О влиянии вязких нормальных напряжений на характер распределения механической энергии в гидродинамических потоках Текст научной статьи по специальности «Математика»

Актуальные проблемы

ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

В.А. Бубнов

О влиянии вязких нормальных напряжений на характер распределения механической энергии в гидродинамических потоках

В работе рассматривается вопрос о некорректности совместного использования уравнений Навье-Стокса и уравнения неразрывности при изучении движений вязкой несжимаемой жидкости. Анализируется влияние вязких нормальных напряжений на характер распределения механической энергии в гидродинамических потоках.

Ключевые слова: уравнение неразрывности; вязкая жидкость; механическая энергия.

Т

радиционно при изменении движений вязкой несжимаемой жидкости используются уравнения Навье-Стокса и уравнение неразрывности. Форма уравнений Навье-Стокса общеизвестна:

йы дР п2

р— =----------+ иУ ы,

йХ дх

йу дР \-~i2 пл

Р^ = “^Г + ^У V ^. (1)

йХ ду

йм дР ^2

р— =----------+ иУ ж

йХ дг

При написании системы уравнений (1) использованы общеизвестные операторы

й д д д д ^2 д2 д2 д2

— =-----+ Ы----+ V---+ М —, V =------— +---— +---2,

йХ дг дх ду дг дх ду дг

а также приняты обозначения: р — плотность жидкости, и, V, н — составляющие гидродинамической скорости V вдоль координатных осей х, у, z соот-

ветственно, Р — гидростатическое давление, // — вязкость жидкости.

При выводе уравнений (1) из так называемых уравнений в напряжениях динамики частицы жидкости использована гипотеза Стокса, которая для нормальных напряжений Ох, Оу, о? такова:

г. ды „ ду „дм

^х = -р + 2и—, °у =-р + , °г = -р + , (2)

дх ду д1

а для касательных напряжений Ту Ту? Тх? имеет следующий вид:

Txy = И

du dv

■ + -

dy dx) I dz dy

dv dw

- + -

f dw du і , .

= "I.1X + Й1' <3)

Традиционно в гидродинамике считается, что в условиях несжимаемой жидкости (р = const) в трех уравнениях (1) содержатся четыре неизвестных: р, u, v, w, для определения которых необходимо дополнительное уравнение. В качестве такого дополнительного уравнения используется уравнение неразрывности:

^L+^+^W = о. (4)

dx dy dz

С точки зрения аналитической механики материальной точки уравнения (1) суть уравнения динамики частицы жидкости, а уравнение (4) определяет кинематические характеристики частицы жидкости. В рамках первой задачи механики материальной точки, когда по ее кинематике уравнения динамики служат для определения сил, вызывающих движение точки, необходимо и в случае частицы жидкости определить по (4) ее поле скоростей, которое из уравнений (1) определит гидростатическое давление р как поверхностную силу, формирующую указанное поле скоростей.

В рамках таких представлений традиционную постановку гидродинамических задач нельзя признать корректной.

Более того, впервые Н.Е. Жуковскский [4], излагая свою методику вывода уравнения неразрывности, показал, что уравнение неразрывности в форме (4) выполнимо при следующих дополнительных кинематических соотношениях:

du dv „ dv dw „ dw du

— + — = 0, — + — = 0, — + — = 0.

dy dx dz dy dx dz

Более подробно проблема построения уравнения неразрывности исследована в работах [1-2].

Учет соотношений (5) при анализе кинематических соотношений гидродинамических течений означает равенство нулю касательных вязких напряжений, определяемых по формулам (3). Равенство же нулю касательных напряжений означает, что при выводе уравнений (1) в их вторые слагаемые правых частей введены нулевые соотношения (5).

Это еще раз свидетельствует о некорректности такой постановки гидродинамических задач, когда разыскиваются решения системы (1) совместно с уравнением (4).

Для исключения из вторых слагаемых правых частей нулевых соотношений (5) в выражения У2у, введем соответственно следующие нулевые члены:

( ШуУ ) = 0, — ( ШуУ ) = 0, — ( ШуУ ) = 0.

дх

Тогда, произведя соответствующие преобразования в указанных выражениях с учетом (5), получаем:

ёы дР _ д2ы

Р— =---------+ 2^—^.

& дх дх

ёу дР _ д2у

р = ~^- + 2^^Г> \ . (6)

& ду ду

ём дР _ д2м

Р— =----------+ 2^—-

& д? д?

В системе уравнений (6) отсутствуют вязкие касательные напряжения, а присутствуют только нормальные.

Заметим, что систему (6) можно получить также из уравнений в напряжениях динамики частицы жидкости, если в них Ох, Оу, о? определять по (2), а Тху, Ту?, Тх? положить равным нулю.

Введем компоненты вихря £ п, С по осям координат соответственно:

Ґ

дм ду

ду ді

\

1 ( ди дм

Ґ

ду

дх

ди ^ ду

после чего общеизвестным преобразованием систему (6) представим так:

/ „ ч дН 2 д2и

2 (п-с" ) = -аГ+1 дХ2'

2(Си-{") = -дН + 7ГдУ2’><' (7)

ду Ке ду2

, \ дН 2 д2 м

2 ^-пи )=-^+^ •

В уравнениях (7) все величины безразмерны. При обезразмеривании в качестве масштаба скорости взята характерная скорость и, переменные х, у, z обезразмерены с помощью характерной длины Ь, а величина гидростатического давления масштабирована величиной рШ2. Результатом такого обезразмери-

вания стало появление безразмерного параметра 1 = риЬ

называемого числом

М

Рейнольдса. Кроме того, в системе (7) введена величина, называемая полной механической энергией.

Система уравнений (7) упрощается в двух случаях. Во-первых, когда £ п, С = 0, что соответствует так называемым потенциальным течениям жид-

кости. Во-вторых, в случае течений, открытых впервые профессором Казанского университета И.С. Громекой (1851-1889) в его докторской диссертации «Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости» [3]. В этих течениях, называемых винтовыми, имеет место пропорциональная зависимость между скоростями и компонентами вихря в форме следующих соотношений:

„ дм ду . ды с№ . ду ды

Лл =--------, Лу =--------------------------------------------------, Лл =-, (8)

ду д? д? дх дх ду

где параметр X суть постоянная величина.

Для указанных случаев система уравнений (7) упрощается так:

дН 2 д2ы дН 2 д2у дН 2 д2м

dx Re dx dy Re dy dz Re dz

(9)

Если в соотношениях (9) число Рейнольдса устремить к бесконечности, то соотношения (9) упрощаются и принимают вид:

Н = 0, дН = 0, дН = 0. (10)

дх ду д?

Из (10) следует, что функция Н не зависит от переменных x, y, z, т. е. по отношению к этим переменным функция

V2

H = р + — = const. (11)

Соотношение (11) в гидродинамике называется интегралом Д. Бернулли, который получен из уравнений движения идеальной (невязкой) жидкости в форме Эйлера.

В рамках первой задачи механики система уравнений (9) служит для определения поверхностных сил, вызывающих движение жидкости. Применительно к жидкой частице такой силой в (9) является гидростатическое давление как сила, отнесенная к элементарной площади.

Для анализа кинематических соотношений частицы жидкости рассмотрим случай безвихревых или потенциальных потоков, т. е. когда £ = щ = Z = 0. Для них можно ввести функцию ф потенциала скоростей следующим образом:

дю дю дю

и = —, v = —, w = —. дх ду dz

Подстановка этих значений скоростей в уравнение неразрывности (4) приводит к общеизвестному уравнению Лапласа для определения функции ф:

_2 д2ю д2ю д2ю , ч

у2Ю = 1ТГ + ТГ + ТГ. (!2)

дх ду dz

Уравнение (12) имеет решение:

Ю = -Q, r = ylх2 + у2 + z2, (13)

r

которое описывает течение жидкости, симметричное относительно начала прямоугольной системы координат. В этом решении постоянная величина Q есть расход через единицу поверхности сферы радиуса, равного единице.

Для решения (13) составляющие гидродинамической скорости V таковы:

u =

xQ. yQ

u =

u =

zQ

r r r

которые соотношения (9) приводят к следующему виду:

(15x3 - 9x2r2)

dH

dx

dH

dy

dH

dz

2Q

Re

2Q

Re

2Q

R

(15 y3 - 9 y2 r2) r7

(l5z3 -9z2r2)

(14)

Из уравнений (14) следует, что для такого потока интеграл Бернулли (11) может иметь место при конечных значениях числа Рейнольдса, если г ^ ю.

При анализе винтовых движений используются кинематические соотношения (4) и (8). В частности, И.С. Громека в [3] проанализировал движение жидкости, поле скоростей которого зависит только от двух прямоугольных координат у и ?. Это и есть случай прямолинейного равномерного движения потока по прямому каналу прямоугольного поперечного сечения, с продольной осью параллельной оси х декартовой системы координат. Ширина такого канала по оси у равна Ь, а высота канала по оси ? равна a. Примем, что поток жидкости движется в канале равномерно со скоростями ы, параллельными оси х и одинаковыми в соответственных точках всех поперечных сечений канала по его длине. Тогда возможное винтовое движение жидкости в канале на основании уравнений (8) обусловлено соотношениями:

Ли =

dw

dy

dv

dz'

Áv =

du

dz'

Áw =

du

dy

(15)

Продифференцируем второе соотношение в (15) по ?, а третье — по у, и результат указанного дифференцирования подставим в первое из соотношений (15). Тогда будем иметь уравнение для определения скорости ы:

д 2u д 2u 2

— + — + Á2u = 0. dy2 dz2

Решение этого уравнения Громека нашел в виде: u = sin (ay ) sin (fiz ),

(16)

причем между числами а и в имеет место следующая связь с параметром X: а2 + в2 = X2. Решение (17) позволяет из последних двух соотношений (15) найти:

в a

v = — sin (ay) cos (в2), v =— cos (ay) sin (fiz). (18)

Л Л

Выражения (17)—(18) позволяют уравнения (9) представить так:

H = 0,

dx

dH la2p . ( ч в ч

- -sin (ay) cos (pz),

dy ARe

dH __ lap1 dz AR„

cos

(ay) sin (Pz).

(19)

Из соотношений (19) следует, что в рассматриваемом течении интеграл Бернулли имеет место, когда параметр X стремится к бесконечности.

Более подробный анализ рассмотренного винтового течения жидкости проделан в [5].

Литература

1. Бубнов В.А. Замечания к выводу уравнения неразрывности гидродинамических течений // Вестник МГПУ. Серия «Естественные науки». 2011. № 2 (8). С. 7-15.

2. Бубнов В.А. Кинематические соотношения частицы жидкости при ее деформационном движении // Физическое образование в вузах. Т. 18. 2012. № 3. С. 111-119.

3. Громека И.С. Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости. Казань, 1881.

4. Жуковский Н.Е. Кинематика жидкого тела // Жуковский Н.Е. Полное собрание сочинений. Т. 2. М.-Л.: ОНТИ-НКТП СССР. 1935. С. 7-145.

5. Милович А.Я. Основы динамики жидкости. М.-Л.: Гос. энерг. изд., 1938. 157 с.

Literatura

1. Bubnov VA. Zamechaniya k vy’vodu uravneniya nerazry’vnosti gidrodina-micheskix techenij // Vestnik MGPU. Seriya «Estestvenny’e nauki». 2011. № 2 (8). S. 7-15.

2. Bubnov V.A. Kinematicheskie sootnosheniya chasticzy’ zhidkosti pri ee deforma-cionnom dvizhenii // Fizicheskoe obrazovanie v vuzax. T. 18. 2012. № 3. S. 111-119.

3. GromekaI.S. Nekotory’e sluchai dvizheniya neszhimaemoj zhidkosti. Kazan’, 1881.

4. Zhukovskij N.E. Kinematika zhidkogo tela // Zhukovskij N.E. Polnoe sobranie so-chinenij. T. 2. M.-L.: ONTI-NKTP SSSR, 1935. S. 7-145.

5. Milovich A.Ya. Osnovy’ dinamiki zhidkosti. M.-L.: Gos. e’nerg. izd., 1938. 157 s.

V.A. Bubnov

Influence of Viscous Standard Strains on Mechanical Energy Distribution in Hydro-dynamic Flows

The article dwells upon the issue of incorrect concurrent use of the Navier-Stokes equations and continuity equation to study viscous incompressible liquid. It analyzes the impact of viscous normal tension on the character of mechanical energy partition in hydrodynamic flows.

Keywords: continuity equation; viscous liquid.