Связь уравнения Бетхера с параметризованным интегралом Пуассона Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.965 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5 (63). Вып. 4 МБС 39В22, 26В99

Связь уравнения Бетхера с параметризованным интегралом Пуассона

В. С. Кальницкий, А. Н. Петров

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Для цитирования: Кальницкий В. С., Петров А. Н. Связь уравнения Бетхера с параметризованным интегралом Пуассона // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63). Вып. 4. С. 614-622. https://doi.org/10.21638 /1170lZspbu01.2018.407

В статье рассматривается функциональное уравнение Бетхера и одно из его вещественных обобщений. Показано, что в некоторых ситуациях после нахождения частного решения обобщенного уравнения удается получить и другие его решения. В качестве примера описано трехпараметрическое семейство вещественных функциональных уравнений на функцию двух аргументов, для которого найдены частные решения. Описанное обобщение имеет широкую область применения. Многие величины после надлежащим образом введенной параметризации удовлетворяют обобщенному уравнению Бетхера как функции параметров. В качестве иллюстрации приведены двухпа-раметрические семейства, порожденные определителем линейной комбинации матриц второго порядка. Показано, что параметризованный интеграл Пуассона, как функция своих параметров, удовлетворяет обобщенному уравнению Бетхера. Это позволило вычислить интеграл Пуассона и интеграл Эйлера новым способом. В качестве дополнения излагается вычисление интеграла Пуассона методом интегральных сумм.

Ключевые слова: уравнение Бетхера, интеграл Пуассона.

1. Введение. Рассмотрим аналитическое преобразование комплексной плоскости в окрестности точки а

/ : г ^ а + с(г — а)к + О((г — а)к+1),

где к ^ 2. В терминологии теории итераций аналитических преобразований неподвижная точка а преобразования ] называется суперпритягивающей. Вопрос о конформной сопряженности этого преобразования с преобразованием г ^ гк полностью решается теоремой Бетхера [1].

Теорема 1. В окрестности неподвижной точки существует однолистное решение <р(г) уравнения

(г)) = (ф))к. (1)

Для любого п € Ж функция е^п(г) также является решением, где е — любой корень из единицы степени к — 1. Этими решениями исчерпываются все мероморфные в окрестности точки а решения уравнения (1).

Существует прямой метод поиска решений этого уравнения в виде ряда Тейлора [2], который приводит, как правило, к громоздким выражениям, и явные решения получены лишь для некоторых ] (см. [3]).

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2018 614 https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.407

Пример 1. Для к = 2 и f(z) = z2/{1 — 2z2) частным решением уравнения (1) в окрестности 0 будет функция <p(z) = (1 — а/1 — 4z2)/2z.

Рассмотрим вещественно-аналитическую функцию /(ж). Из аналитического построения решения (см., например, [4]) = lim fcr\/fn{z), где fn обозначает n-ю

итерацию отображения f, следует, что на множестве положительности f среди решений можно выбрать вещественно-аналитичное, соответствующее вещественным корням кп-й степени. Это решение будет сужением решения уравнения (1) на вещественную ось, и для четных к все значения этой функции будут положительны.

Пример 2. Рассмотрим частный случай уравнения Бетхера в вещественном случае

p2(x) = p(a + b(x — a)2). Заменой ф(х) = + а) оно приводится к простейшему виду

ф2 (x) = ф^2).

Это уравнение подробно исследовано для различных классов функций и различных областей определения. Отметим сразу, что pp(x) ^ 0 при x ^ 0.

A. Если потребовать, чтобы функция pp(x) была аналитична в окрестности x = 0, то общее решение доставляет теорема Бетхера: общее решение имеет вид <p(x) = xn, n € N, или ф = 0 либо 1.

Б. Если потребовать, чтобы функция Pp{x) была определена на интервале (0, ж) и была там дифференцируема, то общее решение имеет вид (p(x) = xß, ß € R, или ф = 0.

B. Общее решение уравнения (2) без каких-либо ограничений на функцию, но на области определения x > 1 имеет вид [5]

( /ln ln x

w = exp In x ■ oj [ -

V V ln2

где ш — произвольная периодическая функция, для которой 1 является периодом.

Уравнение Бетхера допускает различные обобщения на функции нескольких комплексных переменных. Например, можно рассматривать преобразования f : Cm ^ Cm (см. обзор в [6]).

В данной статье мы введем вещественное обобщение уравнения Бетхера.

2. Обобщение уравнения Бетхера. Запишем уравнение Бетхера (1) для многочлена f (z) = а + ß(z — а)2, а, ß € R. Не умаляя общности можно считать, что

ß> 0,

p2 (z)=p(a + ß(z — а)2). (2)

Обозначим z = a + ib и положим F(a,b) = \p(a + ib)\. Мы получили уравнение, записанное в иной форме:

F2(a, b) = F(ßa2 — 2аßa — ßb2 + ßа2 + а, 2bß(a — а)). (3)

Если положить b = 0, F(a, 0) = \p(a)\ = p(a) (в силу положительности), то мы получим исходное уравнение p2(a) = р(а + ß(a — а)2). Прямой проверкой легко убедиться, что p(z) = ß(z — а) является решением (2). В силу теоремы Бетхера все

аналитические с вещественными коэффициентами решения уравнения (2) окрестности точки (а, 0) имеют вид <^(г) = вп(г — а)п, п € Ж, п ^ 0, либо <^(г) = 0. Эти решения задают серию решений уравнения (3):

Е(а, Ъ) = ¡Зп((а — а)2 + Ь2)^.

Для уравнения (3) легко указать более широкий класс решений:

Е(а,Ь) = /37((а -а)2 + Ъ2)%,

где 7 € К.

Таким образом, решая уравнение (3), мы можем свести его к уравнению Бет-хера (2) и все вещественные решения последнего будут задавать решения уравнения (3) по формуле Е(а, Ь) = \<р(а + Л)\. С другой стороны, если есть вещественно-аналитическое в окрестности точки (а, 0) решение уравнения (3), то его сужение на первую переменную дает аналитическое решение уравнения Бетхера, а, значит, их сужения на вещественную ось совпадают. Например, очевидно, что функция <^(г) = в (г — а) также является решением уравнения (2), но порождает ту же серию решений уравнения (3).

Теорема 2. Рассмотрим вещественное функциональное уравнение

Е2(а, Ь) = Е (6*1 а2 + С2а + С3Ь2 + С4, 2С1аЬ + С2Ь) и предположим, что выполнены соотношения

Каждое аналитическое решение <р(г) уравнения Бетхера (2) для полинома /(г) = С0 + С1 (г — Со)2, С0 = —С2/(2С1), порождает решение рассматриваемого уравнения. Решения получаются в форме

Е(а,Ь) =

V I а+

Доказательство. Сделаем замену С(а,Ь) = Е(а,^Ь). Тогда данное уравнение перепишется с другой константой при Ь2:

С2 (а, Ь) = С (С1а2 + С2а + /л2С3Ь2 + С4, 2С1аЬ + С2Ь).

Полученное уравнение сведем к (3), для этого найдем параметры ц, а, в:

Первые два условия в теореме гарантируют возможность определения параметров ц, а. Третье условие гарантирует, что уравнение приводится к виду (3).

Получив какое-либо решение С(а, Ь) = \<р(аЫ)\, обратной заменой найдем Е(а, Ъ) = С(а, Ь/У), где параметр ц = у/—С\/С3. □

Доказанная теорема мотивирует следующую конструкцию.

Определение. Для многочленов второй степенир\(а),р1(а, Ь),рз(а, Ь) рассмотрим функциональное уравнение на неизвестную функцию Е(а, Ь) от двух переменных:

Рг(Е (а,Ь)) = Е (р2(а,Ь),рз(а,Ь)). (4)

Уравнение (4) будем называть обобщенным уравнением Бетхера.

Предположим, что уравнение (4) может быть сведено к случаю р\(х) = х1, т. е. сопряжено с таким уравнением, некоторой легко вычислимой функцией. Пусть далее существует неподвижное значение Ьо третьего полинома рз(а, Ьо) = Ьо, тогда уравнение (4) сводится к уравнению (1) на функцию Е(а,Ьо).

В исследуемых нами далее примерах после нахождения частного решения Е(а,Ьо) удается получить и другие решения уравнения (4). На этом основан предлагаемый нами прием вычисления некоторых величин.

Оказалось, что некоторые величины после надлежащим образом введенных параметров, становясь функциями своих параметров, удовлетворяют уравнению вида (4). Далее, исходя из специфики исследуемой величины устанавливаются ее значения для интересующих нас значений параметров. Существует достаточно семейств величин, трансформируемых в решения уравнения (4), мы обсудим лишь некоторые из них, так как многие из обнаруженных эффектов выходят за рамки данной статьи.

3. Теорема Гамильтона—Кэли. Теорема Гамильтона—Кэли доставляет пример семейства, допускающего описанную выше трансформацию. Рассмотрим матрицу второго порядка X. В силу теоремы Гамильтона—Кэли, ее степени являются линейными комбинациями самой матрицы и матричной единицы, так как

X1 = ТгХ ■ X - det X ■ В.

Это подсказывает, что величину det X можно трансформировать в функцию от двух параметров. А именно, рассмотрим двухпараметрическое семейство

Ех (а, Ь) = det(aX + ЬВ).

В силу теоремы Гамильтона—Кэли и мультипликативности определителя имеем

det1(aX + ЬВ) = det(a1 X1 + 2aЬX + Ь1В) =

= det((TrX)a1X + 2aЬX + Ь1В - ^ X)а1В).

Таким образом, определитель удовлетворяет обобщенному уравнению Бетхера (4)

ЕХ (а, Ь) = Ех (аа1 +2аЬ,Ь1 - ¡За1), (5)

где а = Ъ:X,P = det X.

Два последних соотношения определяют семейство частных решений данного функционального уравнения для фиксированных а, в. В частности, для положительного частного решения Ео (а, Ь) и вещественного числа в функция Е§(а, Ь) — также решение.

Заметим, что при в = 0 второй аргумент имеет неподвижное значение Ь = 1, и уравнение приобретает форму уравнения Бетхера

р1(а) = р(а1 +2а) = <р(-1 + (а + 1)1), (6)

где обозначено <р(а) = Fx(^a, 1)- В следующем разделе нам понадобится его частное решение. Для получения решения запишем семейство матриц, для которых 1 = Tr X, 0 = det X,

'l - y

—У2+7

X

1

Y/

'0

Тогда

p(a) = det(aX + E ) = a +1.

Мы нашли частное решение уравнения (6). Как нам уже известно, все дифференцируемые решения, определенные на луче а > -1, имеют вид (а +1)я, в € К. В частности, мы получили частные решения уравнения (5) при в = 0:

FX (a, b) = det(aX + bE) = aab + b2.

c

4. Интеграл Пуассона. Применим указанные рассуждения для вычисления интеграла Пуассона

Г п/2

I = ln(1+sin2 x)dx.

Jo

Отметим, что существует много способов его вычисления: разложением в интегральную сумму (см. пункт 5), дифференцированием по параметру и т.д. Рассмотрим двухпараметрическое семейство

Гп/2

(a + b sin2 x)

rn/2

I(a,b) = / ln(a + b sin2 x)dx.

Jo

Это дифференцируемая функция по параметрам. Найдем функциональное уравнение, которому подчиняется указанная функция. Для этого заметим, что

гп/2

I(a,b) = / ln(a + b cos2 x)dx,

Jo

Ю

и можно записать сумму

гп/2 гп/2

2I(a,b) = / ln(a + b cos2 x)dx + ln(a + b cos2 x)dx =

oo

rn/2 rn/2

= ln(a + b cos2 x)(a + b sin2 x)dx = ln(a2 + ab + b2 cos2 x sin2 x)dx

oo

1 Г/2 ( b2 \ 1 fn ( b2 \

= - ln a2 + ab H--sin2 2x d(2x) = - ln a2 + ab H--sin2 x dx

2 Jo V 4 ; 1 ; 2 Jo V 4 J

0 J0

1 Гп/2 ( b2 \ 1 - ln a2 + ab н--sin2 2x d(2x) = - .. , ... ,

2 J o \ 4 y 2 J o \ 4

Гn/2 ( 2 b2 2 \ ( 2 b2\

= / ln [a + ab H--sin x dx = I a + ab, — .

Jo V 4 J V 4 J

Для сведения к уравнению Бетхера его необходимо пропотенцировать: P(a, b) = eI(a,b). Эта функция, тем самым, удовлетворяет уравнению

P2(a,b) = P(a2 + ab, b2/4).

Второй аргумент имеет неподвижную точку Ь = 4, запишем р(а) = Р(а, 4):

р1 (а) = р(а2 + 4а).

Для поиска частного решения мы используем специальный упрощающий прием: положим д(а) = р(^(а)),

д1(а) = р1 (£(а)) = р(^2(а) + 4£(а)) = рШ-1 (?(а) + 4£(а)))) =

= д(С1(?(а) + 4€(а)))= д(а2 + 2а),

где мы потребовали £-1(£,2(а) + 4£(а)) = а2 + 2а, т.е. свели задачу к уже решенному уравнения Бетхера, все дифференцируемые решения которой на множестве положительности имеют вид

д(а) = (а + 1)°. При этом необходимо еще решить сопрягающее уравнение

£2(а) + 4£(а) = £(а2 + 2а).

Для поиска частного решения сопрягающего уравнения сделаем замену п(а) = С(а) + 2, тогда

г/2(а)= г/(а2 + 2а) + 2. (7)

Последнее уравнение решает следующая очевидная лемма.

Лемма. Если ро (а) является решением уравнения Бетхера (1), к = 2, то функция

ро(а) + —

Ро(а)

является решением уравнения

р2(а) = р(/(а))+2. По лемме частное решение уравнения (7) имеет вид

1

1]{а) = -- + а + 1.

а +1

Возвращаясь к исходным функциям, а > -1, получаем

а \ 1 , 1 е-1/ ^ «+ У«2 + 4а

Ц« = —ГТ + а-1, £ а = ---

а +1 2

Таким образом,

Определение параметра а можно осуществить из следующего соображения. Запишем соотношения

ъЬ (п

1{а.,Ъ) = - 1п- +\пр I — I ; /(а, 0) = — 1п а.

Теперь достаточно потребовать

lim | — In —\-\nw ( — I I = 7rln Ja,

ь^о V 2 4 ^ V ъ 1 1 V '

/ , ' '-* а

lim п

ь^о

\

где а = тга'. Легко видеть, что о! = Окончательно получаем

7г а + ? + л/а2 + аЪ л/а + л/а+Ъ

1(а,Ъ) = — 1п---= 7Г 1п --.

у ' ' 2 2 2

Полученное выражение совпадает с табличным. В частности, мы вычислили интеграл Пуассона

т/2 - 1 + ^2

гп/2

1 = 1(1,1)= / ln(l + sin2x)dx = 7г1п —

Jo 2

и получили известное выражение для интеграла Эйлера

г п/2 /о

гп/2

I(0,1) = ln(sin2 x)dx = —п ln 2.

Jo

5. Вычисление с помощью интегральных сумм. В завершение изложения приведем вычисление интеграла Пуассона с помощью разложения в интегральную сумму. Для равномерного разбиения интервала интегрирования с правыми концами промежутков в качестве оснащения интегральная сумма будет иметь вид

сг„ = (ln (l + sin2 + ln ( 1 + sin2 ^ ) Н-----b ln (l + sin2 —\

2n V V 2n) V 2n J V 2n)

тг (3-сов*)(3-сов£)...(з-сов^ ln

2

2n 2

Выражение, стоящее под логарифмом, может быть существенно упрощено. Рассмотрим разложение многочлена t2n — 1 на множители. Этот многочлен имеет ровно 2n корней — комплексных корней из единицы = cos2nk/2n + i sin2nk/2n, k = 0,...,2n — 1, степени 2n:

t2n — 1 = П2п=0 (t — ek).

Пары комплексно сопряженных корней в произведении дают вещественный квадратный трехчлен t2 — 2t cos kn/n +1, k = 0,...,n — 1. Таким образом, получаем

t2n — 1 = (t2 — 1)(t2 — 2t cos n/n + 1) ...(t2 — 2t cos(n — 1)n/n + 1).

Подберем величину t специальным образом. Пусть to = (л/2+ I)2, тогда t2 + 1 = 6to-Окончательно имеем

t2n — 1 ( n \ ( (n — 1)

u = ( 6t0 - 2to COS - ... 6to - 2to COS > '

t0 — 1 V v v пУ V v v n

n-l,n-I/o \ fo (n — 1)7

= 2n-Lt"-L (3 - cos -J ... - cos

Свернем интегральную сумму с помощью полученного выражения: ^ (t0n - 1) ^ 2(t0n - 1)

сг„ = — In —---——i-- = — In -

2п (t§ _ i)2»-ii»-i2»-2 2п (ig _i)(4i0)n-i'

Перейдем к пределу при n

7Г (2(f§"-l))* 7Г io , V^

lim an = — lim In---г = — In — = тг In-.

2™ (i2_i)i(4i0)^ 2 4 2

Окончательно получаем

Г п/2

/ ln(1 + sin2 x)dx = n ln Jo

1 +

2

Литература

1. Бетхер Л. Э. Главнейшие законы сходимости итераций и приложение их к Анализу // Изв. Физ.-мат. общ. при Импер. Казанском ун-те. 1903. Т. 14, №3—4. С. 155—234.

2. Ritt J. On the iteration of rational functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1920. Vol.21, N3. P. 348-356.

3. Holden A. V. Chaos. Princeton University Press, 2014. 334 p.

4. Валирон Ж. Аналитические функции. М.: Гостехиздат, 1957. 235 с.

5. Нечепуренко М. И. Итерации вещественных функций и функциональные уравнения. Новосибирск, 1997. 228 с.

6. Buff X., Epstein A.L., Koch S. Bottcher coordinates // Indiana Univ. Math. J. 2012. Vol.61. P. 1765-1799.

Статья поступила в редакцию 25 мая 2018 г.; рекомендована в печать 2 июля 2018 г.

Контактная информация:

Кальницкий Вячеслав Степанович — канд. физ.-мат. наук, доц.; [email protected] Петров Андрей Николаевич — канд. физ.-мат. наук; [email protected]

Connection of the Böttcher equation with the parametrized Poisson integral

V. S. Kalnitsky, A. N. Petrov

St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

For citation: Kalnitsky V. S., Petrov A. N. Connection of the Böttcher equation with the parametrized Poisson integral. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2018, vol. 5(63), issue 4, pp. 614-622. https://doi.org/10.21638/11701 /spbu01.2018.407 (In Russian).

In the paper, one of the real generalizations of the Bottcher equation is considered. It is shown that in some situations, after finding the particular solution of the generalized

equation, it is possible to obtain other solutions of it. As an example, we describe a three-parameter family of real functional equations for a function of two arguments, for which particular solutions are found. This generalization has a wide field of application. Many quantities after a properly introduced parametrization satisfy the generalized Bottcher equation as a function of the parameters. As an illustration, we give two-parameter families generated by the determinant of a linear combination of second-order matrices. It is shown that the parametrized Poisson integral, as a function of its parameters, satisfies the generalized Bottcher equation. This allowed us to calculate the Poisson integral and the Euler integral in a new way. As a supplement, the calculation of the Poisson integral by the method of integral sums is presented. Keywords: Bottcher equation, Poisson integral.

References

1. Bottcher L., "The main laws of iteration convergence and its application to Analysis", Phys.-Math. Soc. Notes 14(3-4), 155-234 (1903) [in Russian].

2. Ritt J., "On the iteration of rational functions", Trans. Amer. Math. Soc. 21(3), 348-356 (1920).

3. Holden A. V., Chaos (Princeton University Press, 2014).

4. Valiron G., Analytic Functions (Gostekhizdat, Moscow, 1957) [in Russian].

5. Nechepurenko M.I., Real functions iterations and functional equations (Novosibirsk, 1997) [in Russian].

6. Buff X., Epstein A., Koch S. C., "Bottcher coordinates", Indiana University Mathematics Journal 61(5), 1764-1799 (2012).

Received: May 25, 2018 Accepted: July 2, 2018

Author's information:

Vyacheslav S. Kalnitsky — [email protected] Andrey N. Petrov —[email protected]