Об учете объемной вязкости в гидродинамических течениях Текст научной статьи по специальности «Физика»

В.А. Бубнов

Об учете объемной вязкости в гидродинамических течениях

Рассматриваются кинематические условия гидродинамических течений несжимаемой жидкости, при которых следует учитывать влияние сил вязкости только посредством нормальных напряжений. Приводятся числовые значения коэффициента объемной вязкости, полученные из акустических измерений.

Ключевые слова: деформационное движение; кинематические условия; объемная вязкость; уравнение движения.

При изучении гидродинамических течений предполагается, что движение частицы жидкости может быть разложено на три движения: поступательное со скоростью ее центра, вращательное относительно оси, проходящей через этот центр, и движение с потенциалом скоростей, при котором центр неподвижен.

Изложенная модель движения частицы строится так: применительно к жидкой частице выбирают начало прямоугольных осей координат х, у, z в какой-нибудь точке О движущейся жидкой массы и обозначают через и0, v0, w0 компоненты относительно этих осей скорости точки О, а через и, V, w — подобные компоненты других точек жидкости. Допустим, что и, V, w суть непрерывные функции, которые для точек, весьма близких к О, могут быть разложены в ряд Тейлора по х, у, 2. Это условие непрерывности компонентов скорости позволяет, несмотря на все разнообразие движений жидкости, установить некоторые общие законы движения бесконечно малой ее части, прилегающей к точке О. Такую бесконечно малую часть жидкости Н.Е. Жуковский (1847-1921) назвал частицей жидкости, а точку жидкости О, лежащую внутри частицы, — ее центром [2].

Разлагая и, V, w в ряд Тейлора по бесконечно малым координатам х, у, 2 и отбрасывая бесконечно малые члены выше первого порядка, представим скорости точек частицы жидкости следующими линейными функциями координат:

д и д и д и

и = ип +---х +-----у +---2

0 д х д у д 2

д V д V д V

V = ^ +-----х +-----у +----2 ,

д х д у д г

ди ди ди

^ +----х +-----у +----г

0 д х д у д г

Преобразуем первую из этих формул:

д ы 1

—х+— д х 2

Г д ы д у'''

д у д х

У +

1

1

+ —

2

д z д х

1

z — 2

ду ды д х д у

2

У ,

ды д w

------1------

д z д х

\

z +

и, сделав такие же преобразования с другими, предположим что

д ы д у д

д х

- — £

д у

д г

- — £

дw д у д ы д ^ д у д ы

—+ — — 26, — +-— 26, — + — — 26,,

д у д г д г д х д х д у

д w д у „ ------------— 2т

д у д г Тогда найдем:

д ы д w _ д у д ы _ ---------—2т у,-----------—2т г.

д г д х у д х д у

ы — ы0 +т г-т2у +

у — у„ + тх -тг

д ^ ; д х ’ д ^ ; д у ’ д ^

w—^ +ту-тух+

д у

(2)

где

¥ — 1 х 2 +£2 у 2 +£3 г 2 + 2 6 уг + 2 62 гх + 2 63 ху ).

(3)

Формулы (2) впервые были получены Г. Гельмгольцем (1821-1894) в 1858 году. Они показывают, что движение частицы жидкости может быть разложено на три движения: поступательное со скоростью ее центра, вращательное относительно оси, проходящей через этот центр, и движение с потенциалом скоростей, при котором центр неподвижен.

Величины Юх, Шу, , входящие в (2), суть компоненты угловой скорости

вращения частицы.

Отбросив поступательное и вращательное движение частицы, исследуем третье ее движение, которое называют деформацией, так как только от него зависит изменение вида частицы. Деформация может быть рассматриваема как движение частицы относительно подвижных осей координат, которые имеют то же поступательное и вращательное движение, как и частица жидкости.

Ради удобства письма подвижные оси координат будут обозначаться теми же символами х, у, г, так что скорости деформационного движения выразятся формулами

dх — д¥ dy — д¥ dz — д¥

dt дх ’ dt ду ’ dt дг (4)

Формула (3) представляет уравнение центральной поверхности второго порядка. Для нее справедливо соотношение

5Р дР 5Р _ „

х-----ь у----ь г---= 2 Р, (5)

дх су дг

установленное Л. Эйлером.

Из теории поверхностей второго порядка известно, что если за оси координат приняты диаметры, попарно сопряженные, то уравнение поверхности будет содержать только члены с квадратами координат. Такие направления называются главными, а в теории деформационного движения их называют осями деформации.

Известно также, что для перехода от осей х, у, г к осям деформации £, щ, С необходимо равенство нулю следующего определителя третьего порядка, составленного из коэффициентов многочлена (3),

£—А в3 в2 в3 £2-А в

в2 в1 £3 - А

= 0. (6)

После вычисления определителя в (6) получается кубическое уравнение относительно X

А — (£, +£, +£3)А +(£,£2 +£,£3 +£,£3 —в, —в, —вз "А —

(7)

— (££2£3 + 2в1в2в3 -£1в12 -г2в22 -г3в32)=0.

Очевидно, что при поиске конкретных значений указанных корней между кинематическими характеристиками частицы жидкости возникнут определенные соотношения, которые и могут быть использованы для определения поля скоростей деформационного движения.

Действительно, Н.Е. Жуковский в своей магистерской диссертации «Кинематика жидкого тала», относящейся к 1876 г., разыскивал корни уравнения (7) при условии, что

в, =в2 =в3 = 0. (8)

В этом случае [1] соотношения между корнями X,, Х2, Х3 и характеристиками деформационного движения є1, є2, є3 принимают вид:

А + А + А =£ + £ + £,

А1А2 + АА3 + А2А3 = £1£2 + £1£3 + £2£3 , А1А2А3 = £1£2£3.

(9)

Из соотношений (9) очевидны значения корней уравнения (7):

Л = £1 , Л2 = , Л3 = £3 . (10)

Условия (8) позволяют поверхность расширения (3) переписать так:

р — 2 (£1х+£2 у 2+£г 2) (11)

которая в рамках ограничений (8) совпадает с уравнением той же поверхности, отнесенным к главным осям £, щ, С. Последнее означает, что любая пря-

моугольная система координат х, у, z совпадает с осями деформации, если выполняются ограничения (8).

Ранее показано, что выражения для в1, в2, в3 в раскрытом виде таковы:

дм ду

02 = 1

ди дм

уду д г) 2 ^д г д х) 2 ^д х д у

03 =1

(12)

Следовательно, ограничения (12) позволяют установить три дифференциальных уравнения в частных производных для определения скоростей и, V, ж

д м д V „ д и д м „ д V д и „ „ „

— + — = 0, — + — = 0, — + — = 0. (13)

д у д г д г д х д х д у

Известно, что величины в1, в2, в3 определяют три скольжения без вращения, направления которых суть координатные линии оу , ог, ох, а оси скольжения — координатные линии ох, оу, ог. Поэтому условия (13) означают, что в данном случае частица жидкости только удлиняется по направлению координат на величины е1 , е2, е3 [1].

Для вычисления коэффициента кубического расширения частицы жидкости предположим, что она имеет форму бесконечного малого шарика, уравнение которого есть

% 2 + п2 + С 2 = а2 (14)

и определяем ее вид по прошествии времени &?. Теперь точка жидкой частицы, имеющая координаты %, п, £ будет по прошествии времени & иметь координаты:

х1 = £ + с1% = £ (1 + Л&1),

у1=п +1 = п (1 + Л2), г1= ^ + 1" = С (1 + Л3).

Определив отсюда %, п, т, и подставив их в уравнение сферы (14), получим

уравнение эллипсоида:

2 2 2 х ■ 21 ■ 21 = 1. (15)

а 2(\ + А& ) а 2(\ + Л2 2 ) а 2(1 + ^ & )

Объем сферы (14) будет

V = — па3,

0 3

а объем эллипсоида (15):

4

у = =' =а3 (1 + Л-!)(1 + Л2)(1 + Лз3?).

Под коэффициентом кубического расширения принято считать следующую величину

0=лу = у - у,. (16)

УЛ у0&

Вычисление правой части формулы (16) с учетом (10), (15), (16) приводит к общеизвестному в гидродинамике уравнению неразрывности

ди+ду + е* = 0 (17)

дх ду дг при условии, что в = 0.

В рамках проделанных рассуждений кинематические соотношения (13) и (17) определяют поле скоростей деформационного движения частицы жидкости.

После нахождения поля скоростей жидкой частицы можно приступить к вычислению поверхностных сил, действующих на частицу жидкости.

Для этого при составлении уравнений движения частицы жидкости необходимо исходить из основного закона механики, согласно которому масса частицы, умноженная на ускорение, равна сумме всех сил, действующих на частицу. Из всех сил рассмотрим только поверхностные силы — силы давления и силы трения.

Известно, что поверхностные силы, отнесенные к единице объема деформируемого тела, определяются девятью скалярными величинами, совокупность которых составляет тензор напряжений.

В этом случае уравнения движения частицы, спроектированные на оси х, у, г имеют вид:

Р

Р

ёи дРх дт і ^ . дт*1

dt дх ду 1 дг '

dv _дТху дРу +—- д +

dt дх ду дг

dw дт _ Х2 + дТуг + дРі

dt дх ду дг

(18)

Здесь через рх, ру, рг обозначены нормальные напряжения, а через ту, т ,т — касательные.

хг уг

Из нормальных напряжений гидростатическое давление р выделяется следующим образом:

Р, = -Р + ох, Ру = -Р + °у, Р, = -Р + О ■

Согласно воззрениям Дж.Г. Стокса, оставшиеся слагаемые ах мальных напряжений так же, как и касательные напряжения ту, тг от вязкости и от кинематических характеристик жидкой частицы.

Стокс определил все касательные напряжения так:

(19)

о , о нору г А

т , зависят

= М

= м

= м

д и д V

------1-----

д у дх

дv д w

------+

д г д у д w д и

------+

д х д г

(20)

где через и обозначен коэффициент сдвиговой вязкости.

Из формул (20) следует, что кинематические соотношения (13) образуют в нуль величины касательных напряжений.

Для такого класса движений уравнения движения частицы жидкости (18) с учетом формул (19) принимают вид:

йи др —— + д°х

дх ах

|Чз + дау (21)

& ду ду ’

йм 1 |Чз + да

& дz дz \

где полная производная по времени слева определяется так:

й д д д д . л

— =----+ и---+ V----+ w—. (22)

й1 д £ д х д у д z

В уравнениях (21) явление вязкости проявляется только через нормальные напряжения ах, ау, аг , для вычисления которых по аналогии с (20) можно предложить следующие формулы:

°х = Л ^ СТу = Л ^ °2=х £. (23)

Здесь в (23) X есть так называемый коэффициент объемной вязкости, влияние которого Стокс исключил, выразив его значение через коэффициент сдвиговой вязкости.

В литературе известны случаи учета объемной вязкости в гидродинамических течениях.

Так, например, американские исследователи Т. Литовец и К. Девис в [3] при расчете коэффициента а1 поглощения ультразвуковых волн в уравнениях вязкой жидкости учли объемную вязкость. Далее разницу между опытными значениями коэффициента поглощения и вычисленными по Стоксу значениями а0 они отнесли за счет поправки на объемную вязкость X в их формуле для а1. Таким образом, они ввели следующую формулу для вычисления объемной вязкости через результаты измерения поглощения ультразвука при прохождении различных жидких сред:

Здесь а0 — коэффициент поглощения, вычисленный по формуле Стокса, а а1 — теоретический коэффициент поглощения, предложенный указанными авторами, но приравниваемый к экспериментальным значениям.

Такой подход позволил впервые косвенным путем вычислить объемную вязкость.

Литовец и Дэвис в указанной статье систематизировали огромный экспериментальный материал полученных таким образом величин объемной вязкости для многих жидкостей и представили его в виде числовых значений от-Л-

ношения — . В качестве примера приведем некоторые из указанных данных. И

Из данных таблицы 1 следует, что объемная вязкость может превышать сдвиговую даже в десятки раз.

Таблица 1

ГТ' А

Іемпературная зависимость —

М

Жидкость о С А М Жидкость о С А М

Вода 0 3,11 Этиленгликоль 43 0,91

20 2,8 24 0,92

40 2,69 5,9 0,99

60 2,72 -19,4 1,00

Азотно-кислый 262 1,80 Азотно-кислый 336 9,2

литий 287 1,93 калий 350,5 8,8

324 2,10 393 9,8

379 1,97 439 11,5

Хлористый 641 19,6 Хлористы калий 803 24,4

литий 680 23,1 834 22,8

705 26,6 892 20,2

Данные по объемной вязкости и ее зависимость от давления для воды и некоторых спиртов иллюстрирует таблица 2.

Таблица 2

Зависимость — от давления

М

Жидкость Р, ат А М Жидкость Р, ат А М

Вода 1 2,68 Этиловый 1 1,4

1 000 2,33 спирт 1 000 1,2

2 000 2,33 2 000 0,95

Метиловый 1 1,62 Н-бутиловый 1 1,08

спирт 1 000 1,31 спирт 1 000 0,96

2 000 1,19 2 000 0,85

Литература

1. Бубнов В.А. О деформационных движениях частицы жидкости / В.А. Бубнов // Вестник МГПУ. Серия «Естественные науки». - 2008. - № 1 (20). - С. 71-77.

2. Жуковский Н.Е. Кинематика жидкого тела. Полное собрание сочинений / Н.Е. Жуковский. - Т. 2. - М.-Л.: ОНТИ-НКТП, 1935. - С. 7-145.

3. Литовец Т. Структурная и сдвиговая релаксация в жидкостях. Физическая акустика / Т. Литовец, К. Девис // Свойства газов, жидкостей и растворов. - Т. 2. - Ч. А. - М.: Мир, 1968. - С. 298-370.

Literatura

1. Bubnov V.A. O deformacionny’x dvizheniyax chasticy’ zhidkosti / V.A. Bubnov // Vestnik MGPU. Seriya «Estestvenny’e nauki». - 2008. - № 1 (20). - S. 71-77.

2. Zhukovskij N.E. Kinematika zhidkogo tela. Polnoe sobranie sochinenij / N.E. Zhu-kovskij. - T. 2. - M.-L.: ONTI-NKTP, 1935. - S. 7-145.

3. Litovecz T. Strukturnaya i sdvigovaya relaksaciya v zhidkostyax. Fizicheskaya akustika / T. Litovecz, K. Devis // Svojstva gazov, zhidkostej i rastvorov. - T. 2. - Ch. A. -M.: Mir, 1968. - S. 298-370.

Bubnov, Vladimir A.

Considering Viscosity of Solids in Hydro-dynamic Flows

Kinematic parameters of incompressible fluids’ hydro-dynamic flows are affected by viscosity powers which should be considered only with the aid of direct stresses. Viscosity coefficients obtained through acoustic surveys are given.

Key-words: deformational motion; kinematic conditions; viscosity of solids; equation of motion.