Кинематика частицы жидкости в плоских гидродинамических течениях Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

В.А. Бубнов

Кинематика частицы жидкости в плоских гидродинамических течениях

В работе исследуются различные виды деформационного движения частицы жидкости.

Ключевые слова: частица жидкости; деформационное движение.

При исследовании гидродинамических течений возникает, прежде всего, вопрос о том, что такое, гидродинамическая скорость, а также в какой системе координат рассматривается поле скоростей движущейся жидкости. Для ответа на эти вопросы Н.Е. Жуковский ввел понятие частицы жидкости как бесконечно малую часть жидкости вокруг некоторой фиксированной точки гидродинамического потока. Условие же непрерывности компонентов скорости позволило ему установить некоторые общие законы для бесконечно малой части жидкости, прилегающей к указанной фиксированной точке гидродинамического потока [2].

При изучении кинематики частицы жидкости в случае плоских гидродинамических течений, следуя Н.Е. Жуковскому, проведем точку О' жидкой массы с координатами х, у две прямоугольных оси О'х', О'у' параллельные неподвижным осям Ох, Оу и движущимся вместе с точкой О'. Далее выделим малую частицу жидкости вокруг центра О' и пустьМ будет точка этой частицы с относительными бесконечно малыми координатами х',у'. Проекции скорости точки О’ на неподвижные оси Ох, Оу обозначим через и (х, у) и V (х, у) соответственно. В свою очередь скорости точки М обозначим через и (х, у) и

V, (х, у). Указанные скорости рассматриваются как мгновенные, т.е. изучается их распределение в один и тот же момент времени.

В окрестности точки О' скорости точки М можно вычислить представлением скоростей и и V, в виде рядов Тейлора, т.е. ди , ди

и, = и +-------------х +-----------у +...

1 дх ду

ду . ду .

V, = V +------------------------------------х +-у + ...

1 дх ду

(1)

Будем изучать движение точки М относительно центра О'. Очевидно, что такое движение характеризуется следующими относительными скоростями и' = и, - и, V' = V, - V. Для них общеизвестным преобразованием в (1) можно получить такое представление:

и = — х + — дх 2

■ + -

у

ду дх) 2 ^дг ду,

у

, ду , 1

V = — у + — ду 2

^ ду ди^

------1-----

дх ду

1

х' + — 2

ду ди

Л

х

дх ду

Чтобы выразить в более компактном виде выражения для и' и у', введем дополнительные обозначения

ди

ду

Г

Є1 =------------, Є 2 =---------, 0\ = —

1 дх 2 ду 2

ду ди

--------1---------

дх ду

Л

1

а = — г 2

Г

ду ди

дх ду

Л

У

после чего для рассматриваемых относительных скоростей получим:

и' = £,х' + в3у' - Ю2у’]

V’ = £2у’ + в3х’ - агх'

Введем функцию

Р = 2(£ X' 2 +£1 у' 2 + 2 в3 Х'у)

Для нее справедливы значения частных производных

дР дР

^ = £-Х' +в3У'- д? = £2 у в3 х'

Теперь с учетом (3)-(4) выражения (2) принимает вид:

, дР , , дР

и = -т у +-------, V = а х + .

г дх’ г ду'

(2)

(3)

(4)

(5)

Из (5) следует, что если не учитывать вращение частицы жидкости вокруг точки О', т.е. н = 0, то

, дР , дР

и = —, V = — дх' ду'

(6)

Формулы (6) позволяют на основе выражений (5) считать, что относительное движение частицы жидкости состоит из ее вращения относительно центра О' и движения с потенциалом скоростей, при котором центр неподвижен.

Движение с потенциалом скоростей называют деформацией.

В дальнейшем, ради удобства письма, подвижные оси координат будем обозначать теми же символами, что и неподвижные, т.е. х, у. Теперь скорости деформационного движения выразятся так:

dx = дР dy = дР & дх ’ ^ ду ’

А соотношение (3) перепишем следующим образом £1 х2 + £2у2 + 2 в3 х у - 2 F = 0 (8)

Соотношение (8) относительно координат х, у представляет уравнение центральной кривой 2-го порядка; причем для функции Р справедливо равенство, установленное Эйлером, дР дР

х~ + у— = 2Р (9)

(7)

дх

ду

Теперь из центра O' частицы жидкости проведем радиус-вектор r до любой точки рассматриваемой частицы. Очевидно, что квадрат этого радиуса через подвижные координаты x, у будет определяться так: r2 = х2 + у2. От указанного выражения для квадрата радиуса возьмем производную по времени t, тогда с учетом формул (7) и (9) будем иметь:

dr2 0 dF 0 dF

пГ = 2 х^7 + 2 УТ" = 4F (10)

dt дх ду

Если через m обозначить массу частицы жидкости как массу системы материальных точек, из которых состоит гидродинамическая частица, то момент инерции этой системы, при ее движении относительно точки O' равен I = m r2. Тогда физический смысл функции F следует из равенства:

^ 1 dr2

F = idT- (11)

а именно, F — суть величина, пропорциональная моменту инерции частицы относительно центра O', отнесенного к ее массе.

В пределах высказанных рассуждений уравнение (8) можно переписать так:

1 dr2

£,x2+£v2 + 2 2.x у =-------- (12)

1 22 3 2 2 dt ’

Теперь рассматриваемая кривая 2-го порядка, представленная в форме (12) является кривой инерции частицы жидкости относительно центра O', r — суть радиус инерции, а оси х, y — оси инерции.

Из теории кривых 2-го порядка известно, что при любом преобразовании координат в (12), сохраняются некоторые соотношения из коэффициентов в (12), которые называются инвариантами кривой 2-го порядка. В данном рассмотрении будем интересоваться первым инвариантом:

е1 + £2 = const (13)

и вторым

е1 £2 - в2 = const (14)

При этом обращение в нуль каждого из инвариантов связано с определенной особенностью соответствующей кривой, независящей от выбора координат.

Оси х и y будут главными осями инерции, если кривая инерции имеет вид:

1 dr2

е ■ х2 + 6«у2 = 2 dT (15)

Эту форму кривой инерции можно получить либо переходом от координат x и y к новым, либо в частном случае предположением, что в (12) в3 = 0. Именно этот частный случай изучался в работе Н.Е. Жуковского «Кинематика жидкого тела». В свою очередь условие в3 = 0 определяет одно из кинематических соотношений:

dv ди

дх + ^ (16)

которое необходимо учитывать при построении поля скоростей деформированного движения, если считать оси х и у главными осями инерции.

Именно эту гипотезу относительно осей х и у принимаем в первоначальном рассмотрении. Далее предполагаем о равенстве нулю первого инварианта (13), что в свою очередь означает £2 = - £ Вследствие этих рассуждений уравнение (15) принимает вид:

х2 - у2 = “ (17)

2 £1

Полученная таким образом кривая инерции (17), отнесенная к главным осям х и у, суть гипербола. Равенство же нулю первого инварианта (13) определяет еще одно кинематическое соотношение

ди дv

& +ду = 0 (18)

которое известно в гидродинамике как уравнение неразрывности.

Уравнение неразрывности (18) используется в гидродинамике для нахождения поля скоростей, так называемых потенциальных течений. Однако оно получено при условии выполнения равенства (16), и поэтому уравнение (18) необходимо использовать совместно с (16). Об этом впервые указано в моей статье «О деформационных движениях частицы жидкости».

Приведенные рассуждения свидетельствуют, что в зависимости от вида кривой инерции можно получить различные кинематические соотношения для построения поля скоростей деформирующего движения. Действительно, предположим, что £1 = £ В этом случае уравнение (15) переписывается так:

2 2 1

х2 + у2 = 7 (19)

2 £1

Кривая инерции теперь становиться окружностью с центром в О', радиус которой изменяется во времени. Кинематическое же соотношение для скоростей и и V, соответствующее кривой инерции в форме (19), имеет вид

ди &

~дх ~~ду ~ • (20)

Теперь для нахождения поля скоростей деформационного движения необходимо решать систему уравнений (20) и (16).

Можно делать предположения и о других значениях первого инварианта центральной кривой 2-го порядка (15), что в свою очередь расширит количество кинематических соотношений типа (18) и (20). Последнее обстоятельство позволит найти ранее неизвестные в гидродинамике плоские течения жидкости.

Литература

1. Бубнов В. А. О деформационных движениях частицы жидкости / В.А. Бубнов // Вестник МГПУ, серия «Естественные науки». - 2007. - № 1 (20). - С. 70-77.

2. Жуковский Н. Е. Кинематика жидкого тела. Полное собрание сочинений / Н.Е. Жу-

ковский. - Т. 2. - М.-Л.: ОНТИ-НКТП СССР, 1935. - С. 7-145.

Bubnov, Vladimir A.

Cinematic Particles of Liquid in Flat Hydrodynamic Currents

The article is devoted to the investigation of various kinds of the deformation motion of a particle of liquid.

Key-words: a particle of liquid; deformation motion.

References

1. Bubnov V. A. O diformacionny’x dvizheniyax chasticy’ zhidkosti / V.A. Bubnov // Vestnik

MGPU, seriya «Estestvenny’e nauki». - 2007. - № 1 (20). - S. 70-77.

2. Zhukovskij N. E. Kinematika zhidkogo tela. Polnoe sobranie sochinenij / N. E. Zhukov-skij. - T. 2. - M.-L.: ONTI-NKTP-SSSR, 1935. - S. 7-145.