Влияние граничных, условий на устойчивость прямоугольных пластин при жестких ограничениях на перемещения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 5.2003

УДК 539.3

Влияние граничных, условий на устойчивость

прямоугольных пластин при^жестких ограничениях на перемещения1

В.Н. Тарасов, И.Н. Логинов 7

Рассматривается задача об устойчивости прямоугольной пластины, нагруженной по краям нормальной и касательной силами и подкрепленной с одной стороны системой жестких ребер. На каждом краю пластины может быть задан один из двух типов граничных условий: условия жесткой заделки или условия шарнирного опирания. Задача устойчивости пластины без ограничений на перемещения в настоящее время хорошо изучена (см., например, [1]). Наличие односторонних ограничений существенно усложняет решение задачи об устойчивости. Трудности, возникающие при решении, обусловлены тем, что уравнения в окрестности точки равновесия не могут быть линеаризованы, поэтому эти уравнения обладают нелинейностыокак существенным свойством. При практическом решении прогиб пластины аппроксимируется двумерными натуральными кубическими сплайнами. Результаты численных экспериментов сравниваются с аналитическими решениями. -

Пусть прямоугольная пластина нагружена по краям ж — 0, х. — а, О < У < Ь нормальными усилиями «г и по всем краям касательными усилиями т (рис. 1). Обозначим через ю(х, у) прогиб пластины в точке (х, у) при 0 < х < о, 0 < у < Ь.

1Работа выполнена при подцержке гранта РФФИ №01-01-96431.

© Тарасов В.Н., Логинов И.Н., 2003.

У'

I

4- - - —

1 Ь

-* -* «-а->*

I

Рис. 1

Потенциальная энергия деформации пластины имеет вид [1]:

а 6

и

= | II ((Л™)2 - (1 - иЩяо^) ) ¿х<1у, о о

(1)

где

Лгу =

д2ю д2и)

У д2год2и) ( д2уо

дх^+ ду2' ^~ 2 V дх* ду-2 и^^г// У' ° ~ 12(1 -

- цилиндрическая жесткость пластины при изгибе, Е - модуль Юнга, I/ - коэффициент Пуассона.

Работа внешних сил может быть вычислена по формуле

V

а Ь

-ш

о о

<г1д1) + дхду^ у'

(2)

Будем считать, что перемещения на краях пластины отсутствуют, т. е. , выполнены равенства

и>(0 ,у) = м(а,у) = О, м(х,0) = и>(х,Ь) = О,

(3)

и, кроме этого, прогиб пластины удовлетворяет следующим условиям:

'дкщ{х, 0) = 0, %?(х,Ъ) = 0,

(4)

дук ^ ' ' ' ду1

где в зависимости от вида граничных условий г, 3, к, I принимают значения либо 1, либо 2. Например, если г = = /с = / = 1, то получаем

граничные условия жесткой заделки по всем краям пластины. Таким образом, с учетом симметрии, имеем всего 9 различных вариантов.

Можно показать, что при указанных условиях потенциальная энергия II не зависит от и>), т. е.

а Ь

= | JJ(Дго)2 ¿хЛу. (1')

0 0 ! ,

Задача устойчивости пластины сводвдсд к поиску сил о и т таких, что вариационная задача , , ,,

, .',. . Г - V пип ^ .. ' (5)

имеет нетривиальное решение. Решение ищется в классе функций, удовлетворяющих заданным граничным условиям.

1. Критические нагрузки без ограничений на перемещения

При отсутствии ограничений на перемещения в некоторых случаях известно аналитическое решение задачи об устойчивости пластины [1].

Рассмотрим сначала пластину, сжимаемую по краям х — 0 и х ,= а нормальными усилиями а, касательные усилия на краях пластины отсутствуют (г = 0;). Считаем, что пластина шарнирного закреплена по всем краям (в условиях (4)'следует положить = 1 = 2). Диф-

ференциальное уравнение изгиба (уравнение Эйлера-Остроградского для вариационной задачи (о)) будет иметь вид " '

ДД2ш + ар^ = 0. * (6)

ох

Решение этого уравнения будем искать в виде

. ттгж . ппу

и> = С вт-— виг—г—, (7)

а о,

' ' -, ч

где С - произвольная постоянная. Подставляя (7) в уравнение (6) получаем. ^ „ , /

лля.того. чюоы существовало нетривиальное решение последнего уравнения, неооходнмо чтобы множитель в квадратных скобках был равен нулю. Откуда находим

Отг2 ( Ьгп п2а +

Ъ2 \ а Ьгп

15 |у| следует положить п = 1, так как представляет интерес минимальное значение критической силы. Минимум в (9) достигается не осязательно поп т — \. а зависит от отношения а/Ь. Так, при а/Ь > \/2, минимальное значение критической силы достигается при т > 2, т. с. пластина после потери устойчивости будет прогибаться в обе стороны.

перейдем к случаю, когда нагруженные края пластины закреплены шарнирно, а ненагруженные удовлетворяют условиям жесткой заделки <г = _7 = 2, к = / — 1 в условиях (4)). Будем искать решение уравнения (6) з виде

. . ГПТТХ

го = У (у) вт-, (10)

а

где У (у) - искомая функция, зависящая только от у. Очевидно, что последнее выражение удовлетворяет граничным условиям шарнирного опирания для краев х = 0, х — а. Подставляя (10) в (б) и "сокращал" на эш (тттх/а), получим

¿у4 ¿у* V о)

(г2~^)г2У = 0, (11)

где г = 7гт/а. I аким ооразом, осуществлен переход от уравнения в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно функции У. Корни его характеристического уравне-

А4-2г2Л2 + (г2-^)г2=0 (12)

определяются формулами

(13)

Можно показать, что корни Л3 4 являются мнимыми. Полагая

а'=УМг+\/пЬ п"г . О4)

получим общее решение (11) в виде

У [у) = С\ сЬ ау + С2 вЬ ау+С3 соэгЭз/'+ С^Ыру.' (15)

Из граничных условий жесткой заделки, накладываемых на функцию У (у) при у = 0 и у = Ь, находим

С\ + С3 - 0. aC2 ^f3C4 ~-,0, С i (ch ab - cos /36) + C2 (sh ab - | sin/3b) = 0, Cx (sha6+£siñ/?6) + CÍ(cha6-cos/?6) = 0.

(16)

Система уравнений (16) имеет нетривиальное решение при условии равенства нулю определителя системы из двух последних уравнений в (16), откуда получаем

(ch ab - cos /3b)2 - (sh ab +' f sin 0bj ^sh ab - J sin /36^ = 0. (17)

a

Из (14) имеем

a2 -f (32 = jj, a2 f32 = 2r2.

(18)

Используя уравнения (17), (18), определяем критическое напряжение а.

Вследсвие того, что в приведенном выше примере граничные условия имеют частный вид, эта задача допускает 'разделение переменных. В общем случае метод разделения переменных не подходит. При произвольных граничных условиях в случае а > 0 и г > 0 задача устойчивости пластины может быть исследована с помощью численных методов.

•Если сг = 0, критическая сдвигающая сила приближенно может быть вычислена по формуле [1]

ТкР = К

тг2Р б2 :

(19)

где К = 5.34 для случая шарнирного опирания по всем краям пластины и К = 8.98 - для случая жесткой заделки.

2. Алгоритм решения задачи при наличии односторонних ограничений на перемещения

Далее будем предполагать, что пластина расположена над двумя жесткими ребрами, направленными вдоль оси х, так что прогиб пластины удовлетворяет неравенствам

w(x, bo) > 0, w(x, £>i) > 0. (20)

где 0 < 60 < i>i < Ь.

Задача об устойчивости пластины сводится к отысканию сил а и т таких, что вариационная задача

U-V min (21)

w£V

имеет нетривиальное решение.

В (21) V - множество функций удовлетворяющих заданным граничным условиям (3) — (4) и неравествам (20).

Критические усилия п" и т" можно найти следующим образом. Зафиксируем какие-либо значения <т и г и решим задачу

а Ь

и = у J J (Aw)2 dxdy nun (22)

о 0

при ограничении

ж, 1 iff fdwV n dwdw\ , , 0 0

Можно показать [2], что, если w* - решение задачи (22) — (23) и

Л = U(w% то

а* = Л <т, т* = Лт. (24)

Для того, чтобы свести задачу (22) — (23) к конечномерной, будем приближать прогиб пластины двумерными кубическими сплайнами. Для этого введем в области П = [0, а] х [0,6] сетку Тх х Ту и обозначим через N и К количество точек сетки соответственно вдоль осей х

к у.

Тх : 0 = ;г0 < X! < ... < xN = а, Ту : 0 = у0 < у\ < ... < ук = Ь.

Интерполяционным кубическим сплайном двух переменных называется функция 3(х, у) = 3(га; х, у), непрерывная и имеющая непрерывные частные производные до второго порядка включительно, которая на каждом из прямоугольников = [х,-,хг-+1] х 1] имеет вид

3{хЛу) = а°Ах ~ х^а(У - (24)

..- а, (3=0

и ¿удовлетворяет условиям интерполяции

г € 0 : N. ] е 0 :, К, где -- w(.rl.yJ). (25)

Заметим, что 5(х,у) зависит, только от значений интерполируемой функции в узлах сетки и от граничных условий. Алгоритм построения такого сплайна описан в монографии [2], см.. также [3]. Для вычисления потенциальной энергии пластины и работы внешних сил используем следующий алгоритм. Заменим функцию ш(х, у) ее интерполяционным сплайном и вычислим по этому сплайну соответствующие интегралы. Обозначим через И' € К^-1)^-1) множество переменных Wij. Положим

а Ь - ' ■ * 5 '

ДИО = | Л (Д5')2 Лхйу, (26)

0 0

' Очевидно, что функции. /(И^) и д(\\*) являются квадратичными формами от переменных ги^-, г £ 1 : ЛГ — 1, £ 1 : — 1:

Л ~ \ X/ ам^ыМр*, д{№) .= ^ ^ ды.р^ы^рд,

однако коэффициенты" этих квадратичных .форм неизвестны. Их можно найти следующим образом. Положим и)ы — 1, гл^ = 0 если г ф к ж ] ф I и построим интерполяционный сплайн 3(х, у). Вычисляя интегралы (26), (27), получим

- ■ аим = 2/(И/). дкш = 25(И').

Далее полагая и.^/ = 1, гира = 1 и го^- = 0 для всех остальных г, ^найдем интерполяционный сплайн '5(х, у) й снова вычислим интегралы

(26 ). (2\ ). 1 огда будем иметь

akUps - f{W) - аы,и + aPs,Vs), 4kl,Ps = g{W) - -(qki,ki + qps,Vs)-

Сетку 1 у выберем таким образом, чтобы 6о — Vj0i = У л • и введем множес тво

V = {W е Wijo > 0j Wih > o| _ (28)

i аким ооразом, в результате конечномерной аппроксимации получаем задачу определения сил опт таких, что задача квадратичного программирования

f(W) - q(W) min (29)

W£V

имеет нетривиальное решение.

Зафиксируем некоторые значения сил а и г и введем в рассмотрение задачу нелинейного программирования

f(W) min (30)

и'ет

при ограничениях

9{W) = 1. (31)

Пусть W' решение (30) — (31). Тогда по теореме Куна-Таккера найдутся множители Лагранжа Л., /¿,-j0 > 0, ¡jl,^ > 0, такие, что

' ^-^Х2-

" ^ - ^ - № = 0, при j = * „ли j = Ji, (32)

I '

Из уравнений (32) получаем

и

откуда /(W*) = А».

Пусть А < А,. Тогда V такого, что g(W) = 1, /(W*) > А» > А = т. е. , для любого А < А» единственным решением задачи

квадратичного программирования

fiW) - Ао(И1 min (33)

wer

является = 0, г 6 1 : N - 1, ^ £ 1 : К - 1, и наоборот, при А = А*, существует нетривиальное решение задачи (33) IV = \¥*.

Отсюда следует, что параметр А» имеет смысл критической нагрузки, т. е. если Ш* - есть решение задачи нелинейного программирования (30) — (31), то силы сг* = А*<7, г* = А*т являются критическими.

Задача (30) — (31) является задачей невыпуклого нелинейного программирования и может оказаться многоэкстремальной. Для ее решения необходимо применять методы глобальной оптимизации, например, метод ветвей и границ. Однако применение методов глобальной оптимизации является трудоемким. При практических расчетах оказался довольно надежным и эффективным следующий локальный метод [2] решения задачи (30) — (31).

Пусть И'о - некоторое начальное приближение, д(\¥0) = 1, и пусть получена точка \Ук такая, что д{№\) — 1: Обозначим через решение задачи

/(\¥)->тт (34)

и'ер

при огрничениях

(35)

Далее полагаем И4+1 = , 1— И4- Можно показать [2], что любая пре-

дельная точка последовательности {И^}, к = 0,1,... является решением системы Куна-Таккера нелинейных уравнений (32).

При удачном выборе начального приближения локальный метод, как правило, дает решение задачи (30) — (31). В случаях граничных условий шарнирного опирания и жесткой заделки результаты, полученные локальным методом, были проверены методом ветвей и границ. Отметим, что задача (34) — (35) является задачей выпуклого квадратичного программирования и может быть решена за конечное число "шагов".

3. Результаты численных экспериментов

При проведении численных экспериментов рассматривалась одна и та же пластина шириной а = 57т и высотой Ь = ж. Различия касались лишь выбора граничных условий. С учетом симметрии пластины количество вариантов сводится к 9. Использовались следующие параметры: N — 20 и К = 10. Ниже приведем две таблицы значений критического коэффициента деформации А, при различных комбинациях начальных

значений нормальной и касательной сил и т. Таблица 1 соответствует случаям без ограничений на прогиб. Таблица 2 - случаям с двумя подкрепляющими ребрами, расположенными на расстояниях Ъ/3 и 26/3. Все варианты граничных условий описываются с помощью условий (4) в "ЦкГ- кодировке. Также, для: удобства, в случаях, допускающих симметрию, мы указываем только один из вариантов возможной индексации.

Таблица 1

т 1 ■ - 1 1 0 2 3 5

сг 3 2 1 1 1 ' 1 1

1111 2.2358 3.1473 5.0164 7.1292 3.3537 2.4796 1.6185

1211 2.2125 3.1226 4.9935 7.0205 3.3438 2.4734 1.6149

1112 1.7536 2.466 3.9391 5.5871 2.6381 1.9542 1.2784

2211 2.2102 3.115 4.9769 7.031 3.338 2.472 1.6154

1122 1.3101 1.8527 2.9845 4.1557 2.0124 1.4927 0.9768

2121 1.7249 2.4403 3.9244 5.4503 2.6335 1.9502 1.2755

2221 1.7117 2.4211 3.9000 5.4870 2.6296 1.9467 1.2728

1222 1.2810 1.8186 2.9472 4.0404 1.9898 1.478 0.9692

2222 1.2686 1.8021 2.9326 4.0006 1.9945 1.4838 0.973

Таблица 2

г 1 1 1 0 2 3 5

сг 3 , 2 1 1 1 , , 1 1

1111 2.9337 4.1964 6.5755 9.3719 4.2390 3.1139 2.0259

1211 2.5957 3.7507 6.3531 8.0251 4.2322 3.1089 2.0227

1112 2.2585 3.1831 5.0191 7.2918 3.3123 2.4564: 1.5775

2211 2.5996 3.7563 6.291 8.0253 4.2284 3.1047 2.0195

1122 1.6473 2.3222 3.6888 5.2366 2.4363 1.7971, 1.1655

2121 2.005 2,9016 4.9052 6.1613 3.3127 2.4307 1.5865

2221 1.9747 2.8451 4.7951 6.1613 3.2856 2.4214 1.5842

1222 1.447 2.0873 3.5275 4.4885 2.4253 1.7863 1.1643

2222 1.4481 2.0879' 3.5282 4.4893 2.4256 1.7861" 1.1636

Для того, чтобы оценить точность сплайн-аппроксимации, рассматривалась задача об устойчивости пластины без ограничений на перемещения. Решение, полученное с применением сплайн-аппроксимации, сравнивалось с точным решением. В случае граничных условий шарнирного опирания (в условиях (4) = к = I 2) значение критической- силы, найденное с помощью сплайн-аппроксимации,

акр = 4.0006 (г =. 0), а по формуле (9) получаем акр = 4.000. В случае шарнирного опирания по краям х = 0, х = а и жесткой заделки по краям у = 0, у = Ъ (в условиях (4) г = У = 2, А; = / = 1) применение сплайн-аппроксимации дало следующий результат критической силы <ткр = 7.031, тогда как точное значение акр = 7.09 (см. рис. 9.23 в [1], стр. 341). Приведем еще одно сравнение для случая жесткой заделки по краю у = 0 и шарнирного опирания по всем остальным краям (в условиях (4) I = I = 2, к = I). Значение критической силы, полученное с применением сплайн-аппроксимации, акр = 5.487, тогда как точное значение сгкр = 5.45 (см. рис. 9.23 в [1], стр. 341). Погрешности в вычислениях можно объяснить стремлением к экономии расчетного времени на компьютере, вследствии чего в практических расчетах при построении сплайнов бралась небольшая сетка с параметрами N = 20 и К = 10. Для граничных условий шарнирного опирания и жесткой заделки по всем краям пластины также было проведено сравнение с результатами, полученными методом ветвей и границ. Во всех случаях обнаружилось совпадение значений критического коэффициента деформации с точностью до трех значащих цифр.

В целом, описанный алгоритм является довольно надежным и эффективным для приближенной оценки значений критических сил как в случае отсутствия ограничений на перемещения, так и в случае с двумя ограничениями.

Графические результаты иллюстрируют возможные формы потери устойчивости пластины в случаях с ограничениями на перемещения и без ограничений.

и "

Рис.3

На рисунках 2 и 3 показаны формы потери устойчивости пластины

226

Тарасов В. Н:,''Логинов И.Н.

шириной a = 57г и высотой 6 = 7г с граничными условиями жесткой заделки по краям а; = 0, ж = а, у = 0 и шарнирного опиранпя.по краю у = 6 (в условиях (4) следует положить i — j = А; = 1;./ = 2) при начальных силах <т = 1 и г = 5. Рисунку 2 соответствует случай, когда ограничения на прогиб отсутствуют, а рисунку 3 - случай, когда пластина подкреплена двумя жесткими ребрами. Ниже lía рисунках 4 и 5 показаны по три сечения прогиба пластины на расстояниях У! = 0.36. у2 = 0.56, уз = 0.76. Рисунки 4 и 5 соответствуют случаям на рисунках 2 и 3 соответственно.

Литература »

1. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.; Наука, 1967. 984 с.

2. Зайьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн-функций. М.: Москва, 1980. 352 с.

3. Тарасов В.Н., Холмогоров Д.В. Некоторые задачи и методы конструктивно-нелинейной механики упругих систем/Под ред.

проф. Е.И. Михайловского. Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарск. ун-та, 2001. 189 с. ,

Summary

Tarasov V.N., Loginov I.N. The influence of boundary conditions to lamina's stability with rigid constraints on displacement.

In this work the influence of different kinds of boundary conditions to lamina's stability is investigated. The lamina can be supported by one or two inflexible ribs. To approximate lamina's flexure the natural cubic splines of two variables are used. Ultimate loads are searching by the method of successive approximations.

СыктывкарскиЙ университет

Поступила 03.10.2003