Спиральные волны в идеальной вращающейся жидкости как модель электромагнитных волн в среде из идеального диэлектрика Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.527

А.Г.Ярмицкий

СПИРАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В ИДЕАЛЬНОЙ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ КАК МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В СРЕДЕ ИЗ ИДЕАЛЬНОГО ДИЭЛЕКТРИКА

Вихревые образования с однородно-винтовым течением жидкости исследовались в [1-3]. В отличие от этих течений, винтовых в смысле Громеки-Бельтрами, здесь рассматриваются неограниченные течения идеальной жидкости, винтовые по Жуковскому, когда вихрь абсолютного движения коллинеарен вектору скорости относительного движения.

Построен векторный потенциал и обобщено понятие функции тока на трехмерные однородно-винтовые течения.

На основе этого обобщения показано, что вращающаяся жидкость может генерировать не только осесиммеТричные [4, 5] волны конечной амплитуды, но и асимметричные. Асимметрия влечет уменьшение длин волн, соответствующих одинаковым частотам. С увеличнием частоты, подобно осесимметричному случаю, длины волн монотонно убывают.

Отмечается электромагнитная аналогия: уравнения Максвелла в предположении отсутствия стороннего тока й равной нулю проводимости среды (совершенный диэлектрик) при определенной зависимости между комплексными электрическим и магнитным векторами совпадают с уравнением (1.3) для скорости винтового потока идеальной жидкости. Это обстоятельство позволяет взаимно моделировать электромагнитное и гидродинамическое поля рассматриваемого вида.

1. Уравнение Громеки-Ламба в системе отсчета, совершающей произвольное равномерное движение, как известно, имеет вид:

дУ

+ (rotV+ m)xV = ~VE (1.1)

д i v '

-2

Р \V\

Здесь V - относительная скорость жидкости; t - время; Е =--1---(- П -

Р 2

энергия единицы массы жидкости; Р - давление; р - плотность; П - потенциал массовых сил, включающий член —(ílxr)2 , обусловленный центробежной

силой инерции; Q - угловая скорость системы координат; Г - радиус-вектор точки.

Рассмотрим винтовое течение по Жуковскому, когда вихревые линии абсолютного движения жидкости совпадают с линиями тока относительного движения:

rotV = k{y~2k^O) (keR) (12)

В этом случае движение установившееся и Е = const. Второе слагаемое в

скобках идентифицируем с поступательной компонентой W переносной скорости, так что

Ж = -2Аг'п, . rolü = kv> Í1-3)

где и = V + W - скорость частицы жидкости относительно только лишь вращающихся осей.

Так как с одной стороны, rot rot u = k2\S, а с другой, rot rot ü = -V(di\> u) - V2v), mo D удовлетворяет уравнению

(v2+/c2) o=0

(V2 - лапласиан).

Уравнение (1.4) совместно с уравнением <#о о = О образует систему, эквивалентную второму из уравнении (1.3). Решение (1.3) ищем в виде

v = roiW + k-lrorrotW О5)

Это приводит к соотношению

/•i?i(v2iP+A:247) = 0 U-6)

Обобщенный векторный потенциал ¥ выберем так, чтобы

(v2+k2)¥=o

Тогда для О получаем выражение

и = ror ¥+ *4(v(Au W)'+k2W) V-*)

Любопытная параллель: уравнениям Максвелла в предположении отсутствия стороннего тока и равной нулю проводимости среды (совершенный диэлектрик) можно придатъвид f<5]j

rot Е%~ ikH\ rot #' = -ikE' где и Н комплексные электрический и

магнитный векторы соответственно, s и ц - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.

В частном случае Е'—iH' оба уравнения совпадают с уравнением

(1.3), где следует положить к2 — 0)2 £ ja / с2 (о - круговая частота колебаний, с - электродинамическая постоянная).

В этом случае для представления электромагнитного поля вместо двух скалярных функций [6] достаточно одной, определяемой ниже.

Тем самым появляется возможность моделирования гидродинамического и электромагнитного ложй рассматриваемого вида.

2. Запишем (1.7) и (1.8) в специально выбранной системе ортогональных криволинейных координат q{, q2, д3.

Пусть векторный потенциал 4х = (О, О, / Нъ) в этой системе; Нъ -один из коэффициентов Ламе Н^

q jq I _\

Кроме условия Громеки [7] -- = 0 \i = 1,3/, на выбранную систему

д q3

д Я, д Нъ л

координат наложим дополнительное требование: —— =-= 0. Другими

д ql д q2

словами, коэффициенты Ламе Я{ и Нг зависят только от qx и q2, а Я3 = const. С геометрической точки зрения это означает, что координатные поверхности = const - плоскости, a qi = const (/ - 1; 2) - цилиндрические поверхности с образующими (координатными линиями q3), перпендикулярны -ми плоскостям = const [8).

Положив q3 = г, получим систему ортогональных цилиндрических координат qvq2,z [9J. Коэффициенты Ламе в этом случае

д х

д Яг

^ <?1

Кроме круговых цилиндрических координат, примерами таких систем координат служат биполярная, эллиптическая и параболическая цилиндрические системы.

В ортогональных цилиндрических координатах qv q2^z основополагающее уравнение (1.7) представляет собой уравнение Гелмгольца

(2.1)

V2 =

я,я2

д ql

Я,

1

Я, д ЯАЯ2 дqг

В силу (1.8) компоненты скорости течения:

,, I д2х¥ дУ и1 ^ /с---+ -

Я,

Я, дг д ql Н2д q1

д

д q2

д г2

о 2= к

-I

1

д2у¥

Я2 д 2 д q2 Щд q^

(2.2)

и, = к

-I

д2ч>

дг2

+ к2У

Функцию ¥ уместно назвать обобщенной функцией тока. В случае однородно-винтового циркуляционного течения [7] она совпадает с обычной функцией тока для невязкой жидкости. В случае осесимметричного течения в круговых цилиндрических координатах она связана с функцией тока у соотношением

д ¥

ц/ ~ -к г

д г

И, наконец, в тех же координатах она пропорциональна так называемому обобщенному потенциалу 110]. 3. Положим

Тогда уравнение (2.1) сведется к двумерному уравнению Гельмгольца:

где

1

41Ъ

н,

\

н,н2

п

О! = 1к а

д П

д<\г)

Выражения (2.2) принимают при этом следующий вид

а У дч

Н{д qi Нгд д2

о2 = гк~ а

д ¥

ау

Н2д д2 Н^д ql

(3.3)

о^АГ^-а2)^

откуда видно, что поперечные компоненты вектора скорости при к2 — а2 ^ О могут быть найдены простым дифференцированием продольной компоненты

Г

и, = 5

и2 = 6

-2

-2

гЗи _ , Зи

га-— + А:

V

Н,д Н2д <?2

'. до _ . ди «а--

(3.4)

Н2д д2 Нхд (б2 = к2 -а2)

Сама же продольная компонента скорости является решением уравнения

^ о,+84=0 <">

При а = 0 (3.4), (3.5) совпадают с соответствующими выражениями Громеки [7].

В круговых цилиндрически х координатах г, ©, г

„_2[ . ди 2 , ш ^ и. =5 га-г- + к

д г гЖ

(3.6)

/

_2\ . ди . , < д) _

и,, = 5 га-- — к

гШ д г ) У>г+бЧ-0, (3-7)

где У2е - оператор Лапласа в полярных координатах.

4. На основе выведенных соотношений покажем, что равномерно вращающаяся неограниченная идеальная жидкость может генерировать не только осесимметричные волны конечной амплитуды [4, 5], но и асимметричные.

Следуя [10], удобно проводить исследование в цилиндрической системе координат, жестко связанной с волной; так что эта система вращается вместе с жидкостью с угловой скоростью и перемещается с фазовой скоростью V/ распространения волны вдоль оси вращения г. Тогда из первого соотношения

(1.3) к=-2С1/№.

Разделяя переменные в (3.7), найдем решение, удовлетворяющее условию конечности скорости на оси вращения (г - 0):

уг = -IV = С/„(5г)ехр г(аг±пв) + 2к~1П <4-0

(п = 0,1,2,...)

здесь Jп - бесселева функция первого рода п - го порядка, а - продольное

волновое число, л - угловое волновое число, б = у ш — у \ а, у а = со / (2П) < 1, со = а XV - частота волны, С - произвольная постоянная.

В системе координат, только лишь вращающейся вместе с жидкостью, как единое целое, получаем прогрессивную волну, перемещающуюся в

положительном направлении оси вращения г (вектора угловой скорости П): иг = С /„(5 г) ехр г(аг± пв - со г) (4.2)

Остальные компоненты вектора скорости найдем с помощью (3.6). В поле течения появляются перемещающиеся вместе с волной вихревые нити, на которых осевая и радиальная компоненты скорости жидкости отсутствуют. Эти вихревые нити оказывают существенное влияние на картину течения (см.рис, 7.6.4 [4], соответствующий осесимметричному течению (п=0)). Их уравнения

г = гП8, 2 = а '(оИ±п9 + гшс), шеХ,

где Гт = )па /5, - з -й нуль бесселевой функции /„(*).

В произвольный фиксированный момеент времени и заданном п расстояние между каждьми двумя соседними вихревыми нитями вдоль оси г составляет л?а.

Задавшись расстоянием г — К ближайшей к оси вращения вихревой нити, получим дисперсионное соотношение:

(п) .

у« = ^7

(4.3)

в котором у (ХпК - безразмерное волновое число, соответствующее уя1.

Л"

С/ /5 '

Рис. Зависимость между безразмерными частотами и безразмерными длинами волн при различных значениях углового волнового числа.

При одном и том же значении безразмерной частоты безразмерные длины волн у 1 /у ^ обратно пропорциональны первым нулям функций

Jn{x). В частности,

V (я)- Ьх. V (0) У \ ~ . ! X ■

Л1

т.е. при фиксированном угловом

волновом числе п безразмерные длины асимметричных волн пропорциональны безразмерной длине осесимметричной волны и убывают с ростом п (рис.). В интервале 0 < у < 1 при любом п безразмерные длины

волн у х , монотонно убывают. При одном и том же значении у ф наибольшей величины они достигают в осесимметричной волне. С увеличением п дисперсионные кривые сближаются, а при значениях уш , близких к 1, почти сливаются.

Соотношение (4.3) позволяет также по известной длине волны при заданных уа и п определить расстояние ближайшей к оси вращения вихревой нити, перемещающейся с волной.

Вдали от оси вращения, подобно осесимметричному случаю, волна

-1/2

исчезает (правда, довольно медленно: как Г ), и жидкость вращается, как твердое тело.

Заметим, что согласно п.1 в терминах электромагнетизма (4.2) можно интерпретировать, как направляемую, вообще говоря, асимметричную электромагнитную волну в безграничной среде из идеального диэлектрика, когда электрический и магнитный векторы. связаны соотношением

у/гЕ - .

Эта работа была частично поддержана грантом № АР1Т 051И 5 Международной Соросовекой Программы поддержки образования в области точных наук в Украине.

Библиографический список

1. Ярмицкий А. Г. Об одном пространственном аналоге вихревого столб» Чаплыгина (обобщенный вихрь Хилла) // ПМТФ.- 1974, № 5,- С. 137-141.

2. Ярмицкий А. Г. Об одном классе осесимметричных неустановившихся течений вязкой несжимаемой жидкости Н ПМТФ.- 1978, N1 2,- С.59-66.

3. Ярмицкий А.Г. Смерчеподобный вихрь Чаплыгина // МЖГ. - 1992, № 4.- С.52-59.

4. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир., 1973.- 758 с.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е М. Теоретическая физика. Т.У1. Гидродинамика. М.: Наука, 1988,- 736 с.

6. Котляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: ГИФМЛ, 1962.- 767 с.

7. Васильев О.Ф. Основы механики винтовых и циркуляционных потоков. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1958.- 144 с.

8. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Л.; М.: ОНТИ, 1937.- 656 с.

9. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976.- 630 с.

10. Салтапов Н. В. Обобщенный потенциал в теории однородных винтовых потоков несжимаемой жидкости //ДАН СССР.- 1989.- Т.305, № 6.- С.1325-1327.