Реологическая модель для расчета течений жидкости в широком диапазоне чисел Рейнольдса Текст научной статьи по специальности «Физика»

РЕОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ

В ШИРОКОМ ДИАПАЗОНЕ ЧИСЕЛ РЕЙНОЛЬДСА

В. А. Павловский1, Д. В. Никущенко2

1. С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, профессор, v.a.pavlovsky@gmail.com

2. С.-Петербургский государственный морской технический университет, канд. техн. наук, доцент, ndmitry@list.ru

1. Введение

В современной гидромеханике режимы течения жидкостей (ламинарный и турбулентный) изучаются отдельно, и для каждого из них строится своя теория [1]. Такой подход к изучению механики жидкости и газа по сути не учитывает последовательных преобразований ламинарного режима в турбулентный, и не позволяет обнаруживать общие гидродинамические свойства потоков жидкостей, не зависящие от режимов их движения. Разная реология течения при разных режимах приводит и к разным аналитическим выражениям, например, для профилей скорости в трубах [2]. Известно, что для каждого типа геометрии течения существует свое критическое число Рейнольдса Яв^р перехода от ламинарного режима к турбулентному (например, для круглых труб Явкр « 2300, для течения в пограничном слое плоской пластины Явкр ~ 2 • 105, и т.д.). По этой причине, при создании новых инженерных объектов трудно заранее указать величину Квкр, сделав обоснованный выбор ламинарной или турбулентной модели для конкретного течения. Во многих случаях моделирования обтекания объектов невозможно заранее предсказать, какой именно режим течения реализуется на том или ином участке их поверхностей, что также осложняет выбор той или иной математической модели течения. Кроме того следует учитывать, что для турбулентного режима течения проблема замыкания до настоящего времени не решена: в отличие от ламинарного режима для него нет классических уравнений типа уравнений Навье—Стокса, поэтому возникает дополнительная проблема выбора того или иного полуэмпирическо-го реологического соотношения (модели турбулентности), каждое из которых обладает своими существенными изъянами. Все сказанное приводит в итоге к снижению достоверности получаемых результатов.

Следует заметить, что существующие дифференциальные модели турбулентности («к—е» и ее многочисленные модификации, «к—ш», модели переноса компонент тензора турбулентных напряжений (И8М-модели), и др.), используемые в современной инженерной практике, являются сугубо эмпирическими, содержащими большое количество феноменологических констант. Они в принципе не позволяют получать аналитические решения даже для простейших сдвиговых течений [3, 4]. Единое реологическое соотношение, справедливое для любого режима течения, позволило бы получать надежные решения независимо от режима течения, реализующегося в данной области потока. Достичь этой цели возможно с помощью общих соображений механики сплошных сред, опираясь на обширные экспериментальные данные по течениям вязкой жидкости,

© В. А. Павловский, Д. В. Никущенко, 2009

прежде всего в турбулентном режиме, так как в ламинарном режиме теория и опыт хорошо согласуются.

Предложенная Л. Прандтлем гипотеза длины пути перемешивания [5] дала возможность выполнять расчеты пристенных турбулентных течений, удовлетворив тем самым неотложные потребности инженерной практики в энергетике и транспорте. Развитая Л. Прандтлем и его учениками теория путем соответствующего выбора двух констант [6, 7] приводит к логарифмическим профилям осредненных скоростей, хорошо согласующимся с экспериментальными данными. Однако эта теория оказалась неприменима в непосредственной близости от стенки, так как краевое условие прилипания в рамках ее невыполнимо. Поэтому для придания реологическому соотношению Л. Прандтля физического смысла приходится вводить в рассмотрение понятие вязкого подслоя. В настоящее время широко используются двух- и трехслойные модели течения, позволяющие сопрягать с одной стороны зону потока с чисто молекулярным трением, а с другой — область развитого турбулентного течения, где трение имеет молярную природу и профиль скорости является логарифмическим. При использовании многослойных моделей число эмпирических констант увеличивается.

Тем не менее, как показано одним из авторов [8], оказывается возможным построить чисто феноменологическую теорию, альтернативную гипотезе длины пути перемешивания, которая имеет не менее ясный физический смысл, приводит к логарифмическим профилям осредненных скоростей, обеспечивает краевое условие прилипания и содержит лишь две феноменологические константы. В настоящей работе предлагается однопараметрическая диффернциальная модель, пригодная для описания как ламинарных, так и турбулентных течений, удовлетворяющая приведенным условиям и являющаяся дальнейшим развитием идей, предложенных в [8].

2. Феноменологический подход к построению единой модели движения вязкой жидкости

Теория основана на том соображении, что в турбулентном режиме течения вклад молекулярной вязкости в касательное напряжение невелик — для пристенных течений он сосредоточен у стенки и быстро убывает по мере удаления от нее. Тогда тензор напряжений О. Рейнольдса И. = —рч' <8> V7 можно представить через тензор суммарных напряжений те:

К = I • ТЕ, (1)

где / — некоторая скалярная функция, равная нулю на стенке и близкая к единице в области развитого турбулентного течения. Смысл / легко видеть на примере простого сдвигового течения, когда имеется только продольная компонента скорости, зависящая от поперечной координаты. Для такого течения можно записать

те = Т + т,

где те , т , т —касательные напряжения суммарное, вязкостное и турбулентное соответственно. В этом случае безразмерная величина

характеризует отношение касательного турбулентного напряжения к суммарному, является функцией поперечной координаты и числа Рейнольдса Яв и изменяется в пределах 0 < / < 1. При Яв ^ 0 функция / ^ 0 и во всей зоне течения имеет место

чисто ламинарный режим течения, а при Ев ^ ж получаем / ^ 1, и течение является полностью турбулентным, с профилями скорости предельной полноты. Таким образом, функцию / можно трактовать как безразмерную скалярную меру турбулентности в рассматриваемой точке потока.

Для вязкого напряжения в простых сдвиговых потоках верна формула И. Ньютона

ёъ

П = (л—, ёу

для турбулентного, согласно гипотезе Ж. Буссинеска [9],

ёъ

Т1 = ~г I

ёу

где рг —турбулентная вязкость, являющаяся функцией координат и числа Рейнольдса. В результате, суммарное касательное напряжение в потоке имеет вид

ёъ

те = п +Г( = (/х + /х4) —. (3)

ёу

Величина скорости V здесь и далее понимается как осредненная по Рейнольдсу (в случае чисто ламинарного режима осредненные и мгновенные значения величин совпадают). Сумму ре$ $ = р + рг называют эффективной вязкостью.

С учетом этих выражений для касательных напряжений формула (2) принимает вид

(4)

Р + Рг

откуда видно, что величина / характеризует соотношение долей молекулярной и турбулентной (молярной) вязкостей в потоке. Из выражения (4) следует, что турбулентная вязкость связана с молекулярной следующим соотношением:

/

№ - М г ^ ■

После подстановки этого выражения в (3) можно получить формулу для суммарного напряжения в потоке:

р ём

п (5)

Эта формула охватывает как ламинарный (/=0), так и турбулентный (/ ^ 1) режимы течения. Далее следует надлежащим образом описать функцию /, опираясь на экспериментальные данные.

Согласно выражению (5) эффективную вязкость можно записать в виде

Ме// = (6)

Как и формулу И. Ньютона, выражение для касательного напряжения (5) можно обобщить на трехмерный случай. При этом тензор напряжений те будет линейно связан с тензором скоростей деформаций (осредненных в случае турбулентного потока) для несжимаемой жидкости:

ТЕ = 21ЛедБ = (7)

где тензор скоростей деформаций 8 есть симметричная часть тензора градиентов скоростей

8 = ^(Уу + (Уу)т). (8)

Для скалярной величины / требуется записать специальное уравнение.

В дальнейшем символ Я при величине суммарного касательного напряжения будет опускаться.

3. Единая ламинарно-турбулентная модель движения несжимаемой жидкости

Если подставить реологическое соотношение (7) в уравнение движения сплошной среды в напряжениях

ёу „ „

Р~Л = + У ' т’

то для несжимаемой жидкости, используя уравнение неразрывности(У • V = 0), можно записать

"1 = -¥!>+(Т^+(Т^8-^ <9>

В компонентной форме в декартовой системе координат оно принимает вид

дщ дуЛ _ др р д2Уг р (дщ дук \ д/

дЬ У°дхз) дхн (1 -/) дхкдхк (1 -/)2 \дхк дхн) дхк ’

где к =1, 2, 3.

Уравнение (9) представляет собою модификацию уравнения Навье—Стокса и при /=0 переходит в уравнение Навье—Стокса.

Для замыкания системы уравнений, содержащей уравнение движения (9) и уравнение неразрывности, необходимо записать еще одно уравнение — для функции /, которая образует некоторое скалярное поле / (г, ^. Такое уравнение было предложено в работе [8]:

Щ = "Л/ + Т^7У/ у/+ 11 - Д у2|5 : 8|/2|П : П| ’ (П)

здесь двоеточие означает двойное скалярное произведение, П — антисимметричная часть тензора градиентов деформаций,

П=1(Уу-(Уу)т), (12)

величина Ф(/) — алгебраическая функция /,

*,Я = ^М (13)

а + Р(1 - /)

Величины а и в — феноменологические константы, определенные в результате обработки опытных данных для широкого класса пристенных турбулентных течений: а = 2.5, в = 8.5.

Видно, что уравнение (11) напоминает уравнение Бюргерса. Анализ его структуры показывает, что величина / изменяется в пределах 0 < / < 1 , что и следовало ожидать.

Система уравнений движения несжимаемой жидкости, состоящая из уравнения движения (9), уравнения неразрывности V- V = 0 и уравнения (11) содержит три неизвестные: скорость V, давление р, и величину /. Эта система является замкнутой и позволяет решать задачи об изотермических течениях вязкой несжимаемой жидкости независимо от режима течения. Граничными условиями для этой системы будут условия прилипания и вязкого ньютоновского трения на твёрдой границе Б с нормалью п, а также равенство нулю функции / на границе Б, и условие на производную модуля скорости по этой функции:

v2

v|s = 0, 12S • n|s = -у, /Is = 0,

v

dv

If

= (а + e)v*. (14)

S

Здесь v* —динамическая скорость, выражаемая через касательное напряжение на стенке тх\

/ы"

V* = \ --•

V р

В качестве граничных условий вместо (14) можно использовать более простые

v|S = 0, f |S = ° (14a)

Структура реологического соотношения (7) показывает, что тензоры т и S соосны, но когда f = 0, связь между ними нелинейна. Соотношение (7) описывает турбулентные течения, в которых возможно пренебрегать анизотропией и эффектом памяти потока [10-12]. Если же такие упрощения недопустимы (т. е. когда несоосность тензоров т и S существенна), то реологическое соотношение (7) должно быть соответствующим образом распространено на этот случай. Однако для большинства турбулентных течений при их расчете достаточно ограничиться лишь учетом нелинейности, что подтверждается успешным применением теории длины пути перемешивания Л. Прандтля. Поэтому во многих случаях оказывается достаточным использовать для описания пристенного турбулентного течения несжимаемой жидкости следующую систему уравнений:

Vf—Vp+^Av+^S-V/,

V- v = 0, (15)

ft = vbf + <*>*(/>v/ • V/ + (i - я»|.

Все переменные здесь понимаются как осредненные по Рейнольдсу. Краевыми условиями для этой системы являются условия (14) или (14а).

4. Ламинарно-турбулентная модель движения сжимаемой жидкости

В случае сжимаемой жидкости уравнение неразрывности принимает вид

| + V.(„v)=0,

а реологическое соотношение (7), следуя Ламе, следует записать в виде

T=(T^s-i(IZ7)(v-'')E- (16)

где E — единичный тензор.

В современных пакетах прикладных программ для расчета течения жидкости уравнения обычно записываются в дивергентном виде. Рассмотрим уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости в такой форме:

д(ру)

т

+ V • (ру ® у) = V • (-рЕ) + V

2р

(1 - /)

(17)

где g — массовая сила.

В компонентной форме записи оно принимает вид

д (рюг) д д д

(1 - /) \ дхі

дщ

дх3

+ Р9г

В дальнейшем для краткости массовая сила учитываться не будет. Уравнение переноса функции / (11) можно переписать в виде

# (Vу х V/) - (Уху) Ф,

РЛ ( / ) ^2|8 : л/2|0 : «| (1-/)’

(18)

в этом уравнении Г^ = рФх/(1 — /)2 —коэффициент диффузии величины /, Ф1 = а + в(1 — /).

В компонентной форме записи уравнение (18) выглядит следующим образом:

д

д

д

^О9/) + ~ ~ (г/~ ) +

дЬ

д/

дхн дхі дхь кгЭ Ш

Фі

дх3 \ дх3 ) ^/їЗрдБдр^ПптПтп (1 - /) '

(19)

Здесь екгз и —компоненты тензора Леви—Чивита, компоненты тензоров 8 и П:

Б*3 — 0.5(^3,* + ^*,3 ^ ^*3 — °.5(^М ^*,3 ).

Оба варианта уравнения переноса функции / — уравнения (11) и (18) —дают одни и те же решения для простых сдвиговых течений несжимаемой жидкости. Оба варианта для напорных течений с неподвижными границами позволяют пользоваться упрощенным вариантом граничных условий в форме (14а). Чтобы граничные условия (14а) были пригодны для любых течений, вместо уравнений (11) или (18) можно записать уравнение переноса / в таком виде:

% л, Мй-з’) ф2(1 - /)5

рт = 1 * !/(у/ ■ ул —"—+

ф5

+

(Vp X V/) • (V/) (1 - /)2

:8|л/2|0 : П|

Фі

^211-ЯФА'

Фі

где Ф1 = а + /3(1 - /), Ф2 = 2а + (3(1 - /), Ф3 = - /?/п(1 - /), £г82 = 0.25(^ +

)(уг,з + ^3,*) — след квадрата тензора 8.

Тогда уравнение переноса (20) в компонентной форме

, д ( д/\ р (§^ + Й7ХІ7 + 1^) Ф2(1-/)5 тгЛрЛ + Міг- +------3 3

дЬ

дх

дх3

дхзУ

+

Э/ э/

1 - 2(1 - /)

ф1

+

Ф2Ф3

Фі

ф2(1-Л2

Фі

(21)

Следует отметить, что последнее слагаемое в уравнении (11) содержит скалярное произведение векторных произведений (Ур х V/) • (V х V), которое можно записать в дивергентной форме:

д ( д/ \ д (V,, х V/). (V X V) = ^ ) щШф),

что совпадает с ранее полученными выражениями. Здесь учтено, что Ур х V/ = V х (рУ/) = —V • [(рУ/) • 3е] и Ух V = —V • (V • 3 е), 3е — тензор третьего ранга Леви—Чивита.

Таким образом, система уравнений движения несжимаемой жидкости имеет вид (15), причем последнее уравнение системы можно записать как в виде (18), так и в виде (20) с учетом граничных условий (14) или (14а).

Полученные результаты справедливы для течений, у которых тензоры т и 8 соосны (это имеет место для ламинарных течений и приближенно выполняется для некоторых турбулентных потоков). В турбулентном режиме, когда / = 0, поток помимо нелинейности обладает также анизотропией и памятью [13, 14]. Для учета этих эффектов изложенная выше теория должна быть модифицирована. Пути для такой модификации предложены в работе [13], в которой алгебраическое реологическое соотношение, справедливое для простых сдвиговых течений, было обобщено на пространственный случай течения, в результате чего было получено дифференциальное реологическое уравнение переноса тензора напряжений. Тогда реологическое соотношение для т будет записано в виде уравнения переноса:

вт

— = -А/Б - 2Ме// [Э • П + (Э • П)т] .

(22)

Здесь В/ВЬ — материальная производная тензора второго ранга, которая содержит локальную, конвективную и вращательную части. В механике сплошных сред ее обычно записывают в форме Яуманна:

В ... д...

ВЬ дЬ

Величина А, по аналогии с механической работой, записывается в виде [13]:

А

7т

1 + 2(/ )1/8

+ -2рК2,

где

: 8

Ме//

Уо =

Ме//

м

Окончательно для А можно записать

/ 2|в : в| V/•V/'

1

= О^ТУ

Ф2 /2ЗДч ш Ф-1 \ а/ а/ ■

V дХ};. дХ};.

А

угт

■\f2SijS.

+ Ф2У ЗД,

' дхк дхк

(23)

7

2

Теперь уравнение переноса тензора напряжений (22) принимает вид

^ + (V • V) г - [г • п + (т ■ П)т] = -А/Б - [Э • П + (Э • П)т] ,

в компонентной форме —

(25)

Для установившихся простых сдвиговых течений несжимаемой жидкости локальная и конвективная составляющие равны нулю. При малых числах Рейнольдса, когда / ^ 0, уравнение (24) приводится к виду

откуда автоматически следует, что (т — 2^8) = 0, то есть т = 2^8. Таким образом, получается реологическое соотношение И. Ньютона. В турбулентном режиме вместо величины м фигурирует Ме//, и имеет место формула (7).

Для расчета течений жидкости при произвольных числах Рейнольдса на основе дифференциальной реологической модели система уравнений движения несжимаемой жидкости состоит из уравнения движения (9), уравнения неразрывности, уравнения переноса тензора напряжений (24) и уравнения переноса функции / (уравнения (11) или (18), или (20)). Граничные условия можно брать в виде (14) или (14а), или в такой форме:

5. Заключение

На основе обоих рассмотренных вариантов модели (алгебраической и диффиренци-альной) можно исследовать ряд эталонных задач об установившихся простых сдвиговых течениях несжимаемой жидкости при различных числах Ев, в частности:

• течение в плоском канале,

• течение в прямой круглой трубе,

• плоское течение Куэтта,

• течение вблизи вращающегося цилиндра

и другие, аналогичные рассмотренным в монографии [14]. Для этих течений предложенная теория дает решение в квадратурах [8, 10, 11]. Следует указать, что в отличие от моделей, реализованных в современных пакетах прикладных программ [15, 16] данная теория позволяет получать аналитические решения, по крайней мере для простых сдвиговых течений. Это показывает, что современные «к — е», «к — и»» и другие модели в различных модификациях основаны на чисто эмпирических данных, и требуют к тому же большого числа эмпирических констант, величины которых зависят от вида исследуемого течения. Более того, для криволинейных каналов в турбулентном режиме существующие модели требуют введения поправки на число Ричардсона Ш [12].

В отличие от указанных, рассматриваемая модель (24) автоматически учитывает кривизну потока. В частности, для кругового течения Куэтта она дает для касательного

т • П + (т • П)Т =2^ [8 • П + (8 • П)т]

или, иначе,

(т — 2^,8) • П + [(т — 2^,8) • П]Т = 0,

напряжения не выражение г = peffr^ (w = и/г — угловая скорость, г — радиальная координата), что сразу следует из (7), а выражение г = pef f (r^ +2w), в котором слагаемое 2w как раз и дает эффект введения поправки на число Ричардсона.

Литература

1. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 840 с.

2. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969. 742 с.

3. Wilcox D. C. Turbulence Modeling for CFD, La Canada: DWC Industries Inc., 1998. 540 c.

4. Mathieu J., Scott J. An Introduction to Turbulent Flow. Cambridge: Cambridge-Univ. Press,

2000. 374 с.

5. Prandtl L. Bericht Uber Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz // ZAMM, 1925. Vol. 5. P. 136-139.

6. Karman T. von Mechanische Ahnlichkeit und Turbulenz // Proceedings of the Third International Congress for Applied Mechanics, Stockholm, 1931. C. 85-92.

7. Путеводитель Прандтля по гидроаэродинамике / Под ред. Г. Эртеля-мл. Москва; Ижевск, НИЦ РХД, 2007. 776 с.

8. Павловский В. А. Об одной чисто феноменологической теории, альтернативной гипотезе длины пути перемещения // Физическая механика / Под ред. Б. В. Филиппова. СПб., 1998. Вып. 7. С. 21-35.

9. Boussinesq J. Theorie de l’ecoulement tourbillant // Mem. Presentes par Divers Savants Acad. Sci. Inst. Fr., 1877. Vol. 23. P. 46-50.

10. Павловский В. А. Расчет кругового течения Пуазейля при произвольных числах Рейнольдса // Проблемы экономии топливно-энергетических ресурсов на промпредприятиях и ТЭС. Межвузовский сборник / Под ред. Р. С. Тюльпанова. СПб.: Изд-во СПбГТУ РП, 1999. С. 121-126.

11. Павловский В. А. Приложение единой феноменологической ламинарно-турбулентной модели для расчета неизотермических течений жидкости в трубах // Материалы региональной НТК «Кораблестроительное образование и наука». СПб.: Изд-во СПбГМТУ, 2003. С. 33-37.

12. Павловский В. А., Шестов К. В. Течение вокруг равномерно вращающегося одиночного кругового цилиндра при произвольных числах Рейнольдса // Межвузовский сборник научных трудов «Проблемы экономии топливно-энергетических ресурсов на промпредприятиях и ТЭС». СПб.: Изд-во СПБГТУ РП, 2006. С. 5-10.

13. Павловский В. А. О расчете пульсационных характеристик турбулентных потоков // Прикладная механика и техническая физика. 1988. №3. С. 114-122.

14. Новожилов В. В., Павловский В. А. Установившиеся турбулентные течения несжимаемой жидкости. СПб.: Изд-во СПбГМТУ, 1998. 483 с.

15. Белов И. А., Исаев С. А. Моделирование турбулентных течений. СПб.: Изд-во БГУ,

2001. 108 с.

16. Никущенко Д. В. Исследование течений вязкой несжимаемой жидкости на основе расчетного комплекса FLUENT. СПб.: Изд-во СПбГМТУ, 2006. 92 с.

Статья поступила в редакцию 18 сентября 2008 г.