CC BY
363
1УДК 371.24+371.212 ББК 74.262.21
ТЕОРИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА В МЕТОДОЛОГИИ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ТИПА МЫШЛЕНИЯ
В. И. Горбачев
Аннотация. В учебной геометрической деятельности выделяются, формируются деятельность представливания и теоретико-геометрическая деятельность. Деятельность представ-ливания направлена на становление пространственных представлений, воображения в геометрическом пространстве. В теоретико-геометрической деятельности в содержании аксиоматического метода, в системе понятий, процедур доказательства свойств геометрических фигур устанавливаются закономерности геометрического пространства.
Ключевые слова: Евклидова геометрия в общем образовании, теория развивающего обучения геометрии, учебная геометрическая деятельность, пространственное мышление.
THE THEORY OF GEOMETRIC SHAPES IN GEOMETRIC SPACE IN THE METHODOLOGY OF THEORETICAL TYPE OF THINKING
V. I. Gorbachev
Abstract. Formation of spatial representations and theoretical geometrical activity stand out in educational geometrical activity. Patterns of geometric space are formed in the content of the axiomatic method, in system of concepts, in system of proof properties of geometric figures procedure.
Keywords: Euclidean geometry in general education, theory of developmental teaching geometry, educational geometrical activity, spatial thinking.
Геометрия, точнее евклидова геометрия, в содержании общеобразовательного курса математики выступает преимущественно в форме адаптированной дедуктивной теории, в значительной степени наследует общекультурные, методологические закономерности «Начал» Евклида:
• становления на базе физических, модельных, образных геометрических представлений идеальных теоретических абстракций «геометрическое пространство», «геометрическая фигура», «преобразование», наделенных пространственными, конструктивными, метрическими свойствами в логико-символической, понятийной формах;
• аксиоматизации фундаментальных закономерностей геометрического пространства, использования логико-содержательной процедуры доказательства свойств геометрических фигур, преобразований, пространства в качестве основной в геометрической деятельности;
• планиметрического, стереометрического представления геометрического пространства понятийно-определенными классами геометрических фигур, их комбинаций в системе преобразований движения, подобия, конструктивных способов условных геометрических изображений;
• использования в теоретическом описании категории геометрического пространства аксиомы параллельности (V постулата Евклида), обоснованных ею пространственных, метрических свойств геометрических фигур.
Мощные исследования теоретических, методологических, модельных проблем оснований геометрии (Д. Гильберт, Г. Вейль, Н. И. Лобачевский) привели к выделению ряда фундаментальных идей, существенно изменивших не только геометрию, но и математику в целом, определяющих культуру современного математического мышления:
• универсальность аксиоматического метода построения математических теорий раз-
личных пространств абстрактных математических объектов, отражающих соответствующие закономерности реального мира;
• система методологических требований непротиворечивости, независимости, полноты к абстрактной математической теории;
• разделение абстрактной математической теории и ее конкретных моделей, модельный способ обоснования требований к теории;
• наличие различных геометрических теорий, описывающих закономерности геометрических пространств, выступающих идеализированными абстракциями реального физического пространства;
• глубокая связь теорий геометрического пространства и теории натуральных чисел, числовых систем.
В методике обучения геометрии отражены как мощь и глубина современных научных геометрических, математических представлений (А. Н. Колмогоров [1; 2], А. Д. Александров [3], Б. А. Розенфельд [4], И. М. Яглом [5; 6]), так и психолого-дидактические закономерности учебной геометрической деятельности (Г. Д. Глей-зер [7], И. С. Якиманская [8], В. А. Гусев [9], В. А. Далингер [10]):
• спроектировано изложение общеобразовательного курса геометрии в различных (эквивалентных) аксиоматических подходах;
• исследованы закономерности формирования пространственных представлений, пространственного воображения;
• выделены базовые компоненты пространственного мышления;
• разработаны методы формирования общеинтеллектуальных способов познавательной геометрической деятельности;
• реализуются методики обучения геометрии в содержании идеи фузионизма, базовых методов доказательства, теории поэтапного формирования умственных действий, положений личностно-ориентированного обучения.
В условиях методологической, содержательной, методической разработанности евклидовой геометрии спроектированная в различных авторских концепциях (А. Н. Колмогоров, А. Д. Александров, А. В. Погорелов, Л. С. Атанасян) геометрическая деятельность в целом приводит к эмпирическому типу мышления [11; 12]:
• в субъектных представлениях слитными выступают базовые понятия геометрического пространства, трехмерного евклидова пространства, арифметического трехмерного пространства - категории различных математических теорий с адекватными методами исследования;
• в геометрической деятельности не разделены в целевом, содержательном аспектах деятельность по формированию пространственных представлений, воображения (деятельность представливания [7; 8]) и деятельность по теоретическому описанию закономерностей геометрического пространства (теоретико-геометрическая деятельность);
• объекты геометрической деятельности задаются субъекту изолированно, вне представлений, свойств геометрического пространства как исходной формальной целостности;
• исследование каждого класса геометрических фигур осуществляется в методической схеме «определение класса геометрических фигур - специфическая система свойств понятия, вытекающих из определения», вне обобщенного способа исследования, обоснованного свойствами геометрического пространства.
Проектирование геометрической деятельности в системе закономерностей деятельност-ной теории учения, теории развивающего обучения (Д. Б. Эльконин, В. В. Давыдов) в принципе не выступает новой задачей теории и методики обучения математике. Содержание геометрической деятельности, направленной на становление теоретического типа мышления, достаточно точно отражено Г. Д. Глейзером: «История развития геометрии со всей очевидностью свидетельствует также о том, что ее общие методы - это не только последовательное абстрагирование, не только строгая аксиоматическая дедукция, но и не в меньшей мере конструктивные методы, индукция, воображение, подкрепленное столь трудноуловимым процессом мышления, который называют интуицией. Такая органическая взаимосвязь общего с частным, дедукции с конструктивным подходом, логики с представлениями, воображением и интуицией составляют сущность развивающейся геометрии» [7, с. 255-256]. Для достижения целей формирования учебной геометрической деятельности, теоретического типа мышления важной представляется це-
лостная реализация концептуальных положений теории развивающего обучения, систематизация на их основе значительных содержательных и методических идей, результатов исследования евклидовой геометрии.
Теория геометрических фигур геометрического пространства. Учебная геометрическая деятельность содержательно-абстрактного и логико-содержательного этапов развития евклидовой геометрии как математической теории направлена на систематизацию, исследование свойств геометрических фигур как объектов геометрического пространства.
Понятия «геометрическая фигура» и «геометрическое пространство» - базовые понятия евклидовой геометрии - теории геометрических фигур в геометрическом пространстве. Понятие «геометрическое пространство», тождественное понятию «пространство геометрических фигур», выступает исходной категорией математической теории «евклидова геометрия», обосновывает процессы абстрагирования и идеализации в создании и исследовании геометрических фигур: геометрическая фигура - объект геометрического пространства в модельно-геометрическом отражении формы, меры, ориентации реального физического пространства и его объектов. В евклидовой геометрии геометрическое пространство - категория геометрической деятельности, отражающая закономерности формы, меры, ориентации, взаимного расположения объектов реального физического пространства, геометрическая фигура - математическая модель объектов реального физического пространства, спроектированная в системе условных геометрических построений в процессе обобщения и абстрагирования, подчиненных целям геометрической деятельности, формирования пространственного мышления. Согласно И. С. Якиманской, пространственное мышление «в своей наиболее развитой форме оперирует образами, содержанием которых является воспроизведение и преобразование пространственных свойств и отношений объектов: их формы, величины, взаимного положения частей» [8, с. 19].
Главные характеристики геометрической фигуры:
• является моделью пространственных свойств объектов реального физического пространства;
• обладает системой пространственных, метрических, конструктивных свойств евклидова пространства;
• реализует задачи создания геометрических образов на интуитивном, логико-символическом, знаковом уровнях и оперирования образами во внутреннем плане субъекта;
• выступает основным средством учебной геометрической деятельности.
Проектируемыми, достигаемыми задачами учебной деятельности содержательно-абстрактного и логико-содержательного этапов в классе геометрических фигур выступают:
• создание внутренних образов геометрических фигур в схеме «реальный физический объект - геометрическая модель физического объекта - различные условные изображения геометрической фигуры - образное представление геометрической фигуры в мышлении»;
• выделение, исследование пространственных, метрических, конструктивных свойств геометрических фигур, их комбинаций в процедурах преобразований движения, подобия, проектирования;
• определение геометрических фигур в образной, логико-символической формах как объектов геометрического пространства, наделенных системой пространственных, метрических, конструктивных свойств;
• становление логико-содержательных способов доказательства свойств геометрических фигур.
При всей значимости учебной геометрической деятельности в классах геометрических фигур, содержательно-абстрактный и логико-содержательный этапы не обеспечивают ее целостного представления. «Своеобразие геометрии, - отмечал А. Д. Александров, - выделяющее ее среди других разделов математики, да и всех наук вообще, заключается в неразрывном органическом соединении живого воображения со строгой логикой. Геометрия в своей сути и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой» [13, с. 9].
Предметом методологического этапа геометрической деятельности выступают закономерности развития категории «геометрическое пространство» в содержании структурируемых классами геометрических фигур простран-
ственных представлений, пространственного воображения. Закономерности геометрического пространства исследуются в абстрактной математической теории - евклидовой геометрии, основным содержанием которой, по выражению Ф. Клейна, выступает деятельность доказательства: «Какую бы огромную роль ни приписывали мы в математике интуиции как эвристическому принципу, содействующему прогрессу науки, но, в конце концов, в качестве последней единственно решающей инстанции должно будет выступить логическое доказательство, которое исходит из сделанных предположений» [14, с. 364].
В интеграции деятельности представлива-ния (становления пространственных представлений, воображения) и теоретико-геометрической деятельности (развития евклидовой геометрии) формируется пространственное геометрическое мышление - итоговый результат геометрической деятельности.
Системно-структурное представление теории геометрических фигур. «История развития геометрии, - отмечал Г. Д. Глейзер, - в целом и каждой из ее основных ветвей теснейшим образом связана с необходимостью изучения реальных физических пространств, ее постоянным стремлением охватить своими теориями бесконечное многообразие реального мира» [7, с. 255]. В этой методологии научного познания геометрическое пространство - категория геометрической деятельности, отражающая закономерности формы, меры, ориентации, взаимного расположения объектов реального физического пространства. В мировоззренческом отражении зависимости свойств физических тел от фундаментальных характеристик физического пространства категория геометрического пространства выступает исходной, опосредует базовые свойства геометрических фигур. Фундаментальные свойства геометрического пространства как трехмерного, евклидова, топологического, с ортонорми-рованной системой координат, инвариантного относительно преобразований движения, подобия, проектирования, выступающие абстрактными идеализациями свойств физического пространства, проявляются в системе пространственных, метрических, конструктивных свойств фигур, обосновывают аналитико-
синтетический, конструктивный, алгебраический методы их исследования.
Процесс создания внутренних представлений геометрического пространства в системе интуитивных, наглядно-графических, логико-символических образов геометрических фигур, оперирования ими с опорой на наглядную основу либо без нее, характеризует деятельность представливания в качестве основы становления пространственного мышления.
Деятельность представливания, как самостоятельный вид геометрической деятельности фундаментального плана, выделена И. С. Якиманской: «...пространственные свойства не даны во всем своем многообразии в отдельных статичных, изолированных предметах, застывших геометрических формах. Они могут быть выявлены, изучены, использованы лишь в ходе активной преобразующей деятельности субъекта, направленной на трансформацию, видоизменение объектов, в ходе которой только и могут быть выявлены (обнаружены) пространственные свойства и отношения» [8, с. 21].
Геометрическое пространство - формальная целостность содержательно-абстрактного этапа развития учебной математической теории, выступает специфическим образом физического пространства, сохраняющим свойства формы, взаимного расположения, ориентации. Геометрические фигуры - объекты геометрического пространства, являющиеся образами физических тел, моделей с сохранением специфики геометрического отражения.
Мировоззренческое отражение в геометрической деятельности определенных свойств физического пространства задает аналогию: закономерности физического пространства изучает физическая теория «механика» с фундаментальными законами Ньютона, закономерности геометрического пространства изучает геометрическая теория «евклидова геометрия» со своими адекватными законами в форме аксиом, теорем, фундаментальных свойств взаимного расположения, формы, метрики объектов пространства, его бесконечности, непрерывности, топологии.
В процедуре геометрического отражения пространство геометрических фигур является:
• пространством с фиксированной либо подвижной системами отсчета, позволяющими
устанавливать взаимное расположение геометрических фигур;
• трехмерным с множеством фигур, расположенных на прямой, в плоскости, в пространстве;
• евклидовым с метрическими свойствами длины, величины угла, площади, объема геометрических фигур в их взаимной связи;
• топологическим с геометрическими фигурами, очерченными границей, разделяющей внешнюю и внутреннюю области;
• инвариантным относительно преобразований движения, подобия, проектирования, позволяющих строить условные (плоские) изображения геометрических фигур, их образы как результаты преобразований различными конструктивными средствами;
• структурированным классами геометрических фигур с общими пространственными, метрическими, конструктивными свойствами в понятийно-именных процедурах выделения, классификации, систематизации.
Структурно насыщенное классами геометрических фигур геометрическое пространство, наделенное системой абстрактных идеализированных свойств, на логико-содержательном этапе развития учебной математической теории конкретизируется аналитико-син-тетическими (понятийными) действиями дея-тельностей представливания, воображения: определения геометрических понятий; выделения, доказательства пространственных, метрических свойств базовых классов геометрических фигур; исследования свойств преобразований движения, подобия, проектирования; исследования расширений базовых классов геометрических фигур в процедурах комбинирования, конструирования, преобразований пространства; приложения общих свойств классов геометрических фигур к исследованию подклассов, конкретных фигур.
Внешнеречевой уровень сформированно-сти деятельности представливания логико-содержательного этапа в системе свойств геометрических фигур вполне характеризует пространственные геометрические представления субъекта, выступает основой развития пространственного воображения в образном, конструктивном планах. Однако логико-символическая и знаковая формы представления понятий,
способов деятельности, систематизации геометрического пространства в целом не характеризуют сложившийся на данном этапе уровень геометрической деятельности представливания.
Понятийное аналитико-синтетическое становление представлений геометрического пространства в учебной математической деятельности методологического этапа осуществляется в содержании теоретико-геометрической деятельности - создания, структурирования, методологического анализа евклидовой геометрии как абстрактной теории геометрического пространства с аксиоматизацией определенных свойств геометрических фигур, преобразований, использованием логических средств анализа. На объективную обусловленность пространственных представлений теоретико-геометрическими действиями указывают А. Д. Александров с соавторами: «Во всяком подлинно геометрическом предложении, будь это аксиома, теорема или определение, неразрывно присутствуют эти два элемента: наглядная картинка и строгая формулировка, строгий логический вывод» [13, с. 10].
Закономерностями методологического этапа развития математической теории выступают:
• разделение во внутреннем плане субъекта геометрического пространства с классами геометрических фигур, преобразований и абстрактной аксиоматической теории с адекватной системой понятий, свойств, методов доказательства;
• аксиоматизация фундаментальных свойств геометрического пространства, системное представление базовых понятий математической теории, доказательство свойств логико-содержательными средствами с опорой на логико-символическую и знаковую формы представления понятий, изучение элементов оснований геометрии для целостного видения евклидовой геометрии как теории геометрического пространства;
• систематизация пространственных представлений, развитие пространственного воображения в плане построения, преобразования образов геометрических фигур, заданных словесной формой условий теорем, задач, процедуры доказательства.
Восхождение от абстрактного к конкретному в теории геометрических фигур. В раз-
витии категории «геометрическое пространство» от уровня формальной целостности до уровня конкретного в его теоретическом системно-структурном представлении понятие геометрической фигуры выступает исходной содержательной абстракцией:
• отражает многообразие пространственных форм объектов физического пространства, выступает средством создания реальных, воображаемых пространственных конструкций;
• вместе с понятиями числа, функции формирует категориальный аппарат математики в системе адаптированных базовых и производных теорий;
• в системе конструктивных изображений геометрических фигур, их преобразований, комбинирования различными средствами, средами создает наглядное структурное представление геометрического пространства;
• в совокупности установленных в деятельности представливания пространственных, метрических, конструктивных свойств геометрических фигур выделяет фундаментальные свойства геометрического пространства как трехмерного, евклидова, топологического, допускающего преобразования движения, подобия, проектирования, субъектное представление в выбранной системе координат;
• в системе определений, теорем о свойствах классов геометрических фигур приводит к построению евклидовой геометрии - абстрактной аксиоматической теории, обосновывающей закономерности системно-структурного представления геометрического пространства.
Поскольку пространственное мышление субъекта выступает интегральным результатом его многоаспектной (образной, аналитико-син-тетической,логико-символической)деятельности в физическом (реальном) и геометрическом (воображаемом) пространствах, то и понятие геометрической фигуры развивается от мировоззренчески интуитивного наглядного образа до абстрактного объекта математической теории с аксиоматизируемыми либо доказуемыми свойствами.
Восхождение от абстрактного к конкретному в целостной геометрической деятельности следует методологии развития евклидовой геометрии.
Содержательно-абстрактный этап, отражая взаимную связь физического и геометрического пространств, позволяет выделить геометрические фигуры в процедуре абстрагирования и идеализации объектов физического пространства, их конструктивные изображения, наделить именами-терминами, систематизировать и классифицировать по различным основаниям. Условный целенаправленный характер геометрического абстрагирования выступает важной мировоззренческой закономерностью данного этапа: «При всем реальном значении геометрии каждому понятно, что ни в природе, ни в технике, нет ни отрезков без всякой ширины, ни бесконечных прямых, ни точек без всяких размеров. Идеальные геометрические фигуры существуют только в нашем представлении» [13, с. 10]. Геометрическое пространство при этом представляется формальной абстракцией, содержащей классы геометрических фигур, их образы при преобразованиях, комбинациях, вне связи свойств пространства и геометрических фигур.
Логико-содержательный этап - этап определения понятий, выделения абстрактных свойств понятий и адекватных им пространственных, метрических, конструктивных свойств классов геометрических фигур в содержании теорем. Графическая наглядность понятий углубляется их логико-содержательным анализом в аналитической, логико-символической формах представленности, доказательство теорем базируется на абстрактных свойствах понятий, логико-содержательной форме рассуждений. Деятельность представливания с позиции субъекта происходит не столько в системе классов геометрических фигур, сколько в понятийной форме геометрического пространства с абстрактным представлением геометрических фигур и их различных конструктивных изображений. Формирование геометрической деятельности логико-содержательного этапа осуществляется в двух направлениях:
• развития пространственного воображения в конструктивной геометрической деятельности в условиях опережения внутренних пространственных образов геометрических фигур их графических изображений;
• расширения логико-содержательной сферы анализа свойств классов геометриче-
ских фигур, геометрического пространства в целом, исследование конкретных геометрических фигур в содержании понятийной формы закономерностей класса.
На методологическом этапе структурированное понятиями геометрическое пространство в закономерных связях классов геометрических фигур, свойств, образов как предмет подвергается системному анализу в содержании становящейся математической теории -евклидовой геометрии. В абстрактной теории геометрического пространства:
• в системе базовых понятий классов геометрических фигур выделяются фундаментальные (первичные термины теории), фиксируются отношения на множестве первичных терминов;
• в понятийной системе аксиом задаются фундаментальные свойства геометрического пространства - трехмерного, евклидова, топологического, моделируемого трехмерной системой координат, допускающего определенные виды преобразований;
• в системе аксиом меры в теорию геометрического пространства вводится система действительных чисел вместе с представлением бесконечности (несчетности), базовыми моделями, предельным переходом в конструктивной, алгебраической формах;
• из первичных терминов с фундаментальными отношениями, аксиом последовательно структурируются понятия, осуществляется доказательство их свойств, выделяются классы задач по исследованию конкретных фигур в содержании общих способов, имеющих понятийную форму;
• задаются функциональные способы соответствия, преобразований, отображений геометрического пространства с соответствующей системой функциональных, пространственных, аналитических свойств, процедуры комбинирования, преобразования фигур на их основе;
• в представления геометрического пространства вводится субъектный компонент в виде статичной или динамической системы отсчета, системы координат, аксиоматизируемых свойств конструктивной, наглядно-образной деятельностей;
• основным видом теоретико-геометрической деятельности выступает логико-содержательный анализ определений понятий, форму-
лировок, доказательства теорем евклидовой геометрии, их конкретизации в классах геометрических задач на основе логических формул (алгебры высказываний и алгебры предикатов), правил логического вывода, в логико-символической, знаковой формах представления.
Теоретическое описание свойств геометрического пространства, доказательства базовых теорем евклидовой геометрии в различных аксиоматических подходах (с точками, прямыми, плоскостями в качестве первичных терминов либо с точками и векторами), исследование элементов неевклидовой геометрии методологического этапа формирует целостное представление как геометрического пространства в системах базовых свойств, классов геометрических фигур, так и математической теории, в которой свойства доказываются, систематизируются.
Учебная деятельность в теории геометрических фигур. Методологической закономерностью учебной геометрической деятельности выступает ее формирование в деятельности представливания с целостным представлением пространства геометрических фигур в качестве цели и теоретико-геометрической деятельности с задачей построения математической теории геометрического пространства. Деятельность представливания в целевой форме характеризует содержательно-абстрактный и логико-содержательный этапы развития евклидовой геометрии, теоретико-геометрическая деятельность - методологический этап. Каждый из этапов следует закономерности восхождения от абстрактного к конкретному, однозначно определяется фундаментальным представлением, обобщенным способом деятельности.
На содержательно-абстрактном этапе базовой выступает категория геометрической фигуры в абстрактно-идеализированном отражении объективных закономерностей физического пространства, в условиях отождествления во внутреннем плане понятия-термина фигуры, ее наглядного графического образа и системы пространственных, метрических, конструктивных свойств. Мировоззренческая схема абстрагирования, идеализации «объекты физического пространства - физическая модель (форма) - геометрическая фигура - конструктивные изображения геометрической фигуры - свойства геометрической фигуры - внутренний пространствен-
ный образ» фиксирует состав обобщенных действий деятельности представливания содержательно-абстрактного этапа - создания и оперирования внутренними пространственными образами геометрических фигур:
• выделение пространственных геометрических характеристик реального физического объекта (пространственное положение, внешняя геометрическая форма, структурные компоненты и их взаимное положение, метрические характеристики, визуализация в различных системах отсчета);
• построение, визуализация, анализ пространственной структуры физической модели объекта реального пространства в ограниченной системе идеализированных пространственных геометрических характеристик;
• введение понятия-имени геометрической фигуры в мировоззренческом отражении классов объектов физического пространства, содержательное описание ее пространственных геометрических свойств, обоснование значимости для целей геометрической деятельности;
• построение условного геометрического изображения фигуры в системе пространственных геометрических характеристик различными конструктивными средствами, средами с выполнением закономерностей проектирования, требований наглядности, удобства последующих преобразований, доказательства, исследования;
• выделение, аналитическое описание пространственных, метрических, конструктивных свойств геометрической фигуры в их взаимной связи и обусловленности с позиции создания внутреннего пространственного образа;
• конструирование, аналитическое описание фундаментальных преобразований движения, подобия, проектирования на множестве геометрических фигур с целью освоения методов преобразований в геометрическом пространстве;
• словесное и конструктивное оперирование изображениями геометрических фигур в процедурах их комбинирования, преобразований по форме, структуре, пространственному положению для обеспечения динамичности внутренних пространственных образов;
• преобразование, проектирование, масштабирование во внутреннем плане образов
геометрических фигур в процессе создания новых физических моделей, их целостных конструкций.
Система сформированных внутренних пространственных образов базовых геометрических фигур, их конструктивных преобразований позволяют на логико-содержательном этапе в качестве базовой исследовать категорию геометрического пространства, представленную понятийными аналитической, образной, логико-символической формами классов геометрических фигур и их свойств. Методология деятельности представливания задается схемой «пространство физических моделей - пространство геометрических фигур - свойства геометрического пространства - свойства класса геометрических фигур», ее содержание характеризуется действиями обобщенного способа исследования геометрических фигур:
• определения геометрических понятий в системе необходимых и достаточных свойств класса геометрических фигур, отношений на множествах фигур, преобразований плоскости, пространства;
• выделения, доказательства пространственных свойств базовых классов геометрических фигур на основе фундаментальных идеализированных свойств геометрического пространства;
• выделения, доказательства метрических свойств базовых классов геометрических фигур в их взаимной связи и связи с пространственными свойствами;
• выделения, доказательств конструктивных свойств изображений базовых классов геометрических фигур во взаимной связи с пространственными и метрическими свойствами;
• выделения, исследования пространственных, метрических, конструктивных свойств преобразований движения, подобия, центрального и параллельного проектирования в их взаимной связи со свойствами геометрических фигур;
• исследования пространственных, метрических, конструктивных свойств расширений базовых классов геометрических фигур в процедурах комбинирования, конструирования, преобразований пространства;
• приложения общих свойств классов геометрических фигур к исследованию детализи-
руемых геометрическими свойствами подклассов, конкретных фигур.
Учебная геометрическая деятельность методологического этапа в системном структурировании геометрического пространства существенно развивает пространственные представления, воображение, однако в своей целевой форме осуществляется как теоретико-геометрическая - деятельность построения математической теории с геометрическим пространством в качестве предмета изучения. На значимость теоретико-геометрической деятельности указывал А. Н. Колмогоров: «.учащиеся должны овладеть техникой ведения доказательств и должны познакомиться с принципиальной возможностью дедуктивного построения больших математических теорий» [2, с. 18]. Методологическая схема «абстрактное геометрическое пространство - свойства классов геометрических фигур - теория геометрического пространства» определяет состав обобщенных действий теоретико-геометрической деятельности построения евклидовой геометрии:
• выделение в системе понятий, соответствующей базовым классам геометрических фигур, первичных терминов теории с заданными на них отношениями;
• фиксация в перечне аксиом евклидовой геометрии фундаментальных свойств геометрического пространства, ранее представленных в виде наглядных, очевидных свойств классов фигур, отношений, преобразований;
• введение аксиом теории меры на классах геометрических фигур в качестве аксиом евклидовой геометрии, определяющих метрические свойства геометрического пространства;
• аналитическое, логико-символическое, знаковое представления базовых понятий евклидовой геометрии в теоретическом отражении соответствующих классов объектов геометрического пространства, системно-структурное представление геометрического пространства в процедуре систематизации понятий;
• логико-содержательный анализ теорем евклидовой геометрии о свойствах, взаимной связи понятий, их конкретизация в соответствующих классах фигур геометрического пространства;
• анализ доказательства теорем в аксиоматическом построении евклидовой геометрии в условиях выделения используемых логико-со-
держательных связей понятий, основных правил логического вывода, ограничения роли наглядных средств доказательства;
• схематичное построение евклидовой геометрии в различных системах первичных понятий, аксиом (Евклида, Вейля) для анализа различного теоретического описания свойств геометрического пространства, эквивалентности теорий;
• знакомство с аксиоматическим построением неевклидовой геометрии (Н. И. Лобачевского) с позиции сохранения и изменения свойств классов объектов геометрического пространства, поиска его обратного образа в физическом пространстве.
Учебные задачи в теории геометрических фигур. Евклидова геометрия как классическая математическая теория, вместе с теориями числа, функций определяет методологию учебной математической деятельности, субъектное развитие на уровне общего математического образования. Этапы развития теории, методы последовательного структурирования геометрического пространства и его теоретического обоснования, обобщенные способы учебной геометрической деятельности в содержании деятельности представливания и теоретико-геометрической деятельности формируют не только математическую, но и целостную учебно-исследовательскую деятельность. На формирование учебной геометрической деятельности как в плане аналитико-синтетического представливания пространства в классах геометрических фигур, так и в плане теоретического обоснования его закономерностей направлены следующие математические по содержанию, но общепредметные по характеру деятельности учебные задачи:
1. Становление математико-мировоззрен-ческих представлений в содержании:
• механизма абстрагирования, идеализации в схеме «объекты физического пространства - физическая модель (форма) - геометрическая фигура (класс) - конструктивные изображения геометрической фигуры - внутренние пространственные образы»;
• представлений геометрического пространства в схеме «пространство физических моделей - пространство геометрических фигур - свойства геометрического пространства»;
• воображения в геометрическом пространстве в схеме «внутренний пространственный образ - целевое преобразование образа - новые конструкции образов - новые направления исследования - новые физические модели».
2. Создание и оперирование пространственными геометрическими образами в содержании:
• построения изображений геометрических фигур различными конструктивными средствами, средами;
• конструирования, аналитического описания фундаментальных преобразований движения, подобия, проектирования на множестве геометрических фигур;
• оперирования изображениями геометрических фигур в процедурах их комбинирования, преобразований по форме, структуре, пространственному положению;
• исследования динамики пространственных геометрических образов в зависимости от изменения системы ориентации, размерности, конструктивных, метрических свойств фигур.
3. Логико-содержательный анализ определений классов фигур, преобразований геометрического пространства:
• определение геометрических понятий в системе характеристических свойств класса геометрических фигур, отношений на множествах фигур, преобразований плоскости, пространства;
• выделение, аналитическое описание пространственных, метрических, конструктивных свойств базовых классов геометрических фигур в их взаимной связи и обусловленности;
• выделение, исследование свойств преобразований движения, подобия, центрального и параллельного проектирования в их связи со свойствами геометрических фигур;
• исследование свойств расширений базовых классов геометрических фигур в процедурах комбинирования, конструирования, преобразований пространства.
4. Логико-содержательный анализ доказательства свойств классов фигур, преобразований геометрического пространства:
• логико-содержательный анализ теорем о свойствах классов геометрических фигур, преобразований геометрического пространства;
• построение, логико-содержательный анализ доказательства метрических, пространственных, конструктивных свойств базовых классов геометрических фигур, преобразований пространства в их взаимной связи;
• приложения теорем об общих свойствах классов геометрических фигур к исследованию детализируемых геометрическими свойствами подклассов, конкретных фигур.
5. Построение абстрактной аксиоматической теории геометрического пространства:
• выделение первичных терминов теории с заданными на них отношениями;
• задание перечня аксиом с описанием фундаментальных свойств геометрического пространства;
• введение аксиом теории меры на классах геометрических фигур, определяющих метрические свойства геометрического пространства;
• аналитическое, логико-символическое, знаковое определения базовых понятий, представление геометрического пространства в процедуре систематизации понятий;
• логико-содержательный анализ теорем о свойствах, взаимной связи понятий, их конкретизация в соответствующих классах фигур геометрического пространства;
• анализ доказательства теорем в аксиоматическом построении с использованием основных правил логического вывода;
6. Методологический анализ евклидовой геометрии как абстрактной теории геометрического пространства:
• построение евклидовой геометрии в различных системах первичных понятий, аксиом с целью анализа различного теоретического описания свойств геометрического пространства, эквивалентности теорий;
• знакомство с аксиоматическим построением неевклидовой геометрии (Н. И. Лобачевского) с позиции сохранения и изменения свойств классов объектов геометрического пространства;
• исследование понятий «определение в теории», «аксиома и теорема в теории», «доказательство в теории», «модель теории» евклидовой геометрии как математической теории геометрического пространства.
Заключение. Классический, идущий от «Начал» Евклида методический подход построе-
ния геометрической деятельности [9] является теоретико-геометрическим, абстрактно-аксиоматическим, опережающим лишь становящиеся мировоззренческие представления геометрического пространства.
Психолого-дидактические исследования в геометрии [7; 8] выдвигают на первый план пространственно-геометрическую деятельность с целью формирования геометрического мышления учащихся, в том числе и средствами теоретико-геометрической деятельности.
В проектировании геометрической деятельности как учебной, в последовательном сочетании деятельности представливания и теоретико-геометрической деятельности, теория развивающего обучения Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова [11; 12] выступает методологией изучения евклидовой геометрии как математической теории на базе пространственно-геометрических представлений, в процессе содержательного абстрагирования:
• становления мировоззренческих представлений геометрического пространства в отражении фундаментальных свойств физического пространства в целостной пространственно-геометрической деятельности;
• выделения понятия геометрической фигуры в качестве генетически исходной содержательной абстракции, направленной на формирование системно-структурных представлений геометрического пространства в интуитивной, конструктивной, логико-символической формах;
• понятийное построение теории геометрического пространства в системе определений классов, преобразований геометрических фигур, описания их пространственных, метрических, конструктивных свойств;
• логико-содержательного анализа доказательства свойств классов фигур, преобразований геометрического пространства;
• построения абстрактной аксиоматической теории геометрического пространства, в содержании которой исследуются закономерности геометрического пространства;
• методологического анализа евклидовой геометрии как абстрактной теории геометрического пространства- пространства геометрических фигур, преобразований.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Колмогоров, А. Н. О содержании школьного курса математики [Текст] / А. Н. Колмогоров, И. М. Яглом // Математика в школе. -1965. - № 4. - С. 53-61.
2. Колмогоров, А. Н. О системе основных понятий и обозначений для школьного курса математики [Текст] / А. Н. Колмогоров // Математика в школе. - 1971. - № 2. - С. 17-22.
3. Александров, А. Д. О геометрии [Текст] / А. Д. Александров // Математика в школе. -1980. - № 3. - С. 56-62.
4. Розенфельд, Б. А. История развития содержания современного школьного курса геометрии [Текст] / Б. А. Розенфельд // Преподавание геометрии в 9-10 классах. - М.: Просвещение, 1980. - С. 111-131.
5. Яглом, И. М. Аксиоматические обоснования геометрии [Текст] / И. М. Яглом // Новое в школьной математике. - М.: Знание, 1972. -С. 40-63.
6. Яглом, И. М. О школьном курсе геометрии [Текст] / И. М. Яглом // Математика в школе.
- 1963. - № 2. - С. 53-57.
7. Глейзер, Г. Д. Психолого-математические основы развития пространственных представлений при обучении геометрии [Текст] / Г. Д. Глейзер // Преподавание геометрии в 9-10 классах. - М.: Просвещение, 1980. - С. 253269.
8. Якиманская, И. С. Развитие пространственного мышления школьников [Текст] / И. С. Якиманская. - М.: Педагогика, 1980. - 240 с.
9. Методика обучения геометрии [Текст]: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / В. А. Гусев, В. В. Орлов, В. А. Панчищина [и др.]; под ред. В. А. Гусева. - М.: Академия.
- 368 с.
10. Далингер, В. А. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений [Текст]: кн. для учителя / В. А. Далин-гер. - М.: Просвещение, 2006. - 256 с.
11. Давыдов, В. В. Виды обобщения в обучении [Текст] / В. В. Давыдов. - М.: Педагогика, 1972. - 423 с.
12. Давыдов, В. В. Теория развивающего обучения [Текст] / В. В. Давыдов. - М.: Интор, 1996. - 544 с.
13. Александров, А. Д. Геометрия: учебник для учащихся 10 кл. с углуб. изуч. математики
[Текст] / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. - М.: Просвещение, 1999. - 238 с.
14. Клейн, Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей [Текст]: в 2 т. Т. 2. Геометрия / пер. с нем.; под ред. В. Г. Болтянского. - 2-е изд. - М.: Наука, 1987. - 416 с.
REFERENCES
1. Kolmogorov A. N., Yaglom I. M. O soderzhanii shkolnogo kursa matematiki. Matematika v shkole. 1965, No. 4, pp. 53-61.
2. Kolmogorov A. N. O sisteme osnovnykh ponyatiy i oboznacheniy dlya shkolnogo kursa matematiki. Matematika v shkole. 1971, No. 2, pp. 17-22.
3. Aleksandrov, A. D. O geometrii. Matematika v shkole. 1980, No 3, pp. 56-62.
4. Rozenfeld B. A. Istoriya razvitiya soderzhaniya sovremennogo shkolnogo kursa geometrii. In: Prepodavanie geometrii v 9-10 klassakh. Moscow: Prosveshchenie, 1980. Pp. 111-131.
5. Yaglom I. M. Aksiomaticheskie obosnovaniya geometrii. In: Novoe v shkolnoy matematike. Moscow: Znanie, 1972. Pp. 40-63.
6. Yaglom I. M. O shkolnom kurse geometrii. Matematika v shkole. 1963, No. 2, pp. 53-57.
7. Gleyzer G. D. Psikhologo-matematicheskie os-
novy razvitiya prostranstvennykh predstavleniy pri obuchenii geometrii. In: Prepodavanie geometrii v 9-10 klassakh. - Moscow: Prosveshchenie, 1980. Pp.253-269.
8. Yakimanskaya I. S. Razvitie prostranstvennogo myshleniya shkolnikov. Moscow: Pedagogika, 1980. - 240 p.
9. Gusev V. A., Orlov V. V., Panchishchina V. A., et al. Metodika obucheniya geometrii: ucheb. posobie dlya stud. vyssh. ucheb. zavedeniy. Moscow: Akademiya. 368 p.
10. Dalinger V. A. Metodika obucheniya uchash-chikhsya dokazatelstvu matematicheskikh pred-lozheniy: kn. dlya uchitelya. Moscow: Pros-veshchenie, 2006. 256 p.
11. Davydov V. V. Vidy obobshcheniya v obuchenii. Moscow: Pedagogika, 1972. 423 p.
12. Davydov V. V. Teoriya razvivayushchego obucheniya. Moscow: Intor, 1996. 544 p.
13. Aleksandrov A. D., Verner A. L., Ryzhik V. I. Geometriya: uchebnik dlya uchashchikhsya 10 kl. s uglub. izuch. matematiki. Moscow: Prosveshchenie, 1999. 238 p.
14. Klein F. Elementarnaya matematika s tochki zreniya vysshey: in 2 vol. Vol. 2. Geometriya. Moscow: Nauka, 1987. 416 p. (in Russian)
Горбачев Василий Иванович, доктор педагогических наук, профессор, директор естественно-научного института Брянского государственного университета имени академика И. Г. Петровского, Заслуженный учитель Российской Федерации e-mail: [email protected]
Gorbachev Vasiliy I., ScD in Education, Professor, Director, Institute of Natural Sciences, Academician I.G. Petro-vski Bryansk State University, Honored Teacher of the Russian Federation e-mail: [email protected]
