Замечание об одном интегральном представлении Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517

1 2 3 4 ©

Пекельник Н.М. , Хаустова О.И. , Попова Н.И. , Трефилова И.А.

12

К.п.н., доцент, кафедра высшей математики; к.п.н., доцент, кафедра высшей математики; 3к.п.н., доцент, кафедра высшей математики; 4преподаватель, кафедра высшей математики. Сибирский государственный университет путей сообщения

ЗАМЕЧАНИЕ ОБ ОДНОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

Аннотация

Статья посвящена вычислению одного типа несобственных интегралов, содержащих произведение экспоненциальной функции и нечетных степеней косинуса. Установлено, что рассматриваемые интегралы выражаются через некоторые суммы, где в качестве слагаемых выступают произведения сочетаний и экспонент специального вида. Кроме того, в работе для данных определенных интегралов установлены рекуррентные соотношения.

Ключевые слова: интеграл, определенный интеграл, экспоненциальная функция, несобственный интеграл, интегральное представление.

Keywords: integral, the definite integral, exponential function, improper integral, integral representation.

В различных областях математического анализа встречается интеграл Je~x dx,

0

который с точностью до множителя совпадает с интегралом Пуассона. Его обобщением

является выражение вида Je~x cos axdx. В различных классических учебниках и

0

справочниках приведена формула для вычисления последнего интеграла. Так в [1 - 3] показано, что для любого действительного a справедливо равенство:

^ д/— ^ 2

Je ~x cos axdx =-e 4 . (1)

0 2

В работе [4] для любого натурального числа m была получена формула для

вычисления интегралов вида 12m = Je ~x sin2m axdx.

0

Целью данной работы является вывод формулы, аналогичной (1), для вычисления

интеграла A2m-1 = Je~x cos2m-1 axdx, где m — любое натуральное число. Кроме того в статье

0

устанавливаются рекуррентные соотношения, связывающие A2m+1 и A2m-1.

Основные результаты сформулированы ниже в виде следующих утверждений. Теорема 1.1. Для любого натурального m и произвольного действительного a справедливо равенство:

¥ — m a2 (2k-1)2

4m-1 = Je-x2 cos2m-1 axdx = £ C^e 4 , (2)

22

0 2 k=1

где, как обычно, Сп — число сочетаний из п элементов по к, вычисляемое по формуле:

П!

Ск =----(3)

Сп к!(п - к)!' (3)

© Пекельник Н.М., Хаустова О.И., Попова Н.И., Трефилова И.А., 2016 г.

Теорема 1.2. Для любого натурального т и произвольного действительного а имеет место рекуррентное соотношение:

4ж m (2k -1)2 - (2m +1)

2 i\ a2 (2k-1)2 a 2(2m+1)2

Л - Л . ТЬ -У+'ПТЧ Ст+ке 4 + е 4 (4)

Лт+1 Лт-1 + 22'"+1 - 2т (2т +1) С2т+1^ +е . (4)

Сформулируем и докажем утверждения, необходимые для вывода формулы (2). Лемма 1. Справедливо равенство:

л/т-к . г^п-к-1 . г^п-к+1 _ г^п-к+1

2С2п-1 + С2и-1 + С2и-1 — С2и+1 . (5)

Доказательство. Воспользуемся следующим известным рекуррентным равенством для сочетаний:

ск—сП-1+с-;. (6)

Дважды применяя (6), получаем цепочку равенств:

л/-гп-к . г^п-к-1 . г^п - к+1 _ г^п-к-1 . г^п-к . г^п-к . г^п-к+1 _

2С2п-1 + С2п-1 + С2п-1 — С2п-1 + С2п-1 + С2п-1 + С2п-1 —

_ г^п-к . г^п-к+1 _ г^п-к+1

— С2п + С2п — С2п+1 .

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Имеет место соотношение:

п-1 п-1 п-2 п

2С2п-1 + С2п-1 + С2п-1 — С2п+1 . (7)

Доказательство. Заметим, что, согласно определению (3):

С2пп"-1 — С2пп-1. (8)

Из формулы (5) при k = 1, учитывая (8) получаем:

r\/~in—1 . s~in-1 - s~in-2 _ r\ s~in-1 - - s~in-2 _

2C2n-1 + C2n-1 + C2n-1 = 2C2n-1 + C2n-1 + C2n-1 = C2n+1 •

Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Справедливо равенство:

2C0 + Г1 = Г1 (9)

2n-1 2n-1 2n+1 • W

2 n -1 2 n -1 2 n + 1

Доказательство непосредственно следует из формулы (3).

Очевидно, что cos3 a можно записать следующим образом:

cos3 a = cos2 a • cos a = 1 (1 + cos 2a) • cos a = 1 (cos a + cos 2a cos a) =

1 1 í \ 1 2 = -(3cosa + cos3a)= — (C3cosa+Г30 cos3a)= — Z C32-k cos(2k - 1)a. (10)

Аналогичная форма представления для cos5 a принимает вид:

cos5 a = cos2 a • cos3 a =1 (1 + cos 2a) • — (3 cos a + cos 3a) = — (5 cos a + 5 cos 3a + cos 5a) =

2V 4V У 16v У

= -1 (C52 cosa + C1 cos 3a + C50 cos 5a) = -1 ¿ Г53-k cos(2k - 1)a. (11)

2 2 k=1

Кроме того,

cos7 a = cos2 a • cos5 a =1 (1 + cos 2a) • — (5 cos a + 5 cos3a + cos 5a) =

2V 16v '

= — (35cosa + 21cos3a+ 7cos5a + cos7a) = 64

= (Г73 cos a + C72 cos3a+C cos5a+Г" cos 7a) =

1 4

= Z C7-k cos(2k - 1)a. (12)

2 k=1

Формулы (10) - (12) позволяют сформулировать следующее утверждение. Лемма 4. Для любого натурального m имеет место соотношение:

i m

cos2-"1 a = — Zcmm-i cos(2k - 1)a. (13)

2 k=1

Доказательство. Равенства (10) - (12) показывают, что равенство (13) выполняется для m = 1, 2,3. Допустим, что оно верно для m = n. Покажем, что тогда равенство (13) справедливо и для m = n +1. Имеем:

1 n 1

cos2n+1 a = cos2n-1 a • cos2 a = Z Cn-1 cos(2k - 1)a • - (1 + cos 2a) =

1 ( n n ^

^T^1"!I ZCn-1 cos(2k- 1)a + 2C2n„--k1cos(2k- 1)a cos2a .

2 V k=1 k=1 J

Используя известную формулу преобразования произведения косинусов в сумму, получаем:

1 ( n

cos2n+1 a = I 2^Cn2~n\ cos(2k - 1)a +

+ Z C^ cos(2(k -1) - 1)a + Z C^ cos(2(k +1) - 1)a .

k=1 k=1 J

Изменив порядок суммирования в двух последних суммах, имеем:

1 ( n

cos2n+1 a = — I 2^ C2nn--k1 cos(2k - 1)a +

n—1 n+1 ^

+ Z Cn--1 cos(2k - 1)a + Z C"^1 cos(2k - 1)a

k=0 k=2 J

Проведя пререгруппировку слагаемых, получаем:

1 n n-1 n+1

cos2n+1 a = I 2Z C2n-- cos(2k - 1)a + Z C^-1 cos(2k - 1)a + Z С;-*1 cos(2k - 1)a

2 V k=1 k=0 k=2 J

1 ( n-1

n -1 n - k 0

22n

2C2nn"-1 cos a + Z 2C2n--k1 cos(2k - 1)a +2C20n-1 cos(2n - 1)a +

k=2

n-1

C^ cos a + C2n--21 cos a + Z C2n--k1-1 cos(2k - 1)a +

k=2

n-1

+ Z C2nn"-k1+1 cos(2k - 1)a + C1n-1 cos(2n - 1)a + C20n-1 cos(2(n +1) - 1)a

k=2

((2C^1 + C2n;-1 + C2n;-2)cosa+ Z (2C2nn"-k1 + C2nn"-k1-1 + C£)cos(2k - 1)a +

2 k=2

+ (2C2°n-1 + C1n-1 )cos(2n - 1)a + C^ cos(2(n +1) - 1)a). Отсюда, используя равенства (5),(7) и (9), выводим:

1 n-1 cos2n+1 a =-wn ((C2nn+1 cos a + Z C^1 cos(2k - 1)a +

^ k=2 + C1n+1 cos(2n - 1)a + C20n+1 cos(2(n +1) - 1)a).

Таким образом,

n+1

cos2n+1a =-L Z C2n;+-k cos(2k - 1)a.

2 k=1

Лемма 4 доказана.

Лемма 5. Справедливо равенство:

4Cn-k - Cn+1-k = (2n + 1) (2k 1) Cn+k (14)

4C2n-1 C2n+1 = ~ , ч C2n+1 . (14)

2n(2n +1)

Доказательство. Из определения числа сочетаний (3) имеем:

4(2п -1)! (2п +1)!

п-к п+1-к

4С2п-1 - С2п+1

(п + к - 1)!(п - к)! (п + к)!(п - к +1)! 4(2п - 1)!(п - к + 1)(п + к) - (2п +1)! _ (2п - 1)!(2п + 4к - 4к2)

(п - к + 1)!(п + к)!

(п - к + 1)!(п + к)!

(2п +1) - (2к -1)2 2п(2п +1)

С.

п+к 2п+1 .

Лемма 5 доказана.

Приведем доказательство основных результатов. Доказательство теоремы 1.1. Из равенств (1) и (13) следует, что

1

А2т-1 — |е х2 соб2™ 1 ахдх — ^зу У С™™- |е х2 соБ(2к - Х)ахдх —

2т-2 / ,2т-к—1

22

С2т-1

к—1

2

— У ^ С™"к

— 02т-1 — С2т-1

т-к е 4

к—1

Теорема 1.1 доказана. Доказательство теоремы 1.2. Из равенств (2) и (14) следует, что

т+1

А - А

2т+1 2т-1

а2 (2к-1)2

2т- 1 2 т +1 2 т +1

2

—С

т+1-к^ 4

а2 (2к-1)2

к—1

2

2т

^уот-к С2т-

т-ке 4 2т-1

к—1

2 т +1

+1-к _Д(~*т - к К

\С2т+1 - 4С2т-1 Г

а2(2к-1)2 а2(2т+1)2 Л

-к 4

+ е

к—1

22

а2 (2к-1)2 а2(2т+1)2Л

у (2к -1)2 - (2т +1) Сп+к е--— + е--4

й 2т(2т +1) 2п+1

Теорема 1.2 доказана.

Рассмотрим некоторые следствия теоремы 1.1.

Соотношение (2) имеет наиболее простой вид при малых значениях т. Именно, имеют место следующие утверждения.

Следствие 1. Справедливо равенство:

'С а2 9а2 Л

Аз ° {<

е х соБ3 ахйх —

8

Зе 4 +е 4

V J

Доказательство. Из формулы (2) и равенства (3), при т — 2 следует, что:

"С а2 9а2 Л ¡—С а2 9а2 Л

А —

3 23

С]е 4 + С30е 4

8

3е 4 +е 4

V J

Следствие 1 доказано.

Следствие 2. Имеет место интегральное представление:

а2 9а2 25а2

А5 ° I

е х соБ5 ахёх —

32

10е 4 + 5е 4 + е 4

V J

Доказательство. Аналогично предыдущему выводим:

(15)

0

0

а (2к-1)2

а2(2к-1)2

1

4

е

4

0

0

A =

5 25

9a 2

C22e 4 + C5e " 4 + C50e

25 a 0„

2

32

9a2

25a

2

v J

Следствие 2 доказано. Следствие 3. Справедливо равенство:

" ( 25a

35e"т + 21e" + 7e"

10e 4 + 5e 4 + e 4

v J

A ° J

e x cos axdx =

128

49 a

2^

+ e

v

Доказательство. Согласно формуле (2) и равенству (3), при m = 4 получаем:

'( a2 9a2 25a2 49a2 Л

A =

7 27

128

C73e 4 + C72e 4 + C7e 4 + C70e 4

v

f _ a2 _9a2 _25a2 _49a

35e"T + 21e" + 7e" ~ + e" ~

v

J

Следствие 3 доказано.

2

2

a

a

4

0

Литература

1. Двайт, Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г. Б. Двайт; пер. с англ. Н. В. Леви; под ред. К. А. Семендяева. - Изд. 10-е, стер. - СПб. ; М.; Краснодар: Лань, 2009. - 232 с.

2. Курант, Р. Курс дифференциального исчисления / Р. Курант; пер. с нем. и англ. З. Г. Либина и Ю. Л. Рабиновича; под ред. К. А. Семендяева. - Том 2 - Изд. 2-е, перераб. доп. - М.: «НАУКА», 1970. - 671 с.

3. Смирнов, В. И. Курс высшей математики / В. И. Смирнов. - Том 2 - Изд. 21-е, стер. - М.: «НАУКА», 1974. - 656 с.

4. Пожидаев, А. В. О вычислении некоторых несобственных интегралов / А. В. Пожидаев, Н. М. Пекельник, О. И. Хаустова, И. А. Трефилова. // Естественные и технические науки. - 2015. - № 11(89). - С. 30 -35.