СТАНОВЛЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ В ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ И ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВАХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 371.24+371.212

СТАНОВЛЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ В ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ И ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВАХ

Г.А. Титарева, В.И. Горбачев

Брянский государственный университет имени акад. И.Г. Петровского

В работе исследуются модели теории функций на объектах геометрического и векторного пространств. Функциональная модель пространства геометрических фигур определена классами функций меры, проектирования, преобразований движения и подобия. Классами функций трехмерного евклидова пространства выступают сложение векторов, умножение действительного числа на вектор, скалярное, векторное, смешанное произведения векторов, аналитическое соответствие.

Ключевые слова: методика обучения математике, функции в общеобразовательном курсе математики, модельный подход в изучении теории функций.

В общеобразовательных курсах геометрии, алгебры и начал анализа на базе общих понятий теории функций в системе математических теорий числовых систем, геометрических фигур, векторного пространства, булевой алгебры, вероятностей выделяются важные классы функций (предметные модели общей теории функций): теория отображений, теория преобразований, теория операторов, теория меры, теория булевых функций, теория числовых дискретных функций, теория числовых непрерывных функций [5, 6, 7]. Лишь теория числовых непрерывных функций в курсе алгебры и начал анализа связана с фундаментальным понятием функции, что обедняет как представления целостного функционального пространства, так и способы описания геометрического, векторного, предикатного, вероятностного пространств [10,12, 20]. .

Предметом модельно-теоретического развития теории функций выступает исследование закономерностей функционального пространства в спектре предметных функциональных моделей [15,18]:

- анализ, доказательство общефункциональных и специфических свойств классов функций определенной функциональной модели, опосредованных свойствами соответствующего пространства;

- описание свойств пространства в содержании классов функций соответствующей предметной функциональной модели;

- структурное представление функциональной модели в системе определений, теорем общей теории функций и в системе специфических свойств, обоснованных закономерностями предметного пространства;

- интегральное представление функционального пространства в спектре функциональных моделей, их свойств, приложений.

Содержанием модельно-теоретического представления функций выступает системное структурирование функционального пространства [11,16, 21]:

- выделением классов функций, их «имен» на объектах ранее представленных теорий с фиксацией функциональных свойств;

- анализом функциональных характеристик классов функций (арности, областей определения, значений, характера функциональных зависимостей);

- установлением свойств классов функций, обоснованных спецификой объектов теории;

- анализом роли функций в исследовании свойств классов объектов, свойств теории;

- представления операций композиции, комбинирования, обращения в качестве общефункциональных;

- фиксацией форм и способов записи функциональных зависимостей в рамках представленной теории.

В предметной математической теории построение, исследование конкретной функциональной модели характеризуются обобщенными действиями закономерного плана [5,6]:

- анализа базовых классов объектов предметной теории в единстве с операциями, отношениями и их свойствами;

- выделения именованных понятиями предметной теории основных классов функций на основе характеристических свойств определенности и функциональности, обоснованных свойствами операций на классах объектов;

- формализации специфических для функциональной модели свойств каждого из выделенных классов функций на основе операций, отношений предметной теории;

- конструирования операций композиции, произведения, суммы, обращения на выделенных классах функций предметной теории;

- исследования фундаментальных свойств конечности-бесконечности, дискретности-непрерывности классов функций предметной теории;

- функциональной трактовки и обоснования основных результатов предметной теории для анализа роли функциональных зависимостей в ее построении;

- целостного представления классов функций предметной теории, их свойств, значимости в развитии теории - функциональной модели предметной теории.

Анализ пространственно-векторной, пространственно-точечной, пространственно-метрической, векторно-координатной, вероятностной, логической функциональных моделей на абстрактных классах объектов конкретных математических теорий позволяет установить целостную модельно-теоретическую структуру функций, выделить как общую для всех теорий систему понятий-категорий, так и обоснованную классами объектов специфическую систему свойств (рис. 1).

Рис. 1. Структура «имен» понятия функции

Пространственно-точечная модель теории функций - класс = | ^: ^ —> всех преобразований — п фиксированной плоскости п точечного геометрического

пространства V с фундаментальными свойством биективности, операциями композиции, обращения.

В качестве примеров преобразований плоскости А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик [1, 2] приводят преобразование симметрии относительно точки О, преобразование симметрии относительно прямой g, гомотетии относительно центра О. Обобщением преобразований симметрии выступает фундаментальное в геометрической деятельности понятие движения - такого преобразования п — я, для которого из условий = Уь

^1(^2) = следует, что |У1У21 = В конструктивном плане на множестве движений

вводится операция композиции - последовательного выполнения движений, фиксируется факт сохранения расстояний: «два движения, выполненные последовательно, дают снова движение» [2,с.119]. Для преобразования плоскости^: п —

я, такого, что из условий = У1, = У2,Ф Х2 следует, что У1 Ф У2, вводится

понятие обратного преобразования, при этом преобразование, обратное движению, является также движением.

Новым важным классом преобразований плоскости выступают преобразования подобия: «Преобразование фигуры F в фигуру F'называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз» [2, с. 120]. Преобразование гомотетии является примером подобия, пример композиции гомотетии и движения показывает, что класс преобразований подобия существенно шире.

Значимость выделенных классов преобразований плоскости определяется введением фундаментальных понятий геометрического пространства - равенства и подобия на множестве геометрических фигур:

- две фигуры называются равными, если они движением переводятся одна в другую;

- две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.

Введенные понятия выступают основой признаков равенства и подобия геометрических фигур, их доказательство осуществляется методом преобразований -использования в доказательстве процедур преобразований плоскости, при которых сравниваемые фигуры совпадают. Метод преобразований оказывается важным средством решения задач исследования, конструирования геометрических фигур, направлен на формирование пространственного мышления субъекта [8,13, 19].

Не только категории геометрического равенства и подобия определяют математическую значимость преобразований плоскости и пространства. Преобразование плоскости ^: п — п - функция на множестве всех точек плоскости, причем, обладающая свойством биективности и, в рамках общефункциональных представлений, обратимости. Преобразования равенства и подобия составляют важные классы функций со своей, специфической системой свойств, их подклассы (симметрий, параллельных переносов, поворотов, гомотетий) с операцией композиции формируют представления о спектре классов функций, заданных на множествах точек геометрического пространства.

Пространственно-точечная модель теории функций выделена для представления геометрического пространства точечным с целью введения, обоснования фундаментальных понятий равенства, подобия на множестве геометрических фигур, существенного расширения представлений геометрического пространства [3,4, 17,23]:

- геометрические фигуры - определенные множества точек, допускающие конструктивные, аналитические преобразования симметрии, параллельного переноса, вращения, гомотетии, их композиции, обращения;

- в содержании общего класса функций движения в геометрическом пространстве выделяются функциональные подклассы преобразований осевой симметрии, параллельного переноса, вращения, скользящей симметрии;

- фундаментальное понятие равенства геометрических фигур вводится существованием движения, переводящего одну фигуру в другую, при этом биективность, обратимость функции движения позволяет рассматривать геометрическую фигуру как класс эквивалентности, сохраняя представление геометрической фигуры в геометрическом пространстве;

- доказательство важных в изучении пространственных, конструктивных, метрических свойств признаков равенства геометрических фигур основано на использовании преобразований, свойств симметричности, транзитивности движения;

- в содержании функционального понятия подобия в геометрическом пространстве выделяются базовые подклассы функций преобразований гомотетии, центрально-подобного вращения, центрально-подобной симметрии, исследуются их пространственные, конструктивные свойства;

- фундаментальное понятие подобия на множестве геометрических фигур вводится существованием преобразования подобия, переводящего одну геометрическую фигуру в другую, именно такое представление подобия выступает основой признаков подобия, конструктивных и аналитических преобразований геометрических фигур;

- функциональная основа представления преобразований движения, подобия позволяет выразить всякое преобразование подобия в виде композиции движения и гомотетии, провести классификацию преобразований движения, подобия;

- классы функций движения, подобия приводят к становлению метода преобразований в исследовании пространственных, метрических, конструктивных свойств геометрических фигур.

Пространственно-метрическая модель теории функций - теория функций меры (длины, угловой величины, площади, объема) на множестве геометрических фигур геометрического пространства в содержании аксиоматического метода, метода предельного перехода [2, 13,22, 23]. Содержание функциональной модели составляют:

Функция длины l\L^R на множестве L отрезков, ее расширение I: L* ^ R на множестве L* линий. В деятельности представливания функция длины задается в форме приписывания отрезку его длины (неотрицательного действительного числа), в теории геометрического пространства функция вводится в системе аксиом неотрицательности, аддитивности, наличия единицы измерения. Понятие длины отрезка расширяется в понятии длины плоской линии l(ABC) = lim 1(Рп) как предела суммы длин отрезков ломаной при

условии, что число отрезков неограниченно увеличивается. Этот факт позволяет определить длину окружности как предел периметров правильных многоугольников, вписанных в окружность.

Функция угловой величины ^ R на множестве F углов между прямыми, ее расширение y:F*^R на множестве F* углов между линиями, задаются аналогично функциям длины и в деятельности представливания, и в теории геометрического пространства. Различие в областях определения, радианные значения функций угловых величин не устраняют задачи поиска их взаимных связей. Теоремы синусов, косинусов устанавливают связь линейных и угловых величин в треугольниках и их конструкциях.

Аксиоматизируемая функция площади s:S^R на множествах многоугольников, функция s:S* ^ R предельного перехода на множестве плоских фигур задают все способы вычисления площадей плоских фигур - как многоугольников, так и круглых тел. Общий подход к введению метрических понятий выступает основой вывода площадей плоских фигур, зависящих от функций длины и угловой величины.

Функция объема v:W ^ R, заданная в теории геометрического пространства на множестве многогранников аксиоматически, и ее предельное расширение в форме v:W* ^ R функции объема тел позволяют вычислить объемы призм, пирамид, конусов, цилиндров, шаров, их комбинаций. Формула вычисления объема пирамиды показывает аналитическую зависимость функции объема от линейной, угловой величин, площади

основания, демонстрирует закономерности поиска всех метрических характеристик фигуры по части известных в содержании метрического компонента пространственного мышления.

Пространственно-метрическая модель теории функций направлена на представление геометрического пространства метрическим, с фундаментальными понятиями длины, величины угла, площади, объема в их взаимных связях:

- в представлении геометрической фигуры как класса абстрактных объектов геометрического пространства ее метрические характеристики отсутствуют, однако в отражении метрических характеристик объектов реального пространства соответствие геометрической фигуры и численных значений функций длины, угловой величины, площади, объема, устанавливается в процедуре приписывания;

- введению функций меры в геометрическом пространстве предшествует его разбиение на классы плоских линий, углов между ними, плоских фигур, пространственных тел для целей задания функций с разными областями определения;

- в представлении геометрического пространства функции меры вводятся в форме приписывания: классу линий ставится в соответствие множество длин, классу углов -угловых величин, классу плоских фигур - площадей, классу тел - объемов;

- в теоретическом обосновании закономерностей геометрического пространства функции меры вводятся в процедуре аксиоматизации свойств неотрицательности, аддитивности, задания единицы меры на множествах отрезков, углов между прямыми, многоугольников, многогранников и, затем, в содержании предельного перехода на соответствующих множествах линий, углов между линиями, плоских фигур, пространственных тел;

- пространственное представление функции длины в системе конструктивных, пространственных свойств на множестве геометрических фигур развивается в ее аксиоматическом определении на множестве отрезков, последующем расширении введением понятия длины линии в предельном переходе системы действительных чисел, вычислении длины окружности;

- пространственное представление функции величины угла между прямыми свое продолжение имеет в аксиоматическом введении понятия величины плоского угла, изучении классических фактов евклидовой геометрии о конструктивных, пространственных свойствах угловой меры на множестве геометрических фигур, в предельном переходе приводит к понятию угла между линиями;

- анализ теорем евклидовой геометрии позволяет сделать вывод о взаимной связи функций длины и величины угла в классах геометрических фигур;

- пространственное представление площади на множестве многоугольников, круглых тел в теоретическом плане обосновывается аксиоматическим введением понятия площади многоугольника, расширением функции площади введением понятия площади плоской фигуры в предельном переходе, вычисление площади круга, площади поверхности сферы;

- в теоремах, задачах исследования метрических характеристик геометрических фигур на плоскости фиксируется факт взаимной связи функций площади, длины и величины угла, метрических и пространственных свойств геометрических фигур;

- пространственное представление функции объема на множестве пространственных фигур развивается в аксиоматическом введении понятия объема многогранника, расширении функции объема введением понятия объема тела в предельном переходе, вычислении объемов круглых тел;

- в теоремах евклидовой геометрии устанавливается взаимная связь введенных независимо всех метрических характеристик геометрических фигур, их конструктивных, пространственных и метрических свойств в представлении геометрического пространства;

-в содержании пространственно-метрической модели теории функций достигается задача формирования метрического компонента пространственного мышления.

Пространственно-векторная модель в функциональном пространстве представлена [4,9,23]:

- функциями двух переменных - операциями сложения векторов, умножения числа на вектор, скалярного и векторного произведений векторов;

- функциями одной переменной - длины вектора, откладывания вектора, соответствия (изоморфизма) векторного и арифметического пространств;

- композициями функций - линейной комбинации векторов, вычисления суммы векторов, смешанного произведения векторов.3

Базовыми в общеобразовательном курсе геометрии выступают функции сложения векторов, умножения вектора на число, скалярного произведения векторов, в планет углубленного изучения геометрии - векторного и смешанного произведений. А.Д. Александров [2, с.218] сначала определяет процесс откладывания вектора от точки: «построить направленный отрезок с началом в этой точке, изображающий данный вектор», после чего вводит операцию сложения векторов через правило треугольника. На функциональном языке операция будет задавать функцию f1:V XV ^ V,f1(a,b) = а + b, обладающую свойствами коммутативности и ассоциативности.

Функция умножения вектора на число представляет собой целый класс f2:WxV ^ V,f2(.k,â) = kâ~. Функции сложения векторов и умножения вектора на число позволяют решить вопрос разложения векторов пространства по векторам базиса. Кроме того, они составляют основу векторной алгебры и позволяют решать задачи исследования геометрических фигур векторным методом.

Следующий важный класс функций векторного пространства - это класс функций скалярного умножения векторов. А.Д. Александров [2, с.231] скалярным произведением двух ненулевых векторов называет «произведение их длин на косинус угла между ними». В функциональном плане скалярное произведение задает функцию f3:V X V ^ Ж, f3(a, b) = а •

Ъ. Эта функция в трехмерном евклидовом пространстве позволяет находить углы между ненулевыми векторами, их длины, исследовать метрические свойства геометрических фигур.

Л.С. Атанасян [3, с.163-170] рассматривает векторное и смешанное произведение векторов, определяющие новые классы функций: f4:V XV ^ V, f4(a, b) = [ab] — класс

функций векторного произведения и f$: V X V X V ^ Ж, f5(a,b,c) = abc — класс функций смешанного произведения, который представляет собой композицию функций скалярного и векторного произведений. Они позволяют исследовать метрические характеристики фигур. Для установления соответствия трехмерного евклидова пространства и арифметического пространства важную роль играет функция аналитического соответствия g3:V ^ R3, такая, что дз(а) = (x1,y1,z1).

Пространственно-векторная функциональная модель реализует фундаментальную задачу формирования представлений трехмерного векторного, евклидова пространств с векторным, координатным методами исследования геометрических фигур:

- на базе определения функций двух переменных (сложения векторов и произведения числа на вектор), их конструктивных и аналитических свойств устанавливается справедливость аксиом трехмерного векторного пространства с фундаментальным понятием базиса;

- функция скалярного произведения векторов позволяет наделить векторное пространство структурой евклидова пространства с возможностью измерения длины, величины угла на множестве векторов;

- функции откладывания вектора и аналитического соответствия позволяют ввести понятия аффинной и ортонормированной систем координат с возможностью разложения векторов пространств по базисным, характеризации векторов, точек пространств их координатами;

- базовые свойства коллинеарности, комплонарности, ортогональности векторов евклидова пространства приобретают функциональную форму представленности, становятся свойствами соответствующих векторных функций;

- в системе векторных функций евклидова пространства осуществляется аналитическое описание базовых фигур геометрического пространства (прямых, окружностей, плоскостей), исследование их взаимного расположения в конструктивной, векторной формах, на их основе - исследование пространственных свойств геометрических фигур;

- средствами функций скалярного, векторного произведений векторов, их композиции (смешанного произведения векторов) в пространственно-векторной модели проводится исследование всех метрических понятий геометрического пространства - длины отрезка, величины угла, площади многоугольника, объема многогранника.

Векторно-координатная (аналитическая) модель в функциональном пространстве устанавливает соответствие трехмерного евклидова пространства и арифметического пространства й3, позволяет построить векторную модель геометрической фигуры, и, в условиях выбора аффинной или прямоугольной систем координат, по векторной модели геометрической фигуры переходом к координатной форме построить ее аналитическую модель с последующим исследованием аналитическим методом:

- функция векторного соответствия позволяет на сторонах многоугольника, ребрах многогранника целесообразно выбрать базис, разложить по базисным векторам все векторы геометрической фигуры, построить ее векторную модель;

- функция векторно-координатного соответствия по векторной модели геометрической фигуры позволяет построить ее координатную модель, в координатных условиях коллинеарности, ортогональности, комплонарности провести исследование пространственных, метрических свойств геометрической фигуры;

- композиции функций аналитического соответствия направлены на построение, исследование аналитических моделей базовых классов геометрических фигур (прямых, плоскостей, линий, поверхностей) в арифметическом пространстве, средствами аналитических моделей базовых фигур провести исследование плоских, пространственных фигур.

Пространственно-векторная и векторно-координатная (аналитическая) функциональные модели обосновывают методологическую схему «геометрическое пространство - векторное пространство - евклидово пространство - арифметическое пространство» последовательного исследования пространственных, конструктивных, метрических свойств геометрических фигур. В условиях такого системного исследования геометрической фигуры средствами функциональных моделей в каждом из пространств к ней применяются аналитико-синтетический (геометрическое пространство), векторный (векторное пространство), координатный (евклидово пространство), аналитический (арифметическое пространство) методы, чем достигается целостный спектр ее свойств.

Для целей развития представлений функционального пространства опыт выделения функциональных моделей предметных теорий алгебры, геометрии впоследствии обобщается на этапе модельно-теоретических представлений в сочетании абстрактных алгебраических определений категорий функции, композиции, обращения, дискретности, непрерывности и их модельных конкретизаций. В результате становится технологичным отмеченное Г.В. Дорофеевым преимущество модельно-абстрактного подхода к понятию функции: «возможность рассматривать не только числовые функции числового аргумента, но и функции, определенные на множествах объектов произвольной природы и принимающих значения, являющиеся объектами также произвольной природы» [10, с. 12].

С позиций содержательно-теоретического подхода к изучению функционально-графической линии важными выступают не только числовая функциональная модель, но и все функциональные модели геометрического, векторного, числового, вероятностного пространств, интегрируемые в содержании представлений общей теории функций. Выделенные же закономерности модельно-геометрической функциональной деятельности определяет процесс ее формирования в системе учебных задач:

1. Представление пространственно-векторной функциональной модели с векторным методом исследования объектов геометрического пространства:

2. - выделение базовых классов функций оперирования над векторами, их свойств в условиях отождествления геометрического пространства с трехмерным евклидовым пространством;

- описание свойств трехмерного евклидова пространства в системе базовых функций пространственно-векторной функциональной модели, их композиций;

- исследование пространственных, метрических свойств геометрических фигур средствами базовых функций пространственно-векторной функциональной модели в содержании векторного метода;

3. Представление пространственно-точечной функциональной модели, исследование геометрических фигур методом преобразований геометрического пространства:

- выделение базовых классов биективных функций преобразований геометрического пространства в его представлении точечным, преобразований движения, подобия;

- классификация преобразований движения, подобия в функциональных операциях композиции, обращения;

- функциональный способ введения понятий равенства, подобия на множестве геометрических фигур, исследование признаков равенства, подобия в классах геометрических фигур;

- конструирование, исследование геометрических фигур методом преобразований геометрического пространства;

- представление пространственно-точечной функциональной модели с позиции общего понятия функции в функциональном пространстве.

4. Представление пространственно-метрической функциональной модели, исследование метрических свойств фигур геометрического пространства:

- абстрагирование процедур измерения величин реального пространства в понятиях функций длины отрезка, величины угла, площади многоугольника, объема тела геометрического пространства, аксиоматизация функциональных метрических понятий в теории геометрического пространства;

- расширение функциональных метрических понятий в содержании предельного перехода во множестве действительных чисел;

- исследование взаимной связи метрических функций в различных классах геометрических фигур, связи метрических функций с функциями пространственно-точечной модели;

- сравнение метрических функций геометрического пространства и их определения, методов вычисления в пространственно-векторной модели, в содержании векторно-координатного метода исследования геометрических фигур.

5. Представление векторно-координатной функциональной модели с векторно-координатным (аналитическим) методом исследования объектов геометрического пространства:

- выделение классов функций аналитического соответствия в условиях отождествления геометрического пространства с евклидовым введением прямоугольной декартовой системы координат;

- описание классов прямых, линий, плоскостей, поверхностей функциями аналитического соответствия в форме аналитических моделей, исследование моделей алгебраическими средствами, интерпретация результатов исследования в системе пространственных, метрических свойств геометрического пространства;

- исследование геометрических фигур векторно-координатным методом - средствами аналитических моделей составляющих фигуры прямых, линий, плоскостей, поверхностей в интегрированном (геометрическом, евклидовом, арифметическом) пространстве;

- интегральное представление пространственно-векторной, пространственно-точечной, пространственно-метрической и векторно-координатной функциональных моделей с соответствующими методами исследования геометрических фигур в целостном представлении геометрического пространства.

Список литературы

1. Александров А.Д. О геометрии // Математика в школе. 1980. № 3. С. 56-62.

2. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия: Учебное пособие для учащихся 10-11 кл. с углуб. изуч. математики. М.: Просвещение,1992. 464 с.

3. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч.1. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов.- М.: Просвещение, 1986. 336с.

4. Болтянский В.Г., Яглом И.М. Векторное обоснование геометрии // В кн.: Новое в школьной математике. М.: Знание, 1972. С. 64-92.

5. Горбачев В. И. Теория функций в методологии теоретического типа мышления: теоретико-модельные представления уровня общего образования // Вестник Брянского государственного университета: Исторические науки и археология /литературоведение/ языкознание/ педагогические науки. Брянск: РИО БГУ. 2016. № 1 (27). С. 336-343.

6. Горбачев В.И. Теория функций в методологии теоретического типа мышления: содержание учебной деятельности уровня общего образования// Вестник Брянского государственного университета: Исторические науки и археология /литературоведение/ языкознание/ педагогические науки. Брянск: РИО БГУ. 2016. № 3 (29). С. 204.

7. Горбачев В.И. Теория трехмерного евклидова пространства в методологии теоретического типа мышления // Ученые записки Орловского государственного университета. 2016. №1(70). С. 151-158.

8. Горбачев В.И. Теория геометрических фигур геометрического пространства в методологии теоретического типа мышления // Наука и школа. 2016. № 4. С. 132-144.

9. Гусев В.А., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. Векторы в школьном курсе геометрии. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1976. 48 с.

10. Дорофеев Г.В. Понятие функции в математике и в школе // Математика в школе. 1978. № 2. С. 10-27. О принципах отбора содержания школьного математического содержания // Математика в школе. 1990. № 6. - С. 2-5. Ъ

11. Гуманитарно-ориентированный курс - основа учебного предмета математика в общеобразовательной школе // Математика в школе. 1997. № 4. С. 59-66.

12. Колмогоров А.Н. Что такое функция // Математика в школе. 1978. № 2. - С. 2729.

13. Колмогоров А.Н., Яглом И.М. О содержании школьного курса математики // Математика в школе. 1965. № 4. С.53-61.

14. Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Черкасов Р.С. Геометрия. Учебное пособие для 6-8 классов средней школы. М.: Просвещение,1980. 382 с.

15. Мордкович А.Г. Новая концепция школьного курса алгебры // Математика в школе. 1996. № 6. С. 28-33.

16. Мордкович А.Г. Методические проблемы изучения элементов анализа в общеобразовательной школе // Математика в школе. 2002. № 9. С. 2-12.

17. Новоселов С.И. Учение о функциях в средней школе // Математика в школе. 1947. № 5-6. С. 22-38.

18. О дискуссионных вопросах, связанных с учением о функциях в школьном курсе // Математика в школе. 1954. № 4. С. 43-46.

19. Глейзер Г.Д. Стандарт математического образования: сущность и проблемы к обсуждению // Математика в школе. 1994. № 2. С. 2-4.

20. Маркушевич А.И. Понятие функции // Математика в школе. 1947. № 4. С. 1-16.

21. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений /

B.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред. В.А. Гусева. М.: Издательский центр «Академия». 368 с.

22. Концепция математического образования (в 12-летней школе) // Математика в школе. 2000. № 2. С. 13-18.

23. Виленкин Н.Я., Блох А.Я. Элементарные функции в школьном курсе математики // Математика в школе. 1978. № 3. С. 53-57.

24. Яглом И.М. Аксиоматические обоснования геометрии // В кн.: Новое в школьной математике. М.: Знание, 1972. С. 40-63.

25. Яглом И.М. О школьном курсе геометрии // Математика в школе. 1963. № 2.

C.53-57.

Сведения об авторах

Титарева Г.А. - магистрант направления «Педагогическое образование», направленность «Математическое образование», Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского.

Горбачев В.И. - к.ф.-м.н., д.п.н., профессор, директор Естественно-научного института Брянского государственного университета имени акад. И.Г. Петровского, enibgu@mail.ru.

THE DEVELOPMENT OF MODELS OF THE THEORY OF FUNCTIONS IN GEOMETRIC AND VECTOR SPACES

G.A. Titareva, V.I. Gorbachev

Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky

The article presents models of the theory of functions on objects of geometric and vector spaces. Functional model of the space of geometric shapes is defined by classes of functions measure, design, motion conversion and similarity. Classes of functions of three-dimensional Euclidean space are the addition of vectors, multiplication of a real number by a vector, scalar, vector, mixed multiplication of vectors, analytical line.

Keywords: methods of teaching mathematics, functions in the general education mathematics course, the model approach in the study of the theory offunctions.

References

1. Aleksandrov A.D. O geometrii // Matematika v shkole. 1980. № 3. S. 56-62.

2. Aleksandrov A.D., Verner A.L., Ryzhik V.I. Geometrija: Uchebnoe posobie dlja uchashhihsja 10-11 kl. s uglub. izuch. matematiki. M.: Prosveshhenie,1992. 464 s.

3. Atanasjan L.S., Bazylev V.T. Geometrija. V 2-h ch. Ch.I. Ucheb.posobie dlja studentov fiz.-mat. fak. Ped. in-tov. M.: Prosveshhenie, 1986. 336s.

4. Boltjanskij V.G., Jaglom I.M. Vektornoe obosnovanie geometrii // V kn.: Novoe v shkol'noj matematike. M.: Znanie, 1972. S. 64-92.

5. Gorbachev V. I. Teorija funkcij v metodologii teoreticheskogo tipa myshlenija: teoretiko-model'nye predstavlenija urovnja obshhego obrazovanija // Vestnik Brjanskogo gosudarstvennogo universiteta: Istoricheskie nauki i arheologija /literaturovedenie/ jazykoznanie/ pedagogicheskie nauki. - Brjansk: RIO BGU. 2016. №1 (27). S. 336-343.

6. Gorbachev V.I. Teorija funkcij v metodologii teoreticheskogo tipa myshlenija: soderzhanie uchebnoj dejatel'nosti urovnja obshhego obrazovanija// Vestnik Brjanskogo gosudarstvennogo universiteta: Istoricheskie nauki i arheologija /literaturovedenie/ jazykoznanie/ pedagogicheskie nauki. Brjansk: RIO BGU. 2016. № 3 (29). S. 204 - 2011.

7. Gorbachev V.I. Teorija trehmernogo evklidova prostranstva v metodologii teoreticheskogo tipa myshlenija // Uchenye zapiski Orlovskogo gosudarstvennogo universiteta. 2016. №1(70). S. 151-158.

8. Gorbachev V.I. Teorija geometricheskih figur geometricheskogo prostranstva v metodologii teoreticheskogo tipa myshlenija // Nauka i shkola. 2016. № 4. S. 132 - 144.

9. Gusev V.A., Koljagin Ju.M., Lukankin G.L. Vektory v shkol'nom kurse geometrii. Posobie dlja uchitelej. M.: Prosveshhenie, 1976. 48 s.

10. Dorofeev G.V. Ponjatie funkcii v matematike i v shkole // Matematika v shkole. 1978. № 2. S. 10-27. O principah otbora soderzhanija shkol'nogo matematicheskogo soderzhanija // Matematika v shkole. - 1990. - №6. S. 2-5.

11. Gumanitarno-orientirovannyj kurs - osnova uchebnogo predmeta matematika v obshheobrazovatel'noj shkole // Matematika v shkole. 1997. №4. S. 59-66.

12. Kolmogorov A.N. Chto takoe funkcija // Matematika v shkole.1978. № 2. S. 27-29.

13. Kolmogorov A.N., Jaglom I.M. O soderzhanii shkol'nogo kursa matematiki // Matematika v shkole. 1965. № 4. S.53-61.

14. Kolmogorov A.N., Semenovich A.F., Cherkasov R.S. Geometrija. Uchebnoe posobie dlja 6-8 klassov srednej shkoly. M.: Prosveshhenie,1980. 382 s.

15. Mordkovich A.G. Novaja koncepcija shkol'nogo kursa algebry // Matematika v shkole. 1996. №6. S. 28-33.

16. Mordkovich A.G. Metodicheskie problemy izuchenija jelementov analiza v obshheobrazovatel'noj shkole // Matematika v shkole. 2002. № 9. S. 2-12.

17. Novoselov S.I. Uchenie o funkcijah v srednej shkole // Matematika v shkole.1947. № 5-6. S. 22-38.

18. O diskussionnyh voprosah, svjazannyh s ucheniem o funkcijah v shkol'nom kurse //Matematika v shkole. 1954. № 4. S. 43-46.

19. Glejzer G.D. Standart matematicheskogo obrazovanija: sushhnost' i problemy k obsuzhdeniju //Matematika v shkole. 1994. № 2. S. 2-4.

20. Markushevich A.I. Ponjatie funkcii // Matematika v shkole. 1947. № 4. S. 1-16.

21. Metodika obuchenija geometrii: Ucheb.posobie dlja stud. vyssh. ucheb. zavedenij / V.A. Gusev, V.V. Orlov, V.A. Panchishhina i dr.; Pod red. V.A. Guseva. M.: Izdatel'skij centr «Akademija». 368 s.

22. Koncepcija matematicheskogo obrazovanija (v 12-letnej shkole) // Matematika v shkole. - 2000. №2. S. 13-18.

23. Vilenkin N.Ja., Bloh A.Ja. Jelementarnye funkcii v shkol'nom kurse matematiki //Matematika v shkole. 1978. № 3. S. 53-57.

24. Jaglom I.M. Aksiomaticheskie obosnovanija geometrii // V kn.: Novoe v shkol'noj matematike. M.: Znanie, 1972. S. 40-63.

25. Jaglom I.M. O shkol'nom kurse geometrii // Matematika v shkole. 1963. № 2. S.53-57.

About authors

Titareva G.A. - graduate student, Department of Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky.

Gorbachev V.I. - Doctor of Education, professor, Director of Institute of Natural Sciences, Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky, e- mail: enibgu@mail.ru.