CC BY
14УДК 371.24+371.212
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Е.Д. Сенченко, В.И. Горбачев
Брянский государственный университет имени акад. И.Г. Петровского
В геометрическом пространстве рассматриваются закономерности становления трехмерного евклидова пространства, векторного метода исследования геометрических фигур. Ключевые слова: методика обучения математике, учебная геометрическая деятельность, евклидово пространство, векторный метод.
В методике обучения геометрии [10], в общеобразовательных учебниках геометрии [2] векторный метод исследования геометрических фигур не предполагает формирование пространственных представлений в спектре разделенных геометрического, векторного, евклидова, арифметического пространств и по этой причине оказывается «искусственным», противопоставленным деятельности в геометрическом пространстве.
В работе векторный метод рассматривается в содержании теоретических, методических закономерностей учебной геометрической деятельности:
- понятийного разделения представлений геометрического, векторного, евклидова, арифметического пространств в системе их характеристических признаков и в их взаимной связи;
- формирования в каждом из пространств деятельности представливания и теоретико-пространственной деятельности с описанием и обоснованием векторного, координатного, аналитического методов в соответствующих пространствах;
- выделения в содержании каждого из методов обобщенной алгоритмической схемы и ее конкретных проявлений в процедурах доказательства теорем, решения задач.
1. Понятийное представление геометрической деятельности в геометрическом и евклидовом пространствах.
Геометрическая фигура - математическая модель объектов реального физического пространства, спроектированная в системе условных геометрических построений в процессе обобщения и абстрагирования, подчиненных целям геометрической деятельности. Главные характеристики геометрической фигуры:
1) является моделью пространственных свойств объектов физического пространства;
2) выступает основным средством геометрической деятельности учащихся;
3) реализует задачу создания геометрических образов, оперирования образами во внутреннем плане учащихся [7, 15, 16].
Под геометрической деятельностью будем понимать учебную математическую деятельность в системе геометрических фигур в наглядной, графической, знаковой формах, направленную на формирование пространственного геометрического мышления учащегося, его логической культуры. Главные задачи, исследуемые в геометрической деятельности посредством геометрических фигур:
1) создание внутренних образов геометрических фигур в схеме «реальный физический объект ^ геометрическая модель физического объекта ^ различные условные изображения геометрической модели ^ знаковое представление геометрической фигуры в мышлении»;
2) выделение пространственных, топологических, конструктивных, метрических свойств геометрических фигур, их представление на условных геометрических изображениях, использование в процессе доказательства, в мышлении;
3) определение геометрических фигур в дедуктивном (аксиоматическом) построении геометрии, использование их абстрактных геометрических свойств в формировании логического мышления учащихся;
4) формирование общей математической культуры учащихся исследованием фундаментальных понятий равенства, подобия геометрических фигур, их преобразований.
Пространство геометрических фигур (геометрическое пространство) в процедуре геометрического отражения свойств реального физического пространства является:
- пространством с фиксированной либо подвижной системами отсчета, позволяющими устанавливать взаимное расположение геометрических фигур;
- трехмерным с множеством фигур, расположенных на прямой, в плоскости, в пространстве;
- евклидовым с метрическими свойствами длины, величины угла, площади, объема геометрических фигур в их взаимной связи;
- топологическим с геометрическими фигурами, очерченными границей, разделяющей внешнюю и внутреннюю области;
- инвариантным относительно преобразований движения, подобия, проектирования, позволяющих строить условные (плоские) изображения геометрических фигур, их образы как результаты преобразований различными конструктивными средствами;
- структурированным классами геометрических фигур с общими пространственными, метрическими, конструктивными свойствами в понятийно-именных процедурах выделения, классификации, систематизации [5, 9, 10].
Абстрактная аксиоматическая теория геометрического пространства (Евклидова геометрия) характеризуется следующими этапами построения:
- выделение первичных терминов теории с заданными на них отношениями;
- задание перечня аксиом с описанием фундаментальных свойств геометрического пространства;
- введение аксиом теории меры на классах геометрических фигур, определяющих метрические свойства геометрического пространства;
- аналитическое, логико-символическое, знаковое определения базовых понятий, представление геометрического пространства в процедуре систематизации понятий;
- логико-содержательный анализ теорем о свойствах, взаимной связи понятий, их конкретизация в соответствующих классах фигур геометрического пространства;
- анализ доказательства теорем в аксиоматическом построении с использованием основных правил логического вывода [4, 7, 9].
Методология евклидовой геометрии как абстрактной теории геометрического пространства осуществляется в следующих действиях:
- построение евклидовой геометрии в различных системах первичных понятий, аксиом с целью анализа различного теоретического описания свойств геометрического пространства, эквивалентности теорий;
- знакомство с аксиоматическим построением неевклидовой геометрии (Н.И. Лобачевского) с позиции сохранения и изменения свойств классов объектов геометрического пространства;
- исследование понятий «определение в теории», «аксиома и теорема в теории», «доказательство в теории», «модель теории» евклидовой геометрии как математической теории геометрического пространства [2, 12, 14].
Математическое понятие «вектор» характеризуется свойствами:
- величиной, описываемой длиной отрезка на геометрической модели системы действительных чисел;
- направлением, совпадающим с направлением положительного отсчета, либо противоположным на геометрической модели системы действительных чисел;
- представлением класса эквивалентности, позволяющим откладывать вектор из любой точки геометрического пространства;
- действием умножения на действительное число, определяемым величиной и направлением на геометрической модели системы действительных чисел;
- операцией сложения, определяемой величиной и направлением по «правилу параллелограмма»;
- совокупность всех линейных комбинаций векторов образует векторное пространство с базисом из трех некомпланарных векторов [1, 2, 3].
Евклидово пространство в учебной математической деятельности, развиваемое средствами деятельности представливания и векторно-геометрической деятельности, оказывается сложно структурируемым, многокомпонентным:
- выступает трехмерным векторным пространством с векторно-координатным методом исследования пространственных свойств геометрических фигур в общей системе координат;
- является евклидовым пространством с векторно-координатным методом исследования пространственных, метрических свойств геометрических фигур в ортонормированной системе координат;
- имеет арифметическую модель с аналитическим методом исследования геометрических фигур;
- в абстрактной аксиоматической теории векторного, евклидова пространств свойства пространства являются первичными, свойства геометрических фигур обосновываются аксиомами векторного, евклидова пространств аналитическими средствами;
- свойства геометрического пространства в евклидовой геометрии доказываются аналитико-синтетическим методом в понятийной логико-содержательной форме, в теории евклидова пространства базовыми выступают векторный, координатный, аналитический методы исследования [6, 11, 13].
Деятельность представливания в построении трехмерного евклидова пространства структурируется следующей системой действий:
- введение понятия вектора на интуитивном, мировоззренческом уровнях в отражении понятий физики (перемещение, сила, напряжение), в процедуре математического абстрагирования и идеализации;
- развитие аппарата векторной алгебры в геометрическом пространстве, выделение векторных характеристик базовых геометрических фигур (прямые, плоскости, многогранники), их свойств;
- введение базиса геометрического пространства, его представление как трехмерного векторного пространства с общей (аффинной) системой координат;
- введение ортонормированного базиса векторного пространства на базе понятия скалярного произведения векторов с расширением возможностей исследования пространственных, метрических свойств геометрических фигур;
- построение в содержании координатного метода арифметической модели трехмерного евклидова пространства с аналитическим методом исследования прямых, окружностей, плоскостей, их представителей в геометрических фигурах.
Деятельность представливания, как ведущая в учебной геометрической деятельности, в целевом, методологическом, содержательном планах характеризуется:
- направленностью на развитие пространственного мышления средствами аналитической геометрии;
- схемой формирования «геометрическое пространство - трехмерное векторное пространство - трехмерное евклидово пространство - арифметическое трехмерное пространство - аналитический метод исследования геометрических фигур в евклидовом пространстве»;
- становлением логико-содержательных представлений каждого из пространств методологической схемы вместе с адекватным пространству методом исследования (векторным, координатным, аналитическим) геометрических фигур [6, 7, 14].
Абстрактная математическая теория евклидова пространства структурируется действиями, отражающими фундаментальные свойства пространства как трехмерного евклидова:
- понятие вектора выступает первичным термином теории;
- операции над векторами задаются системой аксиом векторного пространства;
- в аксиоматическом определении базиса фиксируется размерность векторного пространства;
- аксиомы скалярного произведения дополняют структуру векторного пространства в форме евклидова пространства [6, 15].
Теоретико-геометрическая деятельность в евклидовом пространстве, направленная на теоретическое обоснование аналитико-геометрической деятельности, синтезирование целостных пространственно-геометрических представлений, осуществляется в системе действий:
- в процедуре аксиоматизации аппарата векторной алгебры, размерности векторного пространства, свойств скалярного произведения;
- в определении базовых геометрических фигур на основе первичных понятий вектора, операций над векторами, исследовании справедливости аксиом евклидовой геометрии;
- в развитии аналитического метода исследования геометрических фигур;
- в теоретическом описании геометрического пространства как евклидова, интегрированном с евклидовой геометрией.
Понятие базиса, системы координат в плоскости и в пространстве [2, 4, 11, 15]. В системе фундаментальных свойств пространства одно из ведущих - свойство размерности пространства. Формирование понятия размерности осуществляется посредством представления базиса и системы координат в плоскости и в пространстве. Аналитические представления линейной зависимости и линейной независимости векторов плоскости и пространства оказываются сложными, трудными для восприятия учащимися, по этой причине в методике формирования понятия базиса используются наглядные свойства коллинеарности и комплонарности, точнее - их отрицания. В основу формирования понятия базиса положены наглядные и доказуемые факты.
Теорема. Если два вектора а и Ь неколлинеарны, то в плоскости векторов любой вектор с разлагается по векторам а и Ь и притом единственным способом
с = ха + уЬ.
Теорема. Если три вектора а, Ь, с некомпланарны, то любой вектор (I пространства разлагается по векторам а, Ь,с и притом единственным способом
й = ха + уЬ + хс.
Неколлинеарность векторов и разложение по ним векторов плоскости являются характеристическими свойствами понятия базиса плоскости, при этом становится очевидным факт наличия множества базисов плоскости и произвольность его выбора. Исследование свойств многоугольника посредством выбора векторов, определенных смежными сторонами, в качестве базисных, позволяет увидеть как значимость в геометрии понятия базиса, так и увидеть закономерности векторного метода.
Аналогично, некомплонарность трех векторов и разложение по ним любого вектора пространства - характеристические свойства базиса в пространстве, наличие в пространстве базисов и произвольность их выбора становятся очевидными фактами. Последующее изучение пространственных свойств многогранников выбором базисных векторов из ребер с общим началом позволяет установить эффективность векторного метода.
В условиях произвольности выбора базисных векторов в плоскости и в пространстве возникает задача фиксации выбранного базиса. Задачи с выбором базисных векторов в многоугольниках и в многогранниках позволяют процедуру фиксации базиса осуществить с помощью точки - вершины многогранника, многоугольника.
Определение. Общей (аффинной) системой координат в плоскости называется упорядоченная тройка из фиксированной точки и двух неколлинеарных векторов с началом в выделенной точке. Основное свойство системы координат на плоскости - разложение любого вектора плоскости по ее базисным векторам
с = ха + уЬ.
Определение. Общей (аффинной) системой координат в пространстве называется упорядоченная четверка из фиксированной точки и трех некомпланарных векторов с началом в выделенной точке. Основное свойство системы координат в пространстве -разложение любого вектора пространства по ее базисным векторам
й = ха + уЬ + гс.
Существенным недостатком векторного пространства выступает возможность исследования лишь пространственных свойств геометрических фигур в содержании векторного метода. Для того, чтобы изучать и метрические свойства геометрических фигур, необходимо, чтобы в пространстве было введено скалярное произведение векторов - чтобы пространство стало евклидовым.
В евклидовом пространстве скалярное произведение позволяет вычислять длину векторов и величину угла между векторами. Это означает что в произвольном выборе базиса в плоскости можно потребовать, чтобы неколлинеарные векторы базиса были единичными и ортогональными - выбрать ортонормированный базис из двух векторов на плоскости и соответствующую ему прямоугольную (декартову) систему координат, ортонормированный базис из трех векторов в пространстве и соответствующую прямоугольную систему координат.
Ключевым фактором выбора ортонормированного базиса и соответствующей ему декартовой системы координат выступает понятие координат вектора и точки.
Определение. Координатами вектора в декартовой системе координат (О, а, Ъ) на плоскости называются коэффициенты в разложении вектора по векторам ортонормированного базиса с = ха + уЪ.
Определение. Координатами вектора в декартовой системе координат (о, а, Ь, с) на плоскости называются коэффициенты в разложении вектора по векторам ортонормированного базиса й = ха + уЪ + хс.
Координатное представление векторов, точек в ортонормированном базисе выступает основанием:
- развития координатного метода исследования геометрических фигур;
- исследования метрических свойств геометрических фигур с использованием координатных формул вычисления длины вектора и угла между векторами
1)1 = , ^(а,Ь) = х^+т^2 .
2. Представления геометрического, векторного, евклидова, арифметического пространств и соответствующих методов.
Теоретической основой векторного, координатного, аналитического методов исследования геометрических фигур выступает комплексный анализ задач по исследованию пространственных, метрических свойств геометрических фигур, обоснованный схемой «геометрическое пространство - трехмерное векторное пространство - трехмерное евклидово пространство - арифметическое трехмерное пространство» [6, 11, 14]:
- как понятие геометрической фигуры, так и понятия геометрического, векторного, евклидова, арифметического пространств являются мысленными конструкциями, что выступает основой мысленного переноса геометрической фигуры в любое из пространств;
- в условиях мысленного переноса геометрической фигуры в каждое из пространств оказывается возможной переформулировка задачи исследования свойств геометрической фигуры в форме векторной, координатной (в векторном, евклидовом пространствах), аналитической (в арифметическом пространстве) моделей с соответствующими методами исследования;
- в теории трехмерного векторного пространства разработаны векторный и координатный методы исследования пространственных свойств геометрических фигур в аффинном базисе, в теории трехмерного евклидова пространства обоснованы векторный и координатный методы исследования пространственных и метрических свойств геометрических фигур в ортонормированном базисе, в арифметическом пространстве получил обоснование аналитический (комплексный) метод исследования свойств геометрических фигур;
- аналитический метод исследования геометрических фигур базируется на закономерностях векторного, координатного методов теории трехмерного евклидова пространства и в содержании аналитической модели задачи исследования использует аппарат теории алгебраических уравнений, неравенств, систем для ее исследования с последующей интерпретацией результатов аналитической деятельности.
Синтезирование процесса переформулировки задачи исследования геометрической фигуры в спектре векторного и евклидова пространств, анализа применения векторного, координатного методов, выделение этапа построения аналитической модели задачи и ее исследование с помощью аппарата алгебры составляет основное содержание теоретико-геометрической деятельности. В соответствии пространств, моделей задачи исследования геометрической фигуры и адекватных им методов решения, интерпретации создаются векторно-геометрические представления (Таблица 1).
Таблица 1
Теория геометрического пространства Теория векторного пространства Теория евклидова пространства Теория арифметического пространства
Характеристика пространства Аксиоматизируемое пространство геометрических фигур в системе пространственных, метрических, конструктивных свойств Аксиоматизируемое трехмерное пространство векторов, комбинаций с аффинным базисом, со знаковыми (векторными, координатными) моделями геометрических фигур в системе пространственных свойств Аксиоматизируемое трехмерное пространство векторов, комбинаций с ортонормированным базисом, со знаковыми (векторными, координатными) моделями геометрических фигур в системе пространственных и Арифметическая модель трехмерного евклидова пространства с ортонормированным базисом, со знаковыми (аналитическими) моделями геометрических фигур в системе пространственных, метрических, конструктивных
метрических свойств
свойств
Базовые методы Аналитико- Векторный, Векторный, Аналитический
исследования синтетический координатный координатный метод исследования
метод исследования методы методы пространственных,
геометрических исследования исследования метрических,
фигур на базе пространственных пространственных, конструктивных
аксиом, теорем свойств метрических свойств
геометрического геометрических свойств геометрических
пространства, фигур на базе геометрических фигур на базе
определений и аксиом, теорем фигур на базе алгебраического
конструктивных векторного аксиом, теорем метода
образов фигур пространства, евклидова исследования
представлений пространства, уравнений,
фигур в аффинном представлений неравенств, систем,
базисе фигур в выступающих
ортонормированном знаковыми
базисе моделями
компонентов фигур
Представления Задача Векторная, Векторная, Аналитическая
классов задач исследования координатная координатная модель задачи
пространственных, модели задачи модели задачи исследования
метрических, исследования исследования геометрической
конструктивных геометрической геометрической фигуры на базе
свойств фигуры, фигуры, координатной
геометрической представленной в представленной в модели в
фигуры в системе аффинном базисе ортонормированном евклидовом
свойств векторного базисе векторного пространстве
геометрического пространства. пространства.
пространства
Доказательство теорем, решение задач векторным методом предполагает:
- сформированность деятельности в геометрическом пространстве на уровне определений понятий геометрических фигур, представления их свойств в форме основных теорем;
- уровень пространственных представлений, позволяющих проводить преобразования геометрических фигур, проводить дополнительные построения;
- владение аппаратом векторной алгебры как на абстрактных векторах, так и на векторах, определенных сторонами, ребрами геометрических фигур;
- знание векторных условий коллинеарности, комплонарности, ортогональности векторов.
3. Представление векторного метода в векторном и евклидовом пространствах.
Векторный метод исследования свойств геометрических фигур выступает основным результатом деятельности представливания в трехмерном евклидовом пространстве и в то же время существенно зависит от уровня ее становления. Это означает совместное развитие векторных представлений геометрического пространства и векторного метода доказательства теорем, решения задач. В каждом из значимых видов векторно-геометрической деятельности выделим базовые действия для последующего формирования [6, 11, 16].
3.1.Векторное представление геометрического пространства:
- введение понятий вектора, операций над векторами в геометрическом пространстве в точечно-векторной форме;
- представление вектора как класса эквивалентности в форме его откладывания из любой точки геометрического пространства;
- введение понятий базиса прямой, плоскости, геометрического пространства;
- разложение векторов пространства по базисным векторам, введение координат вектора, точки в базисе;
- представление геометрического пространства как трехмерного с общей системой координат, с базисом из трех произвольных некомпланарных векторов;
- представление произвольной плоскости геометрического пространства как двумерного подпространства с общей системой координат. с базисом из двух неколлинеарных векторов (координатной плоскости);
- представление произвольной прямой геометрического пространства как одномерного подпространства с общей системой координат, с базисом из одного ненулевого вектора (координатной прямой).
- представление трехмерного векторного пространства как отдельной математической абстракции с собственной системой понятий, теорем, методом исследования.
3.2. Становление векторного метода исследования пространственных свойств геометрических фигур:
- представление указанной в исходной практической задаче геометрической фигуры как объекта подпространства конкретной размерности (прямая, плоскость, пространство) векторного пространства;
- построение изображения геометрической фигуры в условном изображении соответствующего подпространства по свойствам параллельного проектирования;
- выбор базиса соответствующего подпространства, в котором удобно представить в векторной форме компоненты геометрической фигуры (стороны, вершины, изображенные и достраиваемые отрезки), описать пространственные свойства фигуры;
- актуализация определения, признаков геометрической фигуры как объекта геометрического пространства;
- разложение по векторам выбранного базиса векторов, характеризующих компоненты геометрической фигуры;
- построение векторной модели исходной практической задачи посредством перевода ее содержания и требования на язык векторной алгебры;
- исследование векторной модели средствами аппарата векторной алгебры (условиями равенства, коллинеарности, комплонарности векторов);
- интерпретация результатов исследования векторной модели с позиции содержания задачи.
Теорема. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
А
О
Требование взаимной перпендикулярности диагоналей ромба предполагает его исследование в двумерном евклидовом пространстве - с использованием свойств скалярного произведения векторов.
Для базисных векторов, определенных смежными сторонами ромба, их модули равны. Векторы, определенные диагоналями ромба, равны сумме и разности базисных векторов. Их скалярное произведение раскрывается по свойствам дистрибутивности и равно разности скалярных квадратов базисных векторов и, с учетом равенства модулей, обращается в нуль.
Теорема. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся пополам.
В прямоугольном параллелепипеде ребра, выходящие из одной вершины, определяют базис пространства, вершина становится центром общей системы координат в пространстве.
По векторам выбранного базиса можно разложить всякий вектор, определенный диагоналями параллелепипеда.
Если центр системы координат соединять с серединой каждой из диагоналей параллелепипеда, то векторы, определенные каждым из выделенных отрезков, также можно разложить по базисным векторам.
Из определения параллелепипеда противоположные ребра параллелепипеда равны и параллельны, т.е. определяют один из базисных векторов. Выделенный факт позволяет установить, что все разложения векторов, определенных отрезками, соединяющими центр системы координат и середину диагонали параллелепипеда, равны. Из равенства векторов с общим началом вытекает совпадение концов - середин диагоналей.
Задача. Доказать, что отрезок, соединяющий середины противоположных ребер правильного тетраэдра, есть общий перпендикуляр этих ребер.
Задача исследует пространственную геометрическую фигуру - правильный тетраэдр, т.е. предполагает введение базиса из трех некомпланарных векторов, определенных ребрами тетраэдра, выходящими из вершины.
В задаче исследуемой геометрической фигурой является правильный тетраэдр, его грани являются правильными треугольниками, т. е. базисные векторы имеют равные модули и углы между векторами равны 60°.
В выделенном базисе находится разложение вектора, определенного отрезком, соединяющим середины противоположных ребер тетраэдра, а также векторов, определенных ребрами основания.
Наличие в задаче условия перпендикулярности отрезков предполагает использование условия ортогональности векторов, т. е. нахождение тетраэдра не в векторном, а в трехмерном евклидовом пространстве.
В евклидовом пространстве возможно вычисление скалярного произведения вектора, определенного отрезком, соединяющим середины противоположных ребер тетраэдра и векторов, определенных соответствующими ребрами тетраэдра.
В условиях равенства нулю скалярных произведений со ссылкой на условие ортогональности векторов делается вывод о перпендикулярности отрезков.
Задача. Доказать, что если точки А, В, С, В таковы, что АВ 1 СИ и АС 1 ВВ, то АВ 1
ВС.
С
Пересекающиеся, точнее перпендикулярные прямые определяют плоскую геометрическую фигуру - треугольник.
Условия перпендикулярности прямых означают, что треугольник расположен в двумерном евклидовом пространстве - в плоскости с ортогональной системой координат, в которой справедливо условие ортогональности векторов.
Для построения векторной модели задачи необходимо выбрать базисные векторы так, чтобы через них было удобно выражать все необходимые векторы в треугольнике. Однако, если ограничиться только двумя векторами базиса, то разложение по ним векторов, определенных сторонами треугольника, будет затруднено. В условиях введения третьего вектора выражение векторов ЛС, СВ и АВ оказывается более простым.
Условие перпендикулярности прямых в треугольнике в терминах евклидова пространства имеют форму равенства нулю скалярных произведений соответствующих векторов. Из системы скалярных равенств легко следует равенство нулю скалярного произведения АВ • СВ, что означает перпендикулярность прямых.
Вывод. Доказательство теорем, решение задач векторным методом предполагает:
- сформированность деятельности в геометрическом пространстве на уровне определений понятий геометрических фигур, представления их свойств в форме основных теорем;
- уровень пространственных представлений, позволяющих проводить преобразования геометрических фигур, проводить дополнительные построения;
- владение аппаратом векторной алгебры как на абстрактных векторах, так и на векторах, определенных сторонами, ребрами геометрических фигур;
- знание векторных условий коллинеарности, комплонарности, ортогональности векторов.
Список литературы
1. Александров А.Д. Что такое вектор // Математика в школе. 1984. № 5. С. 39-46.
2. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия: Учебное пособие для учащихся 10-11 кл. с углуб. изуч. математики.- М.: Просвещение,1992.-464 с.
3. Болтянский В.Г., Волович М.Б., Семушин А.Д. Векторное изложение геометрии (в 9 классе средней школы). Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1982. 143 с.
4. Болтянский В.Г., Яглом И.М. Векторное обоснование геометрии // В кн.: Новое в школьной математике. М.: Знание, 1972. С. 64-92.
5. Глейзер Г.Д. Психолого-математические основы развития пространственных представлений при обучении геометрии // В кн.: Преподавание геометрии в 9 -10 классах. М.: Просвещение, 1980. С.253-269.
6. Горбачев В.И. Теория трехмерного евклидова пространства в методологии теоретического типа мышления // Ученые записки Орловского государственного университета. 2016. №1(70). С. 151-158.
7. Горбачев В.И. Теория геометрических фигур геометрического пространства в методологии теоретического типа мышления // Наука и школа. 2016. № 4. С. 132-144.
8. Гусев В.А., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. Векторы в школьном курсе геометрии. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1976. 48 с.
9. Колмогоров А.Н., Яглом И.М. О содержании школьного курса математики // Математика в школе. 1965. № 4. С.53-61.
10. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений /
B.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред. В.А. Гусева. М.: Издательский центр «Академия». 368 с.
11. Потоскуев Е.В. Векторно-координатный метод при решении стереометрических задач // Математика в школе. 1995. №1. С. 23-25.
12. Розенфельд Б.А. История развития содержания современного школьного курса геометрии // В кн.: Преподавание геометрии в 9-10 классах. М.: Просвещение, 1980. С.111-131.
13. Скопец З.А. Векторное решение стереометрических задач // В кн.: Преподавание геометрии в 9-10 классах. М.: Просвещение, 1980. С.184-230.
14. Яглом И.М. Аксиоматические обоснования геометрии // В кн.: Новое в школьной математике. М.: Знание, 1972. С. 40-63.
15. Яглом И.М. О школьном курсе геометрии // Математика в школе. 1963. № 2.
C.53-57.
16. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. Научн. исслед. ин-т общей и пед. психологии Акад. пед. наук СССР. М.: Педагогика, 1980. 240 с.
Сведения об авторах
Сенченко Е.Д. - магистрант направления подготовки «Педагогическое образование», направленность «Математическое образование», Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского.
Горбачев В.И. - к.ф.-м.н., д.п.н., профессор, директор Естественно-научного института Брянского государственного университета имени акад. И.Г. Петровского, e-mail: [email protected].
LAWS OF THE STUDY OF GEOMETRIC FIGURES IN EUCLIDEAN SPACE
E.D. Senchenko, V.I. Gorbachev
Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky
Laws of formation of three-dimensional Euclidean space, vector method of study of geometric shapes are considered in the geometric space.
Keywords: methods of teaching mathematics, geometry curriculum activities, Euclidean space, vector method.
References
1. Aleksandrov A.D. Chto takoe vektor // Matematika v shkole. 1984. № 5. S. 39-46.
2. Aleksandrov A.D., Verner A.L., Ryzhik V.I. Geometrija: Uchebnoe posobie dlja uchashhihsja 10-11 kl. s uglub. izuch. matematiki. M.: Prosveshhenie, 1992.-464 s.
3. Boltjanskij V.G., Volovich M.B., Semushin A.D. Vektornoe izlozhenie geometrii (v 9 klasse srednej shkoly). Posobie dlja uchitelej. M.: Prosveshhenie, 1982. 143 s.
4. Boltjanskij V.G., Jaglom I.M. Vektornoe obosnovanie geometrii // V kn.: Novoe v shkol'noj matematike. M.: Znanie, 1972. S. 64-92.
5. Glejzer G.D. Psihologo-matematicheskie osnovy razvitija prostranstvennyh predstavlenij pri obuchenii geometrii // V kn.: Prepodavanie geometrii v 9-10 klassah. M.: Prosveshhenie, 1980. S.253-269.
6. Gorbachev V.I. Teorija trehmernogo evklidova prostranstva v metodologii teoreticheskogo tipa myshlenija // Uchenye zapiski Orlovskogo gosudarstvennogo universiteta. 2016. №1(70). S. 151-158.
7. Gorbachev V.I. Teorija geometricheskih figur geometricheskogo prostranstva v metodologii teoreticheskogo tipa myshlenija // Nauka i shkola. 2016. № 4. S. 132-144.
8. Gusev V.A., Koljagin Ju.M., Lukankin G.L. Vektory v shkol'nom kurse geometrii. Posobie dlja uchitelej. M.: Prosveshhenie, 1976. 48 s.
9. Kolmogorov A.N., Jaglom I.M. O soderzhanii shkol'nogo kursa matematiki // Matematika v shkole. 1965. № 4. S.53-61.
10. Metodika obuchenija geometrii: Ucheb.posobie dlja stud. vyssh. ucheb. zavedenij / V.A. Gusev, V.V. Orlov, V.A. Panchishhina i dr.; Pod red. V.A. Guseva. M.: Izdatel'skij centr «Akademija». 368 s.
11. Potoskuev E.V. Vektorno-koordinatnyj metod pri reshenii stereometricheskih zadach // Matematika v shkole. 1995. №1. S. 23-25.
12. Rozenfel'd B.A. Istorija razvitija soderzhanija sovremennogo shkol'nogo kursa geometrii // V kn.: Prepodavanie geometrii v 9-10 klassah. M.: Prosveshhenie, 1980. S.111-131.
13. Skopec Z.A. Vektornoe reshenie stereometricheskih zadach // V kn.: Prepodavanie geometrii v 9-10 klassah. M.: Prosveshhenie, 1980. S.184-230.
14. Jaglom I.M. Aksiomaticheskie obosnovanija geometrii // V kn.: Novoe v shkol'noj matematike. M.: Znanie, 1972. S. 40-63.
15. Jaglom I.M. O shkol'nom kurse geometrii // Matematika v shkole. 1963. № 2. S.53-
57.
16. Jakimanskaja I.S. Razvitie prostranstvennogo myshlenija shkol'nikov. Nauchn. issled. in-t obshhej i ped. psihologii Akad. ped. nauk SSSR. M.: Pedagogika, 1980. 240 s.
About authors
Senchenko E.D. - graduate student, Department of Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky.
Gorbachev V.I. - Doctor of Education, professor, Director of Institute of Natural Sciences, Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky. e-mail: [email protected]
