CC BY
5В.М. Овсянников
Тождественность правой части волнового уравнения генерации звука Филлипса с дополнительным членом конечно-разностного уравнения неразрывности Эйлера
Акустикам до сих пор непонятно, как возникает звук в потоке жидкости или газа. Многие из них полагают, что ни один член системы дифференциальных уравнений гидрогазодинамики не может считаться ответственным за генерацию звука, так как её производят члены конечно-разностного уравнения неразрывности более высокого порядка по времени деформации контрольной фигуры, исчезающие при переходе к дифференциальным уравнениям. Статья посвящена выводу этих членов и демонстрации их экспериментального подтверждения волновым уравнением Филлипса.
Ключевые слова: лагранжево уравнение неразрывности; неустойчивое течение; особая точка; волновое уравнение.
Широкий фронт исследований кинематических соотношений, описывающих деформационные движения жидкости, ведется В.А. Бубновым (например, [3]). В 1997 году он обратил внимание на то, что вывод уравнения неразрыности Н.Е. Жуковским в его магистерской диссертации сделан без учета членов высокого порядка малости, в результате чего из уравнения неразрывности выпадают члены, отражающие скорость деформаций сдвига. Во время написания Н.Е. Жуковским этой работы в 1876 году не были еще выведены уравнения пограничного слоя, опубликованные Л. Прандтлем в 1904 году, и не было понимания о существовании течений с большой скоростью деформаций сдвига.
В.А. Бубнов указал путь учета членов более высокого порядка по времени I деформации контрольной фигуры [2; 4]. Оказалось, что учет членов порядка O (¿2) при геометрическом выводе уравнения неразрывности сделал Л. Эйлер, получив в уравнении член с якобианами, отражающими скорости деформаций сдвига, о чем он сообщил в докладе, сделанном 31 августа 1752 года в Берлинской академии наук. Л. Эйлер использовал при этом линейный лагранжев закон движения жидкой частицы. Львом Васильевичем Овсянниковым в 1967 году было выведено лагранжево уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости [9] без дополнительных членов с якобианами в виде div V = 0. Желая проверить наличие или отсутствие членов с якобианами в лагранжевом уравнении неразрывности, в 2010 году [7] я провел вывод уравнения при замене точного экспоненциального закона движения жидкой частицы параболическим законом. Оказалось, что члены с якобианами, возникающие из линейных членов закона движения, формально пропадают, компенсируясь квадратичными членами. Однако линейные
и квадратичные члены обладают различной физической природой происхождения, и поэтому имеются условия, при которых такой компенсации не происходит. Поэтому на неустойчивом усе особой точки седла члены с якобианами, полученные Л. Эйлером, реально проявляются.
Появление в лагранжевом уравнении неразрывности несжимаемой жидкости дополнительного к div V члена при отличии его от нулевого значения означает, что среда в этом месте должна проявить сжимаемость, изменив плотность, давление и испустить при этом звуковую волну. Режим ее распространения и интенсивность можно получить, выписав аналогичное уравнение для сжимаемого газа.
1. Уравнение неразрывности при параболизации закона движения жидкой частицы. Из анализа решений обыкновенных дифференциальных уравнений известно о неустойчивости течения в окрестности неустойчивого уса особой точки типа седла. Доказательство этого производится на основании теоремы Ляпунова о неустойчивости. Рассмотрим поведение лагранжева уравнения неразрывности в области неустойчивости для плоского двухмерного течения несжимаемой жидкости, имеющего общий вид
д х / д х, д х / д у,
Ь = 1. (1) д у / д хь д у / д уь Здесь х, у — координаты жидкой частицы в текущий момент времени г в декартовой системе координат, а х уь — начальные координаты жидкой частицы в момент времени г = 0. Закон движения жидкой частицы х = х (г), у = у (г) находится из решения системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений: d х / d t = а х + Ь у, dy / d t = с х + к у
с начальными условиями х = хь, у = уь при г = 0. Здесь постоянные коэффициенты а, Ь, с, к являются производными компонент скорости вдоль осей х, у:
а = д и / д х, Ь = д и / д у, с = д V / д х, а = д V / д у.
Для окрестности особой точки типа седла решение системы дифференциальных уравнений содержит экспоненциальные функции:
х = {[(>2 - а) / (> - >1)] ехР 0 ^ - [(> - а) / (> - >1)] ехР ^ ¿2)} хь + + {[Ь / (>2 - >1)] [ехр ^ - ехр ^ ¿1)]} уь, (2)
У = [(> - а) (>2 - а) / (Ь (>2 - >1))] [ехР ^ ¿1) - ехР (t ¿2)] хЬ + + {[(>2 - а) / (>2 - >1)] еХР (t ¿2) - [(>1 - а) / (>2 - >1)] еХР (t ¿1)} Уь,
где
> = 0/2) [а + к + ((а - к)2 + 4 Ь с)0 5], >2 = [а + к - ((а - к)2 + 4 Ь с)0 5]. Выражения (2) содержат зависимости от трех аргументов — начальных координат жидкой частицы хь, уь, времени ее движения t и являются законом движения жидкой частицы в лагранжевом представлении. Для получения лагранжева уравнения неразрывности необходимо взять от выражений (2) частные производные по начальным координатам хь, уь и подставить их в левую часть уравнения (1).
Для демонстрации характера и причин неустойчивости разгоняющегося по экспоненте течения в окрестности неустойчивого уса седла заменим экспоненты формул (2) параболами:
ехр ^ ¿1) ~ 1 + > г + >12 г2 / 2,
ехр (t ¿2) ~ 1 + >2 t + >22 г2 / 2.
Для координаты х получим:
х = {[^ - а) / ^ - (1 + ^ г + Г2 / 2) - [^ - а) / ^ - (1 + ¿2 X + + ^22 X2 / 2)} ^ + [Ъ / ^ - [^ - 5^ X + (^22 - 5^) X2 / 2] уь. Для нахождения производных д х / д х д х / д уь вычислим сначала некоторые комплексы, необходимые для их записи:
(¿2 - а) / (^2 - - (5 - а) / С*2 - = 1,
5 - а) 51 / (52 - - (5 - а) ¿2 / (52 - = (5 ¿2 - а 51 - ¿2 + а S2) / (^2 - = ^
(52 - а) ¿12 / (52 - ¿1) - (5 - а) 522 / (52 - ¿1) = - ¿1 ¿2 + а (5 + 52^ 51 52 = а к - Ъ с,
51 + 52 = а + к.
Производные будут иметь вид: д х / д хь = 1 + а X - (а к - Ъ с) X2 / 2 + а (а + к) X2 / 2, д х / дуь = Ъ X + Ь (^ + 52) X2 / 2 = Ъ X + Ъ (а + к) X2 / 2. Для координаты у получим:
у = {(51 - а) (52- а) / [Ь (52- 51)]} [(52- ¿1) X + (¿22 - 512) X2 / 2] хь + + {[(52 - а) / (52 - 51)] (1 + 52 X + ¿22 X2 / 2) - [(51 - а) / ^ - (1 + 5 X + 5^ X2 / 2)} Уь. Для нахождения производных д у / д х д _у / д уь вычислим сначала некоторые комплексы, необходимые для их записи:
(51 - а) (52 - а) (51 - 52) / [Ъ (52 - 51)] = С
(51 - а) (52 - а) (512 - 52) / [Ъ (52 - 51)] = с (а + к),
(52 - а - 51 + а) / (52 - 51) = 1, [(52 - а) 52 - (51 - а) 51] / (52 - 51) = k,
[(52 - а) 522 - (51 - а) 512] / (52 - 51) = - (а к - Ъ с) + к (а + к). Производные будут иметь вид: д у / д хь = с X + с (а + к) X2 / 2, д у / д у ь = 1 + к X - (а к - Ы) X2 / 2 + к (а + к) X2 /2. Лагранжево уравнение неразрывности будет иметь вид: [1 + а X - (а к - Ъ с) г2 / 2 + а (а + к) X2 /2], [1 + к X - (а к - Ъ с) X2 / 2 + к (а + к) X2 / 2] -- [Ъ X + Ъ (а + к) X2 / 2] [с X + с (а + к) X2 / 2] = 1.
Раскроем скобки, пренебрегая слагаемыми с порядком по X большим, чем t2. Получим:
1 + (а + к) X + [(а к - Ъ с) - (а к - Ъ с)] X2 + (а + к)2 г2 / 2 = 1. Сократив единицы слева и справа и разделив уравнение на г, получим: div V + [д (и, V) / д (х, у) - д (и, у) / д (х, у)] X + ^ V)2 X / 2 = 0. Л. Эйлер вывел это уравнение для случая линейного по координатам изменения компонента скорости, когда отношения приращений функций к приращениям аргументов А и / А х, А и / А у и т.д. совпадают со значениями частных производных д и / д х, д и / ду и т.д. Поэтому в терминах, использованных Р. Беллманом [1], конечно-разностное уравнение Эйлера можно именовать дифференциально-разностным и записывать, заменив в нем отношения приращения функций и аргументов производными. Разностный характер этого уравнения связан с приращением времени А г, присутствующим множителями у якобианов второго порядка. Общий вид лагранжева уравнения неразрывности в виде определителя, приравниваемого к единице (1), для плоского двухмерного течения подразумевает, что в начальный момент времени г = 0
контрольная фигура в форме квадрата имела единичную площадь. Через время А г, когда квадрат за счет деформаций превратится в параллелограмм, его площадь вычисляется по формуле векторного произведения двух векторов. Таким образом, время деформации отсчитывается от времени занятия жидкими частицами их начальных координат: х = хь, у = уь, при г = 0.
Вывод волнового уравнения использует производную от лагранжева уравнения неразрывности по времени г. Поэтому в дифференциально-разностном уравнении время деформации А г можно обозначать также через г.
Отбросив член, пропорциональный квадрату дивергенции скорости как малый, получим для лагранжева уравнения неразрывности при замене экспонент параболами формулу:
div V + [д (и, у) / д (х, у) - д (и, у) / д (х, у)] t = 0.
В ней и выше в ее выводе подчеркнуты члены, возникшие в результате учета ускорения в законе движения жидкой частицы. В начальный момент деформации контрольной фигуры при г ^ 0 лагранжево уравнение неразрывности имеет вид уравнения неразрывности в переменных Эйлера div V = 0. С течением времени по мере роста г при нулевом значении разности: д (и, у) / д (х, у) - д (и, у) / д (х, у) члены с якобианами возрастают по абсолютной величине, хотя и компенсируют друг друга. Достаточно небольших отклонений в величине этих членов, имеющих различную природу, чтобы течение потеряло устойчивость, и в уравнении неразрывности проявился бы член с якобианом.
Мы использовали параболизацию экспоненциальных функций для демонстрации причин и характера неустойчивости течения жидкости вдоль неустойчивого уса седла. В этом случае ускорение жидкой частицы вынуждено изменяться от времени по экспоненциальному, очень быстро возрастающему закону. Ввиду ограниченности сил в потоке, согласно второму закону Ньютона, бесконечно больших ускорений обеспечено быть не может. Поэтому на излете неустойчивого уса седла ускорение вынуждено возрастать медленнее, а потом вообще прекратиться. Член с якобианом, полученный Эйлером в конечно-разностной форме уравнения неразрывности в 1752 году, может реально проявляться в физических и гидродинамических процессах. Увидеть его реальное проявление можно в акустическом волновом уравнении Филлипса.
2. Сопоставление конечно-разностного уравнения неразрывности Эйлера с волновым уравнением Филлипса. В 2006 г. было выписано конечно-разностное уравнение неразрывности с дополнительным членом, содержащим якобиан, для сжимаемого газа [6]. С его использованием методом акустической аналогии Лайтхилла в форме Голдстейна было получено неоднородное волновое уравнение, содержащее в правой части член, отражающий генерацию звука потоком газа. Для трехмерного течения правая часть содержит три якобиана второго порядка и имеет вид [7: с. 57]:
р0 {[(д и / д х) (д V / ду) - (д и / ду) (д V / д х)] + [(д V / ду) (д н> / д г) --(д V / д г) (д ы / ду)] + [(д ы / д г) (д и / д х) - (д w / д х) (д и / д г)]}, где р0 — плотность газа.
В случае, когда скорость деформаций сдвига сильно превышает скорости деформаций растяжения и сжатия, первые слагаемые в каждом из якобианов пропадают, и из этого выражения получается правая часть волнового уравнения Филлипса, представленная в монографии А.Г. Мунина, В.М. Кузнецова, Е.Л. Леонтьева [5: с. 67 ур. (2.13); 8: с. 41].
(д u / дy) (д v / д x) + (д v / д z) (3 w / дy) + (д w / д x) (3 u / д z).
Плотность газа p0 находится в знаменателе левой части уравнения Филлипса, поэтому в правой части отсутствует.
Заключение. Волновое уравнение Филлипса, полученое в 1960 году, на протяжении 50 лет многократно сопоставлялось с результатами акустических экспериментов и показало хорошее с ними согласование. Поэтому можно говорить о реальном проявлении членов с якобианами конечно-разностного уравнения неразрывности, выведенного Л. Эйлером.
Литература
1. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений / Р. Беллман. - М.: УРСС, 2003. - 215 с.
2. Бубнов В.А. Кинематика жидкой частицы / В.А. Бубнов // Проблемы аксиоматики в гидрогазодинамике: сб. ст. - Вып. 7. - М.: Прометей, 1999. - С. 11-29.
3. Бубнов В.А. Некоторые замечания о потенциальных гидродинамических течениях / В.А. Бубнов // Вестник МГПУ. Серия «Естественные науки». - 2010. - № 2 (6). -С. 7-13.
4. Бубнов В.А. Физические принципы гидродинамических движений / В.А. Бубнов // Проблемы аксиоматики в гидрогазодинамике: сб. ст. - Вып. 4. - М.: Прометей, 1997.- С. 206-269.
5. Мунин А.Г. Аэродинамические источники шума / А.Г. Мунин, В.М. Кузнецов, Е.Л. Леонтьев. - М.: Машиностроение, 1981. - 248 с.
6. Овсянников В.М. Введение в аксиоматическую механику жидкости, основанную на базисных экспериментах с жидкостью / В.М. Овсянников // Проблемы аксиоматики в гидрогазодинамике: сб. ст. - Вып. 15. - М.: Прометей, 2006. - С. 19-51.
7. Овсянников В.М. Конечно-разностное уравнение неразрывности Леонарда Эйлера / В.М. Овсянников // Проблемы аксиоматики в гидрогазодинамике: сб. ст. -Вып. 20. - М.: Прометей, 2010. - 120 с.
8. Овсянников В.М. Конечно-разностное уравнение неразрывности Леонарда Эйлера. Продолжение раздела 5 / В.М. Овсянников // Проблемы аксиоматики в гидрогазодинамике: сб. ст. - Вып. 21. - М.: Прометей, 2010. - С. 37-50.
9. Овсянников Л.В. Общие уравнения и примеры / Л.В. Овсянников // Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей. - Новосибирск: Наука, 1967. - C. 5-75.
Literatura
1. Bellman R. Teoriya ustojchivosti reshenij differenciaTny'x uravnenij / R. Bellman. -M.: URSS, 2003. - 215 s.
2. Bubnov V.A. Kinematika zhidkoj chasticzy' / V.A. Bubnov // Problemy' aksiomatiki v gidrodinamike: sb. st. - Vy'p. 7. - M.: Prometej, 1999. - S. 11-29.
3. Nekotory'e zamechaniya o potencial'ny'x gidrodinamicheskix techeniyax / V.A. Bubnov // Vestnik MGPU. Seriya «Estestvenny'e nauki». - 2010. - №. 2 (6). - S. 7-13.
4. Bubnov V.A. Fizicheskie principy' gidrodinamicheskix techenij / V.A. Bubnov // Problemy' aksiomatiki v gidrodinamike: sb. st. - Vy'p. 4. - M.: Prometej, 1997. - S. 206-269.
5. MuninA.G. Ae'rodinamicheskie istochniki shuma / A.G. Munin, V.M. Kuzneczov, E.L. Leont'ev. - M.: Mashinostroenie, 1981. - 248 s.
6. Ovsyannikov V.M. Vvedenie v aksiomaticheskuyu mexaniku zhidkosti, osnovannuyu na bazisny'x e'ksperimentaz s zhidkost'yu / V.M. Ovsyannikov // Problemy' aksiomatiki v gidrogazodinamike: sb. st. - Vy'p. 15. - M.: Prometej, 2006. - S. 19-51.
7. Ovsyannikov V.M. Konechno-raznostnoe uravnenie neprery'vnosti Leonarda E'jlera / V.M. Ovsyannikov // Problemy' aksiomatiki v gidrodinamike: sb. st. - Vy'p. 20. - M.: Prometej, 2010. - 120 c.
8. Ovsyannikov V.M. Konechno-raznostnoe uravnenie nepreryvnosti Leonarda E'jlera Prodolzhenie razdela 5 / V.M. Ovsyannikov // Problemy' aksiomatiki v gidrodinamike: sb. st. - Vy'p. 21. - M.: Prometej, 2010. - S. 37-50.
9. Ovsyannikov L.V. Obshhie uravneniya i primery' / L.V. Ovsyannikov // Zadacha o neustanovivshemsya dvizhenii zhidkosti so svobodnoj granicej. - Novosibirsk: Nauka, 1967. - S. 5-75.
V.M. Ovsyannikov
Identity of the Right Part of Phillips's Wave Equation of Sound Generation
with an Additional Member of Euler's Finite Difference Continuity Equation
Acousticians are still at a loss concerning the issue of the origin of the sound in a flow of liquid or gas. Many of them suppose that neither member of hydro-dynamics differential equations system can't be treated as responsible for sound generation, the latter produced by members of finite difference continuity equation, belonging to a higher order of deformation period of a check piece and withdrawing while passing over to differential equations. The paper is devoted to identification of these members and demonstration of their experimental attestation through Phillips's wave equation.
Key-words: Lagrangean continuity equation; unstable flow; equilibrium point; wave equation.
