Замечания к выводу уравнения неразрывности гидродинамических течений Текст научной статьи по специальности «Физика»

актуальные проблемы естествознания

в.А. Бубнов

Замечания к выводу уравнения неразрывности гидродинамических течений

В работе анализируются все аспекты вывода уравнения неразрывности на основе представлений Н.Е. Жуковского о модели частицы жидкости. В частности, показано, что введение изменения плотности жидкости в уравнение неразрывности некорректно с позиции кинематических соотношений материальной точки, имеющих место в классической механике.

Ключевые слова: частица жидкости; гидродинамическая скорость; деформационное движение; изменение объема; площади частицы жидкости.

При изучении движений материальной точки в классической механике различают две задачи. В первой из них исследуются кинематические характеристики материальной точки, на основе которых вычисляются силы, вызывающие движение точки. Во второй задаче по заданным силам, действующим на материальную точку, определяются кинематические характеристики последней.

Построение уравнения неразрывности, на базе которого можно получить поле гидродинамических скоростей, следует также отнести к первой задаче механики частицы жидкости, которая в данной задаче является аналогом материальной точки, но отличается от неё рядом свойств.

Традиционно уравнение неразрывности представляют в следующем виде:

1 Ж р ди ду дw

----— + — + — + — = 0; (1)

р Ж дх ду дг v '

где и, V, w суть составляющие вектора V гидродинамической скорости на оси координат х, у, z соответственно, а р — плотность жидкости.

Жр

Производная по времени в (1) называется полной производной, которая представляется так:

Жр др др др др

— = — + и — + у— + ^—, (2)

Ж д? дх ду дг

причем первое слагаемое справа (в 2) называют локальной производной,

а оставшиеся слагаемые — конвективной производной.

В учебной литературе вывод уравнения (1) основывается на следующих соображениях.

Рассматривается поток вектора рV через неподвижную замкнутую поверхность бесконечно малого объема жидкости. Этот поток на основании теоремы Гаусса представляется объемным интегралом от величины Жу(рУ). Далее, предполагается, что указанный поток выражает массу жидкости, вытекающей за единицу времени из рассмотренной замкнутой поверхности и что он влечет за собой уменьшение плотности в точках внутри данной замкнутой поверхности. Уменьшение плотности в единицу времени при этом опреде-

„ ар

ляется величиной —-, взятой со знаком минус.

а? ^

Объемный интеграл от величины ^-определит изменение массы

жидкости внутри рассматриваемой поверхности. Из равенства двух указанных интегралов и некоторых преобразований с помощью уравнения (2) в итоге получается уравнение неразрывности в форме (1).

Авторы такого вывода уравнения (1) не дают ответы на ряд вопросов, а именно:

— каким образом вектор V в величине потока рV имеет отношение к гидродинамической скорости;

— почему указанные рассуждения не могут иметь место в плоских гидродинамических течениях, в которых нельзя выделить бесконечно малый объем и соответственно ввести понятие плотности и массы жидкости.

К настоящему времени в научной литературе появилась серия статей [1-6, 8-9], в которых сделана попытка ответить на поставленные выше вопросы, а также снять ряд ограничений, на базе которых основывается форма уравнения (1).

Уже отмечалось, что при общеизвестном методе вывода уравнения неразрывности умалчивается вопрос о понятии гидродинамической скорости, о том в какой системе координат движется замкнутая поверхность выделенного объема жидкости, а также о том, какой вид движения испытывает эта поверхность.

На эти вопросы можно найти ответ в диссертации Н.Е. Жуковского [7].

Н.Е. Жуковский ввел понятие частицы жидкости как бесконечно малую часть жидкости вокруг некоторой фиксированной точки гидродинамического потока. Далее необходимо через точку О' жидкой массы с координатами х, у, г, провести прямоугольные оси О' х', О' у', О'z', параллельные неподвижным осям О х, О у, О 2, и движущиеся вместе с точкой О'. Затем выделим малую частицу жидкости вокруг центра О' и пусть М будет точкой этой частицы с относительными бесконечно малыми координатами х', у', z'.

Проекции скорости точки О' на неподвижные оси О х, О у, О z обозначим через и, у, н соответственно. В свою очередь скорости точки М обозначим через и у н Указанные скорости рассматриваются как мгновенные, т.е. изучается их распределение в один и тот же момент времени.

В окрестности точки О' скорости точки М можно вычислить представлением скоростей и1, у1, н1 в виде рядов Тейлора. Например, для и1 это представление таково:

ил — и +----------------X

1 дх

ди , ди , ди

У + — г' .

(3)

ду дг

Будем изучать движение точки М относительно центра ООчевидно, что такое движение характеризуется следующими относительными скоростями: и' = и - и, у’ = у1 - V, = w1 - w. Для них соотношения типа (3) можно пре-

образовать так, чтобы выделить различные типы течений. Например, для (3) указанное преобразование имеет вид:

1 (ди дwЛ , 1 ( ди дw'

ди , 1

—х + — дх 2

ди ду

---------1--------

ду дх

Л

У +■

ди дм

---------1---------

дг дх

дг дх

г -

(

ду ди

дх ду

Л

(4)

у.

Из (4) и аналогичных представлений для у' и н,г следует, что относительное движение точки М представляется в штрихованной системе координат, а коэффициентами при штрихованных координатах в представлении (4) и ему подобных служат производные от скоростей точки О’, вычисленные в неподвижной системе координат.

С целью упрощения представления дальнейших рассуждений не будем употреблять знаки «штрих» над соответствующими им символами.

Теперь в представлении (4) и ему подобных введем дополнительные обозначения:

ди д х

ду д у

д w

=

д у д w д у

д г д V д г

— 2а

д г д и д г ди д г

дw ду д и д w ду ди

— + — — 26+ — + - — 26> — + — — 26>

+ -л -л 2 2 ^ /«I. 3'

дх дх ду

(5)

д w д х

— 2а

ду д х

ди д у

— 2а .

После чего скорости точки М относительно центра частицы О’ примут следующий вид:

д ^

и = а г - а у +

у

у — ах — а 2 +

w — а у — а х +

х^ у

д х ' д ^; д у ’ д£ д у \

(6)

где

2 2 х + £2У

+ 26+у + 262х + 26,3ху).

(7)

Ввиду малости размеров частицы жидкости скорость точки М отождествляется со скоростью всей частицы.

Формулы (6) впервые были получены Г. Гельмгольцем в 1858 г. Они показывают, что движение частицы жидкости может быть разложено на три движения: поступательное со скоростью ее центра, вращательное относительно

оси, проходящей через этот центр, и движение с потенциалом скоростей, при котором центр неподвижен.

Величины тх, а а, входящие в (6), суть компоненты угловой скорости вращения частицы.

Отбросив поступательное и вращательное движение частицы, исследуем третье ее движение, которое называют деформацией, так как только от него происходит изменение вида частицы. Деформация может быть рассматриваема как движение частицы относительно подвижных осей координат, которые имеют то же поступательное и вращательное движение, что и частица жидкости.

Ради удобства письма подвижные оси координат будут обозначаться теми же символами х, у, z, так что скорости деформационного движения выразятся формулами:

dx дЕ ду дЕ дг дЕ

Л дх ’ Л ду ’ Л дг (8)

Формула (7) представляет уравнение центральной поверхности второго

порядка. Для нее справедливо соотношение, установленное Л. Эйлером:

дЕ дЕ дЕ , „ ,„4

х-- + у-------------------- + г- — 2Е, (9)

дх ду дг

Из теории поверхностей второго порядка известно, что если за оси координат приняты диаметры, попарно сопряженные, то уравнение поверхности будет содержать только члены с квадратами координат. Такие направления называются главными, а в теории деформационного движения их называют осями деформации.

Известно также, что для перехода от осей х, у, z к осям деформации £ щ, С необходимо равенство нулю следующего определителя третьего порядка, составленного из коэффициентов многочлена (7):

є1—Х

Є2 X

Є3 — X

=0. (10)

После вычисления определителя в (10) получается кубическое уравнение относительно X:

X — (є + є + є) л1 + (*, + ^ — в; — в; — в;-) х — (її)

— (ЄЄ + 2в#Д — Є — £$ — £3в32) = 0.

В аналитической геометрии доказывается, что все три корня Х1, X Х3

в уравнении (11) действительны, а уравнение поверхности (7), относительное к главным осям £, щ, (, представляется в виде:

е = 2 (л р+ЛП+лс2). (12)

По аналогии с формулами (8) скорости деформационного движения вдоль осей деформации будем определять так:

Ср дЕ Сц дЕ С^ дЕ (13)

С “ар С _"дП’ ~~дс'

В [3-5] показано, что Х Х2, Х3 суть коэффициенты линейного расширения радиусов, направленных по осям деформации.

Если для вычисления скоростей деформационного движения по формулам (13) использовать Е в форме (12), то будем иметь:

§ Л % — п §■ -я,с (.4)

т т м

Формулы (14) показывают, что частица жидкости, имеющая форму бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда, стороны которого параллельны осям деформации, остается прямоугольным параллелепипедом и по прошествии времени d ^. Из этих же формул следует, что задача по нахождению скоростей деформационного движения сводится к проблеме нахождения корней Х X Х3 кубического уравнения (11).

Для разрешения указанной проблемы в уравнении (11) введем дополнительные обозначения [3-5]:

е — ех + е2 + е3; (15)

А — &1&2 + Е\ЕЪ + е2е3 — (^1 + ^2 + ^3 ) ’ (16)

В — £18283 + 2в1в2въ — (еД2 + е2в1 + 53в^), (17)

после чего оно примет вид:

Л3 — еЛ2 + АЛ —В — 0. (18)

В работах [3-5] показано, что соотношения между корнями уравнения (18) таковы:

Х1 + Х2 + Х3 = £,

Х1Х2 + Х1Х3 + Х2Х3 = А, (19)

Х1 Х2 Х3 = В

Для вычисления коэффициента кубического расширения частицы жидкости предположим, что она имеет форму бесконечного малого шарика, уравнение которого есть

£ 2 + п2 + С2 = а2. (20)

и определим ее вид по прошествии времени d ^. На основании уравнений (14) точка жидкой частицы, имеющая координаты £, п, С будет по прошествии времени d I иметь координаты: хг = £, + 1 = 11 + ),

ух=г1 + с1ц = ц( 1 + Л21),

г1 =^ + <^ = ^(1 + Л3 ).

Определив отсюда £, п, С, и подставив их в уравнение сферы (20), получим

уравнение эллипсоида:

2 2 2 х + 22 2= + 2= =— 1 (21)

а 2(1 + Л^ ) а 2(1 + /^^^ ) а2(1 + Л3^ )

Объем сферы (21) будет:

4 3

Уй— - па ,

а объем эллипсоида (21):

4

V — —па3 (1 + )(1 + ЛМ)(1 + ЛМ).

Под коэффициентом кубического расширения в единицу времени принято считать следующую величину:

„А V Уп - V Ак

в — ----- — —------L — —, (22)

VAt V0At А г у ’

которая из приведенных формул для V0 и V выражается через характеристики

деформационного движения таким образом [3-5].

в — —(е + Ад! + ВМ2). (23)

Пусть при деформационном движении масса частиц жидкости не изменяется, т.е. т = т0 = т согласно [3-5]:

в — Рр—Р — 1 ЁР, (24)

рр р Л ()

Н.Е. Жуковский в своей магистерской диссертации «Кинематика жидкого тела», относящейся к 1876 г [7] разыскивал корни уравнения (11) при условии, что

в— в — в3 — 0. (25)

В этом случае соотношения (19) между корнями Х Х Х3 и характеристиками деформационного движения е е е3 принимают вид:

Л + Л^ + Л — ех + е2 + е3,

Л[Л2 + ЛЛ + ЛЛ — ехе2 + е1е3 + е2е3, > (26)

Л2 е 1 е 2 е 3.

Из соотношений (26) очевидны значения корней уравнения (11):

Х1 _ е1, Х2 _ е2, Х3 _ е3. (27)

Теперь по (14) с учетом (27) можно найти скорости деформационного движения в системе координат £, п, С которая в силу справедливости (25) совпадает с системой х, у, z.

В то же самое время полученный тип деформационного движения позволяет, пренебрегая в правой части (23) вторым и третьим слагаемым, переписать его так:

в — —е. (28)

Если левую часть в (28) заменить по (24), а правую — вначале по (15), а затем по (5), то полученное при этом соотношение совпадает с (1).

Таким образом, полученный вывод уравнения (1) показывает ряд ограничений на характер кинематических соотношений частицы жидкости, в рамках которых справедливо соотношение (1).

Если предложенную выше схему вывода уравнения неразрывности (28) сохранить для случая плоских гидродинамических движений, то величина в будет выражать изменение в единицу времени плоской формы частицы жидкости и нельзя будет эту величину выразить через изменение плотности. Далее общеизвестно, что плотность жидкости суть характеристика нестройного,

— + — 0. (30)

беспорядочного движения молекул жидкости, и она уравнением состояния связана только с давлением жидкости. Традиционно в движущейся жидкости давление отождествляют с гидростатическим, поэтому форма уравнения состояния не нарушается гидродинамическим потоком, и, следовательно, гидродинамическое движение не влияет на изменение плотности.

Более того, в [3] показано, что в ряде гидродинамических движений, например в ламинарном, тепловое движение молекул и видимое гидродинамическое движение сосуществуют независимо друг от друга.

По-видимому, только в турбулентных движениях, в которых независимость двух указанных движений нарушается и возникают пульсации плотности и давления, может иметь место формула (24).

Чтобы обойти спорный вопрос относительно корректности соотношения (24), введем безразмерный коэффициент к кубического расширения жидкости и величину в определим так:

в — -, (29)

д!

д

где — — локальная производная по времени.

Ы

Теперь уравнение (28) с учетом (29) принимает следующий вид:

дк_

~д!

Изучению деформационного движения частицы жидкости, когда устраняются ограничения Н.Е. Жуковского (25), посвящены работы [3-5].

В плоских гидродинамических течениях поверхность расширения (7) упрощается так:

р — 2(е1 х2 +е2 у2 + 2в3 ху), (31)

а уравнение (11) принимает вид:

Л2 — (е1 +е2)Л + е1е2 — в32 — 0. (32)

Изучению корней уравнения (32) посвящены работы [5-7].

Приведение к каноническому виду поверхности расширения (31) посредством нахождения корней уравнения (32) оказывается не единственным.

Действительно в (31) осуществим переход в новую систему координат (£ п) на основе следующих соотношений:

х — £cosa — пsina, , ч

с • (33)

у — д sina + п cosa.

Тогда вместо (31) будем иметь:

р — 1(Ад2 + 2 вп + п (34)

Нетрудно показать, что первый инвариант квадратичных форм (31) и (34) суть:

А + В — е

(35)

а условие В = 0 имеет вид:

ctg2а = (gl ~gz). (36)

2в3

Соотношения (35) и (36) можно, в самом общем случае, принять функциями от координат и времени, что позволит получить новые кинематические уравнения для гидродинамических течений.

Литература

1. Бубнов В.А. Кинематика жидкой частицы / В.А. Бубнов // Проблемы аксиоматики в гидродинамике: сб. ст. - Вып. 7. - М.: Прометей, 1999. - С. 11-29.

2. Бубнов В.А. Физические принципы гидродинамических течений / В.А. Бубнов // Проблемы аксиоматики в гидродинамике: сб. ст. - Вып. 4. - М.: Прометей, 1997.- С. 206-269.

3. Бубнов В.А. О деформационных движениях в гидродинамике / В.А. Бубнов // Проблемы аксиоматики в гидродинамике: сб. ст. - Вып. 21. - М.: Спутник, 2010. -С. 58-71.

4. Бубнов В.А. О деформационных движениях частицы жидкости / В.А. Бубнов // Вестник МГПУ. Серия «Естественные науки». - 2008. - № 1 (20). - С. 71-77.

5. Бубнов В.А. Кинематика частицы жидкости в плоских гидродинамических течениях / В.А. Бубнов // Вестник МГПУ. Серия «Естественные науки». - 2010. -№ 1 (5). - С. 61-65.

6. Бубнов В.А. Некоторые замечания о потенциальных гидродинамических течениях / В.А. Бубнов // Вестник МГПУ. Серия «Естественные науки». - 2010. -№ 2 (6). - С. 7-13.

7. Жуковский Н.Е. Кинематика жидкого тела / Н.Е. Жуковский // Жуковский Н.Е. Полное собрание сочинений: в 16-ти тт. / Н.Е. Жуковский; ЦАГИ им. Н.Е. Жуковского, Комис. по изданию трудов Н.Е. Жуковского; Ред. коллегия: С.А. Чаплыгин, А.И. Некрасов, В.А. Архангельский и др. - Т. 2. - М.-Л.: ОНТИ-НКТП СССР, 1935-1937. - С. 7-145.

8. Овсянников В.М. Конечно-разностное уравнение непрерывности Леонарда Эйлера / В.М. Овсянников // Проблемы аксиоматики в гидродинамике: сб. ст. -Вып. 20. - М.: Прометей, 2010. - С. 110-120.

9. Овсянников В.М. Конечно-разностное уравнение непрерывности Леонарда Эйлера. Продолжение раздела 5 / В.М. Овсянников // Проблемы аксиоматики в гидрогазодинамике: сб. ст. - Вып. 21. - М.: Прометей, 2010. - С. 25-37.

Literatura

1. Bubnov V.A. Kinematika zhidkoj chasticy’ / V.A. Bubnov // Problemy’ aksiomatiki v gidrodinamike: sb. st. - Vy’p. 7. - M.: Prometej, 1999. - S. 11-29.

2. Bubnov V.A. Fizicheskie principy’ gidrodinamicheskix techenij / V.A. Bubnov // Problemy’ aksiomatiki v gidrodinamike: sb. st. - Vy’p. 4. - M.: Prometej, 1997. - S. 206-269.

3. Bubnov V.A. O deformacionny’x dvizheniyax v gidrodinamike / V.A. Bubnov // Problemy’ aksiomatiki v gidrodinamike: sb. st. - Vy’p. 21. - M.: Sputnik, 2010. - S. 58-71.

4. Bubnov V.A. O deformacionny’x dvizheniyax chasticzy’ zhidkosti / V.A. Bubnov // Vestnik MGPU. Seriya «Estestvenny’e nauki». - 2008. - № 1 (20). - S. 71-77.

5. Bubnov V.A. Kinematika chasticzy’ zhidkosti v ploskix gidrodinamicheskix te-cheniyax / V.A. Bubnov // Vestnik MGPU. «Estestvenny’e nauki». - 2010. - № 1 (5). -

S. 61-65.

6. Bubnov VA. Nekotory’e zamechaniya o potencial’ny’x gidrodinamicheskix teche-niyax / V.A. Bubnov // Vestnik MGPU. Seriya «Estestvenny’e nauki». - 2010. - № 2 (6). -

S. 7-13.

7. Zhukovskij N.E. Kinematika zhidkogo tela / N.E. Zhukovskij // Zhukovskij N.E. Polnoe sobranie sochinenij: v 16-ti tt. / N.E. Zhukovskij; CAGI im. N.E. Zhukovskogo, Komis. po izdaniyu trudov N.E. Zhukovskogo; Red. kollegiya: S.A. Chaply’gin, A.I. Nekrasov, V.A. Arxangel’skij i dr. - T. 2. . - M.-L.: ONTI-NKTP SSSR, 1935. - S. 7-145.

8. Ovsyannikov V.M. Konechno-raznostnoe uravnenie neprery’vnosti Leonarda E’jlera / V.M. Ovsyannikov // Problemy’ aksiomatiki v gidrodinamike: sb. st. - Vy’p. 20. -M.: Prometej, 2010. - S. 110-120.

9. Ovsyannikov V.M. Konechno-raznostnoe uravnenie nepreryvnosti Leonarda E’jlera Prodolzhenie razdela 5 / V.M. Ovsyannikov // Problemy’ aksiomatiki v gidrodinamike: sb. st. - Vy’p. 21. - M.: Prometej, 2010. - S. 25-37.

V.A. Bubnov

On Obtaining the Continuity Equation of Hydro-dynamic Flows

The paper presents an analysis of all aspects of obtaining an equation of continuity based on N.E. Zhukovsky’s conceptions of the liquid particle model. In particular, it presents the idea that the change of liquid density inserted in the equation is incorrect from typically classical mechanic approach to kinematic correlations of the physical point.

Key-words: liquid particle; hydro-dynamic velocity; deformational flow; volume change; places of liquid particles.