Научная статья на тему 'О разрешимости однородной задачи Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов и двусторонним завихрением на бесконечности порядка меньше 1/2'

О разрешимости однородной задачи Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов и двусторонним завихрением на бесконечности порядка меньше 1/2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

112
44
Поделиться
Ключевые слова
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ГИЛЬБЕРТА / ЗАВИХРЕНИЕ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ / БЕСКОНЕЧНЫЙ ИНДЕКС / ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ / RIEMANN-HILBERT PROBLEM / CURLING AT INFINITY / INFINITE INDEX / ENTIRE FUNCTIONS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Салимов Расих Бахтигареевич, Шабалин Павел Леонидович

Рассмотрена однородная задача Гильберта для верхней полуплоскости со счетным множеством точек разрыва первого рода коэффициентов краевого условия и двусторонним завихрением на бесконечности. В случае, когда индекс задачи имеет степенную особенность порядка меньше 1/2 в специальном классе функций получены формулы общего решения и проведено полное исследование разрешимости задачи.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Салимов Расих Бахтигареевич, Шабалин Павел Леонидович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

On solvability of homogeneous Riemann-Hilbert problem with a countable set of coefficient discontinuities and two-side curling at infinity of order less than 1/2

In the present paper we consider the homogeneous Riemann–Hilbert problem in the complex upper half-plane with a countable set of coefficient discontinuities and two-side curling at infinity. In the case the problem index has a power singularity of order less than 1/2, in a special functional class, we obtain general solution and completely investigate the solvability of the problem.

Текст научной работы на тему «О разрешимости однородной задачи Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов и двусторонним завихрением на бесконечности порядка меньше 1/2»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 2 (2013). С. 82-93.

УДК 517.54

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧИ ГИЛЬБЕРТА СО СЧЕТНЫМ МНОЖЕСТВОМ ТОЧЕК РАЗРЫВА КОЭФФИЦИЕНТОВ И ДВУСТОРОННИМ ЗАВИХРЕНИЕМ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ ПОРЯДКА МЕНЬШЕ 1/2

Р.Б. САЛИМОВ, П.Л. ШАБАЛИН

Аннотация. Рассмотрена однородная задача Гильберта для верхней полуплоскости со счетным множеством точек разрыва первого рода коэффициентов краевого условия и двусторонним завихрением на бесконечности. В случае, когда индекс задачи имеет степенную особенность порядка меньше 1/2 в специальном классе функций получены формулы общего решения и проведено полное исследование разрешимости задачи.

Ключевые слова: краевая задача Гильберта, завихрение на бесконечности, бесконечный индекс, целые функции.

Mathematics Subject Classification: 30E25, 30E20, 30D10.

1. Введение

Краевая задача Гильберта теории аналитических функций для полуплоскости — это задача об определении аналитической в верхней полуплоскости D функции F(z) по краевому условию

a(t)^F(t) — b(t)%F(t) = c(t), (1)

a(t), b(t), c(t) — заданные функции переменной точки t вещественной оси L, a2(t)+b2(t) = 0. Для задачи (1) получена полная картина разрешимости в классе ограниченных непрерывных вплоть до границы функций, если коэффициенты и правая часть краевого условия принадлежат классу Иь(^) (см., например, [1], c. 150, [2], c. 280), в классе функций со степенными особенностями в точках разрыва коэффициентов, когда a(t), b(t), c(t) имеют конечное число точек разрыва первого рода и непрерывны по Гельдеру в интервалах между точками разрыва (см. например [3]), в классе ограниченных в D функций, когда задача имеет непрерывные при t Е (—то, +то) коэффициенты и двустороннее завихрение на бесконечности степенного порядка р < 1/2 (см. [4], [5]). Последнюю задачу с двусторонним завихрением на бесконечности степенного порядка меньше 1 сформулировал И.Е. Сан-дрыгайло [6], который в классе ограниченных функций и в классе ограниченных функций экспоненциального порядка убывания на бесконечности при некоторых ограничениях на характеристики особенности получил предварительные результаты о разрешимости. Однако, примененный в этой работе метод решения Н.И. Мусхелишвили с привлечением идей и результатов из [7] не позволил выбрать класс решений, в котором бы удалось провести полное исследование картины разрешимости.

R.B. Salimoy, P.L. Shabalin, On solvability of homogeneous Riemann-Hilbert problem with a countable set of coefficient discontinuities and two-side curling at infinity of order less than 1/2.

© САлимов Р.Б., Шабалин П.Л. 2013.

Работа поддержана РФФИ (грант 11-01-00762-a, 12-01-00636-а).

Поступила 9 марта 2012 г.

Задача Гильберта для полуплоскости со счетным множеством точек разрыва коэффициентов впервые исследовалась в работах [8], [9], в которых были получены формулы общего решения во введенных классах и разработаны методы построения примеров целых функций с заявленными свойствами. В настоящей статье предложено полное описание картины разрешимости задачи Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов и двусторонним завихрением на бесконечности порядка р < 1/2.

2. Постановка и решение однородной задачи в классе функций с особенностями в точках разрыва

Пусть Ь - вещественная ось в плоскости комплексного переменного г = х + гу, О - полуплоскость ^г > 0, Ь - точка линии Ь. Требуется найти функцию Г (г), аналитическую в области О по краевому условию (1), в котором а(Ь), Ь(Ь), с(Ь) - заданные на Ь действительные функции точки Ь контура Ь, непрерывные всюду, кроме точек разрыва первого

рода і^, і = ±1, ±2,

причем а2 (і) + Ь2(і) = 0 во всех точках непрерывности коэффи-

циентов, 0 < іі < ■ ■ ■ < ік < ік+і < ■ ■ ■ , Ііт ік = то, 0 > і-і > ■ ■ ■ > і-к > і-к-і > ■ ■ ■ ,

к^ж

Ііт і-к = -то. Будем считать, что краевое условие выполняется всюду на Ь, исключая

к^ж

точки ік, і-к, к = 1, то. Некоторые уточнения постановки задачи приведем ниже.

Если с(і) = 0, то задача называется однородной, если с(і) = 0— неоднородной. В этой работе нас интересует однородная задача Гильберта.

Краевое условие (1) с с(і) = 0 перепишем в виде

Щв-ги(і)Г (і)] = 0, (2)

где V(і) = а^[а(і) — іЬ(і)] - ветвь, выбранная на каждом из интервалов непрерывности коэффициентов так, чтобы число 83 = V(і3- +0) — V(і3- — 0) удовлетворяло условию

0 ^ 83 < 2п, і = ±1, ±2, ■■■ .

Введем функцию ір(і) = V (і) — в (і)п, где в (і) - целочисленная функция, принимающая значения вк, в-к в интервалах (ік,ік+і) и (і-к,і-к-1), к = 1, то, соответственно и значение во = 0 в интервале (і-і,іі). Число вк выберем так, чтобы

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0 ^ <р(ік + 0) — <р(ік — 0) <п,

значение в-к выберем так, чтобы

0 ^ ір(і-к + 0) — ір(і-к — 0) <п.

Обозначим

ф(іі + 0) — ір(і] — 0)

п

і = ±1, ±2,

тогда имеем 0 ^ Кк < 1, 0 ^ к-к < 1, к =1, то.

Примем, что точки разрыва удовлетворяют условиям

Ж -!

У — < то,

“і ік

к=і

и рассмотрим бесконечные произведения

£

к=і

1

ік

<,

р+м = П( 1

ік

Кк

Р-(г) = П( 1

г

ік

К-к

(4)

к=1 4 ' к=1

в которых под а^(1 — г/Ь^) понимаем однозначную ветвь, обращающуюся в нуль при г = 0 и непрерывную в плоскости г, разрезанной по части вещественной оси, соединяющей точки

г

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ь = ^, Ь = +то при ] > 0 и соединяющей точки Ь = —то, Ь = ^ при ] < 0. Таким образом, для точек верхних берегов разрезов имеем

arg

P+(t) = 'У ] Kjп, tk < t < tk+1,

, j 1 к = 1, то,

к 7 7

arg P-(t) = ^2 К—j п, t-k-i <t<t-k, j 1

arg P+(t) = 0, t < t1, arg P-(t) = 0, t > t-1. (6)

Краевое условие (2) запишем так

^[e-^iWF (t)P+(t)P_ (t)] = 0, (7)

где

^i(t) = ^(t) + arg P+(t) + arg p-(t), (8)

функции arg P+(t), arg P-(t) определяются формулами (5), (6).

Вводя новую искомую функцию F1(z) = F(z)P+(z)P-(z), условие (7) запишем в виде

^[e^WFi (t)] =0,

причем, как видно из формул (8), (5), функция ^1(t) непрерывна во всех конечных точках L. Таким образом, мы пришли к краевой задаче Гильберта с непрерывными коэффициентами для функции F1(z). Будем считать при этом, что функция ^1(t) удовлетворяет условиям

( v-tp + z>(t), t > 0,

^1(t) = 1 (9) [ v+ |t|p + £(t), t < 0,

(v-)2 + (v+)2 = 0, где v-, v+, р - постоянные, 0 < р < 1/2, ^(t) - функция, непрерывная всюду на L, включая бесконечно удаленную точку и удовлетворяющая условию Гельдера с показателем ^, 0 < ^ ^ 1, на всем контуре L, включая бесконечно удаленную точку ([1], с. 18, 67) - условию HL(p) (см. ([7], с. 113)).

Решение F(z) однородной задачи будем искать в классе функций, для которых произведение

F (z)P+(z)P-(z) = F1 (z)

является функцией, ограниченной в D. Тем самым, задача сводится к уже рассмотренной в [5]. После нахождения функции F1(z) определяем решение однородной краевой задачи, соответствующей задаче (2), по формуле

F (z) = F1(z)/P+(z)P-(z).

Это решение в точке tj, вообще говоря, обращается в бесконечность порядка Kj.

При дополнительных ограничениях изучим поведение этого решения однородной краевой задачи на луче z = твгв, r > 0, в = const, 0 < в < п, r ^ то. Как и в [9], (см. также [8],

с. 112) введем функции

{0, 0 ^ x < —t-1, ( 0, 0 < x <t1,

к-1 n+(x) = < к-1

/ J K-j, t-k+1 ^ x < t-k, 1 / J Kj, tk-1 ^ x < tk i

j 1 j 1

и потребуем выполнения условий

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

lim n±M = Д+, Um ПМ^Д- (10)

ж^+те xK+ ж^+те xK-

с положительными постоянными д+, д- и 0 < к- < 1/2, 0 < к+ < 1/2. В [9], ([8], с. 112)

получены структурные формулы

+те

lnP+(z) = п^+6 ™+"zK+ + I+(z), I+(z) = —z / П+(т) — A+TK+ dT (11)

Sin ПК+ J T(t — z)

0

для 0 < arg z < 2п и

1пР-(г) = пА- гк- + I-(г), 1-(г) = г [ П-(Т] — А-ТЛт, (12)

^ вт пк- У к ’ У т(т + г)

о

если — п < а^ г < п. Выражая по формулам Сохоцкого предельные значения интегралов типа Коши и выделяя вещественные части из (11), (12), получим равенства

т / М пА+ С0в(к+п) к+ т , .

1п |Р+(Ь)| = + ,( + )Ьк + 1+(Ь), Ь > 0,

81П(К+п)

+~ (13)

[ п+(т) — А+тк+ -----

1+(Ь) = — ——-:-йт, Ь > 0, Ь = Ьк, к =1, то,

3 т (т — Ь)

о

п / М пА_ сов(к_п) К- г , ч

1п |Р-(—Ь)| =------. ( ( ) )Ьк + 1-(—Ь),

в1п(к-п)

+те (14)

/ N Г п 1 (т) — Атк- -----

1_ (—Ь) = — -т---т-----йт, Ь > 0, Ь = —Ь_к, к =1, то.

- т(т — Ь) -

о

Из формул (4), (13), (14) следует, что функция | ехр{1+(г)}| (| ехр{1-(г)}|) обращается в нуль порядка Кк (порядка Ктк) в точке Ьк (Ьтк), к =1, то.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Лемма 1. Пусть выполнены условия (10), 8 - заданное малое положительное число, г = гегв, тогда справедливы следующие асимптотические оценки

1+(твгв) = о(гк+), г ^ +то, 8 < в < 2п — 8,

1-(твгв) = о(гк-), г ^ +то, —п + 8 < в < п + 8.

Пусть 8 - достаточно малое положительное число, тогда для каждого в, 8 < в < 2п — 8, очевидно неравенство |т — г| > (т + т) в1п(8/2). Для заданного произвольно малого положительного числа е и т > т1(е) в силу (10) имеем п+(т) — А+тк+ < £тк+, следовательно,

(Г!(е)

Г1-К+ [ п+(т) йт+

т У т (т + т)йт+

*1

Ые) те \

+ А+т1-к+ [ _________*________ + ет1-к+ [ ______*_______

+ +' У т 1-к+ (т + т) + £' У т 1-к+ (т + т)

о Г1(е) /

для г = твгв, 8 < в < 2п — 8. При заданном е первые два интеграла есть величины 0( 1), а последний

СЮ СО

т1-к+ --------1-тйт < т1-к+ [ ---------1---------------------тйт п

т 1-к+ (т + r) J т 1-к+ (т + r) sin(nK+)

r-i(e) 0

следовательно, (ср. [10], с. 178, [8], с.115)

I+(re%e) = o(rK+), r ^ +то, 6 < в < 2п — 6.

Не сложнее проводится оценка I-(reie).

Из леммы 1 в силу ограничений к+ < 1/2, к- < 1/2, вытекает, что решение F(reie) однородной задачи (7) для 6 < в < п — 6 удовлетворяет условию F(reie) ^ 0, r ^ то. Введем как и в [5] функцию

P (z) + iQ(z) = leiarpei9p, (15)

где l, а - действительные постоянные, r = |z|, в = arg z - однозначная непрерывная в

полуплоскости D ветвь arg z, удовлетворяющая соотношению 0 ^ в ^ п. Эта функция является аналитической в области D, а на её границе L принимает значения

P(t) + iQ(t) = l|t|p[cos(a + вр) + i sin(a + вр)],

где в = 0, при t > 0, в = п, при t < 0.

Выберем числа l, l > 0, а, 0 ^ а < 2п так, чтобы

l cos а = v-, l cos(a + пр) = v +,

т.е. чтобы

v- cos(пр) — v+

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

l cos а = v , l sin а =------------—------.

sin(пр)

Отметим, что при этом

, v- — v+ cos(пр) [(v- )2 + (v+)2 — 2v -v + cos(пр)]1/2

l sin(a + пр) =-----------—-------, l =----------------------—----------------,

Sin(пр) Sin(пр)

( v-tp, t > 0,

P (t) = 1

{ v +ЩР, t < 0,

{(v- cos(пр) — v+)tp/sin(пр), t > 0,

(16)

(v — v+ cos(пр))|t|p/sin(пр), t< 0,

и

Q(rje) = rp v- cos(P(п — в)) — v+ cos(Pв)

Q(re ) r ■ . . .

si^^)

Далее определим аналитическую ограниченную в области D функцию, граничные значения мнимой части которой равны ^1(t) — P(t) = ^(t), по формуле

+те

1 dt r(z) = - y(t):

п I t — z

На контуре L эта функция принимает значения r+(t) = r(t) + i^(t), где

+те

r(t) = 1 [ Р(«1) dt1

п 1 t1 — t

-те

Краевое условие (7) запишем так

5 {гв^+^в^^+^Г(Ь)Р+(Ь)Р-(Ь)} = 0, (17)

преобразовав при дополнительных ограничениях (3), (9), (10) краевые условия однородной задачи к виду задачи (17).

В фигурных скобках формулы (17) стоит граничное значение аналитической в области

О функции

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ф(г) = гв-Г+(г)в-гР(г)+адГ (г)Р+(г)Р-(г), (18)

которую с учетом (11), (12) можно записать следующим образом

Ф(г) = гв-Г+(х) ехр{^(г) — гР(г)}Г(г)в1+(х)в+1-(х)х

пА+е-гк+п _к+ \ ехр / пА- 1 <19)

x exp <-----------z + > exp <-------z

sin п-+ J [sin п-—

Согласно (17) для граничного значения функции Ф^) имеем

ЗФ+СО = 0 (20)

всюду на L. Это означает, что функция Ф^) аналитически продолжается на полуплоскость

3z < 0, причем для точки z этой полуплоскости

Ф^) = Ф(z), Sz < 0. (21)

Пусть B — класс решений F(z) однородной задачи (17), для которых произведение |F(z)||z — tjограничено вблизи точки tj для всех j = ±1, ±2, • • •.

Для таких решений условие ОФ+ (t) = 0 мы должны считать выполненным и в точках tk, t-k, к =1, +то. В самом деле, продолжая функцию Ф^) на полуплоскость Sz < 0, как указано выше, через участки tk-1tk и tktk+1 мы получаем одну и ту же функцию в силу (21). Для класса B решений Ф^) задачи (17) величина |Ф^)| является ограниченной вблизи tk, поэтому точка tk является устранимой особой точкой аналитической в окрестности tk функции Ф^), полученной при аналитическом продолжении, следовательно, можно принять SФ+(tk) = 0. Таким образом, после вышеуказанного аналитического продолжения мы получаем целую функцию Ф^).

Из изложенного ясно, что мы приходим к теореме 1.

Теорема 1. Для того чтобы однородная краевая задача (17) в классе B имела решение F(z), необходимо и достаточно чтобы для этой функции была справедлива формула (18), в которой Ф^)- произвольная целая функция, принимающая действительные значения на L.

Далее решение однородной задачи (17) будем искать в классе B* функций F(z), для которых произведение |F(z)^^^em~(z) является функцией, аналитической и ограниченной в области D. Ясно, что B* С B.

В силу симметрии для вышеуказанной целой функции Ф^) формулы (18) (когда имеют место (20), (21))

M(r) := max |Ф(гегв)| = max |Ф(гегв)|. (22)

0^в^2п О^в^п

Согласно (19)

|Ф(гегв )| = exp {Q(reie) — КГ(гегв) + m+(reie) + Ш,I-(rew )}|F (rew )|x

( пд rK+ пД rK- 1 (23)

x exp < ---±--- COs(к+(в — п)) +----7-----т ШЗ^-в) > , 0 ^ в ^ п.

|^т(пК+) Sin(пK-) J

Так как ^r(z), |F(z)|eK(/+(z)±/-(z)) — функции ограниченные в D, то

max {exp{ — ^r(reie)}|F(reie)| exp{^(I+(reie) + I-(reie))}} ^ C, (24)

О^в^п

C = const > 0, кроме того, согласно (15) Q(reie) ^ lrp. Поэтому в силу (22), (23) имеем

M(r) ^ C exp (lrp + пД+ 4 rK+ + пД- 4 rK-{ Sin(пK+) Sin(пK-)

ln M(r) ^ ln C + lrp +

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

пД

I

rK+ +

пД_

вт(пк+) в1п(пк-)

Будем различать случаи р > тах{к+, к-}, р = тах{к+, к-} и р < тах{к+, к-}. Пусть р > тах{к+, к-}. Здесь по формуле (25) имеем

пА+ пА-

(25)

ln ln M(r) ^ p ln r + ln

' ln C

l +-------------+

+

rp rp—K+ sin^KI) rp—K- sin^^)

-----ln ln M(r)

lim -----:------- ^

lim { p + -— ln ln r

, ln C

l +-------------+

rp

ln r пД

I

+

пД_

rp—K+ sin^^) rp—K- sin^^)

Следовательно, порядок рФ = Ііт [1п 1п М(г)/ 1п г] целой функции Ф(г), определяемой фор-

V—

мулами (18), (20), (21), не превосходит р.

Теорема 2. Для того чтобы краевая задача (17) при р > тах{к+,к_} имела решение Г (г) класса В* необходимо и достаточно, чтобы для этой функции Г (г) была справедлива формула (18), в которой Ф(г) является целой произвольной функцией порядка рФ ^ р, удовлетворяющей условию (20) и на контуре Ь для всех достаточно больших Ь— неравенствам

^ . v cos^o) - v+ p пД+ ^(к^п) к пД_

\Ф(t)\ ^ Cexp \ -tp +-1 , 1 I ;tK+ +

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

sin(пp)

если t > О, и

, . ., ^ f v — v+ cos^c)

\Ф(t)\ ^ Cexp ------- .( p) I

[ sm^p)

+

sin^^) sin^^ )

пД+\^к+ пД— cos(k—п)

tK

+

(26)

(27)

$т(пк+) sin^K^

если t < 0. Здесь C = const > 0.

Доказательство. Необходимость. Пусть F(z) есть решение краевой задачи (17) класса B*. Но тогда, как было показано выше, имеют место соотношения (18), (20), в которых Ф^) с условием (21) является целой функцией порядка рф ^ р. Полагая в формуле (23) в = 0, затем в = п, с учетом (24) получаем, соответственно, неравенства (26), (27).

Достаточность. Пусть теперь для функции F(z) справедлива формула (18), причем Ф^) есть целая функция порядка рф ^ р, удовлетворяющая условию (20) и неравенствам (26), (27) (тогда функция F(z), определяемая по формуле (18), является решением задачи (17)). В силу указанных неравенств и формул (23), (16) для аналитической в области D функции F(z)eI+(z)+I-(z) при достаточно больших t, учитывая, что ^r(z) есть функция, ограниченная в области D, т.е.

\ШГ(reгв)\ ^ q, q = const, r У 0, 0 ^ в ^ п,

(28)

имеем

|F(t)eI+(t)+I-(t)| ^ Ceq, при t> 0 и t< 0.

Следовательно, всюду на L выполняется неравенство

|F(t)eI+(t)+I-(t)| ^ C, C = const > 0.

На основании (23) с учетом (15) имеем

|F(re%e)exp{I+(re%e) + I-(re%e)}| = |Ф(гегв)| exp {—lrp sin(a + рв) + ^r(reie)} x

x exp

пДіГк+ пД-rK-

cos(к+(в — п))----T

sin^^)

sin^^)

cos(k—в)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

к

Г—>00

p

Отсюда, принимая во внимание (22) и (28), получим

( пД rK+ пД rK-

max \F(rew)exp{II(rew) + I—{re^)}\ ^ M(r)elrPIq exp п I' + - —'

о^в^ж \sin(пк±) sin(пк— )J

Поскольку для любого числа є > О справедливо неравенство

M(r) < exp{rPФ±є}

при всех r > гє, то, выбрав числа є, pl так, чтобы p < pl < 1, pф + є < pl, из предыдущего соотношения получим

max \F(re%e)exp{II(re%e) + I—(re%e)}\ < exp{rP1} о^в^п

для всех достаточно больших r, для которых

rPФ±є lrp q пД±rк+ пД_ rK-

r > Гє,------------------------\-\-\-;--T \---;------T < 1.

rp1 rp1 rp1 rp1 sm^^) rp1 sm^K-)

Следовательно, порядок функции F(z)eI+(z)II-(z) внутри угла 0 ^ в ^ п не превышает pl (см., например, [11], c.69). Поэтому согласно принципу Фрагмена-Линделёфа будем иметь \F(z)eI+(z)±I-(z)\ < C всюду в D, т.е. F(z) принадлежит классу B*.

Теорема 3. Общее решение краевой задачи (17) при p У max{KI, к—} в классе функций B* определяется формулой

F (z) = —ieг(z)eг[P ^^Ф^)^^ )P—(z)]—1, (29)

или

пД±e—гпк+ zK+ пД—zк-

F(z) = —ie^+^^e^eJ^^H^^z) exp \-^--— +

в1п(пк+) в1п(пк-) ] ’

где Ф(г)- произвольная целая функция порядка рф ^ р, удовлетворяющая условию (20) и неравенствам (26), (27) для достаточно больших Щ.

В самом деле, для функции Г (г), определяемой формулой (29), выполняется соотношение (18), и утверждение теоремы вытекает из предыдущего.

3. Разрешимость однородной задачи Гильберта

В этом пункте проведем полное описание картины разрешимости однородной задачи Гильберта в классе В*.

Теорема 4. Пусть р > тах{к+,к-}, р < 1/2. Тогда

a) если

V- сов(пр) — v+ < 0, либо V- — v+ сов(пр) < 0, то однородная краевая задача (17) не имеет нетривиальных решений в классе В*;

b) если

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

V- сов(пр) — v+ = 0, ( V- сов(пр) — v+ > 0,

либо < (30)

V- — v+ сов(пр) > 0, у V- — v+ сов(пр) = 0,

то однородная краевая задача (17) имеет в классе В* решения, определяемые формулой

(29), в которой Ф(г)- произвольная целая функция порядка рФ, рФ ^ р, удовлетворяющая

условию (20) и неравенству

^ (пА + сов(к+п) к пА_ к ]

сехр \ 1 ; гк+ + —-—-гк-\, г> 0,

1ф(/) <; I й1п(пк+) 81п(пк-) ) (31)

1 ( )1 ^ ^ Г V — V + сов(пр), пА+Шк+ пА соб(^п) 1 ( )

сехр---------■ ( .( р) + —+-4 +------. ,( - ) |С- ^ < 0,

[ вт(пр) вш(п к+) вт(пк-) J

либо, соответственно,

^ (и сов(пр) — v+ р пА+ сов(к+п) к пА£к- .

сехр{------------------гр + —+ . 1 ;гк+ + ——г \,г > о,

|Ф(/)| < ) I 81П(ПР) 81п(пк+) 81п(пк-)

1 ( )1 ^ I ^ Г пА+ пА соз(^п) 1

1 с ехр + |^+ +------. .( . ) , *< о,

[81П(ПК+) в1п(п К—) J

для достаточно больших Щ;

с) если

V- сов(пр) — v+ > 0,

V- — v+ сов(пр) > 0,

то однородная краевая задача (17) имеет в классе В* решения, определяемые формулой (29), в которой Ф(г)- произвольная целая функция порядка рф, рф ^ р, удовлетворяющая условию (20) и при рф = р еще и неравенствам (26), (27).

Доказательство. а) Действительно, пусть р < 1/2 и имеет место

V- сов(пр) — v+ < 0,

тогда в силу (26) 11т^+Ю |Ф(£)| = 0, поэтому по принципу Фрагмена-Линделёфа для плоскости, разрезанной по положительной вещественной полуоси, получаем Ф(г) = 0. Ясно, что то же получим и в случае, когда р< 1/2 и V- — V + сов(пр) < 0.

Ь) Пусть выполнено первое из условий (30). Для определенности будем считать, что к+ > к.. Согласно теореме 3 целая функция Ф(г), входящая в формулу общего решения (29), должна в силу (20) принимать на вещественной оси вещественные значения, удовлетворять условиям (26), (27), которые в силу равенства V- сов(пр) — V + = 0 примут вид неравенства (31), и иметь порядок рФ ^ р < 1/2. Существование таких целых функций следует из построений, подробно проведенных в работе [5], (см. также [8], с.100). Именно, возьмем целую функцию

Фо<2) = Й (1 — )(1 — ^) • (32)

в которой 0 ^ в0 ^ п, г к - возрастающая последовательность чисел, которую определим ниже. Здесь а^(1 — г/гкега°) означает ветвь, непрерывную и однозначную в плоскости, разрезанной по лучу г = гега°, г > гк, принимающую нулевое значение при г = 0, а^(1 — г/гке-га°) означает ветвь, непрерывную и однозначную в плоскости, разрезанной по лучу г = гега°, г > Гк, принимающую нулевое значение при г = 0.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Примем, что порядок функции Ф0(г) равен к0 (т.е. показатель сходимости (см. [12], с.278) последовательности её нулей равен к0). Дополнительно предположим, что для числа нулей п(г) данной целой функции, лежащих в замкнутом круге |г| ^ г, существует предел

п(г)

11т ------= А0, 0 < А0 < то. (33)

т^-ю гк°

При сделанных предположениях о последовательности нулей целой функции (32) для функции 1пФ0(г), г = гега, 0 ^ в ^ 2п, доказана [5] формула

СЮ СЮ

1^/4 -г0 [ п(т) — тк° А0 -а [ п(т) — тк° А0

1пФо(г) = —ге ° —--------------а-^т — ге ° —-----^т+

К ' У т(т — ге-га°) У т(т — гега°)

0 0

+

Доп(гвгб)К02соб((90 — п)«о)/йІп(пК0), 0 ^ 9 < 90,

Д0пе-т°п(гегб)к°2сов(90к0)/віп(пк0), 90 ^ 9 < 2п — 90, (34)

А0пе 2гк°п(гега)к°2сов((в0 — п)к0)/в1п(пк0), 2п — в0 ^ в ^ 2п. Если последовательность нулей гк = Гкега° функции Ф0(г) выбрать так, чтобы

'2к ____ 1) 1/к° Г к Гк ^ х < г(k+l),

/2к — 1\ 1/К°

І ■ п(х) =

Гк =

\ •/ /\ _ / I

0, 0 ^ х < г0,

то оба интеграла правой части формулы (34) есть величины о(гК°), при г ^ +то, 0 ^ в ^ п (см. [5]). На вещественной оси функция 1пФ0(г) принимает действительные значения

1п ф0 (£) — адЛ) + <

Д0п2 сое ( (90 — п)к0

Чк°, і> 0,

віп(пк0) Д0п2 сов(90 к0) віп(пк0)

1С°, і< 0,

где

т „ ч Л / ч л ч і2 — іх сов(90)

) — (п(х) — х ° Д0) —-/.«■>, 2ч

У х(і2 — 2іх сов(90) + х2)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0

Таким образом, условие (31) для целой функции Ф0(г) будет выполняться для любых Д0, 90, если взять к0 < к+, а в случае к0 — к+, числа Д0 > 0, 90 Є (0,п) следует выбрать так, чтобы имело место неравенство

Д02со^(90 — п)к0^ ^ Д+ сов(пк+).

с) Построение целых функций порядка рф ^ р, удовлетворяющих условию (20) и неравенствам (26), (27) можно провести так же, как в пункте Ь), отказавшись от условия к0 ^ к+ и выбирать к0 ^ р. Если взять к0 < р, то А0, в0 в формулах (32), (33), (34) -любые, а если к0 = р, то А0, в0 должны удовлетворять системе неравенств

Д02со^(90 — п)к0^ ^ V сов(пр) — ^+,

А02сов(в0к0) ^ V- — v+ сов(пр).

Знаки равенства в этой системе будут выполняться, если взять

ч V- сов(пр) — V + . . . V- сов(пр) — V+

tg(во к0) = —------+----^------------Т — с^§(пк0 ), А0 =— ---------Гй---ч—,

(V — V+ сов(пр)) 81п(пк0) 2сов(в0к0)

следовательно, система совместна.

Теорема 5. Пусть к+ = к. = р < 1/2. Тогда однородная краевая задача (17)

a) не имеет нетривиальных решений в классе В*, если

(V- + пА+) сов(пр) — (V + — пА_) < 0, либо V- + пА+ — (V + — пА_) сов(пр) < 0;

b) имеет в классе В* 'решение ^(г) = АеГ(г)ег[р(г)+г^(г)]/Р+(г)Р_(г), где А - произвольная вещественная постоянная, если

(V_ + пА+) сов(пр) = V + — пА_, ( (V_ + пА+) сов(пр) > V + — пА_,

либо

V_ + пА+ > (v+ — пА_) сов(пр), [ V_ + пА+ = (v+ — пА_) сов(пр);

с) имеет решения класса В*, определенные формулой (29), в которой Ф(г)- произвольная целая функция порядка рф ^ р, удовлетворяющая условию (20) и при рф = р еще и неравенствам (26), (27) для достаточно больших Щ, если

(V_ + пА+) сов(пр) — (V + — пА_) > 0,

V_ + пА+ — ^+ — пА_) сов(пр) > 0.

Докажем случай Ь) теоремы 5. Пусть выполнены условия

(V_ + пА+) сов(пр) — ^+ — пА_) = 0,

V_ + пА+ — ^+ — пА_) сов(пр) > 0.

Согласно теореме 3 общее решение задачи (17) определяется формулой (29), содержащей произвольную целую функцию Ф(г) порядка рф ^ р, удовлетворяющую условию (20) и неравенствам (26), (27), которые в условиях теоремы 5 примут вид

, т / м ^ Г (V_ + пА+) сов(пр) + пА_ — v+ Л . .

|Ф(*)| ^ сехр %---------------+—------------гр\, ь> 0, (35)

I в1п(пр) )

, т / м ^ Г V_ + пА+ — (v+ — пА_) сов(пр^ |Р1

|Ф(Ь)| ^ сехр-------------+ (. ( ,----)----—|Ь|Р , *< 0,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

I в1п(пр) )

причем в силу первого из условий Ь) неравенство (35) принимает вид |Ф(Ь)| ^ С, Ь > 0. Из-за симметрии функции Ф(г) следует, что Ф(г) ограничена по модулю на обеих берегах разреза, проведенного по положительной вещественной полуоси, а поскольку рф < 1/2, то функция Ф(г) ограничена во всей плоскости, т.е. является постоянной.

Случаи а) и с) доказываются так же, как в теореме 4.

Пусть теперь р < тах{к+,к_} < 1/2. Здесь при к+ > к_ согласно (25) имеем

1п 1п М(г) ^ к+ 1п г + 1п

поэтому

пА+ пА 1п С I

+ ;-----------------+------+

в1п(пк+) в1п(п к_)гк+_к- гк+ гк+_р

-1п 1п М (г)

рф = 11т---------- ^ к+,

т^ю 1п г

следовательно, порядок целой функции Ф(г), выражаемой формулами (18), (20), (21), не превышает к+ при к+ > к_. Аналогично получаем неравенство рф ^ к_ в случае, когда к_ > к+.

Поскольку коэффициенты при Ьк+, Ьк- в правой части неравенств (26), (27) всегда строго больше нуля, то при рф < тах{к+,к_} эти неравенства выполняются автоматически. Поэтому справедлива

Теорема 6. Для того чтобы однородная краевая задача (17) имела решение ^(г) класса В* при р < тах{к+, к_}, необходимо и достаточно выполнения формулы (18), в которой Ф(г) является произвольной целой функцией порядка рф ^ тах{к+,к_}, удовлетворяющей условию (20) и при рф =тах{к+,к_} условиям (26), (27).

Теорема 7. Общее решение однородной краевой задачи (17) в классе функций В* при р < тах{к+,к_} определяется формулой (29), в которой Ф(г) есть произвольная целая функция порядка рф ^ тах{к+, к_}, принимающая на Ь действительные значения и при рф = тах{к+,к_} удовлетворяющая неравенствам (26), (27) для достаточно больших

щ.

Теорема 8. Пусть р < тах{к+,к_} < 1/2. Тогда однородная краевая задача (17) в классе функций В* имеет решения, определяемые формулой (29), в которой Ф(г) есть

произвольная целая функция порядка pф ^ max{к+,к-}, принимающая на L действительные значения и при pф = max{к+,к-} удовлетворяющая неравенствам (26), (2T) для достаточно больших | t| .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука. 1968. 511 с.

2. Гахов Ф.Д. Краевые задачи М. Наука. 1977. 640 с.

3. Салимов Р.Б., Селезнев В.В. К решению краевой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами jj Труды семинара по краевым задачам. Казань. Изд-во Казан ун-та. Вып. 16. 1979. C. 149-162.

4. Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Метод регуляризующего множителя для решения однородной задачи Гильберта с бесконечным индексом jj Изв. вузов. Математика. № 4. 2001. С. 76-79.

5. Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. К решению задачи Гильберта с бесконечным индексом j j Матем. заметки. Т. 73. Вып. 5. 2003. С. 724-734.

6. Сандрыгайло И.Е. О краевой задаче Гильберта с бесконечным индексом, для полуплоскости j j Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. № 6. 1974. C. 16-23.

7. Говоров Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом, М.: Наука. 1986. 239 с.

8. Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Краевая задача Гильберта теории аналитических функций и ее приложения Казань: Изд-во Казанск. мат. о-ва. 2005. 297 с.

9. Салимов Р,Б.,Шабалин П.Л. Задача Гильберта. Случай бесконечного множества точек разрыва коэффициентов j j Сиб. матем. журн. Т. 49. № 4. 2008. С. 898-915.

10. У. Хейман Мероморфные функции. М.: Мир, 1966. 287 с.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

11. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956. 632 с.

12. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций Т. 2. М.: Наука, 1968. 624 с.

Расих Бахтигареевич Салимов,

Казанский государственный архитектурно-строительный университет, ул. Зеленая, 1,

42004З, г. Казань, Россия E-mail: salimov@5354.ru

Павел Леонидович Шабалин,

Казанский государственный архитектурно-строительный университет, ул. Зеленая, 1,

42004З, г. Казань, Россия E-mail: pavel. shabalin@mail .ru