CC BY
40
1УДК 371.24+371.212
ББК 74.262.21
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ ВНУТРЕННЕ-ПРОЦЕССУАЛЬНОЙ КОМПЕТЕНЦИИ В СОДЕРЖАНИИ БАЗОВОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
В. И. Горбачев
Аннотация. Нормативная цель личностного развития в содержании общего математического образования в значительной степени характеризуется сформированностью у субъекта типов мышления, представлений памяти, соответствующих определенной математической теории. В статье исследуется содержание внутренне-процессуальной компетенции, отражающей становление в деятельности абстрактного, алгоритмического, логического типов мышления вместе с адекватными представлениями памяти. Базовой закономерностью выступает выделение пространства математических объектов (деятельности представливания) и исследование закономерностей пространства в содержании теории (теоретико-пространственной деятельности). Деятельности представливания соответствует пространственный тип мышления в последовательности абстрактно-алгоритмического и системно-структурного этапов. В теоретико-пространственной деятельности осуществляется становление теоретико-пространственного типа мышления с абстрактно-аксиоматическим, аналитико-син-тетическим и методологическим этапами. В системе базовых пространств числовых систем, функций, геометрических фигур, векторов, числовых предикатов, событий виды деятельности и соответствующие типы мышления имеют свое конкретное проявление, формируются отдельно. В работе установленные закономерности формирования внутренне-процессуальной компетенции исследуются в содержании учебной теории геометрического пространства.
Ключевые слова: общее математическое образование, методика обучения математике, внутренне-процессуальная компетенция, учебная математическая теория геометрического пространства.
REGULARITIES OF FORMATION OF THE INTERNAL PROCEDURAL COMPETENCE IN THE CONTENT OF BASIC MATHEMATICAL THEORIES OF GEOMETRIC SPACES
V. I. Gorbachev
Abstract. The standard goal of personal development in the content of general mathematics education is largely characterized by the formation of the types of thinking, memory representations corresponding to a specific mathematical theory. The article examines the content of the internal procedural competence, reflecting the formation of logical thinking types, together with adequate memory representations in the operation of the abstract , algorithmic type. The allocation of the space of mathematical objects (activity on the formation of the submission) and study of space patterns in the content of the theory (theoretic-spatial activities) is taken as the basic regularity. Activity on the formation of the submission corresponds to the spatial type of thinking in the abstract sequence of algorithmic and system-structural phases. Activities and the corresponding types of thinking have their concrete manifestation, are formed separately in the system of basic spaces of numerical systems, functions, geometric figures, vectors, numerical predicates, events. The article examines regularities of formation of the internal procedural competence in the content of educational theory of geometric spaces.
Keywords: general mathematics education, mathematics teaching methodology, internal procedural competence, educational mathematical theory of geometric space.
Методология достижения нормативной цели интеллектуального развития субъекта математической деятельности учения уровня общего образования [1] в современных психолого-дидактических, мето-дико-математических исследованиях представлена различными направлениями:
• концепций развивающего обучения, в частности, организации деятельности как учебной - спроектированной в содержании восхождения от абстрактного к конкретному, направленной на становление обобщенного способа деятельности в классе задач в условиях планирования, анализа, рефлексии [2-5];
• последовательного формирования материализованного, внешнеречевого, умственного этапов действия в процессе преобразования его цели, ориентировочной основы, включенности в класс задач, формы представленности субъекту [4; 6; 7];
• развития математических способностей как в составе базовых (способность к пространственному представлению, способность к дедуктивным логическим рассуждениям, способность к абстрагированию и обобщению, классификации и систематизации, способность к оперированию числовой и знаковой символикой), так и в спектре качеств мышления (мышление свернутыми структурами, гибкость мышления, обратимость мыслительного процесса, математическая память на обобщения, логические схемы), ценностных установок (склонности к самостоятельным занятиям математикой, состояние заинтересованности, сосредоточенности) [5; 8; 9];
• овладения субъектом фундаментальными типами мышления, памяти (абстрактным, логическим, алгоритмическим, пространственным), такими качествами мышления, как сила и гибкость, конструктивность и критичность, специфически математическими свойствами мышления (обладающая характером полноты и абсолютной исчерпанности аргументация, исчерпывающее доказательство свойства, критическое отношение к заключениям по аналогии, полнота и выдержанность классификации, математический стиль мышления с доминированием логической схемы рассуждений, лаконичностью мысли, скрупулезной точностью символики) [10-14].
Интеллектуальное развитие, трактуемое как процесс становления определенного типа мышления субъекта вместе с адекватными представлениями памяти, выступает общей закономерностью общедидактических деятельностных теорий П. Я. Гальперина, В. В. Давыдова, психолого-педагогической теории развития математических способностей В. А. Крутецкого, отражает целевой характер современных подходов к анализу содержания общего математического образования: «среди общих целей математического образования центральное место занимает развитие абстрактного мышления, включающее в себя не только умение воспринимать специфические, свойственные математике абстрактные объекты и конструкции, но и умение оперировать с такими объектами и конструкциями» [8, с. 60].
Существенным недостатком концепций развивающего обучения, исследований формирующихся в математической деятельности учения внутренних психологических процессов выступает неразработанность целостного подхода к становлению математического мышления в его структурном представлении, исследовании закономерностей его формирования:
• типы мышления (абстрактное, алгоритмическое, логическое, индуктивное, дедуктивное, пространственное, продуктивное, формализованное, эвристическое), качества мышления (сила и гибкость, конструктивность и критичность, интеллектуальная восприимчивость и подвижность, полнота и свернутость) не ранжированы в их характеристиках и взаимной связи, включенности одного в другое;
• как правило, тип мышления рассматривается в общематематическом аспекте, вне конкретной согласованности с процессом становления во внутреннем плане субъекта представлений определенной учебной математической теории;
• типу мышления не сопоставлен адекватный вид деятельности с обоснованными содержанием, закономерностями формирования.
Цели интеллектуального развития субъекта в последовательности закономерных типов мышления с адекватными представлениями памяти соответствует значимый вид учебной математической деятельности:
• представленной в целостном процессе изучения базовых математических теорий чис-
ловых систем, геометрических фигур, функций, евклидова пространства, числовых предикатов, вероятностей;
• разделенной на деятельность представ-ливания с пространственным типом мышления в составе абстрактно-алгоритмического и системно-структурного этапов и теоретико-пространственную деятельность с теоретическим типом мышления в составе абстрактно-аксиоматического, аналитико-синтетического и методологического этапов (таблица);
• приводящей к созданию, помимо формализованных структур мышления и памяти, базовых методов исследования классов объектов пространства и закономерностей пространства теоретического плана.
Внутренне-процессуальная компетенция, определяющая сформированность выделенного вида деятельности [15; 16], характеризует уровень системной организации, сформирован-ности представлений памяти, процесса мышления в содержании как пространственных, так и теоретико-пространственных представлений числового пространства, функционального пространства, геометрического пространства, векторного пространства, пространства числовых предикатов, вероятностного пространства.
В деятельности представливания разделяются задача создания объектов, операций, отношений пространства в процедурах абстрагирования, идеализации, систематизации и классификации и задача становления системно-структурного образа пространства в его фундаментальных свойствах. Задаче абстрагирования и идеализации объектов, операций, отношений соответствует абстрактно-алгоритмический этап становления представлений памяти, мышления, целостный содержательный образ пространства выступает результатом этапа системного структурирования внутренних пространственных представлений.
Теоретико-пространственная деятельность базируется на интуитивных, образных, аналитических представлениях пространства, систематизирует абстрактно-алгоритмические и системно-структурные представления памяти, мышления в задачах исследования закономерностей пространства абстрактно-аксиоматического (процедуры абстрагирования, аксиоматизации фундаментальных свойств простран-
ства), аналитико-синтетического (понятийные способы доказательства, решения, исследования на классах объектов пространства) и методологического (модельные представления пространства, базовые методы доказательства, фундаментальные свойства и взаимосвязи пространств) этапов.
Цели формирования внутренне-процессуальной компетенции как общепредметной в системе задач деятельности представливания и теоретико-пространственной деятельности, этапов становления внутренних процессов познания предшествует исследование деятель-ностной и психологической структур в каждой из учебных математических теорий общеобразовательного курса математики:
• выделение базовых видов деятельности в структуре составляющих их исполнительских действий (создание пространства объектов и исследование его закономерностей);
• проектирование, обоснование, реализация, обобщенный анализ действий, адекватных этапам становления пространственно-теоретического мышления, в системе ранее установленных фактов пространства, закономерностей теории (механизм мышления);
• синтезирование исполнительской и обосновывающей процедур в форме способа, метода, формулировки, модели данной теории (представление памяти).
Теория геометрических фигур в геометрическом пространстве. В теории геометрических фигур евклидовой геометрии категориальные понятия «геометрическая фигура» и «геометрическое пространство» охватывают все классы объектов теории, понятие «геометрическая деятельность» характеризует все виды учебной деятельности по исследованию пространственных, метрических, конструктивных свойств геометрических фигур, геометрического пространства в целом, понятие «пространственное мышление» определяет интегральный результат отражения в геометрической деятельности свойств, связей реального физического и математически спроектированного пространств, способов ориентации, оперирования пространственными образами во внутреннем плане субъекта.
В методологии учебной деятельности уровня общего образования как в плане личностного развития, так и в общекультурном плане гео-
Таблица
Учебная математическая деятельность в изучении геометрического пространства
Виды деятельности в изучении пространства объектов,теории пространства Задачи реализации деятельности Этапы становления пространственно-теоретического мышления, представлений памяти Обобщенные действия формирования внутренних процессов
Деятельность представливания (пространственное представление, мышление) Создание объектов, классов объектов. Введение операций, отношений на классах объектов. Выделение свойств объектов, операций, отношений. Интуитивное представление пространства объектов Абстрактно-алгоритмический: - абстрактно-алгоритмическое мышление в процессе обоснования обобщенных действий; - базовые представления памяти на шкале формирования «алгоритмы конкретных действий — обобщенные алгоритмические схемы деятельности» Определение Формулировка Преобразование Вычисление Решение Исследование Построение
Систематизация объектов, классов в их взаимных отношениях. Выделение структурных компонентов пространства объектов, их свойств. Целостное представление пространства объектов в образной, понятийной формах Системно-структурный: - системно-структурное понятийное (уровень имен) пространственное мышление в выделении базовых способов деятельности, классов объектов, исследовании их взаимных связей; - понятийные системно-структурные представления пространства во взаимосвязи классов объектов, их свойств
Теоретико-пространственная деятельность (закономерности пространства в образной, понятийной, логико-символической формах) Процедуры абстрагирования, аксиоматизации базовых объектов, операций, отношений, их свойств. Понятийное выделение классов объектов пространства в аксиоматическом подходе Абстрактно-аксиоматический: - абстрактно-аксиоматическое мышление в установлении предмета учебной математической теории; - представление математической теории в системе определений базовых и производных понятий, аксиоматизируемых и выводимых свойств адекватных классов объектов пространства Определение Формулировка Доказательство Преобразование Вычисление Решение Исследование Построение Моделирование
Доказательство свойств классов объектов пространства в понятийной, логико-символической формах. Исследование свойств классов объектов в сочетании образной и понятийной форм Аналитико-синтетический: - понятийное аналитико-синтетиче-ское мышление в доказательстве свойств классов объектов, операций пространства, исследовании классов задач теории; - представление базовых методов доказательства, обобщенных способов исследования классов объектов в содержании теории
Модельные представления пространства, классов объектов и их свойств. Анализ базовых методов доказательства в теории. Выделение фундаментальных свойств пространства, взаимосвязей пространств различных теорий Методологический: - методологическое мышление в анализе взаимосвязей пространства объектов и его базовых моделей, модельных способов доказательства, исследования фундаментальных свойств пространства; - модельные представления фундаментальных свойств пространства и его базовых классов объектов, представление теории пространства в ее абстрактно-аксиоматическом построении, взаимной связи с другими теориями
метрическая деятельность характеризуется интеграцией двух различных по целям фундаментальных направлений, друг другу не противопоставленных, в учебной практике тесно связанных и взаимообусловленных:
Деятельности представливания - становления геометрического компонента простран-
ственного мышления, системно структурирующего интуитивные представления обыденного сознания, в своей развитой форме опосредующего развитие технического (чертежи, схемы, знаковые системы), естественнонаучного (физика, география, химия), гуманитарного (история, литература, языки), художественного (жи-
вопись, музыка) мышления (пространственно-геометрическое) [17; 18].
Исследования закономерностей геометрического пространства в содержании математической теории «евклидова геометрия в системе геометрических фигур» в ее историческом и современном научном представлениях (аксиоматический метод; логико-содержательные средства определения, формулировок, доказательства; процедуры исследования в сочетании пространственных, конструктивных, метрических свойств; теоретико-модельные представления) (теоретико-геометрическое) [11; 14; 17; 19].
Пространственно-геометрическое и теоретико-геометрическое направления становления, развития геометрической деятельности в содержании категорий геометрической фигуры и геометрического пространства востребуют, с одной стороны, процедуры конструирования, исследования классов геометрических фигур для создания и оперирования внутренними пространственными образами (мышление в системе наглядных, аналитических, символических, знаковых геометрических образов) и, с другой стороны, выделение базовых геометрических фигур, аксиоматизация одних и доказательство остальных свойств классов геометрических фигур для целей развития абстрактной математической теории логико-содержательными средствами (мышление в аксиоматизируемой системе понятий, методов доказательства, способов решения, теоретико-модельных представлений).
Специфика геометрической деятельности состоит в том, что пространственно-геометрический и теоретико-геометрический типы мышления выступают не только ее итогом, но и средством, средой, методологией - задают ориентиры, структурируют и одновременно обогащаются в каждом значимом виде геометрической деятельности. Их слитный характер представленности субъекту, объективно необходимый в геометрической деятельности, в условиях содержательной неразделенности проявляется в одной из крайностей: либо «очевидные, видимые» свойства геометрических фигур доказываются из аксиом в сложной цепочке логических рассуждений, либо аксиоматизируемые, доказанные геометрические факты во
внутреннем плане не имеют соответствующих пространственных образов.
Методологической закономерностью геометрической деятельности выступает целевое разделение проектируемых видов деятельности:
• направленных на формирование пространственного, метрического, конструктивного компонентов пространственного мышления с опорой на интуитивные, логические средства деятельности представливания;
• имеющих понятийную логико-содержательную форму описания свойств класса геометрических фигур, доказуемых в аксиоматической теории с использованием конструктивных, метрических, пространственных средств.
В своей целевой форме структурирующими деятельность представливания, с преимущественной направленностью на развитие пространственного мышления, выступают виды деятельности [18, с. 141-142]:
1. Становление мировоззренческих представлений геометрической деятельности в содержании:
• механизма абстрагирования, идеализации в схеме «объекты физического пространства - физическая модель (форма) - геометрическая фигура (класс) - конструктивные изображения геометрической фигуры - внутренние пространственные образы»;
• представлений геометрического пространства в схеме «пространство физических моделей - пространство геометрических фигур - свойства геометрического пространства»;
• воображения в геометрическом пространстве в схеме «внутренний пространственный образ - целевое преобразование образа - новые конструкции образов - новые направления исследования - новые физические модели».
2. Построение, оперирование изображениями геометрических фигур (в преобразованиях, в проектировании, в комбинациях) различными конструктивными средствами, средами для целей формирования пространственных представлений, воображения.
3. Исследование метрических свойств, зависимостей в классах объектов геометрического пространства в их взаимной связи с пространственными представлениями, воображением.
4. Исследование динамики пространственных представлений геометрических фигур в зависимости от изменения системы ориентации, размерности, конструктивных, метрических свойств.
5. Исследование базовых преобразований геометрического пространства (движения, подобия, проектирования) с позиции их фундаментальных свойств, свойств геометрических фигур.
6. Логико-содержательный анализ классов геометрических фигур, их преобразований в сочетании образного, аналитического, логико-символического, знакового уровней представления геометрического пространства.
7. Становление понятийной формы теоретического представления геометрического пространства, доказательства свойств классов геометрических фигур.
В системе обобщенных видов деятельности представливания процессы формирования пространственно-геометрического мышления с адекватными представлениями памяти детализируются на абстрактно-алгоритмическом и системно-структурном этапах.
Абстрактно-алгоритмический этап пространственно-геометрического мышления характеризуется мировоззренческим обоснованием выделения базовых классов геометрических фигур геометрического пространства, установления на основе фундаментальных свойств пространства их конструктивных, метрических, пространственных свойств в содержании аналитико-синтетического метода исследования. На становление отношений равенства, подобия, проектирования в системе конструктивных, образных представлений геометрических фигур и пространства в целом направлен метод преобразований геометрического пространства с базовыми преобразованиями движения, подобия, проектирования. В сочетании системы интуитивных, наглядно-графических, знаковых образов геометрических фигур, их преобразований с опорой на наглядную основу или без нее, и аналитического описания соответствующих свойств создаются внутренние представления геометрического пространства.
Содержанием системно-структурного этапа становления пространственно-геометрическо-
го мышления выступает геометрический метод абстрагирования и идеализации - представления геометрических фигур как математических моделей объектов реального физического пространства в сочетании пространственных, метрических и конструктивных свойств и геометрического пространства в целом в закономерном отражении свойств ориентации, меры, формы физического пространства. Процедуры геометрического абстрагирования и идеализации предшествуют, выступают основой становления многоплановых образов геометрических фигур абстрактно-алгоритмического этапа. Задача абстрактно-алгоритмического этапа по формированию аналитико-синтетического метода исследования свойств геометрических фигур приводит к новому уровню абстрагирования - представления классов геометрических фигур теоретическими понятиями. Понятийное представление геометрического пространства, классов геометрических фигур и их преобразований выступает главной, итоговой задачей системно-структурного этапа, его содержание характеризуется логико-содержательной процедурой доказательства в методологической схеме «понятие теории геометрического пространства - общие свойства класса геометрических фигур геометрического пространства».
Фактически, в деятельности представливания, реализующей в системе обобщенных действий задачи, методы, закономерности абстрактно-алгоритмического и системно-структурного этапов становления пространственно-геометрического мышления, достигается цель формирования пространственного мышления, трактуемого И. С. Якиманской как «оперирование пространственными образами в видимом или воображаемом пространстве на основе различных графических изображений» [14, с. 30]. Однако в деятельности представливания и образ геометрического пространства, и образы геометрических фигур, отражающие его объективные закономерности, пока не стали предметом определенной математической теории, математический способ познания закономерностей спроектированного во внутреннем плане субъекта пространства математических объектов в конкретном геометрическом пространстве не реализован.
Теоретико-геометрическими по цели формирования, в содержательном плане исследующими классы абстрактных объектов геометрического пространства, его фундаментальные закономерности, выступают базовые виды деятельности (рис.):
1. Введение, определение (аксиоматическое, аналитическое, конструктивное) понятий геометрического пространства, охватывающих бесконечные классы геометрических фигур с системой пространственных, метрических, конструктивных свойств.
2. Классификация, систематизация геометрических понятий, логико-содержательное исследование пространственных, метрических, конструктивных связей между ними, системно-понятийное представление евклидовой геометрии.
3. Аксиоматические представления евклидовой геометрии как математической теории на классах абстрактных объектов геометрического пространства, его векторной и аналитической моделях.
4. Логико-содержательный анализ предложений о свойствах классов геометрических фигур, представленных в наглядно-образной, аналитической, логико-символической, знаковой формах, способов их конкретизации.
5. Логико-содержательный анализ доказательства свойств классов геометрических фигур, выделение, классификация методов доказательства в аксиоматической теории геометрического пространства.
6. Конкретизация общих свойств класса геометрических фигур в содержании его подклассов, выделение способов исследования свойств геометрических фигур, методов исследования объектов геометрического пространства, его векторной, аналитической модели.
7. Изучение фундаментальных понятий «определение», «аксиома - теорема - предложение», «доказательство - истина» евклидовой геометрии как математической теории геометрического пространства.
В отличие от деятельности представливания с пространственно-геометрическим типом мышления, структурируемым процессами создания пространственных образов и оперирования ими с опорой на наглядно-графическую основу или без нее (Евклид [20; 21], И. С.
Якиманская [14]), теоретико-геометрическая деятельность направлена на становление теоретико-геометрического типа мышления, характеризуемого как новым уровнем абстрагирования, так и логико-символической процедурой доказательства свойств пространственных геометрических образов, геометрического пространства в целом (Д. Гильберт [22], Г. Вейль [23], А. Д. Александров [10, 17]). Математическая сущность теоретико-геометрического уровня абстрагирования выражена Д. Гильбертом в «Основаниях геометрии»: «Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем их А, В, С...; вещи второй системы мы называем прямыми и обозначаем их а, Ь, с...; вещи третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем а, р, Y ... . Мы мыслим точки, прямые, плоскости находящимися в известных взаимных отношениях и обозначаем эти отношения словами "лежат", "между", "параллельный", "конгруэнтный" и "непрерывный"; точное и для математических целей полное описание этих отношений дается аксиомами геометрии» [22, с. 2].
В соответствии с закономерностями теоретико-пространственной деятельности в содержании теоретико-геометрического типа мышления выделяются абстрактно-аксиоматический этап с задачей математических абстрагирования и аксиоматизации фундаментальных свойств геометрического пространства, анали-тико-синтетический этап с задачей аналитико-синтетического построения аксиоматической теории геометрического пространства, методологический этап с задачей теоретического обоснования базовых свойств геометрического пространства, анализа теории и ее моделей.
На абстрактно-аксиоматическом этапе в процедуре выбора первичных понятий, отношений с «точным и для математических целей полным описанием их свойств» в системе аксиом осуществляется построение теории геометрического пространства - построение имеющей существенное математико-мировоззрен-ческое значение дедуктивной теории.
В процессе развертывания системы аксиом наглядные пространственные образы геометрических фигур развиваются в содержании метода аксиоматического представления аб-
Геометриче- Геометриче- Геометри-
ское ское ческое
пространство в пространство в простран-
мировоззренче- системе ство в
ском классов образной,
отражении геометрических понятийной
свойств фигур, формах
физ ического преобразований,
про странства свойств
Ф
V
Внутренние процессы деятельности представливания:
- представление геометрического пространства, классов геометрических фигур в процедурах отражения, абстрагирования, идеализации свойств физического пространства;
- логико-содержательный анализ пространственных, метрических, конструктивных свойств классов геометрических фигур, преобразований движения, подобия, проектирования в системе фундаментальных свойств геометрического пространства;
- становление образной и понятийной форм представления геометрического пространства, классов геометрических фигур, преобразований, выделения и доказательства их свойств
_±_
Пространственно-геометрический тип мышления, памяти в содержании абстрактно -алгоритмического и системно -структурного этапов
Внутренние процессы теоретико -геометрической деятельности:
- разделение представлений геометрического пространства с классами геометрических фигур, преобразований и евклидовой геометрии как его аксиоматической теории, исследующей, систематизирующей в образной и понятийной формах свойства фигур, преобразований, пространства;
- становление в логико-содержательной процедуре доказательства свойств фигур, преобразований евклидовой геометрии, как дедуктивной теории, базовых методов доказательства (аналитико -синтетического, конструктивного, алгебраического, преобразований);
- теоретическое описание геометрического пространства как евклидова (на базе аксиомы параллельности), в эквивалентных системах аксиом, в единстве с векторным представлением, арифметической моделью
Ф ~
Теоретико-геометрический тип мышления, памяти в содержании абстрактно-аксиоматического, аналитико-синтетического, методологического этапов
Рис. Базовые виды деятельности в изучении геометрического пространства Наука и Школа № 1'2017
страктных понятий теории, их определений в системе необходимых и достаточных условий, выступающих математической основой выведения логико-содержательными средствами свойств-следствий. В анализе соответствия наглядно-интуитивных свойств классов геометрических фигур и выводимых свойств понятий теории создается целостное понятийно-образное представление геометрического пространства. В интеграции понятийных образов геометрического пространства и выделенных в аксиоматической теории свойств понятий формируются представления памяти:
• о способе выбора первичных понятий и отношений теории;
• о соотношении свойств пространства и спектра аксиом теории;
• о связи классов геометрических фигур, преобразований пространства и абстрактных понятий теории;
• о понятиях аксиомы и теоремы в аксиоматическом методе изучения пространства геометрических фигур.
Содержанием аналитико-синтетического этапа развития теоретико-геометрического типа мышления выступают процессы:
• определения понятий классов геометрических фигур, преобразований геометрического пространства;
• выделения в формулировках теорем пространственных, метрических, конструктивных свойств классов геометрических фигур, преобразований геометрического пространства;
• доказательства теорем, сочетающие наглядно-образные представления пространства и логико-понятийные способы рассуждений.
Процесс определения понятий теории геометрического пространства, осуществляемый в становящейся внешнеречевой форме учебной математической деятельности как в сочетании наглядно-образного, аналитического и логико-символического представлений базовых понятий, так и во взаимной связи процедур обобщения и конкретизации, направлен на формирование понятийного представления теории геометрического пространства. При этом «понятийный образ теории геометрического пространства» создается не только формированием определений геометрических понятий, но и в процедурах классификации, систематизации
понятий, также выступающих закономерностью аналитико-синтетического этапа.
Определение, классификация и систематизация геометрических понятий составляют лишь один план развития аналитико-синтети-ческого этапа. Теоретико-геометрический тип мышления не в меньшей степени характеризуется включенностью понятий в деятельность исследования:
• системы следствий из определений понятий в форме теорем о свойствах соответствующих классов геометрических фигур, преобразований;
• процедур доказательства свойств классов фигур, преобразований, осуществляемых логическими средствами с опорой на наглядные представления.
В условиях разделения представлений геометрического пространства и теории, в содержании которой свойства пространства обосновываются, пространственные образы геометрических фигур выступают конкретизацией абстрактных понятий теории, их свойства доказываются не из наглядных представлений, а в последовательности предложений, выстроенных по правилам логического вывода.
Интеграция определений понятий и формулировки теорем составляют содержание аксиоматической теории, отражает спектр свойств, взаимосвязей пространства геометрических фигур. Базирующиеся на определениях понятий процедуры доказательства помимо обоснования справедливости теорем реализуют не менее важную задачу формирования методов доказательства - аналитико-синтетического, конструктивного, алгебраического, преобразований.
Представление содержания теории геометрического пространства во взаимной связи аксиом, определений и теорем, совокупность базовых методов доказательства и их теоретико-геометрических конкретизаций составляют фундаментальные представления памяти ана-литико-синтетического этапа.
Предметом методологического этапа теоретико-геометрического типа мышления выступает анализ взаимной связи представлений геометрического пространства и базовых результатов теории геометрического пространства, исследование закономерностей аксиоматического подхода в построении математических теорий:
• представление геометрического пространства как трехмерного, евклидова, топологического, с ортонормированной системой координат, инвариантного относительно преобразований движения, подобия, проектирования, структурированного классами геометрических фигур с общими пространственными, метрическими, конструктивными свойствами;
• представление евклидовой геометрии как теории геометрического пространства с аксиоматизацией его фундаментальных свойств, в системном определении базовых понятий и выделении их абстрактных свойств, понятийным доказательством свойств классов геометрических фигур, преобразований логико-содержательными средствами;
• характеризация теории геометрического пространства как евклидовой - базирующейся на аксиоме параллельности (V постулат Евклида), допускающей различные системы аксиом с фундаментальным свойством эквивалентности, позволяющей исследовать и свойства неевклидовой геометрии (Н. И. Лобачевского);
• анализ закономерностей аксиоматического метода построения евклидовой геометрии как универсального в исследовании базовых математических теорий общеобразовательного курса математики.
Общепредметный характер становления мышления, представлений памяти в деятельности по формированию пространственно-геометрического и теоретико-геометрического типов мышления заключается:
• в мировоззренческом представлении геометрической деятельности с позиции становления пространственных представлений, воображения;
• в способах исследования классов геометрических фигур, их преобразований в системе пространственных, метрических, конструктивных свойств;
• в процедуре последовательной аксиоматизации базовых свойств геометрического пространства, доказательства на логико-содержательной основе всей системы теорем евклидовой геометрии;
• в анализе аксиоматического метода развертывания евклидовой геометрии как ведущего в построении математических теорий.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сборник нормативных документов. Математика / сост. Э. Д. Днепров, А. Г. Аркадьев. -М.: Дрофа, 2004. - 79 с.
2. Горбачев В. И. Развивающая модель в содержании школьного курса математики // Педагогика. - 2000. - № 5. - С. 33-36.
3. Давыдов В. В. Теория развивающего обучения. - М.: Интор, 1996. - 544 с.
4. Талызина Н. Ф. Теория поэтапного формирования умственных действий // Теория учения. Хрестоматия. Ч. 1. Отечественные теории учения. - М.: РИЦ «Помощь», 1996. -С.98-137.
5. Дорофеев Г. В. О принципах отбора содержания школьного математического образования // Математика в школе. - 1990. - № 6. -С. 2-7.
6. Гальперин П. Я. Психология как объективная наука. - М.: Ин-т практ. психологии, 1998. -480 с.
7. Горбачев В. И. Закономерности поэтапного формирования умственных действий в математической деятельности // Актуальные проблемы подготовки будущего учителя математики: межвуз. сб. науч. тр. Вып. 8. - Калуга: Изд-во КГПУ им. Циолковского, 2006. -С. 83-101.
8. Дорофеев Г. В. Гуманитарно ориентированный курс - основа учебного предмета «Математика» в общеобразовательной школе // Математика в школе. - 1997. - № 4. - С. 5366.
9. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников / под ред. Н. И. Чуприковой. - М.: Ин-т практ. психологии, 1998. - 416 с.
10. Александров А. Д. О геометрии // Математика в школе. - 1980. - № 3. - С. 56-62.
11. Глейзер Г. Д. Психолого-математические основы развития пространственных представлений при обучении геометрии // Преподавание геометрии в 9-10 классах. - М.: Просвещение, 1980.- С. 253-269.
12. Колмогоров А. Н., Яглом И. М. О содержании школьного курса математики // Математика в школе. - 1965. - № 4. - С. 53-61.
13. Хинчин А. Я. О воспитательном эффекте уроков математики // Математика в школе. -1995. - № 4. - С. 3-8.
14. Якиманская И. С. Развитие пространственного мышления школьников. - М.: Педагогика, 1980. - 240 с.
15. Горбачев В. И. Предметные компетенции общеобразовательного курса математики и их классификация // Интеграция общего и профессионального математического образования стран европейского сотрудничества в контексте Болонского соглашения. -Брянск: Ладомир, 2014. - С. 96-105.
16. Хуторской А. В. Технология проектирования ключевых и предметных компетенций // Интернет-журнал «Эйдос». - URL: http://www. eidos.ru/journal/2005/1212.htm (дата обращения: 12.12. 2016).
17. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия: учебник для учащихся 10 кл. с углуб. изуч. математики. - М.: Просвещение, 1999. - 238 с.
18. Горбачев В. И. Теория геометрических фигур геометрического пространства в методологии теоретического типа мышления // Наука и школа. - 2016. - № 4. - С. 132-144.
19. Гусев В. А., Колягин Ю. М., Луканкин Г. Л. Векторы в школьном курсе геометрии: пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1976. - 48 с.
20. Начала Евклида / пер. с греч. и коммент. Д. Мордухай-Болтовского. - М.-Л.: Гостехиз-дат, 1948. - Кн. 1-6.
21. Начала Евклида / пер. с греч. и коммент. Д. Мордухай-Болтовского. - М.-Л.: Гостехиз-дат, 1948. - Кн. 7-10.
22. Гильберт Д. Основания геометрии. Пер. с нем. - М.-Л.: Гостехиздат, 1948. - 389 с.
23. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: в 2 т. Т. 2. Геометрия: пер. с нем. / под ред. В. Г. Болтянского. - М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1987. - 416 с.
REFERENCES
1. Dneprov E. D., Arkadyev A. G. (Comp.) Sborn-ik normativnykh dokumentov. Matematika. -Moscow: Drofa, 2004. 79 p.
2. Gorbachev V. I. Razvivayushchaya model v soderzhanii shkolnogo kursa matematiki. Peda-gogika. 2000, No. 5, pp. 33-36.
3. Davydov V. V. Teoriya razvivayushchego obu-cheniya. Moscow: Intor, 1996. 544 p.
4. Talyzina N. F. Teoriya poetapnogo formirovani-ya umstvennykh deystviy. In: Teoriya ucheniya.
Khrestomatiya. Part 1. Otechestvennye teorii ucheniya. Moscow: RITs "Pomoshch", 1996. Pp. 98-137.
5. Dorofeev G. V. O printsipakh otbora soder-zhaniya shkolnogo matematicheskogo obra-zovaniya. Matematika v shkole. 1990, No. 6, pp. 2-7.
6. Galperin P. Ya. Psikhologiya kak obyektivnaya nauka. Moscow: In-t prakt. psikhologii, 1998. 480 p.
7. Gorbachev V. I. Zakonomernosti poetapnogo formirovaniya umstvennykh deystviy v matematicheskoy deyatelnosti. Aktualnye prob-lemy podgotovki budushchego uchitelya matematiki. Interuniversity collection of scientific papers. Iss. 8. Kaluga: Izd-vo KGPU im. Tsiolkovskogo, 2006. Pp. 83-101.
8. Dorofeev G. V. Gumanitarno orientirovannyy kurs - osnova uchebnogo predmeta "Matemati-ka" v obshcheobrazovatelnoy shkole. Matematika v shkole. 1997, No. 4, pp. 53-66.
9. Krutetskiy V. A. Psikhologiya matematicheskikh sposobnostey shkolnikov. Moscow: In-t prakt. psikhologii, 1998. 416 p.
10. Aleksandrov A. D. O geometrii. Matematika v shkole. 1980, No. 3, pp. 56-62.
11. Gleizer G. D. Psikhologo-matematicheskie os-novy razvitiya prostranstvennykh predstavleniy pri obuchenii geometrii. In: Prepodavanie geometrii v 9-10 klassakh. Moscow: Prosvesh-chenie, 1980. Pp. 253-269.
12. Kolmogorov A. N., Yaglom I. M. O soderzhanii shkolnogo kursa matematiki. Matematika v shkole. 1965, No. 4, pp. 53-61.
13. Khinchin A. Ya. O vospitatelnom effekte uro-kov matematiki. Matematika v shkole. 1995, No. 4, pp. 3-8.
14. Yakimanskaya I. S. Razvitie prostranstvennogo myshleniya shkolnikov. Moscow: Pedagogika, 1980. 240 p.
15. Gorbachev V. I. Predmetnye kompetentsii obsh-cheobrazovatelnogo kursa matematiki i ikh klassifikatsiya. In: Integratsiya obshchego i professionalnogo matematicheskogo obra-zovaniya stran evropeyskogo sotrudnichestva v kontekste Bolonskogo soglasheniya. Bryansk: Ladomir, 2014. Pp. 96-105.
16. Khutorskoy A. V. Tekhnologiya proektirovani-ya klyuchevykh i predmetnykh kompetentsiy. Internet-zhurnal "Eydos". Available at: http://
www.eidos.ru/journal/2005/1212.htm (accessed: 12.12.2016).
17. Aleksandrov A. D., Verner A. L., Ryzhik V. I.
Geometriya: uchebnik dlya uchashchikhsya 10 kl. s uglub. izuch. matematiki. Moscow: Pros-veshchenie, 1999. 238 p.
18. Gorbachev V. I. Teoriya geometricheskikh figur geometricheskogo prostranstva v metodologii teoreticheskogo tipa myshleniya. Nauka i shko-la. 2016, No. 4, pp. 132-144.
19. Gusev V. A., Kolyagin Yu. M., Lukankin G. L. Ve-ktory v shkolnom kurse geometrii: posobie dlya uchiteley. Moscow: Prosveshchenie, 1976. 48 p.
20. Nachala Euclida. Moscow-Leningrad: Gos-tekhizdat, 1948. Books 1-6. (in Russian)
21. Nachala Euclida. Moscow-Leningrad: Gos-tekhizdat, 1948. Books 7-10. (in Russian)
22. Hilbert D. Osnovaniya geometrii. Moscow-Leningrad: Gostekhizdat, 1948. 389 p. (in Russian)
23. Klein F. Elementarnaya matematika s tochki zreniya vysshey: in 2 vol. Vol. 2. Geometriya: per. s nem. Moscow: Nauka. Gl. red. fiz. mat. lit., 1987. 416 p. (in Russian)
Горбачев Василий Иванович, доктор педагогических наук, профессор, директор естественнонаучного института Брянского государственного университета имени академика И. Г. Петровского, Заслуженный учитель Российской Федерации e-mail: enibgu@mail.ru
Gorbachev Vasiliy I., ScD in Education, Professor, Director, Institute of Natural Sciences, Academician I. G. Petro-vski Bryansk State University, Honored Teacher, Russian Federation e-mail: enibgu@mail.ru
