Некоторые замечания о потенциальных гидродинамических течениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

актуальные проблемы естествознания

в.А. Бубнов

некоторые замечания

о потенциальных гидродинамических течениях

В работе исследуются различные случаи деформационного движения частицы жидкости. Показано, что уравнение неразрывности представляет собой только одну из форм широкого класса кинематических соотношений частицы жидкости.

Ключевые слова: деформационные движения; частица жидкости; кинематические соотношения.

При изучении кинематики частицы жидкости в случае двухмерных течений выделяют на плоскости элементарную площадь 5, занимаемую жидкой частицей и изучают относительное движение любой точки данной частицы относительно её центра.

В [1] показано, что движение указанной точки характеризуется относительными скоростями и (х,у) и V (х,у), направленными соответственно вдоль подвижных осей х и у, параллельных неподвижным осям, и определяемыми из следующих соотношений.

и — Е1 х + в3у -®гу,|

V — е2у + в3х -ю2х

Здесь дополнительно обозначено:

г дv ди ^

----1---

кдх ду

Введем функцию

ди дV 1

Е1 — , Е2 — , С7з —

1 дх 2 ду 3 2

(

с°г —~ 2 2

дv ди дх ду

Л

^ —1Е х2 + Е2 у2 + 2въ ху),

для которой справедливы значения частных производных

д¥ а д¥ а

— — Е1х + #зУ, ~Г~ — Е2у + 6зх.

дх ду

Теперь с учетом (2) - (3) выражение (1) принимает вид:

д^ д^

и — -а,у +-------, V — -ю2х +-------.

2 У ' 2 /-ч

дх ду

(1)

(2)

(3)

(4)

Из (4) следует, что если не учитывать вращение частицы вокруг её центра, т.е. принять, что а>2 — 0; тогда

дЕ дЕ

и —-------, V —-. (5)

дх ду

Формулы (5) позволяют на основе выражений (4) считать, что относительное движение частицы жидкости состоит из её вращения относительно центра частицы и движения с потенциалом скоростей, при котором центр неподвижен.

Движение с потенциалом скоростей называют деформацией. Скорости деформационного движения и и V через координаты любой точки жидкости в свою очередь можно выразить так: dx дЕ dy дЕ

Ш дх ’ dt ду ()

Соотношение (2) представляет собой уравнение центральной поверхности второго порядка. Из теории поверхностей второго порядка известно, что если за оси координат приняты диаметры, попарно сопряженные, то уравнение поверхности будет содержать только члены с квадратами координат.

Такие направления называются главными, а в теории деформационного дви-

жения их называют осями деформации.

Рассмотрим такой вид деформационного движения, когда

2въ =

ґ ду ды Л

дх ду

= °. (7)

Известно, что величина 2въ — определяет скорость изменения прямого угла хОу в плоскости перпендикулярной оси 2 за промежуток времени dt. Равенство же (7) означает, что при движении частицы жидкости скошения указанного угла не происходит и принятая в (2) подвижная система координат совпадает с осями деформации.

Само же соотношение (2) с учетом (7) принимает следующий вид:

Е — 2 (Ех +Еу2). (8)

Рассматривая деформационное движение частицы в условиях справедливости формул (7)-(8), предположим, что плоская частица жидкости имеет форму малой окружности, уравнение которой суть

х2 + у2 — г2. (9)

Далее определим вид этой окружности по прошествии времени dt. На основании уравнений (6) и (8) точка жидкой частицы, имеющая координаты х и у, по истечении времени dt будет иметь координаты:

х1 — х + Шх — х(1 + Е^), у — у + Шу — у(1 + Е^)

Определив отсюда х, у и подставив их в уравнение окружности (9), получим уравнение эллипса:

2 2 С "

1

х у

г (1+е^) г (1+е^)

Площадь круга (9) равна

5 — п г2, а площадь эллипса (10):

5 — п г2(1 + еЛ) (1 + е2dt).

Теперь можно вычислить изменение площади жидкой частицы за время dt следующим образом:

а5 — 51—— — (е1 +е2) dt + е1е2 dt2. (11)

50

Предположим, что второе слагаемое в правой части (11) много меньше первого, тогда можно считать, что

д£ — (е1 +Е2)dt.

Допустим, что при изменении формы частицы от окружности до эллипса за время Л площадь, занимаемая частицей, не изменилась, т.е. л£ — 0. В таком случае для выполнения равенства (12) необходимо первый вариант (е1 + Е2 ) квадратичной формы (8) положить равным нулю. Последнее позволяет написать второе кинематическое соотношение для частицы жидкости в следующем виде:

ди Эу „

^ + ^ — 0 (12)

дх ду

при этом первое кинематическое соотношение следует из (7) и переписывается так:

Эу ди ^

^ + ^— (13)

дх ду

Уравнений (12) и (13) достаточно, чтобы найти поле скоростей и (х,у) и V (х,у) деформационного движения при высказанных ранее предположениях относительно осей деформации.

При получении системы (12)-(13) уже учтено, что частица не участвует во вращательном движении вокруг её центра и при переходе от соотношения (4) к (5) принималось ю2 — 0.

Однако в теории так называемых потенциальных течений факт отсутствия указанного вращения учитывают дополнительно путем добавления к уравнению неразрывности (13) соотношения ю2 — 0 в следующей форме:

Эу ди

аг* =0- (14)

Далее для нахождения поля скоростей, так называемого безвихревого течения, разыскивают решения уравнений (12) и (14) без учета соотношения (13). Не учёт соотношения (13) в таком случае ставит под сомнение все совместные решения уравнений (12) и (13). Об этом впервые указано в [2].

Уравнению (11) можно дать и другое толкование. А именно, полагаем в нем д£ — 0, далее разрешаем его относительно dt как времени, в течение которого форма частицы жидкости из окружности превратилась в эллипс. В результате чего будем иметь:

л—- <£1±£2». (15)

^1^2

Здесь первый инвариант (е1 + е2 ) можно положить равным произвольной функцииДх,у), а второй — ехе2 — ^(х,у) . Тогда

^ _ /(х у) , .

л — —;—г. (16)

я(х у)

что в свою очередь позволяет уравнение (12), называемое уравнением неразрывности, переписать так:

ди Эу г, .

— ^ — / (x, у). (17)

дх ду

Произвольная функция /(х,у) позволяет расширить класс совместных решений уравнений (13) и (17). Например, можно положить дш дш

и — ’ у “ • (18)

Тогда формулы (18) превращают соотношение (13) в тождество, а уравнение (17) переписывается так:

д2ш д2ш ,

^~ауг=/ (х’у>• (19)

Теперь для конкретной функции /х,у) из (19) находится функция у(х,у), по которой определяются е1(х,у) и е2(х,у), затем по найденным значениям е1 и е2 вычисляется я(х,у) и, наконец, по (16) — время Ж.

Интересно заметить, что решение системы (12)-(13) можно разыскивать в поле так называемых двойных чисел.

В отличие от комплексных чисел для двойных чисел у — V— 1 , а ] 2 — 1

Далее из действительных чисел х и у комбинируем двойное число 5 — х — у у и вводим новую функцию

/(5) — у(х, у) + у и(х, у). (20)

Чтобы доказать, что /5) удовлетворяет системе (12)-(13), необходимо продифференцировать по переменным х и у функцию/5) как сложную функцию, после чего будем иметь

д/ л/ д/ л/

дх ~ Л8 ’ ду ~ } Л8 ‘ (21)

Затем из (21) получаем: д/ . д/

дх ~ У ду ‘ (22)

После подстановки (20) в (22), убеждаемся в том, что соотношение (22) справедливо только при выполнении равенств (12) и (13).

Таким образом, удовлетворяет системе (12)-(13).

Вернемся к общему виду квадратичной формы, определяющей деформационное движение, т.е. к соотношению (2). Эту форму можно соотнести с главными осями £, щ, для чего необходимо разрешить следующее квадратное уравнение

А — (*1 + ^2 )А + *1*2 — ^3 — 0. (23)

В аналитической геометрии доказывается, что корни Х1 и Х2 этого уравнения действительны, а квадратичная форма (2) в новых осях £, ц принимает вид

^ — 2 (А^2 + АП). (24)

Между корнями Х1 и Х2 уравнения (23) имеют место общеизвестные соотношения

А1 + А2 — *1 + *2 , (25) А1А2 — *1*2 — ^3 . (26)

В левой части (25) стоит первый инвариант квадратичной формы (2), а в правой части (26) — второй. Так как коэффициенты в квадратичной форме (2) суть функции координат х, у, то в самом общем случае указанные инварианты также зависят от переменных х, у. Для дальнейших рассуждений принимаем, что

*1 + *2 — /(X, У),

*1*2 —°3 — §1(^ у). (27)

По аналогии с формулами (6) скорости деформационного движения в новых осях деформации £, щ будем определять так:

Л^_д^ Лц_д¥_

dt ~ д£~ А dt ~ дц~ П (28)

Теперь предположим, что в новых осях деформации форма частицы жидкости определяется окружностью

+П — г2. (29)

По прошествии времени точка жидкой частицы, имеющая координаты £, ц, переместится и её координаты станут:

х1 — £ + — £(1 + ),

х2 — п + Лп — п(1 + А2dt).

Определив отсюда £ и щ и подставив их в уравнение окружности (29), по-

лучаем уравнение эллипса

2 2

«X, 2

г2 (1 + ^1dt)2 + г2 (1 + )2 1 (30)

Рассуждая так же, как при выводе уравнения (11), получаем изменение д£ площади частицы жидкости в следующем виде:

д$ — (А + А)л + ААл . (31)

Как и ранее, получаем в (31) д$ — 0 . Тогда вместо (31) получим

(А + А2)Л + АА2 Л — 0. (32)

Рассматривая соотношение (32) как уравнение относительно Л, из него получаем:

& =

А + А Єл+Є2

--------= т2 _ • (33)

О3 *1*2

Для нахождения поля скоростей деформационного движения первое соотношение в (27) можно переписать так:

ди Эу

— ■+- — / ( x, у ). (34)

дх Эу

Так как в (33) Ф 0, то к уравнению (34) можно привлечь соотношение (14), во-первых, как условие отсутствия вращения частицы и, во-вторых, как фактор, характеризующий потенциальные течения.

Уравнение (14) обращается в тождество введением новой функции у по следующим формулам: дш дш

и—^х-’ у—-у' (35)

которые соотношение (34) переводит в известное уравнение Пуассона

д2ш д2ш ,, \

дг=/ (х-у)' (36)

В электродинамике правую часть в (36) связывают с плотностью распределения электрических зарядов.

Уравнение (36) позволяет по заданной функции/х,у) найти скорости и и у деформационного движения, которые в свою очередь позволяют по (33) определить промежуток времени Л, в течение которого изменяется форма жидкой частицы от окружности до эллипса.

Литература

1. Бубнов В.А. Кинематика частицы жидкости в плоских гидродинамических течениях / В.А. Бубнов // Вестник МГПУ. Серия «Естественные науки». - 2010. -№ 1 (5). - С. 61-65.

2. Бубнов В.А. О деформационных движениях частицы жидкости / В.А. Бубнов // Вестник МГПУ. Серия «Естественные науки». - 2008. - № 1 (20). - С. 71-77.

Literatura

1. Bubnov V.A. Kinematika chasticy' zhidkosti v ploskix gidrodinamicheskix techeniyax / V.A. Bubnov // Vestnik MGPU. Seriya «Estestvenny'e nauki». - 2010. -№ 1 (5). - S. 61-65.

2. Bubnov V.A. O deformacionny'x dvizheniyax chasticy' zhidkosti / V.A. Bubnov // Vestnik MGPU. Seriya «Estestvenny'e nauki». - 2008. - № 1 (20). - S. 71-77.

Bubnov, Vladimir A.

Some Remarks on Potential Hydrodynamic Currents

The article deals with various cases of the deformational motion of a particle of liquid, showing that the equation of continuity is only one of the forms of a wide class of kinematic features of a particle of liquid.

Key-words: deformational motions, a particle of liquid, kinematic features.