Замечания к двухмерным гидродинамическим течениям Текст научной статьи по специальности «Физика»

Актуальные проблемы

ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

В.А. Бубнов

Замечания к двухмерным гидродинамическим течениям

В работе изучаются плоские гидродинамические течения, как потенциальные, так и вихревые. Для вихревых течений вводится новый класс, в котором отсутствуют вязкие касательные напряжения, а имеют место нормальные касательные напряжения наряду с силами давления. Используется аппарат теории функций комплексного переменного как в рамках эллиптической системы комплексных чисел, так и гиперболической.

Ключевые слова: потенциальная функция; функция тока; кинематика и динамика частицы жидкости; эллиптическая и гиперболическая системы комплексных чисел.

Двухмерные или плоские гидродинамические течения характеризуются двумя составляющими скорости и и V. Первая из них — суть скорости жидкости вдоль оси х, а вторая — вдоль оси у. Для определения указанных скоростей имеют место общеизвестные кинематические соотношения:

ди ^ п ^ ди п ...

— + — = 0,----------= 0. (1)

дх ду ду ду

Первое соотношение в (1) есть общеизвестная форма уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости, а второе — условие отсутствия вращения жидкости в плоскости ху. Такие течения называются потенциальными. Для них вводят потенциальную функцию ф следующим образом:

дт дт

и = , V = -^ (2)

дх ду

и функцию тока ¥ так: дЧ д^

и =----, V =-----. (3)

ду дх

При подстановке (2) и (3) в (1) получаем соотношения:

дт+д!|=о, **+ **=о, (4)

дх ду дх ду

форма которых совпадает с известным в математической физике уравнением Лапласа.

С помощью соотношений (2) и (3) составим градиенты функций ф и ¥:

т дт - дт т -gradp = г — + j — = г • " + j • v, дх ду

- д¥ т д¥ т т

grad*¥ = i----+ j---= -i • v + j • u,

дх ду

где i и j есть единичные векторы вдоль осей х и у соответственно.

Нетрудно показать, что скалярное произведение векторов grad ф и grad ¥ равно нулю. Следовательно, семейство кривых ф = const и ¥ = const взаимно ортогонально.

В рамках исходных кинематических соотношений (1) характер гидродинамических течений определяется решениями уравнения Лапласа для функции ф, учитывающими справедливость уравнения Лапласа и для функции ¥.

a

Например, функция т = —,----------г- удовлетворяет уравнению Лапласа,

2 (х2 - у2)

тогда по (2) найдем выражения для гидродинамических скоростей:

u = ax, v = - ay, (5)

которые удовлетворяют исходным соотношениям (1). Для течений (5) из известного соотношения:

dy = v =-у dx и х можно найти выражение для линий тока:

xy = const. (6)

Рассматривая выражение (6) как соотношение для функции тока ¥ = ху, легко убедиться в том, что данное ¥ удовлетворяет второму уравнению в (4). Дифференцированием по х первого уравнения в (1) и исключением из него

дv д ( дv ^

с помощью второго величины---------= — I — I получаем для определения ско-

дхду ду ^ дх )

рости и соотношение:

дд= 0, (7)

дх2 ду2

которое по форме также совпадает с уравнением Лапласа. Аналогичными преобразованиями можно из (1) получить уравнения для скорости V:

^ + ^-7 = 0. (8)

дх2 ду

Из изложенного становится очевидным, что кинематические соотношения (1) определяют только поле скоростей гидродинамических движений. Для определения же поверхностных сил, вызывающих движения жидкости, необходимо рассмотреть уравнения динамики частицы жидкости. В плоских течениях они таковы:

в

йг

дх ду

в— = йг

ху

дх ду

(9)

Здесь введен оператор полной производной по времени г:

й д д д

— =----+ и--+ V—,

йг дг дх ду

через в обозначена плотность жидкости, через ах и оу — нормальные напряжения, а через т — касательные напряжения. Указанные напряжения определяют поверхностные силы, действующие по поверхности частицы жидкости и являющиеся причиной ее движения.

Для указанных напряжений английский исследователь Дж.Г. Стокс (1819— 1903) предложил гипотезу, согласно которой:

_ ди

°х=-Р + 2^ >

дх

_ ду

7у=- р+2^;

ду

т = ц

ху Г

( ди ду ^

---------1--------

ду дх

(10)

(11)

Здесь р — гидростатическое давление, а и — молекулярная вязкость. После подстановки (10) и (11) в (9) с учетом уравнения неразрывности, получаем соотношения, известные в гидродинамике как уравнения Навье-Стокса. Для плоских течений они таковы:

йи

йг

йу

йг

1 др

( я2

=----— + V

в дх 1 др

д и д и

2

=----— + V

дх2

д 2 V

V (я2

ду2

2

д V

в ду Iдх2 ду

(12)

где через V обозначена кинематическая вязкость жидкости.

Для потенциальных течений ввиду справедливости соотношений (7)-(8) система уравнений (12) упрощается так:

1 др

йи йи

и-----+ V —

йх йу

и-------+ V—:

йх йу

в дх 1 др

в ду'

(13)

Система уравнений (13) известна как уравнения Эйлера для описания стационарных плоских течений жидкости, лишенной трения. Из этих уравнений

следует, что причина, вызывающая потенциальные течения, суть гидростатическое давление р.

Для нахождения этого давления необходимо выражения для скоростей (5) подставить в (13) и произвести интегрирование. После указанной подстановки будем иметь:

2 д^ ax = -

dx

p

Q J

2 д

a у =----------

ду

p

Q J

Теперь домножаем первое соотношение на йх, а второе на йу, объединяем их и получаем дифференциал:

d

(p a2 (x2 + у2)л

vQ + 2 J

= О,

интегрирование которого дает соотношение:

V2

p + Q— = const. (14)

Здесь, в (14), учтено, что a2 (х2 + у2) = и2 + v2 = V2.

По форме (14) совпадает с известной формулой Бернулли, согласно которой в движущейся жидкости сумма из давления и скоростного напора сохраняется вдоль линии тока. Однако (14) свидетельствует о сохранении указанной суммы в любой точке движущейся жидкости.

Двухмерные течения, кинематика которых описывается системой уравнений (1) в частичных производных, позволяют для их решения использовать аппарат теории функции комплексной переменной. Действительно, в рамках эллиптической системы комплексных чисел z = x + iy, где i = V-1, а i2 = - 1 введем функцию f (z) вида:

f (z) = и (x y) - iv (x y). (15)

Здесь, как и раньше, и — скорость жидкости вдоль оси х, а v — вдоль оси у.

При изменении аргумента z на величину A z = А х + i Ay функция f (z) изменится на величину A f (z), определяемую как:

A f (z) = A u - i A v. (16)

С другой стороны, A f (z) можно с точностью до малых величин второго порядка выразить через ее производную f' (z) так:

Af (z) = A z, (17)

где A f ' (z) — новая функция комплексного переменного z и для нее справедливо представление:

f ' (z) = a + ib. (18)

Для приращений А u и А v используем известные из анализа соотношения:

. ды . ды . . ду .

Au = —Ах +-----Ау, Av =—Ау.

дх ду ду

Теперь из (17), после приравнивания действительных и мнимых частей, будем иметь:

— Ах + — Ау = аАх - ЬАу, дх ду

Сдv ду ^

— Ах +-Ау = аАу + ЬАх.

дх ду ^

(19)

Отсюда определяем величины а и Ь определяющие/ ' (г). Они оказываются таковыми:

ды ду 1 ды 1 ду

а = —, а =-----, Ь =----, Ь =------.

дх ду ду дх

Для установления величин а и Ь необходимо положить, что:

ды ду ды ду

— =----, — = —. (20)

дх ду ду дх

Соотношения (20) назовем условиями эллиптической аналитичности функции / (г) = ы - /у, которые заменой и = и, у = - V переходят в известные условия Коши-Римана соответственно для функции / (г) = и + / V

Так как условия (20) в точности соответствуют кинематическим соотношениям (1), то любая аналитическая функция / (г) = ы - ^ в рамках эллиптической системы комплексных чисел будет представлять решение системы (1). При этом действительная часть/(г) будет скоростью ы (х, у), а мнимая — скоростью у (х, у), направление которой противоположно оси у.

В качестве примера рассмотрим функцию:

/(г) = (а + /Ь) (х + /у) = (ах - Ьу) + / (ау + Ьх). (21)

Из сравнения правых частей в (15) и (21) находим, что:

ы (х, у) = ах - Ьу; у (х, у) = - (ау + Ьх). (22)

Если в (22) положить Ь = 0, то выражения (22) перейдут в формулы (5), представляющие одно из решений уравнения Лапласа для потенциала ф. Формулы (22) также удовлетворяют уравнениям (7) и (8).

В теории аналитических функций имеет место так называемая гиперболическая система комплексных чисел. В этой системе используется комплексное число: £ = х + уу, где / = V-!, а у2 = 1.

Аналитическую функцию / (£) гиперболической комплексной переменной £ по аналогии с (15) представим так:

/(£) = ы (х у) -уу (х у). (23)

Исследуя условие ее аналитичности так же, как и для функции / (г) = = ы (х, у) - /у (х, у), получаем для скоростей из (23) следующие соотношения:

ды = ду ды = ду

дх ду ’ ду дх

Эти соотношения назовем условиями гиперболической аналитичности функции / (£).

Первое выражение в (24) можно переписать в форме уравнения неразрывности для плоских гидродинамических течений, а именно:

* 3 = 0. (25)

дх ду

Второе же, переписанное как:

ды ду ^

— + — = 0 (26)

ду дх

требует дополнительных пояснений.

Действительно, в ряде работ автора (см., например, [5]) показано, что уравнение неразрывности в форме (25) получается при условии выполнения соотношения (26). Поэтому соотношения (25) и (26) представляют новые кинематические отношения для определения особого класса гидродинамических течений, в которых имеют место вихревые движения.

С другой стороны, выражение (26) обращает в нуль правую часть в (11), что означает равенство нулю касательных напряжений в таком классе вихревых потоков. В свою очередь система уравнений (9) в данном случае принимает вид:

йы _ 1 др +

4у (д2и)

ш д дх 4 '

дх2 :

±=-1 дР+4~у (д2у)

Ш д ду ' '

(27)

ду2

Таким образом, в системе гиперболических комплексных чисел решением системы (25)-(26) будет любая аналитическая функция / (5).

В соотношениях (25)-(26) перейдем к функциям потенциала ф и тока ¥ по формулам:

дт дт д¥ д¥

и = —, V =-------, и =----, V =-----,

дх ду ду дх

после чего получим:

д2т д2т д2¥ д2¥

^-^ = 0; ^= 0. (28) дх ду дх ду

Форма уравнений (28) соответствует уравнению гиперболического типа. Кроме того, в соотношениях (25)-(26) можно, используя ранее описанный прием преобразования системы (1), перейти к уравнениям гиперболического типа для скоростей и и v, а именно:

^ = 0, ^= 0. (29)

дх ду дх ду

Можно также показать, что в таких гиперболических течениях скалярное произведение векторов grad ф и grad ¥ не равно нулю. Поэтому для таких течений линии равного потенциала и равного тока не взаимно перпендикулярны. В качестве примера рассмотрим функцию f (S) следующего вида:

f (S) = (a + jb) (х + jy) = (ах + by) + j (Ьх +ay). (30)

Сравнивая правые части в (23) и (30) получаем, что

и (x, у) = aх + by, v (x, y) = - (Ъх + ay). (31)

Полученные таким образом выражения (31) для скоростей и и v удовлетворяют системе (25)-(26).

В случае, когда a = 0, формулы (31) упрощаются так:

u = by, v = bx. (32)

Нетрудно показать, что решения для и и v в форме (32) соответствуют

функциям ф = Ъху, а ¥ = ——Ъ--------г-, т. е. для такого течения линии равного

2 ( х2 + y2)

потенциала суть гиперболы, а линии тока — окружности.

Для определения поля гидростатического давления в поле скоростей (32) используем уравнения (27). После подстановки (32) в (27) получим два соотношения:

д ( p Л ,2 д ^

= Ъ х, —

дх

Р Q )

dy

Р Q )

= Ъ2y, (33)

р

которые определяют изменение величины — вдоль координатных осей.

о

Из соотношений (33) можно сформировать полный дифференциал следующего вида:

\ Ь2 (х2 + у2)~

0 2

d

= 0.

Отсюда следует, что:

V2

p - q— = const, (34)

где введена величина V2 = и2 + v2 = Ъ2 (х2 + y2).

Соотношение (34) отличается от (14) знаком при величине qV 2, называемой скоростным напором.

Иными словами, в рассматриваемом вихревом течении соотношение (34) представляет новую форму так называемого интеграла Бернулли.

Заметим, что форма (34) интеграла Бернулли уже обсуждалась в научной литературе.

В работе [6] профессор Московского университета Н.П. Кастерин экспериментально обосновал следующую форму уравнений гидродинамики для потенциальных течений:

dV V2 1

— - grad— = — grad p, (35)

dt 2 q

которая отличается от уравнений Эйлера противоположным знаком перед конвективными членами. В этой работе Н.П. Кастерин, изучая экспериментально структуру течений внутри вихревой нити и вне ее, высказал предположение, что при переходе от вихревого течения внутри нити к потенциальному течению вне ее, на границе вихревой нити вектор гидродинамической скорости терпит разрыв. В свою очередь, такое поведение скорости приводит к изменению вращения частицы жидкости, что Н.П. Кастериным было непосредственными измерениями зафиксировано.

В настоящее время (см. [9]) натурными измерениями в смерчах и ураганах установлено, что в радиальном направлении на границах таких изолированных вихрей имеет место изменение знака ротора скорости.

Идея Кастерина о разрывном поведении гидродинамической скорости внутри дискретного объема частицы жидкости была использована в работах [1, 8] при написании уравнений движения вязкой жидкости.

Применительно к несжимаемой жидкости уравнение гидродинамики, полученное в [1, 8], таково:

V+(1 1

(1 -e)(Vv)V = — grad p + vV 2V, (З6)

! д2 d2

2 + ^~T + ^T

dt ^ ' д

где V2 =^-т + ^г +

дх1 ду2

При в = 2 и отбрасывании вязких членов У2У уравнение (36) переходит в уравнение (35).

Следует также отметить, что уравнения вязкой жидкости в форме (36) впервые получены профессором Московского университета А.С. Предводи-телевым еще в 1948 г. (см. [7]) из молекулярно-кинетических соображений.

Впоследствии в работах [2, 3] была предложена гипотеза о том, что турбулентные напряжения пропорциональны попарным произведениям составляющих вектора осредненной скорости турбулентного потока. В рамках этой

гипотезы известные уравнения Осборна Рейнольдса принимают форму уравнений (36), причем параметр в фигурирует как коэффициент пропорциональности в указанной гипотезе.

Более того, рассматриваемая гипотеза в [6] была обоснована теоретически из совместного анализа полей скоростей осредненного и пульсационного движений, имеющих место в турбулентных потоках.

В работах [4, 9] показано, что в рамках уравнения гидродинамики (36) интеграл Бернулли принимает вид:

V2

p + (1 -в) Q— = const. (37)

Применению уравнения (37) для расчета так называемых местных сопротивлений в гидравлических потоках посвящена работа [4].

Литература

1. Бубнов В.А. Одно замечание к специальным решениям уравнений гидродинамики // Инженерно-физический журнал. 1970. № 1. Т. XIX. С. 124-128.

2. Бубнов В.А. Об одной форме уравнений турбулентности // Гидродинамика и теория упругости: сб. ст. Вып. 32. Днепропетровск: ДГУ. 1984. С. 29-36.

3. Бубнов В.А. Турбулентные изоэнтропные течения // Инженерно-физический журнал. 1998. № 2. Т. 71. С. 330-335.

4. Бубнов В.А. Расчет местных сопротивлений в проточной части гидропровода // Вестник машиностроения. 1989. № 11. С. 17-20.

5. Бубнов В.А. Кинематические соотношения частицы жидкости при ее деформационном движении // Физическое образование в вузах. 2012. № 3. Т. 18. С. 111-119.

6. Кастерин Н.П. Устранение аэродинамического парадокса Феликса Клейна // Вестник Московского университета. 1949. № 10. С. 45-51.

7. Предвадителев А.С. О молекулярно-кинетическом обосновании уравнений гидродинамики // Известия АН СССР. Отд. тех. наук. 1948. № 4. С. 545-560.

8. Bubnov V.A. On Generalized Hydrodynamic Equations Used In Heat Transfer Theory // Int. J. Heat Mass Transfer. 1973. Vol. 16. Р. 109-119.

9. Bubnov V.A. Convective Heat and Mass Transfer in an Insulated Trailing Swirl. New-York. Begell House Inc. Publishers. 1998. P. 174.

Literatura

1. Bubnov V.A. Odno zamechanie k special’ny’m resheniyam uravnenij gidrodina-miki // Inzhenerno-fizicheskij zhurnal. 1970. № 1. T. XIX. S. 124-128.

2. Bubnov V.A. Ob odnoj forme uravnenij turbulentnosti // Gidrodinamika i teoriya uprugosti: sb. st. Vy’p. 32. Dnepropetrovsk: DGU. 1984. S. 29-36.

3. Bubnov V.A. Turbulentny’e izoe’ntropny’e techeniya // Inzhenerno-fizicheskij zhurnal. 1998. № 2. T. 71. S. 330-335.

4. Bubnov V.A. Raschet mestny’x soprotivlenij v protochnoj chasti gidroprovoda // Vestnik mashinostroeniya. 1989. № 11. S. 17-2О.

5. Bubnov V.A. Kinematicheskie sootnosheniya chasticzy’ zhidkosti pri eyo deformacionnom dvizhenii // Fizicheskoe obrazovanie v vuzax. 2О12. № 3. T. 18. S. 111-119.

6. Kasterin N.P. Ustranenie ae’rodinamicheskogo paradoksa Feliksa Klejna // Vestnik Moskovskogo universiteta. 1949. № 1О. S. 45-51.

7. Predvaditelev A.S. O molekulyarno-kineticheskom obosnovanii uravnenij gidro-dinamiki // Izvestiya AN SSSR. Otd. tex. nauk. 1948. № 4. S. 545-56О.

V.A. Bubnov

Observations on Plane Hydro-dynamic Flows

The paper investigates into flat hydrodynamic flows, both potential and rotative. A newly introduced class of rotative fluid flows contains no viscous adhesive strains, though possesses standard adhesive strains along with pressure forces. The means of the theory of complex variable functions are used within the scope of both elliptic and hyperbolic systems of complex numbers

Keywords: potential function; flow function; particle kinematics and dynamics; elliptic and hyperbolic systems of complex numbers.