Закритическое поведение подкрепленной пластины Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 5.2003

УДК 519.613

Закритическое поведение подкрепленной пластины1

Д. В, Холмогоров

Рассматривается задача о закритическом поведении прямоугольной пластины, яагрулсеиыой по краям нормальными и касательными усилиями и подкрепленной системой упругих ребер. Предложена схема численного решения задачи, основанная на аппроксимации прогиба пластины и функции напряжений натуральными кубическими сплайнами двух переменных. Приведены результаты численных экспериментов.

1. Постановка задачи

Рассмотрим прямоугольную пластину со сторонами а и Ь, нагруженную по краям х = 0, х = а нормальными усилиями <тх и по всем краям касательными усилиями г (рис. 1).

У

■а X

Рис. 1.

Пластина подкреплена упругими ребрами, параллельными оси х с концами в точках [0, у*], [а, у к] к — 1..г, 0 < у\ < ... < уг < Ь. Будем считать, что ребра реагируют на поперечное смещение точек пластины как винклеровские основания с коэффициентами жесткости к =

1..Г.

1 Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 01-01-96431.

© Холмогоров Д.В., 2003.

Пусть го(х, у) 0 < х < а, 0 < у < Ь - прогиб пластины. В качестве разрешающей системы примем уравнения равновесия и совместности деформаций для гибких пластинок [1]:

Б г

—А2т = /,(и>, Ф) - ■ гп_{х,у)6(у - ук) (1)

к=1

1даФ = —!(«;, «>). (2)

Здесь Л - толщина пластины; Е ~ модуль Юнга; В — ЕЙ3/12(1 — и2) -цилиндрическал жесткость; и - коэффициент Пуассона; $(•) - дельта-функция Дирака; т.. — тт{0, ю} - срезка функции;

" д2ю д2Ф пд2ю д2Ф ,оЛ

(3)

Функция напряжений Ф связана с напряжениями в срединной поверхности следующими формулами [1]:

д2Ф д2Ф _ _дЧ_

ду>\ ''-дх» Т~ дхду' ( ]

Задача исследования закритического поведения пластины сводится к решению нелинейной системы дифференциальных уравнений (1), (2) относительно функций и> и Ф, удовлетворяющих некоторым граничным условиям, и при заданных на контуре пластины значениях напряжений ах и г, превышающих критические.

Пусть прогиб пластины удовлетворяет граничным условиям шарнирного опирания

д2ъи д2ио п л , . .

Ю = = ПрИ ж = °> а> У) = ~ ° ПрИ У ~ Ь- V5)

Учитывая условия нагружения пластины и выражения (4), функцию

напряжений Ф будем искать в виде

1 ~ ф(х> У) ~ 2°* • У2 ~ т • ху + Ф(х, у). (6)

Поскольку пластина сжимается только вдоль оси х (на краях у = О, Ь (Ту = 0), из формул (4) и представления (6) следует

д2Ф д2Ф

— = 0 при х = 0, а; = 0 при у = 0, Ъ. (7)

Заметим также, что на контуре пластины функция напряжений Ф может быть определена с точностью до линейной функции, (см. формулы (4)), поэтому для определенности полагаем

Ф — 0 при у = О, Ь и при х = 0, а. (8)

Подставляя представление (6) функции напряжений Ф в уравнения (1), (2), для определения го и Ф получим следующую .задачу

А

= и

£

при граничных условиях (5), (7) и (8).

~ 1

Цю, Ф) - & • УЖУ ~ У.о I

*=1 л

¿(и;, и;)

(9)

2. Итерационная схема Перепишем систему (9) в операторной форме

/Ли> = &К ф)

здесь Л - битармонический оператор А2, а С/1 и ¿/2 ~ нелинейные дифференциальные оцераторы правой части системы (9).

Пусть гОк ~ к-е приближение, удов лет воряющее граничным условиям (5), тогда следующее к+1-е приближение строится в соответствии с итерационной схемой Ричардсона:

ьик+1 = « • гок + (1 - ос) ■ Л^Я^, (тк)) а € (0,1), (11)

Здесь Л-1 соответствует обращению бигармонического оператора, т.е. решению задачи вида

А2 и = д0 (12)

при фиксированной правой части д0 и граничных условиях шарнирного

опирания

д2и п Л д2и Л Л т

и = —- = 0 при х — 0. а: и -- —- = 0 при у — 0, о. ох2 оуг

Из формулы (11) следует, что для построения к + 1-го приближения задачу (12) нужно решить два раза: сначала найти функцию Ф из уравнения (см. (9))

затем - го, как решение задачи

Ь(-шк,Ф) - ык-(х,у)6(у - у^

1=1

(14)

тогда и>к+1 = а ■ юк + (1 — а) ■ гл.

Заметим, что уравнения (13), (14) являются уравнениями Эйлера соответственно для функционалов

К

(Ахи) - — хо ■ 1Ц,Ф)

/1 Г /*а

+ м(х,у1)юк-(х,у1)(1х

и 1=1 -70

¿хйу, ¿хс1у+

(15)

(16)

поэтому задачи (13), (14) эквивалентны следующим вариационным проблемам

Л(Ф) = ^11(Ф) + и»*, и*) тшп, (17)

2 Ф

/г ~ к г

;=1

где

= ^ JJ (Дй)2 сЫу,

^2(го, wk,Ф) = ^ jJ го- Цюк, Ф) бЫг/, д

^(го,^-) = / €}{х,у1)-шк-(х,у1)с1х. J о

(19)

3. Сплайн аппроксимация

1. Для построения конечномерной аппроксимации задачи (9) функцию прогиба ъи(х,у) и функцию Ф(х,у) будем приближать интерполяционными кубическими сплайнами двух переменных [2].

В области П = [0, а] х [0,6] введем сетку с узлами в точках

0 = х0 < хг < ... < хп+1 =а, 0 = уо<у1 < ... < ут+1 = Ь

и пусть

ъигу = У){зц, Уз), Ф^- = Ф(ж?-, %), г & 0 . п + 1, э € О : т + 1.

Интерполяционным кубическим сплайном двух переменных называется функция 3(х,у) = 5(гу; х,у), которал на каждом ит прямоугольников % ~ [г,-,ж4-+1] х [у,-, 1/,+х] имеет вид

з

Я*' У) = Е - *'-)в(» - У,")' (20)

и удовлетворяет условиям интерполяции

= г, з "= 0,1, г €'0 : п + 1, ¿€0 : т + 1,

Ш) А

Подставляя в функционалы (15), (16) вместо функций £), и Ф соответствующие интерполяционные сплайны ^, Зг й интегрируя (см. [3]), получим функции •

= (21)

«*» = Л№> - ¿¿Ш) + ±±АА№.*.> -

¡=1

= \ - Е • (22)

Заметим, что сплайн-аппроксимация срезки функции выполняется в следующем порядке: сначала для го^ строится сплайн затем вычисляется его срезка 8\и~.

• Учитывая, что значения функций хи и Ф на контуре пластины равны нулю, обозначим

С — (сц, . . . , С\т, . . . , Сп 1, . . . , Спт) ,

d = (¿11, • • • , dim, ■ ■ ■ , dn\i • • • 5 4m)*i (24)

здесь (•)* - означает транспонирование. Тогда функции ¿7i($,j), ^(wij) можно переписать так ((•,•) - скалярное произведение)

Л(Ф) = ~(АФ, Ф) - (с, Ф), J2(w) = I(Aw, w) - (d, w). (25)

Здесь матрица А порядка п х т с элементами a,j)PS положительно определена, поскольку является конечномерным аналогом бигармони-ческого оператора Д2.

Таким образом, в конечномерном случае вариационные проблемы (17) и (18) (а значит и уравнения (13), (14)) сводятся к последовательному решению двух задач выпуклого квадратичного программирования

, ^ • (2б)

^(Ф) = -(АФ, Ф) - (с, Ф) ->• min,

Z ф

J2(w) — ^(Aw,w) — (d,w) min.

2 w

Решение этих задач единственно и имеет вид

Ф = А_1с, w = A-1.d.

(27)

(28)

2. Аналитические представления для коэффициентов матрицы А и векторов с и (1 выписать практически невозможно, поскольку даже с вычислительной точки зрения эта операция весьма трудоемка. Расчетная схема определения коэффициентов матрицы А приведена в монографии [3]. Опишем далее алгоритм вычисления векторов с и d.

На каждом прямоугольнике сетки Г1ц г £ 0 : п, з € 0 : т введем в рассмотрение матрицы

Mij(w) =

wi+l,j (1.0) wiJ Wi+l,j 1

wi,j+l Wi,j+1 wi+l,j+l

(ОД) w) • ' 3 w 1+1,3 (1.1) J

wh3+l wi+l,j+l Wi,j+1 J wi+l,j+1/

(29)

И пусть

Fij = M'J(wk), . Gl] = Mij(Ф), Vij = Mij(w).

(30)

В случае равномерной сетки с шагом hx по оси х и шагом ky по оси у функция J\%{S%, Sik, Su) (21) представима в виде

<Ji?,(S2, Slki ¿ife)

1

n rn 4

rrEEE^ E áF%\áakPülig~--e3kFcítqU h h. * * x У ÍZ=0 j=0 p:q-l s,t,k,l~ 1

(31)

где

dskp

Г1

y?p{z)dz,

Cskp = I (p's(z)(p'k(z)ípp(z)dz, s,k,p G 1 : 4; Jo

Vx(z) = (1 - z*){l ~ 2z), ^(г) = z2(3 - 2z),

ípz\z) — z( 1 - z2)hy, ífi(z) = -z2(l - z)/i¡,. Коэффициенты dug, c¡tq, l,t,q£ 1 : 4 вычисляются аналогично:

f1

dHq = / ip¡(z)tj>"t{z)ipq(z)dz,

Jo

citq = / V}'i{z)^i(z)^q{z)dz, l,t,q € 1 : 4; Jo

фх(г) = 4>i(z), 4'2{z) = Фз(г) = z( 1 - z2)/ix, ^4(2) = -z2(l - z)hr.

(32)

(34)

(3-5)

Поскольку коэффициентами матриц -¡Р-* являются значения известной функции и ее производных в точках сетки, формулу (31), с учетом (30), можно переписать так

Su) =

= Е Е +«ГЯ + +W

я+1 то+1

1=0 i=0

где , /с G 0 : 3 - величины постоянные. Введем в рассмотрение матрицы

,(1,0)

«J

г € 1 : n, i € 1 : m.

Условия непрерывности вторых производных интерполяционного сплайна во внутренних точках сетки О (см. например [2]), можно записать в виде

х-т-ВЛУ, РУГу=Т

ГЬпг '<">,

JRW*

(37)

где квадратные матрицы Р, К (порядка п) и Р, Я (порядка т) в случае граничных условий шарнирного опирания являются трехдиа-гональными и имеют следующую структуру:

/510.

14 10

Р =

Л

. .0141

V- -,01 \)

(~\ 1 о • -10 10

л

V

.0-1 О 1

• - о \)

■ (38)

Из формул (37) в силу невырожденности матриц Р и Р получаем

/Т-х

9

^-Р^КЧГ, wy = ВГ.Р~\

Пх I* V

ху ~ и и

(39)

Выпишем аналогичные (39) формулы для матриц записанных в виде вектор-столбцов '«г, wI, \гху

WJ; = = (¿уУ?, УГху = (¿хС^уЧ/,

(40)

здесь х, Цу - соответствующие аналоги матриц 3/кхР 1 В, и 3/куВ*Р~1. Вернемся к формуле (36), пусть

^ — (/п) • • ч /ьп! • • ч /п1ч • ч 1птУ 1 & € 0 : 3,

(41)

используя матрицы дифференцирования (40), обозначения (41) и (23), формулу (36) можно переписать в виде

(ФД°) + (д.ФД1) + (£Д п + (д.дД П

(42)

откуда окончательно имеем

Е

с = +да1 + +

(43)

3. Аналогичным образом вычисляются коэффициенты линейной формы (<!,#) (25). Для функции ^(¿ъ Яг) (22), используя введенные ранее матрицы С'- , V-7 (30), можно получить следующее выражение:

п ш 4 ¿=0 3=0 р,5=1

кхку

Е +¿.Л-

а,г,к,1=1 4

кхку

£ К1СГ1свкрсНч - 2тдзр&Л

(44)

где

Ъ*р= ! 1р3{г)1рр(г)ёг, двр= [ <р'3(г)<рр(г)<1г, э,р € 1 : 4; (45)

7о Л

ГФ"МФчШ*> Чья = [ Ф\(г)Фя(г)<1г, ¿,9€1:4. (46)

Уо ./о

А коэффициенты ¿»¿р, сцд, €1:4 вычисляются

по формулам (32), (34).

Рассмотрим теперь интегралы (19)

= [ 31(х,у1)81к-{х,у1)<1х, I € 1 : г. Jo

Здесь у; - это координата /-го ребра, параллельного оси х. Будем считать, что подкрепляющие пластину ребра проходят по линиям сетки и М С {1..т} - множество точек крепления ребер.

Пусть вектор £/'-? - первая строка матрицы М%'(хиь~) (см. (29)), тогда

]£М г=1 9=1

Р=1

где Ърд, р, д € 1 : 4 вычисляются по формуле (45).

Далее, суммируя в выражениях (44). (47) коэффициенты при

~ —ii,о) —(ОД) ~(1,1)

wi3, wij , w^ ', w\- % получаем

Jn(SuSn, S2) - P,JL{Su Sik) =

j€M

n+1 m-t-1

\ ~ о , —(1,0) l . ~(0,1) 2 , ~(1,л 3 ] /АО\

| Wijdij + W-J 9ij + % + w]j -дЦ, (48)

i=0 j=0

где д^, к £ 0:3- величины постоянные. Полагая теперь

используя матрицы дифференцирования (40) к обозначения (23), преобразуем формулу (48) к виду

зем

откуда окончательно имеем

с! = ~(8° + ^ + + д;я1ш3). (49)

4. Численные эксперименты Рассмотрим пластинку с параметрами

а — 20 см, b = 10 см, h — 0,2 см, if г* Fh*

Е = 0,72 • 106—^ = 0,3, D = —--- = 542,74 кг • см, (50)

см2 12(1 — и2)

подкрепленную упругими ребрам одинаковой жесткости ¡3j = /3 = const. Расчеты проводились при достаточно больших значениях параметра ¡3 для случая, когда число ребер, параллельных длинной стороне пластины, совпадает с числом внутренних узлов сетки по оси у (М = {l..m}), т.е. моделировалась задача о закритическом поведении пластины на жестком основании.

К = 1,16

А, =2,5

5 10 15 20 0 5 10 15

Рис. 2. Волнообразование при сжатии А, = 1,16 А<7 = 2,5

5 10 15

Аа = 6,64

5 10 15

А, = 7,47

Рис. 3. Формы сечения у = 6/2 при сжатии

Ат = 1,004 Ат = 1,1

Ш: В; 4: 2:

5 10 15 И « Ат = 2,2 Ш: В-6: 4- 2- Й 1Ь 1Ь 20 Ат = 2,8

ЩИ

(Г 6 1Ь 15 . ЗЕ Ат =4,4 0 10 8 6 4 2 П- 5 10 15 20 Ат = 8,8

чв

Рис. 4. Волнообразование при сдвиге

Ат = 1,004 Ат = 1,1

Рис. 5. Формы сечения у —

—Ь/а • х + Ъ при сдвиге

Пусть пластинка сжата вдоль оси х (т = 0), тогда для неподкреп-ленной пластинки критическое напряжение может быть вычислено по формуле [1]:

где коэффициент К зависит от соотношения сторон (а/Ь). Для пластины с параметрами (50)

К = 4, а°к = 1071,3-^, р см

а при наличии жесткого основания

<ткр = 1204,6^. (52)

см^

При чистом сдвиге (<тх = 0) для неподкрепленной пластинки с параметрами (50) критическое напряжение также вычисляется по формуле (51), при этом (см. [1])

К = 6.47, т& = 1732,87-^, и см

а при наличии жесткого основания

ткр = 1803,26-^. (53)

см

Критические значения (52), (53) для пластины на жестком основании получены методами, рассмотренными в монографии [3]. Пусть теперь

ах \ т -V = , -V = > <?кр Ткр

- безразмерные параметры напряжений соответственно для пластины, сжатой вдоль оси х (т = 0) и при чистом сдвиге (сгх — 0).

На рис. 2 показана одна из возможных ветвей процесса волнообразования при сжатии, на рис. 4 - при чистом сдвиге; на рис. 3 - соответствующие рис. 2 формы сечения у = Ь/2, на рис. 5 - соответствующие рис. 4 формы сечения у = -Ъ/а-х+Ъ. В качестве начальных приближений используются формы потери устойчивости, соответствующие критическим напряжениям (52), (53). Расчет произведен при следующих значениях параметров сетки: п = 20, т = 10.

Литература

1. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

2. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко B.J1. Методы сплайн-функций. М.: Москва, 1980. 352 с.

3. Тарасов В.Н., Холмогоров Д.В. Некоторые задачи и методы конструктивно-нелинейной механики упругих систем/ Под ред. проф. Е.И. Михайловского. Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарск. унта. 2001. 189 с. ISBN 5-87237-274-4.

Summary

Kholmogorov D.V. Supercritical behaviour of a substantiated plate The task about a supercritical behaviour of a rectangular plates loaded on edges normal and tangents by gains and substantiated with a system of elastic edges is considered. The circuit of a numerical solution of a task based on approximation of a sag of a plate and function of voltages natural cubic splines of two variables is offered. The outcomes of numerical experiments are reduced.

Сыктывкарский университет

Поступила 7.10.2002