О винтовых движениях частицы жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

актуальные проблемы физики

В.А. Бубнов

О винтовых движениях частицы жидкости

В работе изучаются винтовые движения частицы жидкости. Показано, что уравнения, описывающие такие движения, совпадают с уравнением Шредингера в квантовой механике.

Анализ деформационного движения частицы жидкости в наиболее полном объеме содержится в докторской диссертации Н.Е. Жуковского [1]. В ней в качестве кинематических характеристик указанного движения используются величины

ди ду дм

£, = , £ 2 = , £ 3 = ,

1 ^ у 2 ^ у 3

дх ду д1

характеризующие удлинение частицы жидкости по направлению координатных осей х, у, z соответственно; параметры

(1)

01 = -1 2

Л

02 = 1 [ ди -3

2I дг дх

0 з =-3 2

1 (д/у ди

+

дх ду

(2)

(дм ду \дУ

определяющие три скольжения без вращения вдоль указанных осей; а также компоненты вихря

1

дм ду

\

ду дг

1

т = — у 2

1

ду ди

\

дх ду

(3)

ди дм

дг дх У 2 2

Здесь скорости деформационного движения вдоль осей х, у, z обозначены через и, V, w соответственно. Общеизвестно, что компоненты вихря т, т, тх определяют вращение частицы жидкости вдоль осей х, у, z.

В рамках модели идеальной жидкости движение частицы жидкости вызвано силами давления р, которое в известных уравнениях гидродинамики в форме Эйлера совпадает с гидростатическим.

В конце XIX в. профессор Казанского университета И.С. Громеко в конвективную часть уравнения Эйлера ввел компоненты вихря, после чего они приняли следующий вид

>

дН д х

д у дН

-----+ 2 (ит. - м тх )=------------,

д г У 2 х' ду

■ +

2 (

[утх - и ту

>

дН

д г

где через H обозначено дополнительное соотношение

H = —+1 (и2 + v2 + w2)

Р 2V }

а через t — время.

Для несжимаемой жидкости считается, что плотность жидкостир суть постоянная величина.

И.С. Громеко также открыл новый тип гидродинамических движений, для которых

тх = X и, т у = X v, т z = X w (5)

Формулы (5) существенно упрощают уравнения (4) и в случае стационарных движений позволяют найти их интеграл как H=const.

Такие движения впоследствии были названы винтовыми и их использовали только как прием, позволяющий упрощать уравнения гидродинамики не только идеальной, но и вязкой жидкости.

Однако физический смысл формул (5) состоит в том, что поступательным движениям частицы жидкости вдоль координатных осей поставлены в соответствие вращательные движения вдоль тех же осей. По своей сути формулы (5) представляют реализацию в механике принципа двойственности, открытого французским геометром Шалем в конце девятнадцатого века.

Применительно к деформационному движению частицы жидкости данный принцип означает, что поступательное движение частицы можно изучать через ее вращательное движение и наоборот.

Упомянутый выше интеграл уравнений (4)

H = —+1 (и 2 + v2 + w 2 )= const, (6)

Р 2

свидетельствует о том, что исключением вращательных движений в системе (4) осуществлен переход к уравнениям, описывающим только поступательные движения. При этом уравнение (6) суть частный случай таких движений, по которым с помощью формул (5) можно восстановить вращательное движения.

Уравнение (6) позволяет по заданному полю скоростей деформационного движения определить силы давления или по заданным силам давления определить скорости.

С целью нахождения скоростей деформационного движения из формул (2) и (3) можно получить следующие кинематические соотношения

д v д и

— = тг + 0з, ■—= 0з -mz;

д x д у

д w д v

~^ = тх + 01, —=0i- т x; (7)

д у д z (7)

д и д w

— = т у + 02, -Г— = 02 -ту.

д z д x

К ним добавим уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости

д и д у д м

— + — +-----= 0 (8)

д х д у д г

и соотношения (5) в следующем обобщенном виде

т

Ххи,

т

Х2 у ,

т

(9)

Здесь в (9) X X Х3 суть некоторые постоянные величины.

Из соотношений (7)-(9) можно получить очевидные равенства

д и

д х ду д г

д и = (10)

— = 0 з - Хзм ,

д у

ди

— = 0 2 + Х 2 у . д г

Теперь произведем почленное дифференцирование каждого из уравнений в (10) соответственно по х, у, z и с использованием формул (7) сложим вновь полученные уравнения. Тогда будем иметь

1 2,

V2и + 2Х1 (X2 + X3)и + 2(Х3 - X2)о 1 = 0,

где введен общеизвестный оператор

д2 д2 д2

(11)

V2 =■

д х2 д у2 д г2

Аналогичными преобразованиями из соотношений (7)-(9) можно получить следующие уравнения для двух других составляющих скорости

V у + 2 X2 (X! + Х3 )у + 2 (Х1 - Х3 ^)о2 = 0, (12)

х

(13)

Уравнения (11)-(13) впервые получены в [1]. Они описывают только поступательные движения частицы жидкости. В этих уравнениях содержится два своеобразных типа движений.

Действительно, пусть 01 = 02 = 03 = 0. Тогда уравнения (11)-(13) упрощаются так:

V и + 2Х1 (Х 2 + X 3 ^)и = 0,

V2 у + 2 X 2 (X1 + X 3 ^)у = 0,

V2м + 2X.3 (1 + X2 )~м = 0.

(14)

В [1] показано, что для таких движений вязкие касательные напряжения, определяемые по формулам Стокса, равны нулю.

Далее, пусть Х1 = Х2 = Х3= X. В этом случае из (12)-(13) получаем:

V 2 и + 4 X 2 и = 0,

V2у + 4 X2у = 0,

V2м + 4 X2м = 0.

(15)

Уравнения гидродинамики в форме (15) в середине прошлого века использовал профессор А.Я. Милович при изучении движений несжимаемой жидкости.

Заметим, что каждое из уравнений в (14) и (15) по своей форме совпадает с уравнением Э. Шредингера в квантовой механике.

Действительно, построение уравнений квантовой механики начинается с анализа известной Г амильтоновой функции действия Ш

Ж = ](г - V)ж,

(16)

Которая удовлетворяет уравнению Г амильтона в частных производных

+ V (х. у. г) = 0 (17)

дЖ 1

--------1------

д і 2т

чд х у

+

д у

+

В (16)—(17) через Т обозначена кинетическая энергия частицы массой т, а через V — ее потенциальная энергия.

Общеизвестно решение уравнения (17):

Ш = - ЕХ + £ (х, у, г), (18)

где Е — полная энергия частицы, а £ — суть некоторая функция координат.

Гамильтоном показано, что всякая функция Ш представляет систему поверхностей, скорость движения которых по нормали определяется так:

§ д/2т Е - V) (19)

Так как величина g определяет скорость передвижения какой-либо поверхности по нормали в одной из ее точек, то такое представление функции Ш совпадает с картиной распространения системы стационарных волн в оптически неоднородной среде. Очевидно, что в таком случае функция Ш пропорциональна фазе, а g — фазовая скорость.

Э. Шредингер связал систему поверхностей Ш с представлением о стационарных волнах, фаза которых определена величиной Ш в уравнении (18). Волновую же функцию у он представил в следующем виде

У = А (X, у, 2) БІП

Еі Б (х, у, 2 )

к

+

к

(20)

где функция А — амплитуда. Кроме того, Э. Шредингер ввел постоянную К, которая должна иметь физическую размерность действия (энергия помноженная на время), так как аргумент, стоящий под знаком синуса, должен быть отвлеченным числом.

Так как частота волны (20) равна, очевидно,

Е

и =------

2пК

(22)

то Э. Шредингер предположил, что К есть универсальная постоянная, не зависящая от природы механической системы. В частности можно предположить, И

что К равно , тогда частота и выразится уравнением 2п

Е

и = —

И

где И — постоянная Планка.

Для функции у напишем общеизвестное волновое уравнение

V2 1 д2у

V У =—т—т g2 дХ2

Если его решение искать в виде у = е± 'м ф (х, у, г ), то вместо (23) получим следующее соотношение

(23)

а

Ф = 0

(23)

(24)

(25)

Я

Е

Э. Шредингер предположил, что а = 2п , а скорость g определил по форИ

муле (19). Тогда будем вместо (25) иметь уравнение волновой механики, установленное Э. Шредингером

V2 Ф +

8п2 т (Е - V)

к2

Ф = 0,

(26)

в котором функция ф зависит только от координат х, у, z.

Составляя уравнение (26) с каждым из уравнений в (14)-(15) , необходимо предположить, то частица массой т обладает постоянной потенциальной энергией V. Более того кинетическая энергия Т равна (Е - V), поэтому из равенства (26)(14) получаем

2 А, (Я, + Я, ) = ,

к

, ч 8п 2тТ_

2 Я 2 (Я 1 + Я 3 )= --—2---

п~

2Я3 А + Я2)= 8К-тТз п~

2

Очевидно, что Т Т Т3 в (27) суть величины кинетической энергии частицы жидкости вдоль осей х, у, z соответственно.

Литература

1. Бубнов В.А. Кинематика жидкой частицы // Проблемы аксиоматики в гидрогазодинамике: Сб. ст. Вып. 7. - М.: Прометей, 1999. С. 11-29.

2. Жуковский Н.Е. Кинематика жидкого тела // Полн. собр. соч. Т. 2. - М.; Л.: ОНТИ-НКТП СССР, 1935. С. 7-145.

А.В. Хмелев,

С.В. Ширяев,

С.Е. Евдонин

медико-физическое обеспечение проведения позитронной эмиссионной томографии в онкологии

Изучены медико-физические особенности ПЭТ и основы применения ПЭТ-тех-нологии в онкологии. Эффективность применения ПЭТ в диагностике НМЛР, выразившаяся в росте ожидаемой продолжительности жизни пациента на 0,32 года, установлена методом количественного анализа по чувствительности диагностических процедур и подтверждена результатами клинических исследований.

Позитронная эмиссионная томография (ПЭТ) — относительно новая технология превентивной медицины, появившаяся в 1970 гг., наиболее часто применяющаяся в онкологии (90%) [5, 9]. ПЭТ является перспективным направлением ядерной медицины, использующим для лучевой диагностики радиофармпрепараты (РФП) — субстраты обмена веществ [5].

При потребности РФ в онкологических ПЭТ-исследованиях более 60 000 человек в год ни один из 4-х существующих ПЭТ-Центров в России не имеет онкологической специализации. Целенаправленные исследования медико-физических особенностей применения ПЭТ в онкологии не проводятся [4].

Около 20% всех онкологических заболеваний в России приходятся на рак легкого. Стандартный метод лечения немелкоклеточного рака легкого (НМРЛ) при отсутствии в организме у пациента метастазов — хирургическая операция. Из-за высокой стоимости операции и риска смерти очень важно точно отбирать кандидатов для этой сложной процедуры. Однако часто результаты традиционных исследований методом рентгеновской компьютерной томографии (КТ) остаются неопределенными и для такого отбора требуются дополнительные инвазивные процедуры. Результаты зарубежных работ [6, 7, 8] указывают на высокую эффективность применения ПЭТ для этой цели. Доказательств эффективности внедрения дорогостоящего метода ПЭТ в России на сегодня нет, а использование известных данных невозможно из-за различий в системах здравоохранения, эпидемиологии и стоимости лечения в разных странах. Данная работа посвящена изучению медико-физических особенностей и эффективности ПЭТ.

Метод ПЭТ заключается в наработке короткоживущих позитронно-излу-чающих радионуклидов на циклотроне, мечении ими специфических РФП,