О винтовых движениях в турбулентных потоках Текст научной статьи по специальности «Математика»

і

Актуальные проблемы

ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

В.А. Бубнов

О винтовых движениях в турбулентных потоках

В работе исследуется способ совместного решения уравнений осредненного и пульсационного движений в турбулентных потоках. Полученное решение выражается в формулах для вычисления турбулентных напряжений через попарные произведения скоростей осредненного движения. Предлагается новая форма уравнений для определенных скоростей, в рамках которой изучаются винтовые движения.

Ключевые слова: турбулентный поток; осредненные и пульсационные скорости; винтовые движения; частицы жидкости; гидродинамические движения.

Общеизвестно, что вывод уравнений гидродинамики основывается на вычислении поверхностных и инерционных сил, действующих на частицу жидкости, участвующей в гидродинамических движениях. При этом в рамках известных гидродинамических уравнений Эйлера и Навье-Стокса расчет инерционных сил выполнен при весьма грубых предположениях относительно кинематики частицы жидкости.

Действительно, при выводе уравнений гидродинамики инерционную а2 х.

силу вычисляют как р 2 (г = 1, 2, 3), где х. суть координата как центра

а ^ 1

тяжести жидкой частицы, так и ее любой точки, а р — плотность жидкости. Такой способ вычисления инерционной силы означает, что либо жидкая частица стягивается в точку, либо все внутренние точки жидкой частицы имеют одинаковые скорости, то есть жидкая частица движется только поступательно по криволинейной траектории.

а2Л

Ускорение р-г1 частицы вычисляют через скорости и (г = 1, 2, 3) отно-

а ? 1

сительно неподвижной системы координат ох1х2х3 следующим образом:

і = 1, 2, 3.

Теперь, если инерционную силу вычислить с помощью формулы (1) и приравнять ее поверхностным силам, оказывающим действие на выделенную жидкую частицу со стороны окружностей жидкой среды, то получим общие уравнения движения несжимаемой жидкости:

ди1 ^ д (0 ч

р-д.=-|? зх;(Р +рии)- (2)

1 = 1, 2, 3.

Здесь Р.к — напряжения, действующие в плоскости, перпендикулярной координате х .

При написании уравнений (2) учтено, что деформационное движение жидкой частицы определяется уравнением:

дил ди 2 ди3

—L +----- +--3 = 0 . (3)

дх1 дх2 дх3

Уравнение (3) называют уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости.

Английский естествоиспытатель Осборн Рейнольдс был первым, кто с помощью окрашенных струй, введенных в гидродинамический поток, наблюдал переход от поступательного движения жидкой частицы по прямолинейной траектории в движение с вращением по той же траектории. Первое движение называют ламинарным, а второе — турбулентным. По мнению О. Рейнольдса, существует причина, вызывающая вращение жидкой частицы на прямолинейной траектории.

Чтобы раскрыть эту причину, Рейнольдс предполагает, что в турбулентном потоке малярные или гидродинамические скорости каждой точки жидкой частицы различны. Тогда малярную скорость и любой внутренней точки частицы Рейнольдс разделяет на среднюю малярную скорость и и относительную среднюю и', названную впоследствии пульсационной скоростью, то есть

и = и + и0 (4)

Закон изменения скорости и внутри жидкой частицы определяется правилами усреднения Рейнольдса, которые имеют следующий вид:

р(и1 + и;)2 =ри1 +ри;2; (5)

ри 'г = 0, 1 = 1, 2, 3.

Здесь и в дальнейшем чертой сверху помечается средняя гидродинамическая величина, называемая также осредненной.

Таким образом, по представлениям Рейнольдса, в турбулентном потоке имеют место три вида движений — тепловое, среднее молярное и пульса-ционное. Новое пульсационное движение и должно привести к дополнительной силе, отсутствующей в уравнениях (2).

Рейнольдс допускает справедливость уравнения (3) для скоростей и. и и;, то есть полагает, что

= 0; У^ = 0. (6)

к=! дхк ’ £ дхк

По аналогии с (4) действительные напряжения Р.к разделяются на средние Рк и пульсационные рк, а именно:

Р к = Рк + Р к. (7)

Согласно методу Рейнольдса, для получения уравнений, описывающих поле скоростей и, необходимо все величины в (2) определить по формулам (4) и (7), затем произвести усреднение по формуле (5) всех членов в полученном вместо (2) соотношении. После чего будем иметь:

ди д

Р^Ге-Ут—(Р к +Ригик +РиУк ) , (8)

д 1=1 дхк (8)

і = 1, 2, 3.

Здесь ■ ри; ик — есть дополнительная инерционная сила, отнесенная к единице площади. Ее возникновение вызвано определенной кинематикой движения жидкой частицы, и к поверхностным силам она не имеет никакого отношения.

Почленным вычитанием (8) из (2) Рейнольдс получил уравнения для пуль-сационных скоростей:

ди 1 3 з _____1

Р~;7 = -Хт Р 'к +р(и1и'к + и'г ик ) + р(и'г ик - иУк )J, (9)

з* Зхк (9)

г= 1, 2, 3.

На это уравнение мало кто из исследователей обращал внимание, а ведь оно позволяет вычислять поле пульсационных скоростей и; и как следств 12е этого — инерционную силу ■ ри;и'к.

Умножением всех членов в (9) на и\ можно получить следующее дополнительно е уравнение для описания кинетической энергии частицы, участвующей в пульсационном движении:

2 Р^п + 1Р^ик ^ = -и;£ЗТ (Р'к 0Ри1ик -РиУк ) . (10)

2 а * 2 к=1 дхк к=1 дХк

Впервые в [1; 5] предложена процедура совместного решения уравнений (9) и (10).

Результат указанной процедуры представляется выделением из уравнений (9) и (10) трех соотношений для вычисления пульсационных скоростей через средние молярные:

£ ик ¥-=£ в, -3-и.ик, (||)

1=1 дхк 1=1 дхк (11)

г = 1, 2, 3,

шести уравнений для определения р' к Ти' -тр ди' 1 -тр дР

1 О^ тт — ^ к

u і du 1

d t j=Уі k k дхк pP-t dxk

ui , v ui dU _ 1 v1

ГТ +t uk я— _--------------------t

t i= dxk p i=

^ о£,,к и =-1 £ Зр-, (12)

Т , дх в Зх

и I к=1 ихк Н к=1 илк

г = 1, 2, 3,

а также двух дополнительных алгебраических уравнений, позволяющих вычислить инерционную силу через скорости и :

«У к =вки,ик, (13)

Рк =РггУг к , ^ к = 1, 2, 3.

В уравнениях (10) и (12) использован оператор полной производной:

Т=-3+£ и, (14)

а , д, к~х дхк

Из уравнений (11) следует, что для вычисления пульсационных скоростей необходимо определить поле скоростей и. Для этого в уравнениях (8) вычислим инерционную силу с помощью (13), после чего будем иметь [1; 5]:

Зи , ^„ ч зи 7 ^ „ Зик 1 ^ зр к

~зт О £(1 О рк)ик -3 +и. £рк -з = £^ , (15)

3 1= Зхк 1= Зхк р1"1 Зхк (15)

г = 1, 2, 3.

Для средних поверхностных напряжений рвоспользуемся известной гипотезой Стокса, тогда получим вместо (15)

диг ^/1 п \тт ди. ^ дик 1 ^ ЗР 1 ^ дт гк

~з~о£(1 орк)икзтОиг£рк-г— = —£^°-£^г-, (16)

3 1= дхк 1= дхк Р1= дхг Р1= дхк (16)

г = 1, 2, 3.

Здесь через Р обозначено гидростатическое давление осредненного потока, а т суть вязкие напряжения. По аналогии с формулами Стокса для вязких напряжений ламинарных потоков напряжение т турбулентных потоков определяется так:

( ди г дик}

т к = /и0 — о—- ,

1 к ^0 ^ Зх, Зхг ) (17)

1, к = 1, 2, 3.

Теперь (17) подставляем в (16) и получим окончательные уравнения для осредненных скоростей турбулентного потока:

дЦ ■+1 (1 + в, )Uk Ц+U t в, ^ _ --Р дР+vX-U ,

nv nv r\ rlv

Pit " Яг " Яг n PlY П S'*

Ot k= oxk k= oxk P охг

i = 1, 2, 3 , где дополнительно обозначено

У7 2 д2 д2

V2 =—- + —- +

дх1 дх2

и =^0

дх32 ’ 0 р

В рамках уравнений (18) среднее молярное движение характеризуется эмпирическими константами р. и р Параметр р0 суть коэффициент пропорциональности, характеризующей величину напряжений, возникающих в среднем молярном движении и по форме совпадающих с вязкими напряжениями, которые имеют место в материальных потоках.

Известно, что винтовые движения определяются соотношениями:

со3 = — Ли 3,

3 2 3

(—9)

где угловые скорости среднего молярного движения определяются как

1 ( ди ди ')

о =

1

О =■

ди— ди.

Л

дх3 дх1

1 ( ди ди ')

а>3 = ■

дх2 дх3

Рассмотрим случай, когда

в11 = в 21 = в31 = Yv

в 12 в 22 в 32 ^

в13 в23 в33 У3

и введем величину

Р 1 Ж3-!

Н = —+1 £ (1 + п )и2 *, р 2 и

определяющую запас потенциальной и кинетической энергий в среднем молярном движении турбулентного потока. Уравнения (18) для данного случая принимают вид:

ди1 дН _

ді дх1

ди 2 СО +

ді дх2

ди3 дН

ді дх3

Ґ

и

V (

и

V

(

и

Л

*=1 3

дх

и -Л(Г3 -у2 )ии3,

*

Л+Ъгк ди*

*=1 3

дх

и2 Л -Уг)ии3,

(20)

*

\

т2 ди*

л +£У*

1=1 дх* J

и3 Л(у2 -У1)и2и,.

Если каждое из уравнений в (20) умножить на дх дх2, дх3 соответственно, а затем полученные соотношения сложить, то получим первый интеграл уравнений (20):

д

ді

81 + а Н =

= -1088-Щ/3 - ^2 ) и 2и 3а х1 + (^1 -Ї3 ) и 1и 3а х2 +(Ї2 -Ї1 ) и1и 2 ^ х3 ] .

В (21) циркуляция 61 жидкой частицы вычисляется так:

61 = Ц + Ц, ёх2 + из дхъ,

а через 10 обозначено следующее выражение:

т & "V ди к = М +^Гк .

к=1 дХк

Предположим, что у1 = у2 = у3 = —в, тогда запас полной энергии среднего молярного движения определяется формулой:

н =-+1 (1 -в)£ и;, р 2

где р суть гидростатическое давление, вызывающее среднее молекулярное движение. Для стационарных потоков теперь уравнение (21) упростится и станет таким:

dH = -у0 X2 61. (22)

Из формулы (22) можно определить эффективную кинематическую вязкость турбулентных сдвиговых течений: дН

ип=-—. (23)

Х51

В [5] параметр X назван вихревым напряжением, а число Рейнольдса в ламинарных винтовых потоках определено как отношение циркуляции скорости к коэффициенту кинематической вязкости. По аналогии с этим в рассматриваемом случае определим число Рейнольдса для турбулентных винтовых потоков так:

п 51 а Н

Я е = — = -—-. (24)

и0 и0 ^

Формула (24) позволяет сформировать теорему: Для винтовых турбулентных движений число Рейнольдса равно полному отрицательному запасу энергии этой среды, деленному на у02 X2.

В работах автора [2; 3] показано, что при выводе уравнения неразрывности в форме (3) для ламинарных потоков предполагается равенство нулю следующих кинематических соотношений деформационного движения частицы жидкости, а именно:

ди1 ди2 ди ди3 ди2 ди3 Л

—1 + —- = 0, —1 + —1 = 0, —- + —3 = 0. (25)

йх2 дх1 дх3 дх1 йх3 йх2

Так как форма уравнения (3) сохраняется и на случай осредненных скоростей и. (см. (6)), то соотношения (25) будут справедливы и для скоростей турбулентного потока. В этом случае из всяких турбулентных напряжений т.к остаются не равными нулю только нормальные напряжения:

ди.

Т = 2^—± ,/ = 1, 2, 3. (26)

дх■

При таких условиях (26) уравнения (16) принимают следующий вид:

ди i Vn л чтт ди i тт^п dUk 1 дР 2р0 д2U

—L+> (1 + Я )Uk—L + U > pik—- =---------------------+ ^:0—

Ы k дхк k дхк рдхг p дх- (27)

i = 1, 2, 3.

Отсутствие в (27) турбулентных касательных напряжений, вычисляемых по формулам Стокса, может служить доказательством того, почему модель так называемой турбулентной вязкости во многих случаях не соответствует опытным данным.

Литература

1. Бубнов В.А. Винтовые движения в турбулентных потоках // Проблемы аксиоматики в гидродинамике: сб. ст. Вып. 2. М.: Экология непознанного, 1996. С. 34-55.

2. Бубнов В.А. Кинематика жидкой частицы // Проблемы аксиоматики в гидродинамике: сб. ст. Вып. 7. М.: Прометей, 1999. С. 11-29.

3. Бубнов В.А. О деформационных движениях частицы жидкости // Вестник МГПУ. Серия «Естественные науки». 2008. № 1 (20). С. 71-77.

4. Милович А.Я. Основы динамики жидкости. М.: Энергия, 1993. 157 с.

5. Bubnov V.A. Convective Heatand Mass Transfer in an Insulated Trainind swir // Begell House Inc. Publishers. New York: P., 1998. 174 p.

Literatura

1. Bubnov V.A. Vintovy’e dvizheniya v turbulentny’x potokax // Problemy’ aksiomatiki v gidrodinamike: sb. st. Vy’p. 2. M.: E’kologiya nepoznannogo, 1996. S. 34-55.

2. Bubnov V.A. Kinematika zhidkoj chasticzy’ // Problemy’ aksiomatiki v gidrodinamike: sb. st. Vy’p. 7. M.: Prometej, 1999. S. 11-29.

4. Bubnov V.A. O deformacionny’x dvizheniyax chasticzy’ zhidkosti // Vestnik MGPU. Seriya “Estestvenny’e nauki”. 2008. № 1 (20). S. 71-77.

5. MilovichA.Ya. Osnovy’ dinamiki zhidkosti. M.: E’nergiya, 1993. 157 s.

6. Bubnov V.A. Convective Heat and Mass Transfer in an Insulated Trainind Swir // Begell House Inc. Publishers. New York, P., 1998. 174 p.

V.A. Bubnov

On Helical Motion in Turbulent Flows

The paper investigates into a method of simultaneous solutions of equalities considering mean and pulsation motion in turbulent flows. The acquired solution is put in formulas for calculating turbulent strains through pairwise multiplication of mean motion velocities. A new form of equation is suggested for certain velocities within which turbulent flows can be studied.

Keywords: turbulent flow; mean and pulsation velocities; helical motion; liquid particles; hydro-dynamic motion.