [—1,1]". Будем говорить, что функция / : Q,n —► К. квазивыпукла, если она непрерывна и выпукла на каждом ребре. В каждой вершине х € 0„ определены частные производные df/dx¿: на ребре Д,-, соединяющим х и Si(x), / имеет неубывающую производную

Полагаем

df{x) дх;

lim .9i(y), \Df(x)\2 = ^T У € Ai y Ф x У x

i= 1

dxi

Заметим, что если h - непрерывная выпуклая функция на [—1,1], то

Hi)-h(-i)

< Л'(-1 + 0)2 + Л'(1 - О)2.

Следовательно, для квазивыдуклой функции / на Qn имеем

/(.*) - f(St(x))

2 < df(x) 2 + д/Ых))

dxi dxi

(13)

Так как мера Рп инвариантна относительно отображения х Si(x),

df(si(x)) дх;

= Е

df(x)

дх i

, поэтому, дискретное логарифмическое неравенство (8) и (13) влекут

Е/21о8/2-Е/21оёЕ/2<4Е|Р/|2.

Следовательно, мера ц = Рп удовлетворяет (10) с а2 = 2 на классе квазивыпуклых функций. Пусть д - произвольная квазивыпуклая функция на с \Од{х)\ < 1 для всех х € П„. Тогда функция у _ е<д/2 тоже квазивыпукла при всех < > 0, причем |Df(x)\2 — Следовательно, (10) можно применить к / при всех £ > 0, и мы приходим к (11):

Теорема 1. Для любой квазивыпуклой функции / на с |1)/| < 1 на 0,п и для любых t> 0

Ее^<еш/+<2.

В частности, для всех h > 0

Р»{/-Е/>Л}.<-е-А3/4.

(14)

(15)

Покажем, каким образом (15) следует из (14). По неравенству Чебышева P{f - Е f > h} < Ee^f~Efh-th < é2~th. Минимизируя по

т >

I ккл.

| «¿-ТНЗ

1

1

) s.

* > 0 (/ = |), получаем (15). Таким образом, (7) выполняется для зсех гладких выпуклых / : М" Н/Н/лр < 1, так как для глад-

ких / ||/|¡¿ф = 8ирхеЖ„ |£)/(ж)|. Поскольку гладкими выпуклыми функциями можно аппроксимировать по распределению любые выпуклые функции, (7) сохраняется для всех выпуклых / с ||/||1г> < 1-Покажем теперь, как можно перейти от (15) к неравенствам мзопериметрического типа, аналогичным (2)-(4). Применим (15) к функциям вида / = /л, где -4 С К" - выпуклое множество меры р = Рп(А), 0 < р < 1. Так как / выпукла и ||/||ь> < 1, имеем

1 - Рп(А>>) = Рп(/ > к) < Л>Е/. (16)

Чтобы оценить сверху Е/, воспользуемся следующим элементарным предложением: если £ - случайная величина, такая, что £ > О, Р{£ = 0} = р, < и2, то Е£ < (ОС означает дисперсию

Е£2 — (Е£)2). Функция /, как случайная величина, обладает перечисленными свойствами, причем о2 — 2. Действительно, если неравенство (10) применить к функциям вида 1 + с / и устремить е —* 0, то получится неравенство типа Пуанкаре (см. также [4], теорема 2.5):

Е,/2-(Е,/)2<а2Е,|ДЛ2. (17)

В частности, для липшицевых / с |£)/| < 1 имеем Е^/2 — (Е^/)2 < а2. Кроме того, если /г удовлетворяет (10) на классе всех выпуклых /, то и (17) выполняется на классе всех выпуклых /, и тогда для всех выпуклых липшицевых /, Ц/Ц/лр < 1, получаем, что Ем/2 — (Ер/)2 < а2. Для // = Рп а2 = 2, поэтому заключаем для / = /д, что

Е / < Таким образом, согласно (16), получаем следующее

утверждение.

Следствие 2. Длл любого выпуклого множества А С К" меры Рп(А) =р, 0 < р <1 и любого к >

Рп(АЛ) > 1 - ехр { -- !г - . (18)

При р = | (18) лишь постоянной \/2 > 2 хуже, чем (5). С другой стороны, вряд ли из (1), (2) или (5) можно вывести (14) или (15). Отметим еще без доказательства, что дискретным аналогом

(12) для квазивыпуклых / на 0,п с \Df\ < 1 на Qn является (с учетом того, что <т2 = 2 для /л — Рп) неравенство

Еег'2<ехР{^Е/2}, 0<i<i (19)

Если f — fа, где А - выпукло и имеет Р„-меру р, то легко вывести из (17) оценку для Е/2: Е/2 < — = Тогда при i = | (19) дает

Ее/1/« <е1/(2Р)5

что немногим хуже (1). Литература

1. Aida, S., Masuda, T., Shigekawa, I. Logarithmic Sobolev inequalities and exponential integrability. Preprint (1993).

2. Bonami, A. Etude des coefficients de Fourier des fonctions de LP(G)//Ann. Inst. Fourier. V.20,№2. 1970. P.335-402.

3. Gross, L. Logarithmic Sobolev inequalities// Amer. J. Math. V.97. 1975. P.1061-1083.

4. Gross, L. Logarithmic Sobolev inequalities and contractivity properties of semigroups. Varenna,1992// Led. Notes in Math. V.15G3. 1993. P.54-88.

5. Davies J.-D.,' Simon B. Ultracontractivity and the heat kernel for Schrôdinger operators and Dirichlet Laplacians// J. Funct. Anal. 59. 1984. P.335-395.

6. Harper, L.H. Optimal numbering and isoperimetric problems on graphs//«/. Comb. Theor. V.l. 1966. P.385-393.

7. Ledoux, M. Isoperimetry and Gaussian Analysis. Ecole d'été de Probabilités de Saint-Flour. (1994).

8. Talagrand, M. An isoperimetric theorem on the cube and the Khinchine-Kahane inequalities// Proc. Amer. Math. Soc. V.104. 1988. P.905-909.

9. Talagrand, M. Concentration of measure and isoperimetric inequalities in product spaces. Preprint (1994).

гом Summary

Bobkov S.G. On inequalities of Gross and Talagrand on the discrete cube

19) A Davies-Simons's approach is used to give estimates for large devi-

ations of convex Lipschitz functional of Bernoulli independent random „т variables. Connections between Gross' and Talagrand's inequalities on the discrete cube are investigated.

Сыктывкарский университет Поступила 8.02.95

П-ie h. ■У