CC BY
10Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып. 7. 2007
УДК 539.371
ВЛИЯНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
В.Н. Тарасов, Д.В. Холмогоров
В работе рассматривается задача устойчивости цилиндрической оболочки, нагруженной внешним нормальным давлением или подвергающейся осевому сжатию. При численном исследовании задачи перемещения аппроксимируются сплайнами. В отличие от традиционных тригонометрических рядов применение сплайнов позволяет рассматривать реальные граничные условия, в частности, допускается перемещение торцов оболочки как жесткого целого.
1. Постановка задачи
Пусть Д - радиус оболочки, Ь - длина, к - толщина. Выберем координаты (х,у), откладываемые соответственно вдоль образующей и по дуге. Введем центральный угол д так, что у — 0 < д < 2тг и
безразмерную координату ^ — х/Я. Тогда положение точки срединной поверхности оболочки определяется координатами (£,$). Перемещения точек вдоль оси х обозначим через и, перемещения по касательной к координатной линии у через г;, а перемещения по нормали к срединной поверхности обозначим через и) (прогиб). Прогиб считается положительным, если он направлен к центру кривизны.
Выражения для деформаций в срединной поверхности и параметров изменения кривизны через перемещения возьмем в виде:
1 ди 1 ду уо 1 ди 1 ду
£!^=RlЩ, £'& = Кдё~К' 7=Rдё + RlЩ, ^
1 д2ъи 1 ду 1 д2ии
Щ = ~Д2 9^’ = ~1&дд ~ Д
© Тарасов В.Н., Холмогоров Д.В., 2007.
1 ду 1 д2
± ии ± и уо
К= ~В2д^&' ^
Тогда полная потенциальная энергия деформации оболочки может быть вычислена по формуле
и =
1 г27Т ЕкИ 0 ,0 2(1 - //2)
1 г2п Е^Я
2/ие^Єі)
<і^сіт9+
II
</0 о
24(1 — р2) ^ — //)-г<2] <1£>(1'&. (3)
Если оболочка подвергается сжатию вдоль образующей усилиями р, то работа внешних сил определяется выражением
А =
рКЯ Ґ Г2п 1 д2и;
7о Л
(4)
Здесь £ = Ь/Я, Е - модуль Юнга, р - коэффициент Пуассона.
Предположим теперь, что торцы оболочки могут перемещаться как жесткое целое. Для того, чтобы исключить перемещение всей оболочки как жесткого целого, будем считать, что на правом краю оболочки (при £ = £) выполнены условия жесткой заделки (0 < $ < 27г)
дуо
и = 0, у = 0, го = 0, —— = 0;
д£,
либо условия шарнирного опирання
д2уи
и = 0, у = 0, уо = 0, = 0.
(5)
(6)
Пусть теперь (£,??, С) _ неподвижная система координат (рис. 1) и срединная поверхность оболочки до деформации описывается уравнениями (0 < £ < £)
( = ?] = Псов 19. (7)
Предположим, что левый край оболочки (при £ = 0) может смещаться вдоль образующей (на величину щ) и в плоскости поперечного сечения (ту, С) как жесткое целое. Будем считать, что направления осей выбраны так, что смещение края в плоскости (77, £) происходит в направлении оси £, что соответствует граничным условиям
где Ь некоторая постоянная величина.
При повороте левого края оболочки вокруг оси оболочки на угол (р точка срединной поверхности с координатами (7) переходит в точку с координатами
Откуда, учитывая, что связи между ортами и ортами к,1 (рис. 1) имеют вид
Задачу об устойчивости круговой цилиндрической оболочки, подвергающейся сжатию вдоль образующей усилиями р, равномерно распределенными вдоль торцевых кромок, сформулируем следующим образом: требуется найти минимальное значение нагрузки р, при котором существует нетривиальное решение вариационной проблемы
Предполагается, что функции гл(£, #), ^(£, #), ги(£, #) при £ = £ удовлетворяют граничным условиям (5) или (6), при £ = 0 граничным условиям перемещения края как жесткого целого
и(0, $) = и0,
(8)
г>(0, $) = ЬвтА, іу(0, $) = Ьсов т?,
(9)
Сі = + <р), т/1 = Дсоэ(7? + (р).
(10)
получаем
г>(0, •д) = Двій ср, ги(0, $) = і?(1 — сое ф).
(П)
и — А —у тіп.
(12)
и(0, $) = Ьзтії + Лайкр, ги(0, $) = Ьсов$ + Д(1 — сое <р>), (13)
и выполняются условия периодичности (0 < £ < £)
0) <9ви(£, 2-7г) <9вг>(£,0) <Эвг>(£, 2п)
ддв ддв ’ д’
дац;(£,0) _ д31у(£,2тт)
д№ дд* ’ " ' 1 j Следует отметить, что уравнения Эйлера для функционала (12) в точности совпадают с разрешающей системой уравнений в перемещениях для цилиндрической оболочки, приведенной в [1](см. (13.11)).
2. Сплайн аппроксимация
Функции и, V, ги будем искать в виде
п+2 тп-\-2
г=0 j=0 п+2 тп-\-2
v((,t>) = Y1Y.vvв^(oв1(ti),
г=0 j=0 п+2 т+2
= (15>
г=0 ,7=0
где 5Д<^), Bj{rд) являются кубическими В-сплайнами. Свойства и способы построения В-сплайнов рассматриваются в [2].
Для построения сплайнов В^) на отрезке [0, £\ введем равномерную сетку
£
& = г • Н*, кс = —, г — 0..п, п
и определим функции
= 8Ь^ (б^ _ 3(е _ + ^ _ _ _ + 6^ _ £0+^ >
^*(0 = Ы+ + Ьг(^ — £1)+ + Ь2(£ — £2)+ + Ь3(^ — £з)+? £+ = тах{0, £}.
Тогда
Д(0 = В(€ ~ ^ ~ 3)ЛС), г = З..п - 1;
зщ п
5Т =
6Щ ’
----— =, ИЗ
з ц,Рз 6Щ'
В2(0 = \В*(0 1+ -е2, при Ы = -7^7-, Ьг = —, Ь2 = - —, ^ =
36/г*
2/г*
4/г.г
18/*’
Дг+2-г(6) = Вг(£ - £)] 2 = 0,1,2.
Сплайнь^ /3? ($) строятся аналогично] только при втом щпользуется равномерная сетка на отрезке [0, 2и]
27Г
^ = ] ■ к#, ^ = —, [7 = 0..т. т
Нетрудней убедиться, что построенные таким образов сплайны! 5$(£) и В:1 (19) Обладают следующими свойствами:
Б0(0) = 1, Д(0) = 0] Ш = Ц..п + 2;
Вп+2(£) = 1, Щ£) = о, V* ■= 0..п + 1;
9^(0) „ дВг( 0)
5Б„+1(£)
К
шт
де
0, Ш ■= 0, 2..п + 2}
^ 0^ \й ■= 0..п, п + 2^ 0] V* = 0Д,3..п + 2|
д2Бп^) =1, д2Вг(£
— 0, V?! =■ 0..п — 1, п + 1, п + [2;
д£2
^о(0) = ^^-(0) = 0, У2 = 1..ш + 2;
[Вш+2(27г) = 1, ЩЩ = о, Щ = 0..т т I; дБ^О) дВ3( 0)
дд
дВт+1 (2тг
9-г?
В,
х;
дд
щщ>
дд
0, V? = 0, 2..ш + 2^
= 0^ \Ф[ = 0..т, т + 2;
^(0)=^ = 0|У5 = 0,1,3..т + 2(
^2 Г’ ^2 д2Вт( 2тг) д2В3(2ж^
д$2
д$2
[16)
= Р, = 0..т — 1, т + 1, т + 2. [17)
3. Учет условий периодичности и граничных условий для сплайнов
Условия периодичности (14) для функций (15) будут выполнены, если положить
^г,т+2 — Щ,0? ^г,т+1 — ^гД? ^г,т — Щ,2,
^г,т+2 — ^г,0? ^г,т+1 — ^г,1? ^г,т — ^г,2,
^г,т+2 ^г,(b ^г,т+1 ^г,1? ^г,т ^г,2, ^ 0..71 Н- 2. (1^)
Из граничных условий жесткой заделки (5) следуют равенства
^n+2,j ^n+2,j ^n+2,j ^n+lj 0? J1 0..771 + 2. (19)
Если потребовать выполнения условий шарнирного опирания (6), то
un+2,j = Vn+2J = wn-\-2,j = Wnj = 0, j = 0 ..га + 2. (20)
При £ = 0 должны выполняться условия (13). Учитывая свойства сплайнов (16), из (13) следует, что
т+2
г>(0,г?) = г>о jBj{$) = .R sin tp + b sin ■$,
з=о
т+2
ги(0, г?) = wojBj^) = _R(1 — cos <^) + bcost?, з=о
т+2
tt(0,1?) = uojBjiti) = щ. (21)
i=0
Считая угол поворота малой величиной вместо (21) будем далее использовать условия
т+2 т+2
г>(0,г?) = jBj(d) ж Rip -\-bsm.d, w(0, $) = ^^wojBj^) ж bcost?. j=о j=0
m+2
u(O,0) = '52uOJBj(0) = uo. (22)
i=o
Потребуем, чтобы условия (22) выполнялись только в точках сетки
2 7]- /р
$ = $к =------, к = 0..т — 1.
т
Определим квадратную матрицу Т порядка тп с элементами г0)* = В0(дк) + Вт+2($к), Ь,к = Вх(дк) - Вт+1(дк),
^2,к = В$($к) + Вт($к);
— Bj('&k), j = 3..т — 1, к = 0..ш — 1. (23)
Найдем решения следующих систем линейных алгебраических уравнений
га—1 га—1
= 1, к = 0..т - 1; ^ ^ = Д, к = 0..т - 1;
^=0 .7=0
га—1
-Ь* = к = 0..ш — 1;
з=о
га—1
' Ь,к = соэ^А;, к = 0..т — 1. (24)
з=о
Испольуя эти решения у^, у^, гйд^, ^ = 0..ш — 1, окончательно имеем
и0,1 = щ ■ йг>0^ = <р ■ у^ + Ь ■ уь0^
™04 = ь • j = 0..т-1. (25)
Таким образом, учет условий периодичности и трех видов граничных условий приводит к соотношениям на коэффициенты сплайнов (18), (19), (20) и (25).
4. Вычисление функционала энергии
Введем множества индексов
I = {0,1,..., п + 2}, ,1 = {0,1,..., тп + 2}, (26)
рассмотрим вектор х £ , N = 3(п + 3)(т + 3) и определим его компоненты хо, Хх,..., жлг-1 по правилу (г € /, j 6 </)
к = /и(г, Д Щз, к = /„(г,.?'), Му, к = /ш(г,^’).
Здесь индексные функции /и(г,:/’), /«(*,.?)) определяют номера
коэффициентов сплайнов и^, в векторе х :
/«(*>.?) = ^т + 3)+1,
/«(*>.?) = (п + 3)(ш + 3) + г(ш + 3) +
з) = 2(п + 3)(ш + 3) + г (г/г + 3) + j. (28)
Подставляя сплайны (15) в функционал (12) и учитывая формулы (1),(2) и (27), вместо функционала получим квадратичную функцию относительно компонент вектора х
N-1 N-1
р(х,р) = ^2^2
г=0 ^ =О
N-1 N-1
— 2^ 2^
=0 ^=0
(29)
где коэффициенты матриц квадратичных форм А = {%}, <3 = {^} вычисляются по следующим формулам (го, £ I', jo, /о £ ^):
^1 =
ЕЬЯ 2(1 -М2)’
Ео —
ЕН3Я 24(1-^2)’
^г/с
2^1
Ж
о 11 Г)00 _|__________________Г)^
(30)
<>« = || [(1 - Ч-)Кь,вТл, + ^Вк'окКк] ■ “и = “Л
(31)
_ 2Е1Ц 01 00 _
_ Д2 °*° ^о'0’ _
^ --- /И (^0) ^о) ) к ----- /ц; (*0> /о),
(32)
0>гк
2-Еа
Ж
тэОО Г)И
&о*о 2о.?о
1
о11 Г)00
кого 1о]о
+
Е‘
д| [2В£А + (1 - ,
(33)
о* = ~вГ„о}1 + § + 2(1 - »)ВЦ,А°К] +
В2
д4 ^Лого^ого’ аы ~ а*к Ъ Уи(^О)^'о)) к /и; (^(Ь ^о) 1
(34)
„ _ ^-Ё1! р00 поо , ^ Гоп22 П00 , 9 г>00 п22 ]
аг/с г>9 кого Эок с>4 Iкого 1оМ кого 1о1о\
В2
4-5'2(1 — //)
Д4
г>11 7-)11 , ~^2/(
кого 1оЬ '
Г о20 I о20 1
|_ &ого ^о.7о го/со ’
л. — — Я11 п00
^ к /гп(к СЬ^о)?
%/с 0? 0_ы 0? ^ /и(ч) ^ «Уо)? ^ /у(^о?^о)?
0_Иъ 0? 0.ы 0? ^ /и(ъ о?^'о)? к /ги(^о? ^о)?
Ог/с — О? 0.Ы — 0? ^ ^ /гу(^0?^о)?
?г/с — 0? ^ ^ /-у (^0 ? ^о) •
(35)
(36)
В приведенных формулах (30)-(35) коэффициенты и пред-
ставляют собой значения интегралов от сплайнов и их производных (го, ко £ I; jo, /об/):
___
^°/сого
Г
«/о
еРБ*0(0 ^Бго(£)
б£в
е*£*
Г)5* —
с/8Д0(^) (РВ^0 ($)
(1№
еДО*
с?£, в, £ = 0..2;
в, £ = 0..2.
(37)
(38)
5. Преобразование коэффициентов квадратичных форм
Далее для определенности будем считать, что при £ = £ должны выполняться граничные условия жесткой заделки (19), а при £ = 0 -условия (25) и
дт
я7 = 0’
или
=0, ] = 0..771 + 2.
(39)
Построим множества индексов, определяющих номера варьируемых коэффициентов сплайнов г^, в векторе х (27):
1и = {1..77 + 1}, ,1и = {0..777 - 1}, 1„ = {1..77 + 1}, ^ = {0..777 - 1},
1т = {2..77}, ^ = {0..777 - 1}. (40)
Введем матрицу преобразования Т размерности N с коэффициента-
ми
1? к /и(^> .? )> У^ б /и, ^ б
^к,к ^^5 к /г>(^?,?')? У^ б /г,, j б </„
1? ^ /и>(^?,?')? У^ б /ш, j б J■^L
1к,1
к /и (г, 777 + 2), /г = /и(г,7тг + 1),
к = /м(г, ттг), / = /„(г, 2), Уг б I,
к /г’^з ^ 2),
& = Л(г,т + 1),
& = /„(г,т), 1 =
+1, А; = /ш(г, 777 + 2), -1,
= /«(г,0), Уг б 4 = /«(г,1), Уг б 4
= /„(г,0), Уг б 4
= /„(г, 1), Уг б 4
/„(г,2), Уг б 4
= /ю(*,0), Уг б 4
— /ш(^) 1); У? б 4
(41)
(42)
(43)
(44)
к = /го(г, 777 + 1),
+1, к = /„,(7,777), / = /«,(*, 2), Уг б 4
Здесь формулы (42)-(44) отвечают условиям периодичности (18). Кроме того, все остальные коэффициенты ^ полагаются равными нулю.
Для учета условий (25) построим вектора ^ б с компо-
нентами вида (остальные компоненты полагаются равными нулю)
= й“
Хк ~
04, к = ^(0,Я, У^ б Л;
к = М0,э), Ч? б
(45)
(46)
(47)
Квадратичную функцию (29), соответствующую функционалу (12), можно представить в виде
Для учета условий периодичности и граничных условий в (48) выполним подстановку1
Заметим, что функция (50) зависит от параметров щ, (р, Ь и только от тех компонент вектора х (в силу определения матрицы преобразования Т), которые соответствуют варьируемым коэффициентам сплайнов г^, УОц. Если эти коэффициенты обозначить через 24, ..., 2^-3 и
положить
где А, (^ - симметричные матрицы размерности п, причем А является положительно определенной матрицей.
1 Следует отметить, что подстановка х — Тх с матрицей Т вида (41)-(44) (с уче-
том формул (40)) позволяет учесть условия периодичности и граничные условия
жесткой заделки на обоих краях оболочки
(48)
х = Тх + щ • хи + (р • Xій + Ь ■ хь.
Получим
(49)
Р(х, щ, (р, Ь,р) = (Т*АТх, х) + 2щ ■ (Т*Ахи, х) + • (Ахи, хи)+
+2(р ■ (Т*Ах¥’, х) + (р2 ■ (Ах¥’, 3^)+ +26 • (Т*Ахь, ж) + Ь2 • ж6) —
[(Т*дТ£, ж) + 2п0 • (Т*ф:и, х) + п2 • (ф;и, жи)+
+2</? • (Т*С^х^, х) + (р2 • (С^х1^, ж</9)+ 26- (Т*<Эхь,х) + Ь2 ■ (<3хь,хь) .
(50)
2^_2 ^СЬ 1 Ь.
то функцию (50) можно представить в виде
(51)
Тогда, вместо вариационной проблемы (12) получаем
Р&Р) = ^(А2,г) - ^(ф,г) ->■ шт. (52)
Откуда приходим к обобщенной задаче на собственные значения для матриц А и (3
Аг = р • (53)
6. Результаты численных экспериментов
Следуя [1], обозначим через ро верхнее критическое значение напряжения, соответствующее точке бифуркации для линейной задачи
»=т§п=?у4 ™
Область значений 1//Д, для которых формула (54) считается спра-
ведливой, лежит в пределах
1-з8\/1<|<о'57# <55)
Численный эксперимент проведен для цилидрической оболочки с параметрами
И = 0.3, 4 = 0.05, п = 10, т = 10. (56)
хг
Указанные здесь значения параметров пит определяют количество используемых сплайнов в представлениях (15) для перемещений п, г;, ъо.
Для отношения /г/Д = 0.05 области (55) будет приблизительно соответствовать диапазон
0.31 < 4 < 2.55. (57)
К
Расчеты проведены для следующих видов граничных условий:
a) жесткая заделка на обоих краях оболочки;
b) при £ = I - жесткая заделка (5), при £ = 0 - поворот и перемещение края как жесткого целого (9)-(11) и дополнительно
дт
^7 = °;
с) шарнирное опирание на обоих краях оболочки;
(1) при £ = £ - шарнирное опирание (6), при £ = 0 - поворот и перемещение края как жесткого целого (9)-(11) и дополнительно
д2
д?
= 0.
Обозначим через ро безразмерный параметр, соответствующий верхнему значению критической нагрузки (54) и через р - параметр, соответствующий значению нагрузки р (53), полученной численно.
Ро =
РоВ,
Ек ’
Р =
рЯ
ш
(58)
Таблица 1.
(а)
(Ь)
(с)
№
ь/к
Р/Ро
Р/Ро
Р/Ро
Р/Ро
0.05
119.5
40.1
29.9
12.7
0.1
29.90
17.51
7.50
7.50
0.2
7.57
7.57
2.01
2.00
0.35
2.76
2.74
1.05
1.02
1.0
1.2
1.2
1.003
1.003
2.0
1.05
1.05
1.004
1.004
2.5
1.038
1.038
1.006
1.006
Таблица 2.
к 8 9 10 11 12 13 14
Ь/К 4.5 10.0 15.0 20.0 25.0 50.0 100.0
О) Р/Ро 0.989 1.195 1.036 0.964 0.926 0.530 0.209
(Ь) Р/Ро 0.989 1.195 1.036 0.798 0.532 0.209 0.155
(с) р/ро 0.988 1.195 1.038 0.970 0.926 0.543 0.214
(с!) р/ро 0.988 1.195 1.038 0.794 0.530 0.212 0.164
В таблицах 1-2 приводятся результаты расчетов значений критического параметра р в сравнении с ро в зависимости от относительной длины оболочки и четырех видов граничных условий.
Варианты к — 4 — 7 отвечают случаю оболочек ’’средней длины”, когда отношение Ь/Я находится в диапазоне (57). Варианты к = 4 — 10(6), (й) характеризуются тем, что при £ = 0 перемещений края как жесткого целого не наблюдается, характерная форма выпучивания приведена на рис. 2. Вместе с тем, для более коротких оболочек (варианты к = 1 — 3(6), (й)) наблюдается сжатие оболочки вдоль образующей, а для более длинных (варианты к = 11 — 14 (6), (й)) - смещение края £ = 0 как
жесткого целого в плоскости поперечного сечения, характерная форма выпучивания оболочки приведена на рис. 3. Для случаев к = 13 — 14 значение критической силы в 2 - 5 раз меньше, чем вычисленное по формуле (54).
-0,5 0 0,5
Рис. 3. к = 11 (6)
Литература
1. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука. 1967. 984 с.
2. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн - функций. М.: Москва. 1980. 352 с.
Summary
Kholmogorov D.V., Tarasov V.N. Influence of boundary conditions on the stability of a cylindrical shell
In the work the problem of stability of the cylindrical shell, loaded with external normal pressure or undergoing axial compression, is examined. With a numerical study the tasks of displacement are approximated by splines. In contrast to the traditional trigonometric series the application of splines makes it possible to consider the real boundary condition, in particular, the displacement of the ends of shell as rigid whole is allowed.
Сыктывкарский университет
Поступила 31.09.2007
