Предельные множества Азарина функций и асимптотическое представление интегралов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 11. № 2 (2019). С. 99-117.

УДК 517.53

ПРЕДЕЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА АЗАРИНА ФУНКЦИЙ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

К.Г. МАЛЮТИН, Т.И. МАЛЮТИНА, Т.В. ШЕВЦОВА

Аннотация. В представленной статье рассматриваются интегралы вида

ь

J f (t) exp[^(ri) ln(ri)] dt,

a

где <^(r) — гладкая, возрастающая функция на полуоси [0, œ) такая, что limr^+X = œ . Получены точные сведения об их асимптотическом поведении. Мы доказываем аналог леммы Римана-Лебега для тригонометрических интегралов. Применение этой леммы позволяет получить асимптотические формулы для интегралов с абсолютно непрерывной функцией. Предлагаемый метод получения асимптотических формул отличается от классических методов (метод Лапласа, применение теории вычетов, метод перевала и др.) Чтобы добиться большей цельности изложения мы, по большей части, ограничиваемся ядрами exp[f lnp(ri)]. Соответствующие условия гладкости на функцию f(t) позволяют получать многочленные формулы. Свойства интегралов и методы получения асимптотических оценок различаются для случаев р G (0,1) р = 1, р > 1. При р G (0,1) асимптотические разложения получаются уже другим методом — методом разложения ядра в ряд. Рассматриваются случаи, когда в качестве абсолютно непрерывной функции f (t) берется произведение степенной функции tp на ядро Пуассона или сопряженное ядро Пуассона для полуплоскости, а в качестве промежутка интегрирования берется мнимая полуось. Вещественные и мнимые части этих интегралов представляют собой гармонические функции в комплексной плоскости, разрезанной по положительному лучу. Найдены предельные множества Азарина для таких функций.

Ключевые слова: лемма Римана-Лебега, тригонометрический интеграл, асимптотическая формула, ядро Пуассона, гармоническая функция, предельное множество Азарина.

Mathematics Subject Classification: 30Е15, 31С05

1. Введение

В этой статье мы рассматриваем интегралы вида

ь

J f (t) exp[ip(rt) ln(ri)] dt,

a

где <p(r) — гладкая, возрастающая функция на полуоси [0, œ) такая, что

lim p(r) = œ,

и получаем точные сведения об их асимптотическом поведении.

K.G. Malyutin, ГЛ. Malyutina, T.Y. Shevtsova,Azarin limiting sets of functions and

asymptotic representation of integrals.

©Малютин К.Г., Малютина Т.И., Шевцова Т.В. 2019.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-01-00236. Поступила 18 июня 2018 г.

Ядро ехр[г<р(г£) 1п(г£)] достаточно своеобразное. Например, в трехтомной монографии Э. Рискстипыпа |1НЗ|, ГДС, о та^ости, рассматриваются иптсграли вида } /(*) Л,

а

асимптотические разложения интегралов с такими ядрами не исследуются. Мы доказываем аналог леммы Римана-Лебега для тригонометрических интегралов (лемма 1), Применение этой леммы позволяет получить одночленные асимптотические формулы для интегралов с абсолютно непрерывной функцией f (¿) (теоремы 1, 2, 3), Заметим, что предлагаемый метод получения асимптотических формул отличается от классических методов (метод Лапласа, применение теории вычетов, метод перевала и др.), описанных в монографии М. А. Евграфова [4].

Чтобы добиться большей цельности изложения, мы, по большей части, ограничиваемся ядрами ехр[г 1пр(г£)], Соответствующие условия гладкости па функцию f (¿) позволяют получать многочленные формулы (теорема 4), Свойства интегралов и методы получения асимптотических оценок различаются для случаев р € (0,1), р = 1, р > 1, При р € (0,1) асимптотические разложения получаются уже другим методом — методом разложения ядра в ряд (теорема 5), Затем мы изучаем уже совсем конкретные функции, когда в качестве функции f (¿) берется произведение на ядро Пуассона или сопряженное ядро Пуассона для полуплоскости, а в качестве промежутка интегрирования берется луч [0, то). Вещественные и мнимые части этих интегралов, которые мы обозначаем икк = 3, 4, 5, 6, представляют собой гармонические функции в комплексной плоскости, разрезанной по положительному лучу.

Важной характеристикой роста субгармонической и, в частности, гармонической функции и(г) является те предельное множество Азарина [5] Рг и. Это предельное множество семейства функций щ(г) = (р — порядок и) при £ ^ в топологии про-

странства обобщенных функций Шварца, В случае р € (0,1) мы находим предельное множество Азарина функций ик Предельное множество Азарина несет в себе больше информации о поведении субгармонических функций в окрестности бесконечности, чем индикатор. Общая теория дает теорему о характеризации предельных множеств Азарина и гарантирует существование субгармонических функций с заданным предельным множеством. Однако, мы даем примеры конкретных функций нерегулярного роста, для которых вычисляется предельное множество Азарина, До сих пор асимптотические оценки, в основном, строились для функций вполне регулярного роста. Такие функции хорошо приближают некоторые субгармонические функции с корнями на одном луче. Мы указываем такие функции. Тем самым, мы указываем широкий набор субгармонических функций нерегулярного роста с известным асимптотическим поведением. Заметим, что в книге Б, Я, Левина [6] приведены асимптотические формулы для класса целых функций вполне регулярного роста. Целые функции вполне регулярного роста изучены наиболее полно, встречаются в большом количестве работ и имеют разнообразные применения. Однако, современные исследования вопросов полноты и представления рядами в функциональных пространствах, проблем теории аналитического продолжения, задач теории дифференциальных операторов бесконечного порядка и операторов типа свертки требуют систематического изучения целых функций, не обладающих сколь-нибудь правильным поведением. Поэтому актуальной является разработка методов решения задач, связанных с нахождением экстремальных значений для основных асимптотических характеристик роста целых функций из весьма общих и естественных классов, В последнее время появились многочисленные работы, посвященные этой тематике. Отметим совместную работу Г, Г, Брайчева и В, Б, Шерстюкова [7], и работу В, Б, Шерстюкова [8].

2. Об одном аналоге теоремы Римана-Лебега

Мы начнем е аналога леммы Римана-Лебега [9, е, 49] о стремлении к нулю коэффициентов Фурье произвольной интегрируемой функции.

Лемма 1. Пусть f (I) Е Ь1([а,Ь]), 0 ^ а < Ь < и пусть р(г) — возрастающая,

дважды, дифференцируемая функция на, полуоси, [0, такая, что

.... г2ю"(г)\п г Иш р(г) = то , Иш -—-—-■—

г^+те г^+те (гф' (г) Ш Г + '^(г))2

0.

(1)

Тогда,

Иш / /({) ехр[11£(Н)\п(Н)} ¿1 = 0 .

г^+те I

Доказательство. Заметим, что если / (I) Е Ь1([а,Ь]), то справедливо неравенство

/(I) ехр[р^(Н) 1п(г£)] сИ

<

\/Я = ||/1|

1.

(2)

Пусть через ^ обозначено множество функций $ (I) Е Ь1([а,Ь]), для которых справедливо утверждение леммы. Из (1) и (2) следует, что Е является замкнутым подмножеством в Ь1 ([а, &]) (относительно топологии, определяв мой нормой || • ||1). Очевидно, также, что ^ является линейным подпространством пространства Ь1([а, Ь]). Поэтому для доказательства леммы достаточно показать, что Е содержит хотя бы одно множество функций, конечные линейные комбинации которых плотны в Ь1([а,Ь]). Можно указать много таких множеств. В качестве примера возьмем множество С1([а,Ь]) непрерывно дифференцируемых функций на отрезке [а,Ь].

Пусть $ Е С1([а, Ь]) и пусть вначале а> 0. Заметим, что при г > 1/а

ехр[щ(Н) 1п(г£)] &

Ь ¿(ехр[щ(Н) 1п(г£)]) г(гЬ^ (Н) 1п(г£) + ^(гЬ))

После интегрирования по частям получаем

{(I) ехр[р^(Н) 1п(г£)] сИ

/ (Ь)Ь ехр[1р(г1) 1п(г£)]

г(Н(р' (Н) 1п(г£) + <р(Н))

/ + / (г)

(Н) 1п(г£) + <р(Н)

f (г)г(гр' (н) 1п(н) + гЧр" (н) 1п(н) + (н)) (Н<р' (Н) 1п(г£) + р(г£))2

ехр[щ(Н) 1п(г£)] &.

ь

ь

ь

ь

ь

а

Ь

1

Из (1) следует, что правая часть последнего равенства стремится к нулю при г ^ Если а = 0 / € ^([0, Ь]), то то заданному е > 0 выберем 5 > 0 так, чтобы выполнялось неравенство

г

/ (*) й

^ е.

Тогда, учитывая равенство | exp[г^(rí) 1п(г£)] | = 1, имеем

/(¿) exp[г^(rí) 1п(г£] | &

6 ь Г Г

= / + / ^ £ +

и и 0 й

/(¿) exp[г^(rí) 1п(г£] | &

откуда, по первой части доказательства, получим утверждение леммы.

□

Замечание 1. В лемме 1, как и в лемме Римана-Лебега, не оценивается скорость стремления к нулю интеграла. Это и в принципе невозможно сделать при ограничении $ € Ь1([а, Ь]). При дополнительных ограничениях па гладкость функции f с помощью интегрирования по частям можно получить более детальную информацию об асимптотическом поведении интеграла.

Замечание 2. Ограничениям (1) удовлетворяет достаточно широкий класс функций. Например, ему удовлетворяют функции <р(г) = (1п г)а, <р(г) = га, <р(г) = exp(rст) (а > 0) и т п

3. Асимптотические формулы для интегралов

Теорема 1. Пусть f(¿) — абсолютно непрерывная функция на, сегменте [а,Ь], 0 < а <Ь < то, р € Е, и пусть фун кция р(г) удовлетворяет условию (1). Тогда, при г ^ +то

ь

J ! (г) ¿(гр ос8[^(г*)1п(Г*)]) =

а

= Ьр f (Ь) осв[^(Ьг) 1п(Ьг)] — ар £(а) осв[^(аг) 1п(аг)] + о(1), ь

J /(¿) ¿(У 8т[^(г£)1п(г£)]) =

а

= bpf (Ь) 8т[^(Ьг) 1п(Ьг)] — ар!(а) в1п[^(аг) 1п(аг)] + о(1).

(3)

по частям, получим

ь

J /(¿) ¿(гр со8[^(г£)1п(г£)]) =

а

Ь

= / (¿) гр 0С8^(г£)1п(г£)]£ — [/СО гр 0С8^(г£)1п(г£)] <И.

(3)

Так как f' € Ь1([а,Ь]), то по лемме 1 интеграл в правой части сходится к нулю при г ^ +то.

Вторая формула в (3) доказывается аналогично, □

ь

ь

Рассмотрим теперь частный случай ^р(г) = (1п г)а, где а > 0 — постоянное число, В этом случае мы получаем формулы для предельного множества интегралов в (3) по направлению г ^

Теорема 2. Пусть f (Ь) — абсолютно непрерывная функция на, сегменте [а,Ь], 0 < а < Ь < ж, и пусть р Е Ш, р > 1 — постоянные числа. Тогда, предельное .множество интегралов

ь ь

У /(г) ¿(У оо8[(1п(Н))р]), J /(г) ¿(У 8т[(1п(г£))р])

а а

по направлению г ^ совпадает с сегментом

(о)1- Ър\!(Ь)1, а'\/(а)| + Ър\!(Ь)\] .

Доказательство. Предварительно докажем лемму.

Лемма 2. Пусть р — Т-периодическая, непрерывная функция, число р > 1, А = р([0,Т)), а, Ь — произвол,ные числа, 0 < а < Ь < ж. Тогда, предельное .множество функции (<р((х + а)р), <р((х + Ь)р)): (—а, +ж) ^ Ш2 при х ^ +ж совпадает с декартовым, квадратом А х А.

Доказательство. Пусть /(х) = (х1/р + с)р, тогда для х > \с\р

' м = (1 + ^ Г = 1 + ^ +....

Зафиксируем число х Е [0,Т) и определим последовательность хк условием хк = (х + кТ)1/р — а, (хк + а)р = х + кТ, к Е N.

Обозначим

п^к = (хк + Ь)р = ((х + кТ)1/р + Ь — а)Р = Ук + ](к) Т,

где ](к) Е N Ук Е [0,Т),

Применяя формулу конечных приращений Лагранжа, получим

Шк+1 — Ык = ((х + (к + 1)Т )1/р + Ь — а)Р — ((х + кТ )1/р + Ь — а)Р =

= т (1 +__У" = г (1+ (Ь — а)(р — 1) + ) =

V + (х + (к + в)Т у/р) V + (х + (к + в)т )1/р + ... )

= Т + Ак, в Е (0,1).

Ясно, что

. = ( (Ь — а)(р — 1) . (Ь — а)(р — 1)(р — 2) + \ к V(х + (к + 0)Т)1/р + 2(х + (к + в)Т)2/р + ...) ~ (Ь — а)(р — 1) (х + (к + д)Т )1/р , .

Таким образом, последовательность Ак обладает свойствами:

1) Ак ^ 0 при к ^ ж, Ак ^ 0,

те

2) Е Ак = ж, к=1

3) если = Ук +](к)Т, ](к) Е N Ук Е [0,Т), то

1^+1 = Ук + Ак + (з(к) + 1)Т. (4)

к

к ^ ж есть весь полусегмент [0,Т),

Действительно, пусть е > 0 — произвольное число, у € [0,Т), Обозначим е1 = шт{е, Т — у}. Тогда £1 > 0. Пусть к0 такое число, что при к ^ к0 выполняется неравенство < е^ По определепню уко € [0,Т), Из формулы (4) следует, что

ык0+т = Уко + Дко + Дко+1 +-----+ Дко+т-1 + (](ко) + Т ,

при любом т € N. Из расходимости ряда Д^0 +Д^о+1 + ... следует, что существует наименьшее число га такое, что будет выполняться неравенство уко + Дк0 + ■ ■ ■ + Дко+т-1 > Т + у. Тогда

Уко + Дко +-----+ Дко +т-1 = Т + у + 5 ,

где 0 < Дко+т-1 < £1.

Очевидно, что 0 < у + 6 < Т. Тогда

Ыко+т = Уко+т + а (ко) + Ш +1) Т, Уко+ш = У + ё .

Так как 0 <^<е1 <£,&£> 0 — произвольное число, то у принадлежит предельному множеству последовательности ^.Поскольку ч исло у выбрано произвольно из полуинтервала [0, Т), то лемма доказана, □

Теорема 2 теперь следует из леммы 2, если заметить, что 1п(га) = 1п г + 1п а, и положить X = 1п г. □

Теорема 3. Пусть f (¿) — абсолютно непрерывная функция на, сегменте [а,Ь], 0 < а < Ь < то, и пусть р > 1. Тогда при г ^ +то

ь

[ / (¿) со8[1пр(г^)] ^ =

[6/(Ь) 8т[1пр(Ьг)] — а!(о) 81п[1пр(аг)]] + -^т

р 1пр г 1пр г'

ь

(5)

J f (¿)в1п[1пр(г^)] (И =

а

[а/(а) 0С8[1пр(аг)] — Ь}(Ь) ос8[1пр(Ьг)]] + °(1)

р 1п^ 1 г 1пр 1 г

В частности, предельное .множество функций

ь ь

р 1пр"1 г I /(¿)0С8[1пр(г^)] р 1пр"1 г I /(¿)в1п[1пр(г^)] ^

а а

по направлению г ^ +то совпадает с сегментом

[—аЦ(а)| — ЪЦ(Ь)|, аЦ(а)| + ЪЦ(Ь)|]. Теорема доказывается так же, как и теоремы 1, 2,

Если f (¿) имеет несколько производных, то интегрирование по частям можно повторять, и мы получаем следующую теорему.

Теорема 4. Пусть функция /(¿) имеет абсолютно непрерывную ( к —1)-ю производную /(й-1)(£) на сегменте [а, Ъ\, 0 < а < Ь < то, к ^ 1, и пусть р > 1. Тогда

V ^ ]

/(*) С08(Ь Г^)Р Л = £ (—1)™ 8Ш0п ^

т=0

+

V]

+ £ (—1)

т=0

р(1п Н)Р-1

сов(1п Н)р

0(1)

+ п-Тй-гг, +то

(1пГ)й(р-1)

где

Фт(г) = ьт[№], Щ(1)] = --(1 гт

р(И (1п Н)р-1

Доказательство. Докажем, что ь

к-1 2

/(*) СО80п И)? <й = £ ( —1)™ 81п(1п Н)

т=0

к-2 2

+ £Ы)

т=0

tФ2ш+l(t) р(1пг ь)р-1

р(1п н)р-1

+

сов(1п Н)г

+ (—1)

к-1 2

(¿)

р(1п Н)р-1

с1 [0Сб(1пг£)Р]

(6)

(7)

при нечетном к, а при четном к последнее слагаемое в правой части (7) имеет вид

(—1)

' (¿) р(1п Н)Р-1

с1 [э1п(1п Н)р]

Применяя формулу интегрирования по частям и равенства

[вт(1пг£)р] п ^ td [сов(1пг£)р]

0Сб(1п Г^)Р (Ы = --:-:-, 8ш(1п Н)Р <И = — . ,

К ' р(1пН)Р-1 К ' р(1пН)Р-1

получим

(8)

/(¿) сов(1п ну сИ =

р(1п Н)Р-1

— э1п(1п ну

— Ф1 (¿) вш(1п ну скЪ.

Справедливость формулы (7) при к =1 установлена. Пусть формула (7) справедлива при всех нечетных к ^ т, а функция ¡(Ь) имеет (т + 1)-ю абсолютно непрерывную производную на сегменте [ а, Ь]. Применяя дважды формулу интегрирования по частям и равенства (8), получим

(—1) ^ 1 й [0С8(1пГ^)Р]= (—1) ^ 1 0С8(1пГ^

1 ; У р(1пт^Р-1 К 1 р(1пН)Р-1 К '

+

+ (—1)

1+1 [ ¿Фт+1(£)

р(1пН)Р-1

й Нп(1пг£)р] = (—1) 2

+ 1 ¿Фщ+1(*)

р(1п Н)р-1

вт(1пг£)г

+

. т — + (—1)

1Фт(1)

—--—- совПп Н)%

р(1пН)Р-1

+ (—1) ^

ы [ № т+2(1 )

(1п )

р-1

с1 [сов(1пг£)р]

ь

ь

р

а

Ь

т

а

Ь

Р

а

Ь

т

а

Ь

Ь

Ь

Ь

а

Ь

а

Ь

а

Ь

а

Таким образом, формула (7) справедлива и при k = т + 2. На основании принципа математической индукции отсюда следует ее справедливость при всех нечетных к ^ 1. Для четных к доказательство аналогично. Формула (6) следует из (7), если заметить, что

0(1)

Ф(t) = {Ы гУ+^-i), ■

□

Замечание. Очевидно, что для бесконечно дифференцируемой функции f(t) асимптотическая формула (6) справедлива при любом к.

В случае когда р Е (0,1) асимптотическое разложение интеграла получается не с помощью интегрирования по частям, а разложением ядра.

Теорема 5. Пусть f(t) Е Li([a, b]), 0 < а < b < ж, и пусть р Е (0,1). Тогда при г > max{b, 1/а} справедливо разложение

ь

an,k

а

где

(тете \

а° + (\nr)k(l-p)+n I

f(t) exp(zX(ln rt)p) dt = exp(zX lnp r) [ ao + > ^ ^щ-^+п 1 , (9)

r ■ kxk Г

ao = f(t)dt, an,k = сщк f(t)(lnt)n+kdt

а, коэффициенты, Cn,k определяются из разложения

(1 \k те [~((1+x)p -1)) = Cn'kxn ■ \ / ifi-

п=-к+1

Двойной ряд в формуле (9) является, абсолютно сходящимся при достаточно больших г. Разложение (9) справедливо как асимптотическое разложение в случае, если, а = 0 и

УГ£\f(t)\dt < ж о

при некотором, £ > 0. Это разложение справедливо как асимптотическое разложение и в случае Ь = ж,

те

У г£Ц< ж.

Доказательство. Воспользовавшись разложением функции ех в ряд Тейлора и равенством

( /1Пг ( \р

ехр ({Л(1п Н)р) = ехр ({X 1пр г) ехр ( гX 1пр-1 г 1п Ь ( ( 1 + -— 1 — 1

получим

У ¡(^ехр^гЛ(1пrt)р)dt =

а

ещ, dX ln Г) ( ao + £ J Ht)]n"t ' - tf \dt.

lnk(l-p) r J \lnt \ lnr

k=l a

Обозначив х = 1п ¿/1пг, мы получим разложение (9), Абсолютная сходимость ряда следует из того, что при при г > тах{Ь, 1/а} выполняется неравенство 11п¿| < 11пг|. Заключительная часть теоремы следует из того, что сходимость интеграла

/ те N

/пто (/ито влечет за собой сходимость интеграла

I ¡(г)(1пг)к сИ < то /(*№*)* си < то

при любом к > 0, □

Замечание. Коэффициенты сп,к можно записать в конечном виде, если вначале воспользоваться формулой Ньютона для бинома ((1 + х)р — 1)к, а затем использовать разложение в ряд Тейлора функции (1 + х)тр, В результате для любых целых к ^ 1 и п ^ —к + 1 имеем

к

сщк = £(—!)*

т= 1

,к-т ^ тР(тР — 1) ' ' ' (тР — (П + + 1) т\(к — т)! (п + к)!

4. Предельное множество Азарина некоторых функций Рассмотрим функции

сю

, . г sin б1 [ rp exp(¿ A| ln т|р)

ui(z ,р,р,Х) =- —2—--dr =

л J т2 — 2тг cos и + г2 о

с

rp sin0 Г tp exp(¿A| ln tr |p)

= Л J t2 — 2t cos в + 1 ,

о

с

( W 1 Í Tp-1 r(r — TCOS°) ГШ rn\ Í

u2(z,p,p,A) = - ——--—— exp(íA| ln r|P) dr =

л J T2 — 2rr cos в + г2 о

с

rp Г (1 — tcosd)tp-1

(10)

(И)

л J t2 — 2t cos 9 + 1 о

exp(¿ A| lnír|p) dt,

и3(х,р, р, А) = Яеи^,р, р, А), и4(г,р, р, А) = 1ти1(г,р, р, А), и5(г,р, р, А) = ,р, р, А), и6(г,р) = \ти2(г,р, р, А),

где г = гегв, р € (0,1), р > 0 А ^ 0. Причем при р = 1 мы, чтобы получить более простую функцию, знак модуля всюду опускаем.

Методом комплексного интегрирования вычисляются следующие интегралы

sin б1 f tp dt sinp(^ — в) n . . .

- ~o—^-т;—7 =---L, ^ (0, 2л), pe (0,1) , 12)

л J t2 — 2t cos 9 + 1 sin рл v ; о

с

1 Г (1 — tcosd) tp-1 dt = cos р(л — в)

л J t2 — 2t cos 9 + 1 sin рл ' о

9e(0, 2л), p e (0,1). (13)

Теорему 5 можно применять для случаев а = 0, b = ж,

sin0 t0 1 (1 - tcos0)t0-1

í(t) = — t* - 2tcos9 + 1 ™ f(t) = ñ t* - 2tcos9 + 1 ,

где в E (0, 2n), p E (0,1). При p E (0,в E (0, 2n), p E (0,1) A ^ 0 согласно этой теореме получаем соотношения

sinp(7T - в) 0 p 0(1)г0

—--Г0 cos(A lnp г) +--

Sin pñ In1 p r

sinp(ñ - в) . /Л1 p ч 0(1)r0

—-V Sin(A lnp r) +--)rp-

Sin pñ ln1 p r

и аналогичные формулы для u5(z,р, p, A) u6(z,p, p, A) с заменой sinp(ñ - 0) на cos p(ñ - в). Именно,

u3(z,р,р,Х) = —^ _ J rp cos(X lnp г) + 1 — , т —У , (14)

, . 8Ш J(7 — U) . . p . OllJT

u4(z,P,J, Л) = -V--rp sm(A lnp r) + n \_p , r — .

. Л. cosj(n — в) p . 0(1)rp

u5(z,p,j, Л) =---1 rp cos(Alnp r) +--^—, r — ,

sin J7 ln1 p r

, лч cos pin — в) . /Л1 p ч 0(1)rp

u6(z,p,p,X) =-—--rp sm(A lnp r) +--^f—, г ^ .

sin рт ln1 p r

Для введенных нами функций предельные множества Азарина описываются соотношениями

Fru3 = Fru4 = {аSmp(n — в)rp : а Е [—1, lA , (15)

[ Sin ртт J

т^ т^ Г COSp(TT — в) г 1 11

Fru5 = Fru6 = <а-—--rp : а Е [—1,1]

[ sin ртт

при значениях параметров р Е (0,р Е (0,X > 0,

Докажем, например, соотношение (15), Пусть а Е [— 1,а — фиксированное число. Введем обозначения

/ч из (tZ, р) (( 1 , ,\1/p\

ut(z) =-—-, tn = exp II —(arccos а + 2т п) ) I .

Из (14) следует, что при любом фиксированном г > 0 справедливо асимптотическое равенство

, .д. sin j(77 — в) p utn (ге ) — а-^-rp

" sin J77

sin ( 7 — ) sin 7

p

p 0(1) cos ( Л lnp tnг) — а + ^p ln1 ptn

p (16)

n —oo .

Из определения последовательности tn и асимптотического равенства

(а + Xn)p = xpn + ра/хП~р + О (ljx2~p) , Xn ^ <x , следует, что при любом фиксированном г > 0

lim (cos ( A lnp tnг) — а) = 0 .

Отсюда и из (16) получаем, что внутри круга {z : \z\ ^ ^последовательность utn (z) равномерно сходится к функции

sin р(ж — в) sin рж

Тем более сходимость имеет место в топологии пространства обобщённых функций Шварца на плоскости. Из определения предельного множества следует, что

wa(r е» ) = аИ} n—UJ rp.

{wa(z) : а Е [—1,1]} С Fr и3. Так как из любой последовательности tn ^ можно выделить подпоследовательность вида

( arccos аПк + 2irnk\ 1/р

Т

( Í arccos апк + 2ппЛ 1/р\

п = exp^-A-) )

где пк — натураль ное, аПк 4ае [-^/2,^/2], то других функций в предельном множестве не существует.

Если Нк(в) — индикатор Фрагмена-Линделефа функции ик(г,р), т.е.

ик (г егв, р)

hk (9) = limsup

Tp

то справедливы равенства

h3(0) = h№ = 1 sinp(7r - ^, h5(6) = ыв)- 1 cosp(7r -

sin ри sin ри

Характер асимптотических формул резко меняется при переходе к случаям р = 1 или р> 1,

Теорема 6. Пусть р = 1, р е (0,1), А ^ 0. Тогда

u3(z, 1,р, А) = [АР(А, 0) cos(Alnr) - ВР(А, 0) sin(Alnr)]rp , (17)

щ(z, 1,p, A) = [ВР(А, в) cos(Alnr) + АР(А, в) sin(Alnr)]rp , u5(z, 1,p,A) = [Cp(\, в) cos(Alnr) -Dp(A, в) sin(Alnr)]rp , u6(z, 1,p,A) = [Dp(A, в) cos(Alnr) + Cp(A, в) sin(Alnr)]rp ,

где

Ap(A, 0) = Re Sin(p + гА)(" - , BP(X, 9) = Im -Sm(p + iA)(n -

sin(p + i A)n ' ' sin(p + i A)n '

а аналогичные формулы для величин CP(A, в) и Dp(A, в) получаются заменой sin(p + iA)(^ — в) на cos(p + iA)(n — в), т. е.

Cp(A, 0) = Re cos(p + *A)(" — , Dp(A, 0) = Im cos(p + iA)(* —

sin(p + г Х)ж ' р ' sin(p + г A)tt

Доказательство. Заметим вначале, что из написанных выше равенств легко получить, что для функции u5(z, 1,p,A), например, справедливы формулы

Fru5(z, l,p, А) = {(СР(Х, д) sin p - DP(X, 9)cosp)rp : рЕ [0, 2ж]} , (18)

Ы(в) = ^JСр(А, e) + Dj(A, в).

Аналогичные формулы выполнены и для u3(z, l,p,A), u4(z, 1, p, A), u6(z, 1, p, A). Докажем одно из этих равенств. Имеем

сю

ЛЧ rp sine ^ f tP+iX

u3(z, 1,p,A) =-Re ггХ -—--—— dt.

ж J t — 2t cos в + 1

0

жение

с

f tP+iX ж sin(ff — e)(p + iA)

J t2 — 2tcosA +1 sin^ sinn(p + ¿A) ' 0

откуда и следует формула (17), Равенство (18) получается теми же рассуждениями, что и равенство (15), □

Рассмотрим теперь функции Uk(z,р,р, А) при р > 1. Мы докажем асимптотическую формулу только для функции u1(z,р,р, А).

Теорема 7. Пусть р > 1, р е (0,1), А > 0. Тогда при р е (1, 2] имеем

о

sind Г exp[(p+1)r + г А|т|р] ,

ux(z,р,р,А) =--—Ti-а\ п , i dr +

жг j e¿r/r¿ — 2 (cosö) eT/г + 1

—те

г те

sind Г exp[(p +1)r + iАтр]

+ J е2т/г2 — 2 (cos в) ет/г + 1 Т + о

те

+ rpeipe^2 exp(2nipп) exp(¿А(1п г + г(в + 2^ п))р) —

га=0

те

— е—ipe ^ exp(2^«p(n + 1)) exp(zА(1п г + г(2п(п +1) — в))р),

п=0

причем, каждый из написанных рядов является, сходящимся, и асимптотическим одновременно. При р > 2, если прямая Imr = s не содержит пол,юсов знаменателя, справедлива формула

0

sind [ exp[(p+1)r + г А|т|р]

u1(Z ,р,р,А) = --——--dT +

жг j е2т/г2 — 2 (cosö) ет/г + 1

—те

IS %S | OQ

sin в Г exp [(р + 1)т + i Атр] sin 9 Г exp [(р + 1)т + i А тр]

+ J е2т/г2 — 2 (cos в) ет/г + 1 Т + J е2т/г2 — 2(cos0) ет/г + 1 Т +

+ rp eipe ^ exp(2^ г рп + г А(1п г + г(в + 2^ п))р)

0<п< ^

грегрв ^ exp(2nip(n + 1) + гА(1пг + г(2п(п +1) — в))р),

0^п<^—1

причем, каждое слагаемое в написанных сум,м,ах стремится к нулю при z ^ ж быстрее

1/(е2r/ г2 — 2 (cos б1) е т/г + 1) разложить по степеням 1/ г, то почленное интегрирование даст разложение соответствующего интеграла, в асимптотический степенной ряд 1/

Доказательство. В интеграле (10) сделаем замену t = expw. Тогда

, rp sin б1 f exp í(p + 1)г> + гА|г» + ln r|p] ,

ux(z ,р,р,Х) =- --——-——-dv.

ж J e2v — 2ev cos в + 1

— те

= — ln

Л. sind f exp[(p+1)r + г А|т|р] ,

ui(z ,р,р,А) =---——--dr.

жг j е2г / г2 — 2 (cost/) ет/г + 1

—те

Знаменатель в последнем интеграле обращается в нуль в точках

r = lnr ±i в + 2пж, п = 0, ±1, ±2,....

Пусть Ь3 — прямоугольник с вершинами в точках в, К, К + {в, гв, причем число в выбирается так, чтобы на границу прямоугольника не попадали выписанные выше нули. Функция

.( )_ ехр((р + 1)т + гXтр) /(Т) _ е 2г/г2 - 2(сов0) ет/г + 1 голоморфна внутри прямоугольника Ь3 за исключением конечного числа полюсов тк. По теореме о вычетах

1 Г ехр((р + 1)т + г X тр)

dr = Y1 Res^ /(т)

2^ г] е2т / г2 - 2 (сое 9) ет/г + 1

эьа ъеЬг

где дЬ3 — граница прямоугольника Ь3, проходимая в положительном направлении. Так

Resrfc f(r)

exp ((р + 1) тк + i А т%)

е2т/г2 — 2 (cos 9) ет/г + 1 '

Если Тк = т\,п = lnr + i(9 + 2пи), то

rp+lei(p+l)e exp(2 пир i + i A rf,J rp+1 eipe exp(2 пи p i + i A rf,J Resri,„ f (r) = 2 e я (eгв — cos0) ~ = 2~~9 ~

Если Тк = т2,п = lnr + г(2(п + 1)и — 9), то

rp+lе-i(p+l)e exp(2(n + 1)п pi + iАт?„)

Res f(r) =_ v v_—_^ =

Resr2,„ I(r)= 2 e(e— cos0) =

rp+l e-ipe exp(2(n + 1)n pi + i А 1*>п) 2 sin

Таким образом,

Г exp ((р + 1)r + i А тр) dr_7r sr^ r'p+l e ipe exp(2 пир i + i Атр^п) e2r/r2 - 2 cos 9eт/г + 1 ^ sin^

dLs ' ' 0^п<(з-в)/(2п)

rp+l e-ipe exp(2(n + 1)n pi + i А т%п)

— ц У -^-—,

sin

где сумму по пустому множеству считаем равной нулю. Обозначим через Д отрезок [0, Л], через 12 — отрезок [R, R + zs], через 13 — отрезок [0,гs], через 14 — отрезок [гs,R + zs].

У f(r)dT = f f(r)dr + J f(r)dT — J f(T)dT — f f(r)dr.

dLs h h h h

Если теперь т = R+iu, где 0 ^ u ^ s, а число R достаточно болынoe, то тр = Rp(1+iu/R)p. Отсюда следует, что Im тр ^ 0, Кроме того,

е2т ет

— — 2 cos 9--+ 1

2

Поэтому

р (p+l)R

f(r)dT : е 2_, _____

j (е R/r — 1)2

12

-ТТ2 Jim I f(r)dr = 0.

h

Отсюда получаем

exp ((р +1)г + гХтр) , [ exp ((р + 1)г + гХтр) ,

ат = / , 0-—-_ ,—— ат +

J е2т/г2 - 2 (cos в) ет/г + 1 J е2т/г2 - 2 (cos в) ет/г + 1 0 0

ís+те

+ f exp ((р + 1)r + iХтр) + ipe exp(2rniрг + iXтЦ

+ j e2r/r2 - 2(cos0) eт/г + 1ат + пг e sind

ís 0^п<(з-в)/(2ж)

Р+1—рв^ ST exp(2(^ + 1)т^рг + i^U

sin в

O^n<(s+0)/(2^)-1

0

, . втб1 Г exp [(р + 1)т + г Л тр]

^ 'Р'Р'Л) = ~ ] с2т/Г 2 - 2 (сое*) ет/г + 1 ^ +

—те

яп^ Г exp[(р+1)r + гЛтр] яп^ Г exp[(р+1)r + %Лтр]

+ '^/г2—Т + У ё27/^2—Т+ (19)

0

+ е ^ ^ exp(2жгрn + гЛ(1п г + г(в + 2жп))р) -

0<п<( а—р)/(2'к)

- гре—грв ^ exp(2ж гр(п + 1) + гЛ(1п г + г(2п(п +1) - в))р).

0^п<(з+р)/(2ж) — 1

Вначале рассмотрим случай р > 2. Если т = и + ¡8, то

| exp((р + 1)г + г Л тр)| = exp((р + 1)и + ф)), (20)

где р(и) = И^гЛ^ + г8)р. Имеем

,(и) = Re {гЫ (1 + и)р) = Не (1 + р£ - ^^ + •••)) ~ (21)

~ -Лрвир—1, и ^ .

Заметим еще, что если выбирать в следующим образом: в = ж + 2тж, когда сое б1 ^ 0, и 5 = 2тж, когда сое 9 < 0 то при т = и + гв будет выполняться оценка

е 2т ет

— - 2 cos в — + 1

е2и

>-2- + 1. (22)

Далее имеем

- 2cos.il + Л-1 = ((£. - ,Л -е-А)-1

2

1 ( 1 1

2 ¿sin0 Vе (1 - е т+7r) е W (1 - е т/г)

Используя тождество

1 уп+1

--= 1 + z + ■ ■ ■ + Zn + --

1 — z 1 — Z

и равенство (23), получим тождество

_1__ A sin((к + 1)0) е^

е2т / г2 — 2cos0 ет / г + 1 sin0 rk

1 е(п+1)т sin((n + 2)0) — sin((n + 1)0)еr/г + sin 9 rn+1 e2r/r2 — 2 (cos 0) er/r + 1 ' Используя это тождество, получим

sin 0 exp ((p + 1)r + i A тр)

- / -cit =

ж J е2т/r2 — 2 (cos 0) er/г + 1

is

is+<x

1 ^ sin(( к + 1)g) f ekr exp((p+1)r + +

k

ц z-/ ffc

fc=0 is

1 Г (sin((n + 2)0) — sin((n + 1)0)) e(n+l)T exp((p+1)

т + i А тр)

+ nrn+l J е2т/г2 — 2 (cos 0) er/г + 1 T.

is

(21), неравенства (22) получим, что все написанные выше интегралы сходятся. Кроме того, если г > 1 и

_ 1 "í°(sin((n + 2)0) — (еr / r)sin((n +1)0)) е(n+l)r exp((p + 1)r + i А тр) Rn = П J е2т/г2 — 2(е-/г)cos0 + 1 dT ,

is

то, применяя указанные выше соотношения, получим

оо

Rn < 1 У (1 + еи)е(n+l)u exp((p + 1)u + p(u)) du = cra < то . 0

Это показывает, что ряд

ís+о

1 A sin(( к+1)в) Г кт 1N , ,

— к е exp((p+1)r + гА rp))dr

П к=0 Г I

1/

sin 0 г3+Г exp ((р + 1)r + i А тр) n J е2т/г2 — 2 (cos 0) ет/г + 1 Т'

i S

Заметим, что аналогично доказываются утверждения теоремы, касающиеся других интегралов, Рассмотрим теперь выражение

bn,l(z) = exp(2n np i + i A (lnr + i 0 + 2nn)p).

Имеем

|bn¡l(z)l = exp (Re г A(lnr)^ 1 + z^2^)^ =

= exp(—(1 + o(1))Ap(0 + 2nn)(ln г)р-1), г ^ +то . Отсюда следует, что bn+l,l(z) = о(1) bn,l(z).

В случае р > 2 величин a bn,l(z) убывает быстрее любой степени z, Кроме того,

|= ex^Re ге^ Л(в + 2жп)р (1 - г1 ' Если р G (1, 2), то при достаточно больших п выполняется неравенство

Re (г^/2( 1 - гУ) < 5 < 0 . V V в + 2ттп) ) ^

те

Поэтому при таких р ряд bn,i(z) является сходящимся,

n=0

Если р = 2, то

bn,i(z) = exp(2impi + iЛ(1п2 г - (в + 2жп)2) - 2 ЛЫг(в + 2жп)),

те

и в этом случае ряд bn,l(z) также является сходящимся,

n=0

Аналогичные утверждения верны для величины

bn,2(z) = exp(2^(п + 1)рг + гЛ(1пг + ¿(2ж(п +1) - в))р).

Обозначим через контур, составленный из луча (-то, 0), отрезка [0, гs] и луча [гs,is + то), В случае р > 2 асимптотическое разложение для функции ul(z,р) получается следующим образом. Если ядро 1/(е 2т/г2 - 2ет(cos в)/г + 1) разложить в степенной ряд по степеням 1/г (этот ряд будет сходящимся при г > еRer) и подставить это выражение в интеграл

sin0 Г exp((p+1)r + гЛтр)

- / -dr

ж J е2т/г2 - 2 (cos в) ет/г + 1

Is

то почленное интегрирование даст асимптотическое разложение для функции ul(z,р). Заметим, что в интегралах для коэффициентов путь интегрирования можно заменить на вещественную ось. Следовательно, для получения асимптотического разложения можно

s

пия, В частности, при р > 2, £ < argz < 2ж-е, где е — произвольное строго положительное число, функция rul(z,р) равномерно прп z ^ то стремится к постоянной

sin б1

ж

exp ((р + 1)r + i Л|г|р) dr.

(1, 2]

1im 7 2^ +1 );+'Л:р) dr = 0

s^+те J е2т/г2 - 2(еr/г) cos в + 1

если в стремится к бесконечности, пробегая те значения, которые мы указали раньше.

Действительно, если т = и + is, а s принимает указанные значения, то

exp((p + 1)r + i X тр)

Мы получаем

е2т/г2 - 2 (cos 9) ет/г + 1

exp ((р + 1)и + Re гХ(и + гs)р)

=2 и / г 2 + 1

exp ((р + 1)и — Х(и2 + s2)p/2 sin (parctg(s е2и/г2 + 1

exp((p+ 1)r + i X тр) е2т/г2 — 2(ет/г) cos0 + 1

з(/Э+1)и

=2т/Г2 + 1

exp Х(и2 + s2)р/2 sin ^parctg— j j dи .

Первый сомножитель в интеграле есть интегрируемая функция по лучу [0, ж), второй сомножитель меньше единицы и стремится к нулю при в ^ +ж, По теореме Лебега о мажорируемой сходимости интеграл стремится к нулю. Теперь, переходя в равенстве (19) к пределу при в ^ ж, получим в случае р Е (1, 2] формулу для ,р), указанную в формулировке теоремы. Можно доказать, что получившиеся ряды будут не только сходящимися, но еще и асимптотическими, □

Аналогичные формулы можно написать и для других функций ик(г,р,р, X). При желании можно написать и более точные асимптотические формулы. Такие формулы получаются применением соответствующей техники преобразований интегралов в комплексной плоскости. Заметим, что для изучения функций ик(г,р, р, X) при р > 1 теорема 4 неприменима, так как все внеинтегральные члены обращаются в нуль. Мы видим, что характер асимптотического поведения функций ик(г,р,р,Х) различается для случаев р Е (0,1), р = 1, р > 1, В частности, при р > 1 функции ик(г,р,р,Х) имеют различный порядок роста на разных лучах в2, 0 < < в2 ^ Этого не наблюдается при р Е (0,1], Поведение функций ик(г,р, р, X) при р Е (0,1) и р = 1 также различается. Это видно из строения предельных множеств Азарина таких функций,

5. Асимптотические формулы для нерегулярно растущих целых функций

Пусть /(г) — целая функция порядка р Е (0,1) со строго положительными корнями к = 1, 2,.... Мы будем рассматривать функции 1п(1 — г)) в плоскости, разрезанной по лучу [0, +ж), фиксируя однозначную ветвь условием положительности функции при

ln/(z) = Y, ln (1 — =/ln (1 — \) dn(t) = У

к=1 п п

n( ) z-t t

dt,

n( ) = 1

ln |/(*)|

( — cos ) n( ) t2 - 2tr cos в + r2 ~T

dt, z = r e

Пусть

<p(t) = tp(a0 + a1 cos(Xlnt) + 61 sin(Xlnt)), t > 0, где p E (0,1), ao > 0 X ^ 0, и a1; ^ — произвольные вещественные числа.

Если a0 ^ \J 1 + X2/р2 \Jа[ + то <p(t) будет строго возрастающей функцией. Действи-

тельно,

<p'(t) = ptp

-i

a0 + (ai +— ьН cos(X lní) + ( bi--ан sin(X lní)

V P ) \ p )

и из элементарного неравенства

Ci sin а + C2 cos a > -\¡c\ + c22

получаем

Ч>'(t) > Ptp

0 -)l{ai + ~pb^ + {bi - ^1) ptp-i(^ao 1 + X2 Vai + bij ^ 0 •

В определении f возьмем п(Ь) = [р^)\. Здесь, как и в теореме 4, использовано стандартное обозначение для целой части (пола) числа. Заметим, что фактически речь идет

параметров р, а0, X а\

Предельное множество Азарина Рг f для целой функции f определяется как предельное множество Азарина субгармонической функции 1п | f (г)|. Теорема 6 показывает, что предельное множество Азарина Рг / и индикатор Нf ( в) функции /, принадлежащей указанному семейству, определяются равенствами

Рг/

cosp(-K — 0) , п ,,, ao-—-- + (aiCp(X 0) + biDp(X, в)) cos

Sin рп

+ (-aiDp(X, в) + biCp(X, в)) sin р гр : рЕ [0, 2п]

cos р(ж — в)

hf (в) = ao^^^ + л/ai + b2Jc2p(X, в) + D2p(X, в) •

sin ртт V V р р

Эти соотношения справедливы и без предположения

ao 1 + X2 \Ja\ + Ь2 •

однако, в общем случае функция f будет мероморфной. Если взять вспомогательную функцию вида

(п

а0 + cos(Ak 1п£) + Ьк sin(Ak 1п£)) I , Ь > 0,

к=\ /

( )

1п | ( ) | р( )

мулы для широкого класса нерегулярно растущих целых функций. Было бы интересно сравнить подобные формулы с общими результатами работы [7], но такой вопрос требует отдельного исследования.

)

2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Риекстынып Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Т. 1. Рига: Зинатне, 1974.

2. Риекстынып Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Т. 2. Рига: Зинатне, 1977.

3. Риекстынып Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Т. 3. Рига: Зинатне, 1981.

4. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979.

5. Азарин B.C. Об асимптотическом поведении субгармонических функций // Матем. сб. 1979. Т. 108. № 2. С. 147-167.

6. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956.

7. Брайчев Г. Р, Шерстюков В. Б. О наименьшем возможном типе целых функций порядка р € (0, 1) с положительными нулями // Изв. РАН. Сер. матем. 2011. Т. 75. Л*8 1. С. 3-28.

8. Шерстюков В. Б. Распределение нулей канонических произведений и весовой индекс конденсации // Матем. сб. 2015. Т. 206. № 9. С. 139-180.

9. Эдварде Р. Ряды, Фурье в современном изложении. Т. 1. М.: Мир, 1985.

Константин Геннадьевич Малютин,

ФГБОУ ВО «Курский государственный университет» ,

ул. Радищева, 33,

305000, г. Курск, Россия

E-mail: malyutinkg@gmail. com

Таисия Ивановна Малютина,

ФГБОУ ВО «Курский государственный университет» , ул. Радищева, 33, 305000, г. Курск, Россия E-mail: malyutinkg@gmail. com

Татьяна Васильевна Шевцова,

ФГБОУ ВО «Юго-Западный государственный университет» , ул. 50 лет Октября, 94, 305040, г. Курск, Россия E-mail: dec-ivt-zao@mail.ru