О разрешимости однородной задачи Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов и двусторонним завихрением на бесконечности порядка меньше 1/2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 2 (2013). С. 82-93.

УДК 517.54

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧИ ГИЛЬБЕРТА СО СЧЕТНЫМ МНОЖЕСТВОМ ТОЧЕК РАЗРЫВА КОЭФФИЦИЕНТОВ И ДВУСТОРОННИМ ЗАВИХРЕНИЕМ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ ПОРЯДКА МЕНЬШЕ 1/2

Р.Б. САЛИМОВ, П.Л. ШАБАЛИН

Аннотация. Рассмотрена однородная задача Гильберта для верхней полуплоскости со счетным множеством точек разрыва первого рода коэффициентов краевого условия и двусторонним завихрением на бесконечности. В случае, когда индекс задачи имеет степенную особенность порядка меньше 1/2 в специальном классе функций получены формулы общего решения и проведено полное исследование разрешимости задачи.

Ключевые слова: краевая задача Гильберта, завихрение на бесконечности, бесконечный индекс, целые функции.

Mathematics Subject Classification: 30E25, 30E20, 30D10.

1. Введение

Краевая задача Гильберта теории аналитических функций для полуплоскости — это задача об определении аналитической в верхней полуплоскости D функции F(z) по краевому условию

a(t)^F(t) — b(t)%F(t) = c(t), (1)

a(t), b(t), c(t) — заданные функции переменной точки t вещественной оси L, a2(t)+b2(t) = 0. Для задачи (1) получена полная картина разрешимости в классе ограниченных непрерывных вплоть до границы функций, если коэффициенты и правая часть краевого условия принадлежат классу Иь(^) (см., например, [1], c. 150, [2], c. 280), в классе функций со степенными особенностями в точках разрыва коэффициентов, когда a(t), b(t), c(t) имеют конечное число точек разрыва первого рода и непрерывны по Гельдеру в интервалах между точками разрыва (см. например [3]), в классе ограниченных в D функций, когда задача имеет непрерывные при t Е (—то, +то) коэффициенты и двустороннее завихрение на бесконечности степенного порядка р < 1/2 (см. [4], [5]). Последнюю задачу с двусторонним завихрением на бесконечности степенного порядка меньше 1 сформулировал И.Е. Сан-дрыгайло [6], который в классе ограниченных функций и в классе ограниченных функций экспоненциального порядка убывания на бесконечности при некоторых ограничениях на характеристики особенности получил предварительные результаты о разрешимости. Однако, примененный в этой работе метод решения Н.И. Мусхелишвили с привлечением идей и результатов из [7] не позволил выбрать класс решений, в котором бы удалось провести полное исследование картины разрешимости.

R.B. Salimoy, P.L. Shabalin, On solvability of homogeneous Riemann-Hilbert problem with a countable set of coefficient discontinuities and two-side curling at infinity of order less than 1/2.

© САлимов Р.Б., Шабалин П.Л. 2013.

Работа поддержана РФФИ (грант 11-01-00762-a, 12-01-00636-а).

Поступила 9 марта 2012 г.

Задача Гильберта для полуплоскости со счетным множеством точек разрыва коэффициентов впервые исследовалась в работах [8], [9], в которых были получены формулы общего решения во введенных классах и разработаны методы построения примеров целых функций с заявленными свойствами. В настоящей статье предложено полное описание картины разрешимости задачи Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов и двусторонним завихрением на бесконечности порядка р < 1/2.

2. Постановка и решение однородной задачи в классе функций с особенностями в точках разрыва

Пусть Ь - вещественная ось в плоскости комплексного переменного г = х + гу, О - полуплоскость ^г > 0, Ь - точка линии Ь. Требуется найти функцию Г (г), аналитическую в области О по краевому условию (1), в котором а(Ь), Ь(Ь), с(Ь) - заданные на Ь действительные функции точки Ь контура Ь, непрерывные всюду, кроме точек разрыва первого

рода і^, і = ±1, ±2,

причем а2 (і) + Ь2(і) = 0 во всех точках непрерывности коэффи-

циентов, 0 < іі < ■ ■ ■ < ік < ік+і < ■ ■ ■ , Ііт ік = то, 0 > і-і > ■ ■ ■ > і-к > і-к-і > ■ ■ ■ ,

к^ж

Ііт і-к = -то. Будем считать, что краевое условие выполняется всюду на Ь, исключая

к^ж

точки ік, і-к, к = 1, то. Некоторые уточнения постановки задачи приведем ниже.

Если с(і) = 0, то задача называется однородной, если с(і) = 0— неоднородной. В этой работе нас интересует однородная задача Гильберта.

Краевое условие (1) с с(і) = 0 перепишем в виде

Щв-ги(і)Г (і)] = 0, (2)

где V(і) = а^[а(і) — іЬ(і)] - ветвь, выбранная на каждом из интервалов непрерывности коэффициентов так, чтобы число 83 = V(і3- +0) — V(і3- — 0) удовлетворяло условию

0 ^ 83 < 2п, і = ±1, ±2, ■■■ .

Введем функцию ір(і) = V (і) — в (і)п, где в (і) - целочисленная функция, принимающая значения вк, в-к в интервалах (ік,ік+і) и (і-к,і-к-1), к = 1, то, соответственно и значение во = 0 в интервале (і-і,іі). Число вк выберем так, чтобы

0 ^ <р(ік + 0) — <р(ік — 0) <п,

значение в-к выберем так, чтобы

0 ^ ір(і-к + 0) — ір(і-к — 0) <п.

Обозначим

ф(іі + 0) — ір(і] — 0)

п

і = ±1, ±2,

тогда имеем 0 ^ Кк < 1, 0 ^ к-к < 1, к =1, то.

Примем, что точки разрыва удовлетворяют условиям

Ж -!

У — < то,

“і ік

к=і

и рассмотрим бесконечные произведения

£

к=і

1

ік

<,

р+м = П( 1

ік

Кк

Р-(г) = П( 1

г

ік

К-к

(4)

к=1 4 ' к=1

в которых под а^(1 — г/Ь^) понимаем однозначную ветвь, обращающуюся в нуль при г = 0 и непрерывную в плоскости г, разрезанной по части вещественной оси, соединяющей точки

г

Ь = ^, Ь = +то при ] > 0 и соединяющей точки Ь = —то, Ь = ^ при ] < 0. Таким образом, для точек верхних берегов разрезов имеем

arg

P+(t) = 'У ] Kjп, tk < t < tk+1,

, j 1 к = 1, то,

к 7 7

arg P-(t) = ^2 К—j п, t-k-i <t<t-k, j 1

arg P+(t) = 0, t < t1, arg P-(t) = 0, t > t-1. (6)

Краевое условие (2) запишем так

^[e-^iWF (t)P+(t)P_ (t)] = 0, (7)

где

^i(t) = ^(t) + arg P+(t) + arg p-(t), (8)

функции arg P+(t), arg P-(t) определяются формулами (5), (6).

Вводя новую искомую функцию F1(z) = F(z)P+(z)P-(z), условие (7) запишем в виде

^[e^WFi (t)] =0,

причем, как видно из формул (8), (5), функция ^1(t) непрерывна во всех конечных точках L. Таким образом, мы пришли к краевой задаче Гильберта с непрерывными коэффициентами для функции F1(z). Будем считать при этом, что функция ^1(t) удовлетворяет условиям

( v-tp + z>(t), t > 0,

^1(t) = 1 (9) [ v+ |t|p + £(t), t < 0,

(v-)2 + (v+)2 = 0, где v-, v+, р - постоянные, 0 < р < 1/2, ^(t) - функция, непрерывная всюду на L, включая бесконечно удаленную точку и удовлетворяющая условию Гельдера с показателем ^, 0 < ^ ^ 1, на всем контуре L, включая бесконечно удаленную точку ([1], с. 18, 67) - условию HL(p) (см. ([7], с. 113)).

Решение F(z) однородной задачи будем искать в классе функций, для которых произведение

F (z)P+(z)P-(z) = F1 (z)

является функцией, ограниченной в D. Тем самым, задача сводится к уже рассмотренной в [5]. После нахождения функции F1(z) определяем решение однородной краевой задачи, соответствующей задаче (2), по формуле

F (z) = F1(z)/P+(z)P-(z).

Это решение в точке tj, вообще говоря, обращается в бесконечность порядка Kj.

При дополнительных ограничениях изучим поведение этого решения однородной краевой задачи на луче z = твгв, r > 0, в = const, 0 < в < п, r ^ то. Как и в [9], (см. также [8],

с. 112) введем функции

{0, 0 ^ x < —t-1, ( 0, 0 < x <t1,

к-1 n+(x) = < к-1

/ J K-j, t-k+1 ^ x < t-k, 1 / J Kj, tk-1 ^ x < tk i

j 1 j 1

и потребуем выполнения условий

lim n±M = Д+, Um ПМ^Д- (10)

ж^+те xK+ ж^+те xK-

с положительными постоянными д+, д- и 0 < к- < 1/2, 0 < к+ < 1/2. В [9], ([8], с. 112)

получены структурные формулы

+те

lnP+(z) = п^+6 ™+"zK+ + I+(z), I+(z) = —z / П+(т) — A+TK+ dT (11)

Sin ПК+ J T(t — z)

0

для 0 < arg z < 2п и

1пР-(г) = пА- гк- + I-(г), 1-(г) = г [ П-(Т] — А-ТЛт, (12)

^ вт пк- У к ’ У т(т + г)

о

если — п < а^ г < п. Выражая по формулам Сохоцкого предельные значения интегралов типа Коши и выделяя вещественные части из (11), (12), получим равенства

т / М пА+ С0в(к+п) к+ т , .

1п |Р+(Ь)| = + ,( + )Ьк + 1+(Ь), Ь > 0,

81П(К+п)

+~ (13)

[ п+(т) — А+тк+ -----

1+(Ь) = — ——-:-йт, Ь > 0, Ь = Ьк, к =1, то,

3 т (т — Ь)

о

п / М пА_ сов(к_п) К- г , ч

1п |Р-(—Ь)| =------. ( ( ) )Ьк + 1-(—Ь),

в1п(к-п)

+те (14)

/ N Г п 1 (т) — Атк- -----

1_ (—Ь) = — -т---т-----йт, Ь > 0, Ь = —Ь_к, к =1, то.

- т(т — Ь) -

о

Из формул (4), (13), (14) следует, что функция | ехр{1+(г)}| (| ехр{1-(г)}|) обращается в нуль порядка Кк (порядка Ктк) в точке Ьк (Ьтк), к =1, то.

Лемма 1. Пусть выполнены условия (10), 8 - заданное малое положительное число, г = гегв, тогда справедливы следующие асимптотические оценки

1+(твгв) = о(гк+), г ^ +то, 8 < в < 2п — 8,

1-(твгв) = о(гк-), г ^ +то, —п + 8 < в < п + 8.

Пусть 8 - достаточно малое положительное число, тогда для каждого в, 8 < в < 2п — 8, очевидно неравенство |т — г| > (т + т) в1п(8/2). Для заданного произвольно малого положительного числа е и т > т1(е) в силу (10) имеем п+(т) — А+тк+ < £тк+, следовательно,

(Г!(е)

Г1-К+ [ п+(т) йт+

т У т (т + т)йт+

*1

Ые) те \

+ А+т1-к+ [ _________*________ + ет1-к+ [ ______*_______

+ +' У т 1-к+ (т + т) + £' У т 1-к+ (т + т)

о Г1(е) /

для г = твгв, 8 < в < 2п — 8. При заданном е первые два интеграла есть величины 0( 1), а последний

СЮ СО

т1-к+ --------1-тйт < т1-к+ [ ---------1---------------------тйт п

т 1-к+ (т + r) J т 1-к+ (т + r) sin(nK+)

r-i(e) 0

следовательно, (ср. [10], с. 178, [8], с.115)

I+(re%e) = o(rK+), r ^ +то, 6 < в < 2п — 6.

Не сложнее проводится оценка I-(reie).

Из леммы 1 в силу ограничений к+ < 1/2, к- < 1/2, вытекает, что решение F(reie) однородной задачи (7) для 6 < в < п — 6 удовлетворяет условию F(reie) ^ 0, r ^ то. Введем как и в [5] функцию

P (z) + iQ(z) = leiarpei9p, (15)

где l, а - действительные постоянные, r = |z|, в = arg z - однозначная непрерывная в

полуплоскости D ветвь arg z, удовлетворяющая соотношению 0 ^ в ^ п. Эта функция является аналитической в области D, а на её границе L принимает значения

P(t) + iQ(t) = l|t|p[cos(a + вр) + i sin(a + вр)],

где в = 0, при t > 0, в = п, при t < 0.

Выберем числа l, l > 0, а, 0 ^ а < 2п так, чтобы

l cos а = v-, l cos(a + пр) = v +,

т.е. чтобы

v- cos(пр) — v+

l cos а = v , l sin а =------------—------.

sin(пр)

Отметим, что при этом

, v- — v+ cos(пр) [(v- )2 + (v+)2 — 2v -v + cos(пр)]1/2

l sin(a + пр) =-----------—-------, l =----------------------—----------------,

Sin(пр) Sin(пр)

( v-tp, t > 0,

P (t) = 1

{ v +ЩР, t < 0,

{(v- cos(пр) — v+)tp/sin(пр), t > 0,

(16)

(v — v+ cos(пр))|t|p/sin(пр), t< 0,

и

Q(rje) = rp v- cos(P(п — в)) — v+ cos(Pв)

Q(re ) r ■ . . .

si^^)

Далее определим аналитическую ограниченную в области D функцию, граничные значения мнимой части которой равны ^1(t) — P(t) = ^(t), по формуле

+те

1 dt r(z) = - y(t):

п I t — z

На контуре L эта функция принимает значения r+(t) = r(t) + i^(t), где

+те

r(t) = 1 [ Р(«1) dt1

п 1 t1 — t

-те

Краевое условие (7) запишем так

5 {гв^+^в^^+^Г(Ь)Р+(Ь)Р-(Ь)} = 0, (17)

преобразовав при дополнительных ограничениях (3), (9), (10) краевые условия однородной задачи к виду задачи (17).

В фигурных скобках формулы (17) стоит граничное значение аналитической в области

О функции

Ф(г) = гв-Г+(г)в-гР(г)+адГ (г)Р+(г)Р-(г), (18)

которую с учетом (11), (12) можно записать следующим образом

Ф(г) = гв-Г+(х) ехр{^(г) — гР(г)}Г(г)в1+(х)в+1-(х)х

пА+е-гк+п _к+ \ ехр / пА- 1 <19)

x exp <-----------z + > exp <-------z

sin п-+ J [sin п-—

Согласно (17) для граничного значения функции Ф^) имеем

ЗФ+СО = 0 (20)

всюду на L. Это означает, что функция Ф^) аналитически продолжается на полуплоскость

3z < 0, причем для точки z этой полуплоскости

Ф^) = Ф(z), Sz < 0. (21)

Пусть B — класс решений F(z) однородной задачи (17), для которых произведение |F(z)||z — tjограничено вблизи точки tj для всех j = ±1, ±2, • • •.

Для таких решений условие ОФ+ (t) = 0 мы должны считать выполненным и в точках tk, t-k, к =1, +то. В самом деле, продолжая функцию Ф^) на полуплоскость Sz < 0, как указано выше, через участки tk-1tk и tktk+1 мы получаем одну и ту же функцию в силу (21). Для класса B решений Ф^) задачи (17) величина |Ф^)| является ограниченной вблизи tk, поэтому точка tk является устранимой особой точкой аналитической в окрестности tk функции Ф^), полученной при аналитическом продолжении, следовательно, можно принять SФ+(tk) = 0. Таким образом, после вышеуказанного аналитического продолжения мы получаем целую функцию Ф^).

Из изложенного ясно, что мы приходим к теореме 1.

Теорема 1. Для того чтобы однородная краевая задача (17) в классе B имела решение F(z), необходимо и достаточно чтобы для этой функции была справедлива формула (18), в которой Ф^)- произвольная целая функция, принимающая действительные значения на L.

Далее решение однородной задачи (17) будем искать в классе B* функций F(z), для которых произведение |F(z)^^^em~(z) является функцией, аналитической и ограниченной в области D. Ясно, что B* С B.

В силу симметрии для вышеуказанной целой функции Ф^) формулы (18) (когда имеют место (20), (21))

M(r) := max |Ф(гегв)| = max |Ф(гегв)|. (22)

0^в^2п О^в^п

Согласно (19)

|Ф(гегв )| = exp {Q(reie) — КГ(гегв) + m+(reie) + Ш,I-(rew )}|F (rew )|x

( пд rK+ пД rK- 1 (23)

x exp < ---±--- COs(к+(в — п)) +----7-----т ШЗ^-в) > , 0 ^ в ^ п.

|^т(пК+) Sin(пK-) J

Так как ^r(z), |F(z)|eK(/+(z)±/-(z)) — функции ограниченные в D, то

max {exp{ — ^r(reie)}|F(reie)| exp{^(I+(reie) + I-(reie))}} ^ C, (24)

О^в^п

C = const > 0, кроме того, согласно (15) Q(reie) ^ lrp. Поэтому в силу (22), (23) имеем

M(r) ^ C exp (lrp + пД+ 4 rK+ + пД- 4 rK-{ Sin(пK+) Sin(пK-)

ln M(r) ^ ln C + lrp +

пД

I

rK+ +

пД_

вт(пк+) в1п(пк-)

Будем различать случаи р > тах{к+, к-}, р = тах{к+, к-} и р < тах{к+, к-}. Пусть р > тах{к+, к-}. Здесь по формуле (25) имеем

пА+ пА-

(25)

ln ln M(r) ^ p ln r + ln

' ln C

l +-------------+

+

rp rp—K+ sin^KI) rp—K- sin^^)

-----ln ln M(r)

lim -----:------- ^

lim { p + -— ln ln r

, ln C

l +-------------+

rp

ln r пД

I

+

пД_

rp—K+ sin^^) rp—K- sin^^)

Следовательно, порядок рФ = Ііт [1п 1п М(г)/ 1п г] целой функции Ф(г), определяемой фор-

V—

мулами (18), (20), (21), не превосходит р.

Теорема 2. Для того чтобы краевая задача (17) при р > тах{к+,к_} имела решение Г (г) класса В* необходимо и достаточно, чтобы для этой функции Г (г) была справедлива формула (18), в которой Ф(г) является целой произвольной функцией порядка рФ ^ р, удовлетворяющей условию (20) и на контуре Ь для всех достаточно больших Ь— неравенствам

^ . v cos^o) - v+ p пД+ ^(к^п) к пД_

\Ф(t)\ ^ Cexp \ -tp +-1 , 1 I ;tK+ +

sin(пp)

если t > О, и

, . ., ^ f v — v+ cos^c)

\Ф(t)\ ^ Cexp ------- .( p) I

[ sm^p)

+

sin^^) sin^^ )

пД+\^к+ пД— cos(k—п)

tK

+

(26)

(27)

$т(пк+) sin^K^

если t < 0. Здесь C = const > 0.

Доказательство. Необходимость. Пусть F(z) есть решение краевой задачи (17) класса B*. Но тогда, как было показано выше, имеют место соотношения (18), (20), в которых Ф^) с условием (21) является целой функцией порядка рф ^ р. Полагая в формуле (23) в = 0, затем в = п, с учетом (24) получаем, соответственно, неравенства (26), (27).

Достаточность. Пусть теперь для функции F(z) справедлива формула (18), причем Ф^) есть целая функция порядка рф ^ р, удовлетворяющая условию (20) и неравенствам (26), (27) (тогда функция F(z), определяемая по формуле (18), является решением задачи (17)). В силу указанных неравенств и формул (23), (16) для аналитической в области D функции F(z)eI+(z)+I-(z) при достаточно больших t, учитывая, что ^r(z) есть функция, ограниченная в области D, т.е.

\ШГ(reгв)\ ^ q, q = const, r У 0, 0 ^ в ^ п,

(28)

имеем

|F(t)eI+(t)+I-(t)| ^ Ceq, при t> 0 и t< 0.

Следовательно, всюду на L выполняется неравенство

|F(t)eI+(t)+I-(t)| ^ C, C = const > 0.

На основании (23) с учетом (15) имеем

|F(re%e)exp{I+(re%e) + I-(re%e)}| = |Ф(гегв)| exp {—lrp sin(a + рв) + ^r(reie)} x

x exp

пДіГк+ пД-rK-

cos(к+(в — п))----T

sin^^)

sin^^)

cos(k—в)

к

Г—>00

p

Отсюда, принимая во внимание (22) и (28), получим

( пД rK+ пД rK-

max \F(rew)exp{II(rew) + I—{re^)}\ ^ M(r)elrPIq exp п I' + - —'

о^в^ж \sin(пк±) sin(пк— )J

Поскольку для любого числа є > О справедливо неравенство

M(r) < exp{rPФ±є}

при всех r > гє, то, выбрав числа є, pl так, чтобы p < pl < 1, pф + є < pl, из предыдущего соотношения получим

max \F(re%e)exp{II(re%e) + I—(re%e)}\ < exp{rP1} о^в^п

для всех достаточно больших r, для которых

rPФ±є lrp q пД±rк+ пД_ rK-

r > Гє,------------------------\-\-\-;--T \---;------T < 1.

rp1 rp1 rp1 rp1 sm^^) rp1 sm^K-)

Следовательно, порядок функции F(z)eI+(z)II-(z) внутри угла 0 ^ в ^ п не превышает pl (см., например, [11], c.69). Поэтому согласно принципу Фрагмена-Линделёфа будем иметь \F(z)eI+(z)±I-(z)\ < C всюду в D, т.е. F(z) принадлежит классу B*.

Теорема 3. Общее решение краевой задачи (17) при p У max{KI, к—} в классе функций B* определяется формулой

F (z) = —ieг(z)eг[P ^^Ф^)^^ )P—(z)]—1, (29)

или

пД±e—гпк+ zK+ пД—zк-

F(z) = —ie^+^^e^eJ^^H^^z) exp \-^--— +

в1п(пк+) в1п(пк-) ] ’

где Ф(г)- произвольная целая функция порядка рф ^ р, удовлетворяющая условию (20) и неравенствам (26), (27) для достаточно больших Щ.

В самом деле, для функции Г (г), определяемой формулой (29), выполняется соотношение (18), и утверждение теоремы вытекает из предыдущего.

3. Разрешимость однородной задачи Гильберта

В этом пункте проведем полное описание картины разрешимости однородной задачи Гильберта в классе В*.

Теорема 4. Пусть р > тах{к+,к-}, р < 1/2. Тогда

a) если

V- сов(пр) — v+ < 0, либо V- — v+ сов(пр) < 0, то однородная краевая задача (17) не имеет нетривиальных решений в классе В*;

b) если

V- сов(пр) — v+ = 0, ( V- сов(пр) — v+ > 0,

либо < (30)

V- — v+ сов(пр) > 0, у V- — v+ сов(пр) = 0,

то однородная краевая задача (17) имеет в классе В* решения, определяемые формулой

(29), в которой Ф(г)- произвольная целая функция порядка рФ, рФ ^ р, удовлетворяющая

условию (20) и неравенству

^ (пА + сов(к+п) к пА_ к ]

сехр \ 1 ; гк+ + —-—-гк-\, г> 0,

1ф(/) <; I й1п(пк+) 81п(пк-) ) (31)

1 ( )1 ^ ^ Г V — V + сов(пр), пА+Шк+ пА соб(^п) 1 ( )

сехр---------■ ( .( р) + —+-4 +------. ,( - ) |С- ^ < 0,

[ вт(пр) вш(п к+) вт(пк-) J

либо, соответственно,

^ (и сов(пр) — v+ р пА+ сов(к+п) к пА£к- .

сехр{------------------гр + —+ . 1 ;гк+ + ——г \,г > о,

|Ф(/)| < ) I 81П(ПР) 81п(пк+) 81п(пк-)

1 ( )1 ^ I ^ Г пА+ пА соз(^п) 1

1 с ехр + |^+ +------. .( . ) , *< о,

[81П(ПК+) в1п(п К—) J

для достаточно больших Щ;

с) если

V- сов(пр) — v+ > 0,

V- — v+ сов(пр) > 0,

то однородная краевая задача (17) имеет в классе В* решения, определяемые формулой (29), в которой Ф(г)- произвольная целая функция порядка рф, рф ^ р, удовлетворяющая условию (20) и при рф = р еще и неравенствам (26), (27).

Доказательство. а) Действительно, пусть р < 1/2 и имеет место

V- сов(пр) — v+ < 0,

тогда в силу (26) 11т^+Ю |Ф(£)| = 0, поэтому по принципу Фрагмена-Линделёфа для плоскости, разрезанной по положительной вещественной полуоси, получаем Ф(г) = 0. Ясно, что то же получим и в случае, когда р< 1/2 и V- — V + сов(пр) < 0.

Ь) Пусть выполнено первое из условий (30). Для определенности будем считать, что к+ > к.. Согласно теореме 3 целая функция Ф(г), входящая в формулу общего решения (29), должна в силу (20) принимать на вещественной оси вещественные значения, удовлетворять условиям (26), (27), которые в силу равенства V- сов(пр) — V + = 0 примут вид неравенства (31), и иметь порядок рФ ^ р < 1/2. Существование таких целых функций следует из построений, подробно проведенных в работе [5], (см. также [8], с.100). Именно, возьмем целую функцию

Фо<2) = Й (1 — )(1 — ^) • (32)

в которой 0 ^ в0 ^ п, г к - возрастающая последовательность чисел, которую определим ниже. Здесь а^(1 — г/гкега°) означает ветвь, непрерывную и однозначную в плоскости, разрезанной по лучу г = гега°, г > гк, принимающую нулевое значение при г = 0, а^(1 — г/гке-га°) означает ветвь, непрерывную и однозначную в плоскости, разрезанной по лучу г = гега°, г > Гк, принимающую нулевое значение при г = 0.

Примем, что порядок функции Ф0(г) равен к0 (т.е. показатель сходимости (см. [12], с.278) последовательности её нулей равен к0). Дополнительно предположим, что для числа нулей п(г) данной целой функции, лежащих в замкнутом круге |г| ^ г, существует предел

п(г)

11т ------= А0, 0 < А0 < то. (33)

т^-ю гк°

При сделанных предположениях о последовательности нулей целой функции (32) для функции 1пФ0(г), г = гега, 0 ^ в ^ 2п, доказана [5] формула

СЮ СЮ

1^/4 -г0 [ п(т) — тк° А0 -а [ п(т) — тк° А0

1пФо(г) = —ге ° —--------------а-^т — ге ° —-----^т+

К ' У т(т — ге-га°) У т(т — гега°)

0 0

+

Доп(гвгб)К02соб((90 — п)«о)/йІп(пК0), 0 ^ 9 < 90,

Д0пе-т°п(гегб)к°2сов(90к0)/віп(пк0), 90 ^ 9 < 2п — 90, (34)

А0пе 2гк°п(гега)к°2сов((в0 — п)к0)/в1п(пк0), 2п — в0 ^ в ^ 2п. Если последовательность нулей гк = Гкега° функции Ф0(г) выбрать так, чтобы

'2к ____ 1) 1/к° Г к Гк ^ х < г(k+l),

/2к — 1\ 1/К°

І ■ п(х) =

Гк =

\ •/ /\ _ / I

0, 0 ^ х < г0,

то оба интеграла правой части формулы (34) есть величины о(гК°), при г ^ +то, 0 ^ в ^ п (см. [5]). На вещественной оси функция 1пФ0(г) принимает действительные значения

1п ф0 (£) — адЛ) + <

Д0п2 сое ( (90 — п)к0

Чк°, і> 0,

віп(пк0) Д0п2 сов(90 к0) віп(пк0)

1С°, і< 0,

где

т „ ч Л / ч л ч і2 — іх сов(90)

) — (п(х) — х ° Д0) —-/.«■>, 2ч

У х(і2 — 2іх сов(90) + х2)

0

Таким образом, условие (31) для целой функции Ф0(г) будет выполняться для любых Д0, 90, если взять к0 < к+, а в случае к0 — к+, числа Д0 > 0, 90 Є (0,п) следует выбрать так, чтобы имело место неравенство

Д02со^(90 — п)к0^ ^ Д+ сов(пк+).

с) Построение целых функций порядка рф ^ р, удовлетворяющих условию (20) и неравенствам (26), (27) можно провести так же, как в пункте Ь), отказавшись от условия к0 ^ к+ и выбирать к0 ^ р. Если взять к0 < р, то А0, в0 в формулах (32), (33), (34) -любые, а если к0 = р, то А0, в0 должны удовлетворять системе неравенств

Д02со^(90 — п)к0^ ^ V сов(пр) — ^+,

А02сов(в0к0) ^ V- — v+ сов(пр).

Знаки равенства в этой системе будут выполняться, если взять

ч V- сов(пр) — V + . . . V- сов(пр) — V+

tg(во к0) = —------+----^------------Т — с^§(пк0 ), А0 =— ---------Гй---ч—,

(V — V+ сов(пр)) 81п(пк0) 2сов(в0к0)

следовательно, система совместна.

Теорема 5. Пусть к+ = к. = р < 1/2. Тогда однородная краевая задача (17)

a) не имеет нетривиальных решений в классе В*, если

(V- + пА+) сов(пр) — (V + — пА_) < 0, либо V- + пА+ — (V + — пА_) сов(пр) < 0;

b) имеет в классе В* 'решение ^(г) = АеГ(г)ег[р(г)+г^(г)]/Р+(г)Р_(г), где А - произвольная вещественная постоянная, если

(V_ + пА+) сов(пр) = V + — пА_, ( (V_ + пА+) сов(пр) > V + — пА_,

либо

V_ + пА+ > (v+ — пА_) сов(пр), [ V_ + пА+ = (v+ — пА_) сов(пр);

с) имеет решения класса В*, определенные формулой (29), в которой Ф(г)- произвольная целая функция порядка рф ^ р, удовлетворяющая условию (20) и при рф = р еще и неравенствам (26), (27) для достаточно больших Щ, если

(V_ + пА+) сов(пр) — (V + — пА_) > 0,

V_ + пА+ — ^+ — пА_) сов(пр) > 0.

Докажем случай Ь) теоремы 5. Пусть выполнены условия

(V_ + пА+) сов(пр) — ^+ — пА_) = 0,

V_ + пА+ — ^+ — пА_) сов(пр) > 0.

Согласно теореме 3 общее решение задачи (17) определяется формулой (29), содержащей произвольную целую функцию Ф(г) порядка рф ^ р, удовлетворяющую условию (20) и неравенствам (26), (27), которые в условиях теоремы 5 примут вид

, т / м ^ Г (V_ + пА+) сов(пр) + пА_ — v+ Л . .

|Ф(*)| ^ сехр %---------------+—------------гр\, ь> 0, (35)

I в1п(пр) )

, т / м ^ Г V_ + пА+ — (v+ — пА_) сов(пр^ |Р1

|Ф(Ь)| ^ сехр-------------+ (. ( ,----)----—|Ь|Р , *< 0,

I в1п(пр) )

причем в силу первого из условий Ь) неравенство (35) принимает вид |Ф(Ь)| ^ С, Ь > 0. Из-за симметрии функции Ф(г) следует, что Ф(г) ограничена по модулю на обеих берегах разреза, проведенного по положительной вещественной полуоси, а поскольку рф < 1/2, то функция Ф(г) ограничена во всей плоскости, т.е. является постоянной.

Случаи а) и с) доказываются так же, как в теореме 4.

Пусть теперь р < тах{к+,к_} < 1/2. Здесь при к+ > к_ согласно (25) имеем

1п 1п М(г) ^ к+ 1п г + 1п

поэтому

пА+ пА 1п С I

+ ;-----------------+------+

в1п(пк+) в1п(п к_)гк+_к- гк+ гк+_р

-1п 1п М (г)

рф = 11т---------- ^ к+,

т^ю 1п г

следовательно, порядок целой функции Ф(г), выражаемой формулами (18), (20), (21), не превышает к+ при к+ > к_. Аналогично получаем неравенство рф ^ к_ в случае, когда к_ > к+.

Поскольку коэффициенты при Ьк+, Ьк- в правой части неравенств (26), (27) всегда строго больше нуля, то при рф < тах{к+,к_} эти неравенства выполняются автоматически. Поэтому справедлива

Теорема 6. Для того чтобы однородная краевая задача (17) имела решение ^(г) класса В* при р < тах{к+, к_}, необходимо и достаточно выполнения формулы (18), в которой Ф(г) является произвольной целой функцией порядка рф ^ тах{к+,к_}, удовлетворяющей условию (20) и при рф =тах{к+,к_} условиям (26), (27).

Теорема 7. Общее решение однородной краевой задачи (17) в классе функций В* при р < тах{к+,к_} определяется формулой (29), в которой Ф(г) есть произвольная целая функция порядка рф ^ тах{к+, к_}, принимающая на Ь действительные значения и при рф = тах{к+,к_} удовлетворяющая неравенствам (26), (27) для достаточно больших

щ.

Теорема 8. Пусть р < тах{к+,к_} < 1/2. Тогда однородная краевая задача (17) в классе функций В* имеет решения, определяемые формулой (29), в которой Ф(г) есть

произвольная целая функция порядка pф ^ max{к+,к-}, принимающая на L действительные значения и при pф = max{к+,к-} удовлетворяющая неравенствам (26), (2T) для достаточно больших | t| .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука. 1968. 511 с.

2. Гахов Ф.Д. Краевые задачи М. Наука. 1977. 640 с.

3. Салимов Р.Б., Селезнев В.В. К решению краевой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами jj Труды семинара по краевым задачам. Казань. Изд-во Казан ун-та. Вып. 16. 1979. C. 149-162.

4. Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Метод регуляризующего множителя для решения однородной задачи Гильберта с бесконечным индексом jj Изв. вузов. Математика. № 4. 2001. С. 76-79.

5. Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. К решению задачи Гильберта с бесконечным индексом j j Матем. заметки. Т. 73. Вып. 5. 2003. С. 724-734.

6. Сандрыгайло И.Е. О краевой задаче Гильберта с бесконечным индексом, для полуплоскости j j Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. № 6. 1974. C. 16-23.

7. Говоров Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом, М.: Наука. 1986. 239 с.

8. Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Краевая задача Гильберта теории аналитических функций и ее приложения Казань: Изд-во Казанск. мат. о-ва. 2005. 297 с.

9. Салимов Р,Б.,Шабалин П.Л. Задача Гильберта. Случай бесконечного множества точек разрыва коэффициентов j j Сиб. матем. журн. Т. 49. № 4. 2008. С. 898-915.

10. У. Хейман Мероморфные функции. М.: Мир, 1966. 287 с.

11. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956. 632 с.

12. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т. 2. М.: Наука, 1968. 624 с.

Расих Бахтигареевич Салимов,

Казанский государственный архитектурно-строительный университет, ул. Зеленая, 1,

42004З, г. Казань, Россия E-mail: [email protected]

Павел Леонидович Шабалин,

Казанский государственный архитектурно-строительный университет, ул. Зеленая, 1,

42004З, г. Казань, Россия E-mail: pavel. shabalin@mail .ru