CC BY
19
УДК 532.5:621.694
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕПЛООБМЕНА ЗАКРУЧЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ В ПРУЖИННО-
А.Г. БАГОУТДИНОВА, С.А. МУСТАКИМОВА, Я.Д. ЗОЛОТОНОСОВ
Казанский государственный архитектурно-строительный университет
Работа посвящена математическому моделированию турбулентного течения ньютоновской жидкости в пружинно-витых каналах. В основе модели лежат уравнения Навье-Стокса, осредненные по Рейнольдсу, энергии и уравнения теплопроводности стенок канала. Для замыкания системы уравнений выбрана двухпараметрическая к — ю модель. Система уравнений, путем ряда подстановок, преобразована в безразмерный вид, что облегчает процесс численной реализации.
Ключевые слова: моделирование, турбулентное движение, пружинно-витой канал.
Темпы развития современной промышленности диктуют необходимость дальнейшего совершенствования теплообменного оборудования, создания принципиально новых теплообменных аппаратов, сочетающих в себе высокие единичные мощности при малых габаритах. В связи с этим, одним из перспективных направлений исследований является разработка теплообменного оборудования с теплообменными элементами в виде пружинно-витых каналов.
Пружинно-витые каналы представляют собой тугую пружину, витки которой жестко скреплены [1-3].
Данная статья посвящена математическому моделированию гидродинамических и тепловых процессов в пружинно-витых каналах.
Для описания турбулентного течения вязкой несжимаемой жидкости в пружинно-витом канале вводится система координат х^ Х2 Х3, начало которой находится на входе в канал, ось Х3 направляется вдоль оси канала.
Запишем уравнения движения, неразрывности и энергии для описания процессов гидродинамики и теплообмена в рассматриваемом канале [7]:
ВИТЫХ КАНАЛАХ
ду др д^у^
(1)
(2)
д? д2?
(3)
V V — \л .
дх - дх - дх -
Применяя осреднение по Рейнольдсу, запишем уравнения (1)-(3) в виде:
(4)
дх,-
© А.Г. Багоутдинова, С.А. Мустакимова, Я.Д. Золотоносов Проблемы энергетики, 2012, № 9-10
_ дг д
V;-= а-
у дх, дх-
( ът Л дг -г-,
--V
дх,- ■'
\ } у
я . /я •
]
Здесь V- - компоненты осредненного вектора скорости V; х,, х- - координаты (- = 1,2,3) ; р - плотность, р - давление, а - коэффициент температуропроводности.
Для замыкания системы уравнений (4)-(6) применим двухпараметрическую к — а модель турбулентности.
В этом случае уравнения переноса турбулентной кинетической энергии к и удельной скорости диссипации а [8] запишутся в виде:
_ дк ду, * д
ру--= т----рр ка +--
дх- дх- дх-
(ц + ст*ц)
дк дх-
дк_ х-
ру--= а—т--
дх ,■ к ■' дх
о 2 д
— Рва + —
- дх-
(ц + стц)
да дх;
Ц = Р-
к
( ду,
т- = —РУу - = рЦг
дУ; дх- дх,
а Л
У ^
где модельные константы имеют значения [9]:
9 „ 3 5
— — рк 8 3 '
(7)
(8) (9)
(10)
Р' = ——; в ^ —; а = -; в* = ; ст =1. 100 40 9 100 2
В целях уменьшения числа неизвестных функций, преобразуем уравнения:
ду,
дх-
_ дк_ 3 дх-
, =—±др_ + ц д2_ +
д
р дх{ р дх- дх- дх
-
( д_, ду -^
дх-\ }
+ -
дх:
— - к8ц
3 -
ду;
дх,-
= 0;
V
ду,- ду-—- +—-
дх- дх-
——к 8ц 3 -
_ да а у--= а —
7 дх- к
/
( ду, ду- ^ —- +—-
дх- дх,
у
—- — Р к а +-
дх- дх-
ц ст к
— +-
р а
дк
ду- о 2 д
—-—ра+—
дх- дх-
( *, Л
ц ст к
— +-
р а
дх;
да дх
Произведем суммирование уравнений по трем координатам, тогда уравнения движения запишутся в виде:
_ д\л _ д\л _ д\л 1 др ц
VI —- + \2 — + у3 — =---+
дх1 дх2 дх3 р дх1 р
( ^
д2 Vl + + д2Vl
,2^ Л
( д2—
2 д—_L +д—vL + а2у2 + д\ + д2у3
^2—
^2—
дх12
Л
дх2
дх2
дх1
(
Л
дхл дх-
1ух2
дх2
дх дх-
.1<ух3
ду1 +д_2_ дх2 дх1
2 дк + ' 3 дх1
д (к
дх2 ^а
ду1 + ду3 1 д (к дх3 дх1 у дх3 ^а
а
+
_ дV9 _ дV9 _ дV9 VI —— + V2 —— + vз -
дхл
дхо
2 д2 у2 + д2 У2 + д2 у + д 2У2 + д2уз
дх->
д2—
з2—
1 _ср + £
Р дх2 Р
з2—
Г ^
д2V2 + д2 V2 + д2V2
2^ ^
дх2
дх2
дх2
2 +
3 дх
2-
дх|
дх,2 дх1дх2
дх2
дх2дх3
+[**1АГ к+
V дх, дх2 ) дх, V ю )
Чдх3
177. Л
ду,
дх2
д Г1
дх3 ^ю
_ дvз _ дУ3 _ дvз V, -- + V9-— + VI! ——
дх, дх2 дхз
1 +£
р дх2 р
Г ^
д2Vз + д2 Vз + д2 Vз
2^ ^
дх1
^ д2Уз + д2Уз + д2у, + д2Уз + д2У2
^2—
д2—
з2—
^ \ (
дх2
дх2
дх,дхз
дг2дхз
дх2
ду3 ду1
дх2
2 + " 3 дхз
чдх1
дх3
—Гк
дх, ^ю^
(
¡77 А
дУз + ду2 дх2 дхз
Г к
дх2 Vю
Уравнение неразрывности:
д V,
дУ2 дУ3
+ + — = 0.
дх, дх2 дхз
Уравнение переноса для турбулентной кинетической энергии:
_ дк _ дк _ дк 2,
у,--+ У2--+ Уз-= — к
дх, дх2 дхз 3
^ дVl дУ2 дУ3 —, + —2 + —-
дх, дх2 дхз
к
ю
ду сУ2 + 2 ду сУ"з + ду дУ2 + дУ2 дУз + сУ^ дуз дхз дх, дх2 дх, дхз д^2 дхз д^2
дк д Г к \+дк д Г к дк д
дх, дх, ^ю) дх2 йх2 Vю) дхз дхз Vю/ Уравнение переноса для удельной скорости диссипации энергии ю :
_ дю _ дю _ дю „ 2 2,
у,--+ у2--+ уз-= -рю--к
дх, дх2 дхз 3
( ЯГ7
дVl 5у2
дуз ^
дх, дх2 дхз)
(,3)
(,4)
(,5)
+
+
+а
+ ^ ду + Су- 0у2 + СуЗ + д- СуЗ + йг2 ох- 6X3 дх- дх2 дх- с%2 0X3 0X3 дх-
+2а
(Су- V V дх1 У
(^ V
V дх2 У
^ V
дх3
+а
'
Vдx3 У
ду2
Vдx3 У
( ду3 V
VCx1 У
( ду3 V
V дх2 У
, \( я2 я2 я2 | ц к | д ю д ю д ю
+ | - + — р ю
дх-2 дх22 дхз2
(16)
дюд( к |+дю д (к |+дю д (к дх- дх- VюУ 0x2 0x2 VюУ дхз дхз Vю, Для однозначной разрешимости системы уравнений (10)-(15) запишем граничные условия: во входном сечении канала:
для давления: р = р0 ; для скорости: у- = 0, у? = 0 , уЗ = м0; для температуры жидкости ^ = ¿0; для температуры стенки 1С = ¿0 ;
для кинетической энергии турбулентности и ее удельной скорости диссипации энергии: к = к$, ю=ю0 ; в выходном сечении канала:
ду
ду-
ду-
ду п су^ дуз д( др дк «мягкие» граничные условия —- = 0 , —— = 0, -= 0 , -= 0 , -= 0 ,-= 0
др
дк
дх
дх
дх
3
дх3
дх3
дх3
дю п
-= 0, что означает выравнивание гидродинамических характеристик потока на
дх3
выходе;
на границе жидкости и твердой стенки:
для скорости - условия прилипания: у = 0, у^ = 0 , уЗ = 0 ;
для температуры: ^ = 1С, X
а = Х с
— , где П
дП дП
где п - вектор нормали; 1С - температура
стенки канала; X, Хс - соответственно теплопроводность жидкости и стенки; для кинетической энергии турбулентности: к = 0, ю = 0;
на границе внешней стенки и теплоносителя: Х^
дЬ
дП
Хр (*р - *с), где 1р -
температура теплоносителя; X р - коэффициент теплоотдачи теплоносителя.
тт х1 х2 х3
Далее произведем замену переменных, где х = —, у = , г = —, кроме того,
а а а
введем безразмерные функции вида:
х,у,z), F2(х,у,z), Fз(х,у,z), K(х,у,z), О(х,у,z), T(х,у,z), ^(х,у,z) и
критерии подобия: Яе =
u0dэ
- число Рейнольдса, Бг = —--число Фруда, где d -
gd
параметр винтовой линии.
Решение системы уравнений (11)-(16) будем искать в виде:
\ = и0 Е1( х y, z), V2 = и0 Е2( x, y, z),
Vз = и0 Е3( x, y, z), Р — Р0 = иорр( x, ^ z),
2 g к = щ К (х, у, z), а = — О( х, у, z),
и0
7 = ио т (х y, z), 7С = ио Тс (x, y, z). Используя подстановки (17) в уравнениях (11 )-(16), получим: уравнения движения:
( Д2 17 Д2
(17)
щ + F2 щ+F3 дFL=— I ЭР+Ёш.
дх ду дz р дх а Яе
Э2 FL д2 Е Э2 Е Л
-;т- +-;т" +-;т-
дх
ду 2
дz2
—2 дК+
3 дх
+Бг
„ Э2 Е д2 FL д2 F- д2 FL д2 F3
2-Т1 + -Т1 + -2 + -т1 + 3
дх2 Эу2 дхдУ Эх2
дxдz
+ 1 К,+
ду дх у ду [О
+1 ЭЕх+ЭF3 ¡_д.( К
дz дх ¡дх I О
F1 Е + F2 Е+Е3 Е =—1 ЭР+^кв
, (18)
дх
ду
дz
р ду а Яе
(Э2F— , э2Е2 + Э2Е2 Л
дх
ду2
дz2
+Бг
( д1 Е2 д2 Е2 д2 Е д2 Е2 Э2 Е3Л 2-А +-А +-1 +-А +-3
Эу2 дх Эхду дх Эудх
+(дЪ2 ЛА( К| +
[ дх ду у дх[О
(эе2 ЭF3Л_д(к
[ дz ду ¡¡дх [о
тг ^3 г, ЭЪ3 дЪ3 1 ЭР dжв
/1 —- + —- + /3 —- =---+ ——
дх ду дz р дх а Яе
(д2 Е3 Э2 Е3 Э2 Е3
+Бг
Г д2 Е3 Э2 Е3 Э2 Е Э2 Е3 Э2 Е 2—^ + —^ +-1 + —-3 + 2
дх 2
ду 2
дz 2
—22 — 3 эУ+
(19)
—1ЭКК
— 3 ~дХ +
дх
дх2
дxдz
ду2 Эудх
( ЭЕ3 Л_д( кК
Г дх дz ¡дх[ Оу
( ЭЕ3 ЭЕ2 Л д (К
Г ду дz ) ду ГО
(20)
неразрывности:
энергии:
дК ЭЕ дЕ + ^ + ^ = 0; дх ду дх
V
„ дт дт дт 1
Г--+ г 2--+ Г3-—-
дх ду дх БРе,
Г ^2
2 ^ Л
д2 Т д2Т д2 Т + —г + — дх 2
дх2 ду2
где Ре, — и0
(а + )
■ число Пекле; Б —
dэ
теплопроводности для стенок канала:
д2Тс д2Тс д2Тс
дх 2
ду2
дх 2
— 0;
турбулентной кинетической энергии:
Г - + Г2 ^ + Гз * — - 2 * дх ду дх 3
д^1 + дУ2 + дуз дх1 дх2 дхз
_Рг-
— О
дГ1 дГ2 + 2 дГ1 дГ3 + дГ1 дГ2 + дГ2 дГ3 + дГ2 дГ3
ду дх
+2Бг -О
дх дх ду дх дх ду дх ду
2 \2 ч2"
дГ1 дх
^ К +Бг— О
)2 + Гдг2 Л2 + ГдГ2
+ V дх ) V дх
* 1 | dэкв +-