Метод численного решения краевой задачи для уравнения в частных производных с эмпирическими функциями на основе интегрального уравнения Фредгольма первого рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

НАУКА. ИННОВАЦИИ ТЕХНОЛОГИИ, №3, 2016

УДК 517.972: Наац И. Э. [Naats I. Е.], 519.633 Наац В. И. [Naats V. I.],

Рыскаленко P. A. [Ryskalenko R. А.]

МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ЭМПИРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ НА ОСНОВЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА

Method for numerical solution of boundary value problems for equations in partial proizvodnyh with empirical functions on the basis of the integral Fredholm equation of the first kind

В работе излагается метод построения приближенного решения краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных с исходными данными, полученными в эксперименте (эмпирическими функциями). В подобной постановке задача относится к классу некорректных математических задач и часто встречается, например, в математических моделях физических явлений, использующих результаты измерений натурных экспериментов. Для получения приближенного решения такой задачи требуется построение соответствующих регуляризирующих алгоритмов. В данной статье разрабатывается и обосновывается метод интегральных представлений исследуемых функций их сингулярными интегралами, который излагается на примере решения краевой задачи для уравнения в частных производных, в частности, для уравнения Пуассона. Это позволяет построить и поставить в соответствие исходному дифференциальному уравнению в частных производных эквивалентное ему интегральное уравнение Фредгольма первого рода и найти его численное решение, то есть решение некорректной задачи. При этом используется аппарат приближения функций и их производных соответствующими сингулярными интегралами, а также метод регуляризации сходимости последовательности приближенных решений, который реализуется так называемыми обобщенными обратными операторами. Построенная в итоге вычислительная модель позволяет получать устойчивые решения некорректной задачи.

Ключевые слова: операторное уравнение, сингулярный интеграл, метод регуляризации, обобщенный обратный оператор, численные методы, вычислительный алгоритм.

In this paper we describe a method of constructing approximate solutions to boundary value problems for differential equations in partial derivatives with the original data obtained in the experiment (empirical functions). In such formulation, the problem belongs to the class of incorrect mathematical problems and is often found, for example, in mathematical models of physical phenomena using measurement results of the field experiments. To obtain an approximate solution of this problem requires building the corresponding regularizing algorithms. In the present work is developed and substantiated the method of integral representations studied their functions, singular integrals, which is presented on the example of solving the boundary value problem for partial differential equations, in particular, for the Poisson equation. This allows you to build and put in corresponding to the original differential equations equivalent integral equation of Fredholm of the first kind and find its numerical solution, i.e. the solution of ill-posed problems. This

uses a machine approximation of functions and their derivatives corresponding singular integrals and the method of regularization the convergence of the sequence of approximate solutions which is implemented by the so-called generalized inverse operators. Built in the end, a computational model allows to obtain a stable solution of incorrect tasks.

Key words: operator equation, singular integral regularization method, generalized inverse of an operator, numerical methods, computational algorithm.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, АКТУАЛЬНОСТЬ ИССЛЕДОВАНИЙ Метод интегральных уравнений, обозначенный в названии работы, подробно излагался ранее в работах авторов [1-4] и применялся для построения вычислительных алгоритмов приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Если говорить кратко, то суть метода состоит в сведении исходных функциональных уравнений к интегральным уравнениям с последующим их решением методами обобщенной инверсии. Подобный подход в вычислительной математике во многих случаях оправдан некорректностью математических задач, а также наличием погрешностей в исходных данных. В пределах настоящей работы метод интегральных представлений исследуемых функций их сингулярными интегралами иллюстрируется на примере решения краевой задачи для уравнения в частных производных первого порядка вида

gx <Х y)fx(x, У) + g2(x, у)/'Хх, у) = (х, у) fix, y) + S(x.iy). (1)

в котором функция f (х, у) определена в плоской области

G = {(*,$:хс[.V ..V.]. г g [уДх),>>2(х)]} = fey):у е [у..Г.\х< [.г,(>>) х2(у)]} (2)

Функции Vi(x), v2(x) и х, (у). х2(у) определяются уравнением границы G области G, задаваемой уравнением Fix, у) = С. Для того, чтобы решение (1) было однозначным, необходимо задать значения функции /"(х, у) на границе G, то есть считать известной функцию fix, у) = fix, у) при (х, у) е G. Функции g\(x,y), g2(x, v)i £з(х, у) и Л'(х. у) в совокупности образуют множество исходных данных для математической модели того явления, которое

представлено функциональным уравнением (1), связывающего искомую функцию/(л:,у) с точками пространства В = g3, 5"}.

При разработке численного алгоритма нахождения приближенных решений уравнения (1) необходимо учитывать аналитические свойства функций из множества В, а также возможную погрешность в их задании. В рамках формальных теорий для корректности задачи (1) необходимо потребовать от них непрерывности всюду в области О. Однако в приложениях непрерывность исходных данных не всегда может гарантированна, особенно, когда модель (1) необходимо влечет использование эмпирических данных, скажем, реализаций случайных процессов. В подобных ситуациях требование непрерывности следует ослабить, считая исходные данные в лучшем случае функциями, интегрируемыми в области О. Одним из подобных вариантов соответствующего функционального класса является множество Излагаемый ниже подход к решению

краевых задач для уравнений в частных производных в значительной степени оправдывается именно этим обстоятельством, и его суть состоит в построении интегрального уравнения Фредгольма первого рода, эквивалентного в определенном смысле исходному дифференциальному уравнению. Последнее, как известно, решается методами обобщенной инверсии интегральных операторов. Как показали исследования авторов [1-4] в подобных задачах, когда исходные данные являются приближенными В = ^, g2, g-,, Л" ] и решение (1) становится некорректно поставленной задачей [5], предпочтительно исходить из предположения о возможности представления искомой функции в виде надлежащим образом выбранного интеграла. Типичным примером подобного подхода в анализе [7] является представление искомых функций так называемыми потенциалами вида

Я*0") -> | Тр(х,у\х\у')(р{х\у')с1х'с1у'= ^рср\х,у), (3)

а

в котором ядро интегрального оператора Тр может быть определено выражением вида

уУ,/>= , ОЧ-Я*-?) (4)

В последнем выражении функция 0(х,у,х\у') вполне регулярна в области О (например, непрерывна по своим аргументам), а параметр (5 £ (0,1). Последнее условие гарантирует сходимость интеграла всюду в области С , включая и диагональ Ж — х', у — у'. Введение интегрального представления (3) для функции /(х,у) в области С позволяет задачу ее нахождения рассматривать как задачу определения некоторой суммируемой функции (р е Ф((У) а Су (С) , используя исходное функциональное уравнение (1). Как показано в работах авторов [3, 4], наилучшим вариантом представления функций интегралами в подобных задачах являются так называемые сингулярные интегралы функций. Теория подобных интегралов была разработана А. Лебегом и кратко изложена в работах [6, 7]. Их приложения в так называемой конструктивной теории функций вещественной переменной (теории приближений) изложено в обстоятельной монографии [8]. Рассматривая сингулярные интегралы функций как аппарат теории приближений, во многих случаях удается построить достаточно эффективные обобщенные полиномы, а также построить вполне приемлемые аналоги обобщенных производных, что и будет проиллюстрировано ниже.

Построение и обоснование вычислительного метода

решения некорректной задачи (1) - (2).

Дадим некоторые пояснения, касающиеся содержательного смысла исходного понятия «сингулярный интеграл функции». В качестве определения сингулярного интеграла функции /(х, у) можно считать следующие соотношения

в (5)

Мт/п(х,у,/) = /(х,у)

В соответствии с (5) всякая интегрируемая функция /(х,у) является предельным элементом последовательности непрерывных функций {(А',. / ., порожденных интегральным оператором Кп (// =1,...)

с ядрами Кп{х, у\х', у') , определенными на О х С (тоже Кт х Кт). Примеры подобных ядер известны [6]. Обычно, исследуемые функции явно не представлены, а задаются с помощью соответствующих функциональных уравнений, как это имеет место в рассматриваемом нами случае (1). В соответствии с этим, необходимо надлежащим образом последние преобразовать, введя в них последовательности типа {/„(х, у,/)}^=1 • Подобные операции осуществляются и в тех случаях, когда решение /(х. г) отыскивается в виде степенных рядов или подобных разложений по системам базисных функций. Прежде чем приступить к построению соответствующего алгоритма для исходной модели (1), следует указать способ аппроксимации частных производных/¿(х, у) и / '(х у), считая их естественно интегрируемыми в области О. Имеем

'\к„(х,у',%\у')/Хх',У')Ж' = ЮЛ^У) = (Кп/:)(х,у), (6а) ¡ск' ¡Кп(х,у,х\у')/;Лх'У)с/у' = (?;\(х,У) = (ка/£х,у), (66)

XI л (У)

Пт(/:1(х,у) = /:(х,у), (7а)

П—> СО

Пт(/;)(х,у) = /:,(х,у) (76)

П ■ п

Используя далее формулу интегрирования по частям для интегралов в (6а) и (66), построим следующие выражения у% 4(У)

¡4/ ]к„(х,г,х;утх;у'№'=(/;)„(*,У)=Ы(*,ух (8а)

2 У**)

X, ям

В дальнейшем для вторых слагаемых в правой части выражений (8) (интегралы по контуру области С ) используем обозначения ц/.. ,_>', / ) и шп (х. \\/) соответственно. При выводе выражений (8а) и (86) использованы аналитические свойства ядер Кп(х,)г х',у'). заключающиеся в соотношениях

К11(х,у-х',у') = Кп(х-х',у-у') и к;,х=-к;1х,, к;,у К[у .

Напомним, что помимо этого имеют место предельные условия типа Кп{х,у\х\у')^ 0 при г = ^(х-х')2 +{у-у')2 ->0, п = 1,2,...

В соответствии с этим, члены (//н % и Щп во внутренних точках (х, у) е (I достаточно малы. Их роль вырастает по мере приближения точки к границе О. Ясно, что, если /{х,у) = 0, то у/п Х(х,у) = 0 и у/п (х, у) = 0. В этих условиях можно говорить, что пара интегральных операторов (ДД„) и {руКп) с ядрами К']х(х,у\х',у') и К'щ{х,у;х',уг) в основном и определяет преобразование / —> и / —» /,' в рамках изложенной здесь теории. Для суммируемых функций данные операторы можно считать операторами обобщенного дифференцирования подобно тому, как это принято в теории распределений. Таким образом, для дифференцируемой функции /(х, у) построены следующие аппроксимационные приближения для ее частных производных

/Х'(х,у) -> (Кп/^х^у) = ((ДДЛ/Х*0') + ■ (9а)

имеющих место при п —> <х>.

Используя эти соотношения, нетрудно показать, что исходному дифференциальному уравнению (1) может быть поставлена в соответствие последовательность интегральных уравнений вида

Я 0п(х,у,х',у'Жх:у^у'=8п(х,у), (10) в

где

Qn{xy\xly^)=glx,y)K^^x[y')+g1^ (11а)

п = 1,2,... (116)

Уравнение (10) является интегральным уравнением Фредгольма первого рода, которое возникает каждый раз при попытке построить устойчивую вычислительную схему для некорректно поставленной математической задачи. В рассматриваемом случае некорректность решения дифференциального уравнения (1) можно связывать с приближенным заданием исходных данных Ва. Для численного решения уравнений типа (10) используют методы, так называемой обобщенной инверсии. В последнем случае допускается ситуация, когда обратный оператор (0„) 1 формально не ограничен. Решающий алгоритм удобно связывать с оптимизационной задачей вида

М Ш)=Ы{{Оп/-$тОп/-5„)+ар(/-/в,/-Л)1 (12)

./Е^С ./Е^с

где /■',. - множество допустимых решений в классе непрерывных функций С{С), р - масштабный множитель и / - некий опорный элемент во множестве Рс, в той или иной степени близкий к искомой функции/ Оптимизационная задача (12) неявно определяет регуляризирующий оператор в задаче (10), а именно ■ где а - параметр регуляризации. Если считать, что правая часть '$„ в уравнении (1) представлена своим а - приближением Н„л. то формально в рамках изложенного подхода обобщенной инверсии интегрального оператора 0„ (и = 1,2,...) последовательность приближенных решений можно представить в виде

и

/пМа) = {оХ$п,а,п = \х... (13)

Выбор параметра регуляризации а согласуется с величиной о на основе соотношения

р2=ки„и --а2ц/0|£(о). (14)

Для рассматриваемой вычислительной схемы имеет место следующее утверждение: последовательность {/ла((Г)| определяемая выражением (13) сходится в слабом смысле почти всюду в области О к решению исходного уравнения (1) при условии о —>■ 0 (а(о) —> 0) и/е (]((/). Доказательство этого утверждения носит достаточно формальный характер и основывается на обратном применении формул интегрирования по частям (8а) и (86). Следует заметить, что в содержательном смысле аппроксимационная последовательность {/и отлична в опре-

деленной степени от подобной последовательности {/Дх. г. / }' , определенной формулой (5).

Пример построения последовательности

приближенных решений для уравнения Пуассона

В заключение приведем еще один пример построения интегрального аналога для дифференциального уравнения второго порядка в рамках изложенного выше подхода. В частности, речь пойдет о построении последовательности приближенных решений типа (13) для уравнения Пуассона

ГЛх,у) + Гуу{х,у) = -к{х,у). (15)

Для построения эквивалентного интегрального уравнения (10) необходимо найти интегральные операторы, соответствующие отображениям/ > /д." и/• >/" Используя соотношения (5) и (6) находим следующие представления:

4 (У) __

Хг у2(х) __

С учетом этого, уравнение (15) можно привести к интегральному уравнению вида

\\Qniw ',У)№,?№4/=н„(х,у). (17)

где

дп(х,у;х',у") = К:>:а(х,у,х',у') + Ких,у;х',у') (18а)

/»/,')! (186)

^^^¡[^Ху^тУ^^^Жу') (19а)

(196)

При построении выражений (18), (19) использовалось соотношение (теорема Фубини [9]) вида

Х2 /2(х') У2 х'2{у')

¡¿с' \!{х',у)<1у' = \<1у' \№,уУЬ'.

й'М У, х[(у')

Построение интегральных уравнений типа (10) и (17) для решения краевых задач для соответствующих дифференциальных уравнений требует надлежащего выбора ядра (80; .... , ) в интегральных представлениях искомых функций. Вместе с тем, следует заметить, что при п —> да интегральные представления ((1)ХКП ) / )(х, у) и ((/) А'/.)/')(л\-г) для /'(х,у) и /'.(х,у) слабо зависят от выбора ядра Кп(х,у\х',у') в соответствующих интегральных операторах, что впол-

не согласуется с характером слабой сходимости предельных соотношений (5). В определенной степени можно говорить об инвариантности выбора последовательности {К} при характеризации производных искомых функций. Разумеется, в целом, вопрос о выборе ядер интегральных представлений функций не снимается, особенно когда речь заходит о построении вычислительных алгоритмов. Здесь требуется учитывать влияние ошибок в исходных данных на эффективность аппроксимационных последовательностей типа /)(х, , для которых аналитические свойства ядер естественно важны (в целом). В этом отношении было бы разумным увязывать выбор ядер Жп(х, у\х', у') со свойствами исходных дифференциальных операторов Ь в операторных уравнениях Л,, / = Я . Подобная задача рассматривалась ранее в работе на примере параболического типа [2]. В случае операторов эллиптического типа, каковым является оператор в примере (15), тесно связанный с теорией гармонических функций, предпочтение можно отдать ядрам сингулярного интеграла Пуассона. Для функций двух переменных /(.v. у) , определенных в плоской области G с: Я^, этот интеграл имеет вид

РЛ*,У,Л = \\Рп{х,Г,х',у')Г{х',у')(к^у\ (20)

где

л2 ¿/

рп(х,у-х\у') = ^---г. (21)

2л

[п 2г2+с12}

В формуле (21) г = д/(х - х')2 +(у- у')2 и с1> 0

- некоторая константа. Известно, что для непрерывных функций

РНШ,Л /(Х'У) ПРИ п ' равномерно в О. Для вычислений удоб-

б/

но б стандартную формулу ядра Пуассона ввести параметр т = —, значе-

л

ния которого лежат в пределах (0, . В этом случае ядро 0..(х.у:х'.у') примет параметризованный вид

Ог(х,у-х',у') = -—----. (22)

¿Л Г 2 , 2^ [Г г Т \2

Последнее замечание касается того обстоятельства, что ядра интегральных уравнений (10) в ряде случаев могут иметь неинтег-рируемые особенности, что и оправдывает используемый в работе термин «сингулярный интеграл функции». Как правило, подобные особенности имеют место в окрестности диагоналей ядра х = х' ,у = у' (та же особенность в нуле, те есть при г = 0). Возникающие при этом затруднения при вычислениях могут быть преодолены путем введения так называемой регуляризации сходимости интегралов. В рассматриваемом примере подобную регуляризацию можно осуществить введением в ядро От(г) так называемого «нейтрализатора» точки г = 0, а именно, положив

0{ту)(х, у; х',у') = у(х, у; х',у') ехр• где > г > 0

-а

3т Ъг -2т~

2л Г 2 , 2]1 [г +т

(23)

Нетрудно показать, что новое ядро (23) всюду непрерывно и ограничено в области О . Это делает оператор ' вполне непрерывным и позволяет использовать методы обобщенной инверсии для нахождения ((/. ' ),,Г:- где выбор параметра регуляризации а связан с величиной о (а ~ со ). Разумеется, возможны и иные подходы к регуляризации ядер интегральных уравнений (10).

Заключительные замечания.

Изложенный выше метод интегральных уравнений применительно к краевым задачам для дифференциальных уравнений представлен примерами, в связи с чем необходимо сделать несколько замечаний общего характера. С этой целью введем обозначения

\Кп{х,х')ГЛх'¥х'= \Кп{х,х')Шх')<к' = {{Кп о Д)/Х*Х (24)

п, о,

где К ?1) - композиция соответствующих операторов. Ясно, что

Ит((^оД)/Хх) = (1)/Хх). (25)

Л-»оо

в пределах излагаемой теории представления функций интегралами (последовательностями по системе {Кп \п | ). Соотношение (8) теперь можно писать в виде

((*„ О1>)/Хх)=((^а)/Х^)+Гл(^7Х (26)

где (/)хКп) - интегральный оператор, ограниченность которого гарантируется условием существования интеграла

||УА"., (х. х")\(М при хеЖ„ (за возможным исключениям

ем нуля х = х').

Итогом этих построений является представление производной (/)х/Хх) по переменной х в виде последовательности {([/)хКп)/)(х)\'п ! почти в каждой точке х, что и записывается как

Шх) {((АЛ )/)«&, (27)

Считая х вектором {у , | из йт можно писать (26) в виде

((Кп (28)

д -

где О, — (./ = 1,«).

Если /,,, - линейный дифференциальный оператор (линейная комбинация операторов дифференцирования первого порядка А ), то нетрудно доказать правомерность равенства

((Кп о^)/\х) = ((^Кп)/\х) + ¥п(х,/^\ (29)

где g = (gl,£3) - вектор коэффициентов в операторе

Введя обозначение Оп(ё) = (/^ ). приходим к интегральному уравнению (точнее последовательности уравнений)

(а (£)/)« = 5(4«= 1,2,... (30)

эквивалентной исходной модели Л . / = Л'.

Вопросы построения вычислительных алгоритмов для подобных интегральных моделей и примеры их практического использования в задачах математического моделирования требуют дальнейшей разработки и будут изложены в последующих работах авторов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Наац, В.И. Расчетно-аналитические модели для дифференциальных уравнений с приближенными данными на основе представления решения интегралами / В.И. Наац, И.Э. Наац, РА. Рыскаленко // Наука. Инновации. Технологии: научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. Ставрополь, 2014. № 4. С. 60-71.

2. Наац, В.И. Расчетно-аналитические модели для уравнений параболического типа с приближенными данными на основе методов прикладного гармонического анализа и

вариационного метода взвешенной невязки / В.И. Наац, И.Э. Наац, РА. Рыскаленко // Наука. Инновации. Технологии: научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. Ставрополь, 2015. № 3. С. 51-62.

3. Наац, В.И. Метод решения некорректной задачи для дифференциального уравнения с приближенно заданными функциями на основе представления решения интегральными уравнениями / В.И. Наац, И.Э. Наац, РА. Рыскаленко // Наука. Инновации. Технологии: научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. Ставрополь, 2015. № 4. С. 23-40.

4. Наац, В.И. Вычислительная модель для дифференциального уравнения с эмпирическими функциями на основе интегрального уравнения Фредгольма первого рода / В.И. Наац, И.Э. Наац, РА. Рыскаленко // Наука. Инновации. Технологии: научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. Ставрополь, 2016. №2. С. 37-48.

5. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. М.: Физматлит. 1979. 288 с.

6. Данфорд Н. Линейные операторы: общая теория / Н. Дан-форд, Дж. Т. Шварц. М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. 427 с.

7. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физматлит, 1961. 524 с.

8. Натансон, И.П. Конструктивная теория функций. М.: Физматлит, 1994. 526 с.

9. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит, 1994. 296 с.