CC BY
63
5. Павел Игнатьев // Богуславский, М.В. Подвижники и реформаторы российского образования. М.: Просвещение, 2005. С.84-90.
6. Материалы по реформе школы. Пг.,1915.
7. Бюллетень Государственного комитета по народному образованию.1917.№ 6-8.
8. Богуславский, М.В. Реформирование российского образования XVIII - XX веков: социокультурный контекст / М.В.Богуславский // Вестник Института теории и истории педагогики РАО. - 2007. - № 1.
9. О реформе средней школы (журналы совещаний, проекты, законы и т.д.). 1915-1916 гг. // РГИА. - Ф.1129. -Оп.1. -Д.56.\
Об авторе
Богуславский М.В. - заведующий лабораторией истории педагогики и образования ФГБНУ «Институт стратегии и теории образования РАО», член-корреспондент РАО, доктор педагогических наук, профессор, Председатель Научного совета по проблемам истории образования и педагогической науки Российской академии образования
УДК 371.24+371.212
ЗАКОНОМЕРНОСТИ СТАНОВЛЕНИЯ ЛОГИКО-ПОНЯТИЙНОЙ КОМПЕТЕНЦИИ
В.И. Горбачев, Е.В. Горбачева, И.Е. Малова
Исследуются методологические и методические закономерности становления логико-понятийной компетенции предметной компетенции уровня общего образования через структуру и содержание базовых научных теорий.
Ключевые слова: Методика и технология обучения, компетентностный подход, предметные компетенции учебной деятельности.
В содержании методологической цели общеобразовательного курса математики логико-понятийная компетенция [1] предполагает субъектную сформированность интеллектуальных качеств, общеучебных и математических умений выделения, оперирования, систематизации понятий каждой из изучаемых математических теорий:
- в процедурах обобщения и конкретизации;
- в системе интуитивного, образного, логико-символического, аналитического, знакового уровней представленности;
- в целостном системно-структурном представлении теории [2,3].
Субъектная интеграция качеств, умений в форме логико-понятийной компетентности выступает итоговым результатом личностно-значимых, рефлексируемых видов учебной математической деятельности (деятельности представливания):
1) Становления во внутреннем плане базовых понятий теории;
2) Классификации, систематизации понятий теории;
3) Системно-структурного представления теории во взаимной связи понятий, теорем, классов задач;
4) Интеграции понятий различных теорий в «математической картине мира».
В учебной математической деятельности уровня общего образования представлены теории: числовых систем, числовых элементарных функций, евклидова геометрия - теория геометрических фигур, уравнений, неравенств, систем на числовых множествах, меры на множестве геометрических фигур, трехмерного евклидова пространства, вероятности на множестве событий.
Система понятий каждой теории, методологически важная в индивидуальном проявлении, во взаимной связи, выполняет еще и функцию структурирования, целостного представления теории.
Систематизация иерархической понятийной структуры теории как фактор становления ее фундаментальных понятий, их уровневая, обобщенно-конкретная формы представления составляют главную закономерность логико-понятийной компетенции.
Системно-структурная направленность понятийного представления теории обосновывает ограниченность понятий теории лишь фундаментальными. Задача интеграции понятийных структур теорий приводит к ограничению исследуемых теорий лишь базовыми (числа, функций, фигур,). В системе понятийных и теоретических ограничений фиксируется методология логико-понятийной компетенции - ее формирование осуществляется на категориальном уровне исследования базовых математических теорий с опорой на явление переноса в целостных системах понятий, теорий.
Логико-содержательный анализ математических теорий числа, функций, геометрических фигур на уровнях профессионального, общего образования [2,3]. позволяет выделить соответствующие системы понятий-категорий - теоретических понятий математической картины мира (Табл. 1).
Таблица 1
Учебные математические теории Числовых систем Функций Геометрических фигур
Фундаментальные понятия теории Числовая система Числовая модель Число Операция Отношение Конечно сть-бе сконечно сть Дискретность-непрерывность 1.Спектральный этап Функциональная модель Функция Композиция функций Биективная функция Конечность-бесконечность Дискретность-непрерывность П.Интегральный этап График Ограниченность Монотонность Периодично сть Последовательность Предел Производная Первообразная Геометрическое пространство Геометрическая фигура Преобразование Метрические свойства фигуры Пространственные свойства фигуры Конструктивные свойства фигуры
Методология логико-понятийной компетенции [4], ее главная методическая закономерность позволяют проектиро-
Представление теории: -интуитивное; -мировоззренческое; -общекультурное. Фундаментальные понятия: -в обобщенно-конкретной форме; -в уровнях представленности.
Представление теории: -понятийно-структурированное; -теоретико-модельное.
Система понятий : -в теории; -в моделях.
Рис. 1. Становление логико-понятийной компетенции в содержании учебной математической теории
Деятельность представливания, как среда становления понятий-категорий, в каждой из теорий выступает в качестве общей методологии и, при этом, имеет свои, специфические проявления.
I. Теория числовых систем. Теория числовых систем, основополагающая в общеобразовательном курсе математики, представлена последовательностью расширяющихся теорий натуральных, целых, рациональных, действительных чисел в сочетании с адекватными геометрическими, арифметическими, алгебраическими моделями (Табл.2) _Таблица 2_
Теория натуральных чисел №+,*,< ) Теория целых чисел (Ъ,+,*,< ) Теория рациональных чисел №,+,*,< ) Теория действительных чисел (Я,+,*,< )
Геометрическая модель N Геометрическая модель Ъ Геометрическая модель Q Геометрические модели Я
Арифметическая модель N Арифметическая модель Ъ Арифметическая модель Q Арифметическая модель Я
Алгебраическая модель Ъ Алгебраическая модель Q Алгебраическаямодель Я
Категориальный характер в теории числовых систем имеют:
a) Понятия-объекты: числа, операции, отношения;
b) Понятия-свойства: конечности-бесконечности, дискретности-непрерывности;
c) Понятия-представления: числовой системы, модели числовой системы.
Понятие числа, выступающее базовой категорией не только в теории числовых систем, но и во всей математике (Пифагор: причина и начало всех вещей, Платон: принцип познания и инструмент мысли) вводится в процедуре расширения числовых систем
N < Ъ < Q < К
Его становление на всех уровнях (интуитивном, образном, аналитическом, логико-символическом, знаковом) осуществляется вместе с развитием модельно-теоретических представлений каждой из систем (Табл.3).
_ТаблицаЗ_
Уровни становления число
натуральное целое рациональное действительное
Интуитивный Натуральное число - используемое при счете предметов N ={1,2,...,п,. } Целое число - нуль, натуральное или ему противоположное Ъ={...,-2,-1,0,1Д,...,п, } Рациональное число - целое или дробное ( частное целого и натурального) Q={aeZ,в е N } Действительное число - рациональное или иррациональное
Образный 1 .Натуральное число - точка на шкале натуральных чисел (асимметричной, дискретной). 2.Натуральное число - число в систематической записи по основанию системы счисления с поразрядными сложением, умножением, сравнением. 1.Целое число - точка на шкале целых чисел (симметричной, дискретной, не плотной). 2. Целое число - положительное или отрицательное число в систематической записи по основанию системы счисления с поразрядными сложением, умножением, сравнением по модулю. 3. Целое число -разность натуральных чисел (класс). 1 Рациональное число - точка на шкале рациональных чисел (симметричной, дискретной, плотной). 2. Рациональное число - положительная или отрицательная конечная или бесконечная периодическая систематическая дробь с поразрядными сложением, умножением, сравнением по модулю. 3.Рациональное число - частное целого и натурального чисел (класс). 1Действительное число - точка на шкале действительных чисел (симметричной, непрерывной) . 2.Действительное число - положительная или отрицательная бесконечная систематическая дробь со сложением, умножением, сравнением в условиях приближения конечными дробями по недостатку и избытку. 3.Действительное число - определенная последовательность рациональных чисел (класс).
Логико-симво-личе-ский Натуральное число - абстрактный объект базовой математической теории (Н+,*,< ): 1. В N заданы операции "/", "+ ", " □.Объекты N операции заданы в системе аксиом (Пеано): 1 .(начала) Существует элемент 1, такой, что п! ф 1 для всех п. 2.(бесконечности) Для каждого п из N существует Целое число - абстрактный объект производной математической теории (Ъ,+,*,< ): 1.Система (Ъ,+,*,<) расширяет систему (Ы,+,*,< ). П. Операции в Ъ расширяют операции в N в системе аксиом (кольца): 1 .Существует элемент 0, такой, что а + 0 = а. 2.Для всякого a существует Рациональное число - абстрактный объект производной математической теории (0,+,*,<): 1.Система (0,+,*,<) расширяет систему (Ъ,+,*,<). П. Операции в Q расширяют операции в Ъ в системе аксиом (поля): 1.Существуют элементы 0 и 1, такие, что а + 0 = а и а*1 = а . 2.Для всякого a существуют противоположный (- а) и обратный а"1 элементы, такие, что Действительное число - абстрактный объект производной математической теории (Я,+,*,<): 1.Система (Я,+,*,<) расширяет систему (Q,+,*,<). П. Операции в Я расширяют операции в Q в системе аксиом (поля): 1.Существуют элементы 0 и 1, такие, что а + 0 = а и а*1 = а .
п! изК
3 .(упорядоченности)
Для каждого п из N существует
т, такой, что т! = п.
4.(индукции)
Для каждого подмножества К из N из того, что1 Е К и (п Е К -> п! е К), следует, что К = N.
5.(суммы) Для любых »г и и из Ысправедливы т + 1 = т.! и т + п! = (т + п) Л
6.(произведения) Для любых т и п из N справедливы т * 1 = тит * п! = т * п + т.
противоположный (—а), такой, что а + (—а) = 0. 3 .Справедливы равенства (а + Ь) + с = а + (Ь + с), а + Ь = Ь + а, а*(Ь
+ с) = а * Ь + а * с.
а + (-а) = 0, а * а-1 = 1.
3 .Справедливы равенства (а + Ь) + с = а + (Ь + с),
а + Ь = Ь + а, а * Ь = Ь * а, а*(Ь + с) =
а * Ь + а * с.
2. Для всякого а существуют противоположный (- а) и обратный а-1 элементы, такие, что а +
(-а) = 0,
а* а 1 = 1.
3 .Справедливы равенства (а + Ь) + с = а + (Ь + с),
а + Ь = Ь + а, а * Ь = Ь * а, а*(Ь + с) =
а * Ь + а * с. Ш.Система (Я,+,*,<) обладает свойством (аксиомой) непрерывности - наличием общей точки в бесконечной системе стягивающихся отрезков._
Аналитический
Натуральное число - базовое понятие математики, обладающее:
-теоретическим (логико-символическим) представлением в абстрактной теории натуральных чисел;
-системой свойств арифметических операций, отношения сравнения, вытекающих из аксиом теории;
-представлением в геометрической модели на шкале натуральных чисел с интерпретацией операций, отношения сравнения; -представлением в арифметической модели в форме систематической записи по основанию системы счисления с поразрядными сложением, умножением, сравнением.
Целое число - базовое понятие математики, обладающее:
-теоретическим (логико-символическим) представлением в абстрактной теории целых чисел; - системой свойств арифметических операций, отношений сравнения, делимости, вытекающих из аксиом теории;
-представлением в геометрической модели на шкале целых чисел с интерпретацией операций, отношений сравнения, делимости; -представлением в арифметической модели в форме положительной или отрицательной систематической записи по основанию системы счисления с поразрядными сложением, умножением, сравнением;
-представлением в алгебраической модели в форме класса разностей натуральных чисел с соответствующей интерпретацией операций, отношения сравнения.
Рациональное число - базовое понятие математики, обладающее: -теоретическим (логико-символическим) представлением в абстрактной теории рациональных чисел;
- системой свойств алгебраических операций, отношения сравнения, вытекающих из аксиом теории; -представлением в геометрической модели на шкале рациональных чисел с интерпретацией операций, отношения сравнения; -представлением в арифметической модели в форме положительной или отрицательной конечной или бесконечной периодической систематической дроби по основанию системы счисления с поразрядными сложением, умножением, сравнением;
-представлением в алгебраической модели в форме класса обыкновенных дробей с соответствующей интерпретацией операций, отношения сравнения.
Действительное число - базовое понятие математики, обладающее:
-теоретическим (логико-символическим) представлением в абстрактной теории действительных чисел;
- системой свойств алгебраических операций, отношения сравнения, вытекающих из аксиом теории;
-представлением в геометрической модели на шкале действительных чисел с интерпретацией операций, отношения сравнения; -представлением в арифметической модели в форме положительной или отрицательной конечной или бесконечной систематической дроби по основанию системы счисления с поразрядными сложением, умножением, сравнением;
-представлением в алгебраической модели в форме класса последовательностей рациональных чисел с соответствующей интерпретацией операций, отношения сравнения.
Знаковый
\.п Е N .
2.п = а0а1а2 ...а^.
1.аЕг.
2. а= ±а0а1а2...а^.
3.а = {Ь — с\ Ь = с + а}.
\-qEQ.
2.ц = ±а0а1а2 ...а^ (£>1 Ь2..Ьт).
3■<? = Ц \aEZ.bEN}.
1.г е Д.
2. г = ±а0а1а2 ак Ь1 Ь2--Ьт.....
3.г = {{хп}|хп е <?}.
Иерархическое (обобщенно-конкретное, уровнсвос. теоретико-модельное) развитие понятия числа осуществляется в единстве с многоплановым формированием понятий операций, отношений - в содержании становящихся модельно-тео-ретических представлений._
Счёт = нумерация = биективное соответствие
Рис. 2. Классификация множеств в процедуре счёта
Категориальные понятия-свойства «конечность-бесконечность», «дискретность-непрерывность» надстраиваются над сформированным модельно-теоретическим представлением числовых систем, задают методологический, научно-мировоззренческий уровни их изучения:
- конечная процедура счета обобщается до понятия биективного соответствия, приводящего к понятиям конечности, бесконечности множеств - мировоззренческого образа мощности «числовой картины мира» (Рис.2).
- исследование свойства счетности N Ъ, Q, ее нарушение в попытке «пересчета» элементов Я дает важный в математике пример бесконечных множеств различных мощностей;
-дискретное измерение величин на шкалах с фиксированной единицей (Ы, Ъ) , ее конечным дроблением расширяется до непрерывного измерения на шкале Я с бесконечным дроблением единицы - мировоззренческого образа дискретности-непрерывности «числовой картины мира» (Табл.4).
Таблица 4
Числовые системы = шкалы измерения велин
Единица измерения без дробления Единица измерения с конечным дроблением Единица измерения с бесконечным дроблением
N - асимметричная шкала для измерения только кратных (натуральных) величин Ъ - симметричная шкала для измерения только кратных (целых) величин Q - симметричная шкала для измерения только кратных (дробных) величин Я - симметричная шкала для измерения всех (действительных) величин
Шкала N исходная Шкала Ъ поглощает шкалу N симметрией N < 1 Шкала Q поглощает шкалу Ъ конечным дроблением единицы Ъ<0, Шкала Я поглощает шкалу Q бесконечным дроблением единицы Q < R
N - дискретное (числа - изолированные элементы) Ъ - дискретное (числа - изолированные элементы) Q - дискретное (числа - граничные элементы) R -непрерывное (числа- внутренние элементы)
Детализация категориальных понятий, теоремы о свойствах числа, операций, взаимной связи моделей и связанные с ними классы задач формируют понятийное представление каждой из теорий. В общем плане теория числовой системы:
- абстрактная теория - структурируемая из элементов произвольной природы;
- аксиоматическая теория - с аксиоматизируемыми абстрактными элементами, операциями, отношениями;
- представлена в системе теорем - предложений об объектах, операциях, свойствах, доказуемых из аксиом;
- использует как универсальные, так и специфические (индукции, предельного перехода) методы доказательства;
- имеет модели - конкретные множества с требованием истинности аксиом, теорем;
- выстроена в соответствии с требованием методологии математической теории.
Научно-теоретической и, значит, методической закономерностью понятийного становления деятельности представ-ливания в содержании теории выступает не слитное модельно-теоретическое исследование числовых систем, а системное изучение моделей в условиях их дифференциации с последующей интеграцией в процессе анализа абстрактной теории:
a) структурное представление базовых моделей числовых систем с интуитивным уровнем понятий выступает первичной основой индуктивного конструирования абстрактных теорий (от моделей к теории);
b) совокупность модельных образов числовой системы (чисел в модели), абстрагируется в образном уровне понятия числа - первичного термина теории (от образов к понятиям);
c) общие для моделей свойства операций, отношений, абстрагируются в логико-символической форме представления понятий, аксиом, теорий числовой системы (от понятий-свойств в моделях к аксиомам);
d) совокупность фактов, предложений, истинных в модели, обобщается до аналитических формулировок понятий, теорем абстрактной аксиоматической теории, доказуемых либо с помощью универсальных методов, либо специфических для данной теории (метод индукции, метод предельного перехода), (от наглядной истины к понятийному доказательству);
e) соответствие абстрактных понятий и модельных образов, доказуемых предложений теории и истинных предложений модели, выступает основой детального знакомства, анализа абстрактной теории (соответствия фактов теории и моделей);
1) общее представление о понятийной структуре теории, методах доказательства во взаимной связи со структурой моделей, способами установления истины является основным результатом учебной математической деятельности (соответствие структуры теории и модели).
II. Теория функций. Теория функций, отражающая закономерность современной математики, в общеобразовательном курсе математики имеет два этапа развития:
- спектральный, в форме базовых общематематических функциональных моделей, различающихся классами объектов и целевой сферой развития (Табл.5).
Таблица 5
Числовая модель теории функций Пространственно-векторная модель теории функций Пространственно-точечная модель теории функций Пространственно-метрическая модель теории функций Стохастическая модель теории функций
1. Объекты: числа - элементы числовых систем. 2. Модельное представление: класс функций на числовых множествах. 3. Цели изучения: 1) Развитие теории элементарных функций. 2) Развитие современных теорий математического анализа на базе теории элементарных функций 1. Объекты: векторы - элементы векторного пространства. 2. Модельное представление: класс отображений множества векторов плоскости, пространства. 3. Цели изучения: 1) Развитие теории векторных пространств. 2) Изучение векторной функциональной модели. 1. Объекты: точки плоскости, пространства - элементы трехмерного евклидова пространства. 2. Модельное представление: класс преобразований, отображений плоскости, пространства. 3. Цели изучения: 1) Развитие евклидовой геометрии. 2) Изучение точечной функциональной модели. 1. Объекты: геометрические фигуры на плоскости, в пространстве - производные элементы трехмерного евклидова пространства. 2. Модельное представление: класс функций меры. 3. Цели изучения: 1) Развитие евклидовой геометрии. 2) Изучение метрической функциональной модели. 1. Объекты: случайные события, случайные величины - элементы пространства событий. 2. Модельное представление: класс функций вероятности. 3. Цели изучения: 1) Развитие теории вероятности. 2) Изучение вероятностной функциональной модели.
- интегральный в форме аналитической теории элементарных функций образно-содержательного плана фундаментальной математической значимости.
Спектральный этап модельной представленности теории функций формируется в категориальной системе:
a) понятий-объектов: функция, биективная функция, композиция функций;
b) понятий-свойств: дискретность-непрерывность, конечность-бесконечность;
c) понятия-представления: предметная функциональная модель.
Интегральный этап аналитической теории функций в дополнение к спектральному структурируется категориями:
a) понятий-объектов: график, последовательность, предел, производная, первообразная;
b) понятий-свойств: ограниченность, монотонность, периодичность;
c) понятия-представления: числовая функциональная модель.
Целостная понятийно-категориальная система теории функций оказывается сложноструктурированной, многоплановой, фундаментальные понятия в каяедой из функциональных моделей приобретают специфическую форму, лишь направ-
В общей теории, как на спектральном, так и на интегральном этапах, функция - базовая категория:
- выступает мировоззренческой основой выделения, исследования зависимостей величин, моделирующих явления, процессы реального мира и обладающих свойствами функциональности, определенности;
- в методологическом плане структурирует базовые модели функций (отображения, преобразования, меры, вероятностей, булевых, числовые), сохраняющие характеристические свойства, но различающиеся классами объектов;
- развивает теорию числовых непрерывных функций, выступающую одной из функциональных моделей, до уровня современной теории функций, представленной в системе самостоятельных научных теорий (функций действительного переменного, функций комплексного переменного, дифференциальных уравнений, функциональных рядов);
- в модельном подходе выступает мощным средством прикладной направленности, позволяющим исследовать, управлять явлениями, процессами реального мира в системе функциональных зависимостей величин (Табл.6). _Таблица 6
Уровни становления
Функция
Теоретическое представление
Модельная конкретизация
1 .В научном исследовании явлений, процессов посредством математики фиксируются зависимые величины X и У.
2.Величины X и У характеризуются множествами математических объектов (числа, векторы, точки, фигуры, события).
3.В анализе зависимости величин X и У устанавливается форма соответствия /: X У объектов X и их образов в У
4.В соответствии /: X -> У устанавливается свойство функциональности - единственности образов.
Соответствие ^: .У -> У называется функцией (отображением, преобразова-
нием).
5.Функциональные методы, аппарат теории функций позволяют установить внутренние закономерности явлений, процессов.
1. Для множества V векторов и множества Л действительных чисел соответствие / : V ->
Я 3, при котором каждый вектор отображается в упорядоченную тройку (х,у,г) координат, является функцией.
2. Для множества Р фигур плоскости и множества Л действительных чисел соответствие / : F -> II , при котором каждой фигуре сопоставляется ее площадь, является функцией.
3 .Для множества П точек плоскости соответствие / : П -> П . при котором каждая точка параллельным переносом отображается в точку плоскости, является функцией._
Он
О
Понятие функции как ба- Функция - категория фун-
зовой математической мо- даментальной математиче-
дели исследования зави- ской теории спектрального,
симостей интегрального этапов
1
Понятийное представле- Система базовых понятий
ние теории функций в со- теории функций и их мо-
держании предметных, дельные образы
аналитической моделей
1 .В числовой модели понятие функции представлено классом числовых элементарных функций со свойствами монотонности, периодичности, непрерывности.
2.В пространственно-векторной модели понятие функции представлено арифметическими операциями над векторами со свойствами линейной зависимости, коллинеарности, комплонарности
3.В пространственно-точечной модели понятие функции представлено классами биективных преобразований движения, подобия со свойствами обратимости, сохранения, изменения расстояния.
4. В пространственно-метрической модели понятие функции представлено классами функций длины, угловой меры, площади, объема с аксио-матизируемыми свойствами._
I
1 Для множеств X и Y соответствие f\X ^Y — функция :
1) V хеХ Зу е Y ,такоцчтоу = /(х);
2) VxeX V ye Y V zeY
если (х,у)е/и (х,г)б/,тоу = z. П На множестве всех функций базовой операцией является их композиция. Для функций g \X^Y и f-Y ^ Z композиция f • д --Х ^ Z задается соответствием: если (х,у)ед и (y,z)ef,To{x,z)ef • g.
1 .В пространственно-векторной модели базовые классы функций: F = {/1 , /2 , /з , , где / ! ( а, Б) = а + Ь, / 2 а) =Аа ,
/з(а ,Б)=а Б,
<р(а) = (х1,х2,х3). Композиции функций класса ^ описывают свойства операций над векторами. 2.В пространственно-метрической модели базовые классы функций: F ={(. (р, б, р}, где I - функция длины, (р - функция угловой величины , 5 - функция плошдди у - функция объема
В абстрактной теории функций:
1) Множества X и Y состоят из элементов произвольной природы (конечные или бесконечные, дискретные или непрерывные);
2). Соответствие /\Х ^ Y состоит из упорядоченных пар (а , Ь), где Ь = /(а) -образ элемента а.
3). Соответствие /: X ^ Y обладает свойством определенности, те. у каждого элемента из множества X имеется образ.
4). Соответствие /: X У обладает свойством функциональности, т.е. у каждого элемента из множества X имеется единственный образ.
5). Композиция f • д\Х ^ 1 функций
д\ X ^ У и / : У ^ 1 сохраняет свойства определенности и функциональности -задает механизм образования новых функций.
В предметной функциональной модели:
- множества X и Y состоят из объектов определенных теорий (числовой, векторного пространства, точечного пространства), их упорядоченных пар, троек;
-соответствие /: X У имеет либо форму аналитической зависимости, либо графическую форму, либо конструируется геометрическими средствами, либо задается аксиоматически;
- свойства определенности, функциональности накладываются на совокупности объектов теории, приводят к выделению классов функций со специфическими свойствами, характеризую-шцми предметную теорию._
1. f-.X^Y — функция.
2. у = /(х) - функция.
3.f • д\Х ^ Z - композиция функций.
4. (/ • fiO(x) = /(5(х)) -композиция функций.
В числовой функциональной модели для функций /(х) = сохш д(х) = 3х + 4 их композиция (/ • д)(х) = соЗ 3х + 4).
Становление категории «функция» отражает базовую закономерность деятельности представливания - уровневое формирование понятий - категорий спектрального этапа теории функций (биективная функция, композиция функций, дискретность-непрерывность, конечность-бесконечность) в содержании теоретико-модельных представлений. В закономерности уровневой модельной конкретизации понятий спектрального этапа теории функций достигается интеграция понятийно-структурных представлений теорий числа, пространства, фигур, вероятностей на базе модельно-функциональных (Рис. 4).
Представление понятий в функциональных моделях: -числовой;
-пространственно-векторной; -пространственно-точечной; -пространственно-метрической; -стохастической.
Представление понятий в теории функций: -абстрактная трактовка; -интеграция понятий в функциональных моделях.
Интеграция теорий в понятийно-структурном представлении: -числа;
-пространства; -фигур; -вероятностей: -функций.
Рис.4. Интеграция базовых теорий в категориях теории функций
Интегральный этап развития теории функций представлен как фундаментальными понятиями-свойствами ограниченности, монотонности, периодичности в числовых функциональных моделях (дискретных, непрерывных), так и категориями предела, производной, первообразной общематематического плана.
Понятия-свойства числовой модели формируются преимущественно в классе числовых непрерывных функций, структурируемых из элементарных функций с помощью операций суммирования, произведения, композиции, обращения. Класс элементарных функций - базовый в модели числовых функций, детализирует понятие функции системой характеристик:
- заданием на промежутках системы R действительных чисел, обладающих свойствами непрерывности, линейной упорядоченности, континуальности;
- аналитической формой представленности свойства функциональности у _ ^ ^ х ^ ;
- составленностью из базовых функций у = с,у = х,у = ах , у = silr в системе функциональных операций сложения, композиции, обращения;
- исследованием в системе свойств четности, монотонности, ограниченности, знакопостоянства, периодичности, аналитическими средствами с помощью аппарата производных;
- представлением в функционально-графической форме - условного графического изображения функциональной зависимости.
Закономерностями становления фундаментальных свойств функции выступают:
a) их введение в определенном подклассе функций (квадратичных, рациональных, тригонометрических, логарифмических) с удобным образным представлением, возможностью аналитического обоснования, включения свойства в общую схему исследования;
b) использование логических операций, кванторов, предикатов в качестве средств аналитического представления;
c) интегрированный характер формирования в последовательном сочетании образного (графического), логико-символического (предикатного) и аналитического (понятийного) уровней ;
d) наличие теоретических условий выявления, исследования понятий-свойств в единстве аналитических и функционально-графических представлений (Рис.5)
e) дифференциация свойств функции на этапе их исследования с последующей интеграцией в целостном графическом представлении.
Рис.5.Методология становления функциональных свойств
Значимые в методологическом и общекультурном планах разделы дифференциального и интегрального исчисления теории числовых непрерывных функций востребуют понятия-категории «предел», «производная», «первообразная», опирающиеся на метод «предельного перехода», отсутствующий в субъектном опыте учащихся.
Закономерностями становления фундаментальных математических понятий выступают: а) их обоснование в целостной системе представлений(Табл.7)
Таблица 7
Система представлений Предел (последовательности, функции) Производная функции
Мировоззренческие Включение в процесс мышления бесконечных процессов в анализе их сходимости. Исследование динамики непрерывных процессов с условием их сходимости.
Методологические Становление метода предельного перехода в вычислении, исследовании, доказательстве. Исследование функциональных зависимостей средствами дифференциального исчисления.
Теоретические Разработка теории пределов - универсального аппарата математики. Разработка аппарата дифференциального исчисления.
Модельные Способ вычисления длин, площадей, объемов геометрических фигур Аналитический и функционально-графический способы исследования зависимостей числовых непрерывных функций.
b) исследование задач историко-математической направленности, общекультурной значимости для выяснения идейной стороны, процедуры рассуждений, анализа математических и общенаучных результатов;
c) фиксация обобщенной схемы предельного перехода в классах последовательностей, элементарных функций, базирующейся на интуитивных, функционально-графических представлениях, системе фактов теории функций;
d) уровневое, обобщенно-конкретное становление понятия производной, систематизация приложений производной в общей схеме исследования элементарных функций;
e) формирование процедуры интегрирования в анализе обращения задачи дифференцирования в системе мировоззренческих, методологических, теоретических, модельных представлений.
III. Теория геометрических фигур. Евклидова геометрия (теория геометрических фигур) - аксиоматизируемая фундаментальная теория на множестве геометрических фигур. В теоретическом плане геометрическая фигура - идеальный объект человеческого (геометрического) мышления, элемент геометрического пространства.
Категориальный характер в теории геометрических фигур имеют:
a) Понятия-объекты: геометрическая фигура, преобразование;
b) Понятия-свойства: метрические, пространственные, конструктивные ;
c) Понятия-представления: геометрическое пространство.
Понятия «геометрическое пространство» и «геометрическая фигура» выступают основными категориями евклидовой геометрии, проявляют свои свойства во взаимной связи:
1. Геометрическое пространство есть абстракция, репрезентирующая свойства реального физического пространства через систему физических моделей в системе адекватных геометрических образов.
Геометрические фигуры образуют классы объектов геометрического пространства, отражающие в системе конструктивных, логико-понятийных средств геометрической деятельности представливания свойства формы, величины, пространственного взаимодействия физических моделей.
2. Геометрическое пространство является трехмерным, содержит двумерные подпространства (плоскости), одномерные подпространства (прямые), допускает преобразования - проектирование (параллельное, центральное), подобие, движение.
Геометрические фигуры классифицируются на трехмерные (пространственные фигуры, тела), двумерные (плоские фигуры), одномерные (луч, отрезок, прямая), имеют разное положение в пространстве, друг относительно друга. В результате преобразований пространства геометрические фигуры либо изменяются , либо остаются неподвижными, характеризуются свойствами подобия, равенства - обладают системой пространственных свойств.
3. Геометрическое пространство является евклидовым, обладает взаимосвязанными мерами (функциями) длины, угловой величины, площади, объема.
Геометрические фигуры характеризуются длинами сторон, отрезков, величинами плоских углов, площадями плоских граней, сечений, объемами тел - обладают системой метрических свойств.
4. Геометрическое пространство является точечным, топологическим - его базовые объекты (прямые, плоскости, окружности, сферы) состоят из внутренних, граничных, изолированных точек с отношением принадлежности , естественной метрикой.
Геометрические фигуры конструируются из базовых объектов с характеристическими свойствами точек, имеют внутреннюю область, границу - обладают топологическими свойствами.
5. Геометрическое пространство моделируется трехмерной системой координат в форме условного плоского чертежа (рисунка) с выделенной плоскостью изображения.
Геометрические фигуры конструируются в форме условных плоских изображений, построенных по свойствам параллельного проектирования в выделенной плоскости изображения, их геометрические образы обладают проективными свойствами.
6. Геометрическое пространство в содержании векторно-координатного метода в качестве арифметической модели имеет пространство^3 = {(х1,х2,х3)}.
В арифметической модели геометрические фигуры задаются, описываются своими координатами, уравнениями, неравенствами, системами - приобретают аналитические свойства.
Категории геометрического пространства и геометрической фигуры позволяют выделить методологические закономерности геометрической деятельности в содержании становления:
- пространственных представлений;
- пространственного мышления;
- пространственного воображения.
Деятельность представливания - процесс формирования пространственных представлений, структурируется системой закономерных этапов (Рис.6):
a) становление механизма абстрагирования, идеализации в схеме «объекты физического пространства - физическая модель (форма) - геометрическая фигура (класс) - конструктивные изображения геометрической фигуры»;
b) становление общих представлений в схеме «пространство физических моделей - пространство геометрических фигур - свойства геометрического пространства»;
c) исследование геометрических фигур в системе пространственных, метрических, проективных, топологических свойств;
d) определение геометрических фигур на интуитивном, образном, логико-символическом, аналитическом, знаковом уровнях представленности;
e) классификация, систематизация геометрических фигур как объектов геометрического пространства;
1) представление геометрического пространства в системе геометрических фигур и их свойств._
Пространство физических моделей (форм) реального пространства
Рис.б.Становление представлений геометрического пространства
Пространственное мышление выступает итоговым результатом деятельности представливания и логико-содержательной деятельности по исследованию свойств геометрических фигур в содержании теории - евклидовой геометрии:
a) абстрактное понятие геометрической фигуры наряду с понятиями числа, функции в учебной математической деятельности становится фундаментальным, что осознается только с общетеоретических позиций;
b) понятие геометрической фигуры конкретизируется системой понятий, охватывающих бесконечные классы объектов геометрического пространства, систематизация и классификация которых определяет его структуру;
c) интуитивно-образное представление понятий определенного класса геометрических фигур развивается в логико-содержательной (предикатной), аналитической формах;
d) пространственные, метрические, проективные, топологические свойства геометрических понятий соотносятся с бесконечными классами объектов пространства, фиксируются в логико-содержательных формулировках теорем;
e) ввиду бесконечности классов объектов, охватываемых геометрическим понятием, единственным средством установления истинности свойств выступает логико-содержательное рассуждение - доказательство;
1) доказательный характер свойств классов геометрических фигур объясняет аксиоматизацию теории геометрического пространства в качестве необходимой;
g) интеграция пространственных представлений, логико-содержательных определений геометрических понятий, формулировок теорем об их свойствах и процедур доказательства, задач в классах геометрических фигур и общих методов их решения характеризует категорию пространственного мышления в учебной математической деятельности.
Логико-понятийная составляющая пространственного мышления - целостная компонента:
- создания, оперирования образными, логико-символическими, аналитическими, знаковыми представлениями геометрических фигур;
- определения, классификации, систематизации геометрических фигур в системе их абстрактных свойств;
- представления геометрического пространства в содержании теории геометрических фигур - евклидовой геометрии (Рис.7)
Логико-понятийная компонента пространственного мышления
Геометрические фигуры в системе образов
Определение, классификация, систематизация геометрических фигур
Представление геометрического пространства в содержании евклидовой геометрии
Рис.7. Компонента логико-понятийной компетенции в содержании пространственного мышления
На уровне сформированного пространственного мышления понятия геометрических фигур в системе уровневого, обобщенно-конкретного представлений приобретают качественно новые свойства:
- отрываются от физических моделей (форм) реального пространства, становятся интегрированными понятиями абстрактной теории;
- их образы становятся динамичными в рамках уровневой представленности, в процедуре перекодирования.
Свойства модельной оторванности и уровневой динамичности образов геометрических понятий характеризуют процесс становления пространственного воображения. Базовыми в пространственном воображении выступают следующие действия внутреннего для субъекта плана:
a) преобразование образных представлений геометрических фигур для целей создания новых физических моделей, их комбинаций, целостных конструкций;
b) проектирование, масштабирование, использование чертежной техники в изображении сложных комбинаций геометрических фигур для проектно-технологических целей;
c) детализация, исследование логико-символического, аналитического, знакового образов (уровней) геометрических фигур в специальной системе пространственных, топологических, метрических, проективных свойств для целей развития новых направлений евклидовой геометрии (топология, проективная, дифференциальная геометрия, многомерные пространства);
d) исследование категорий геометрического пространства, геометрической фигуры в системе современных теорий неевклидовых геометрий и их моделей (Рис. 8).
Рис. 8.Развитие понятий геометрических фигур на этапе пространственного воображения
В каждом из базовых видов геометрической деятельности (пространственных представлений, мышления, воображения) функции понятий геометрических фигур различны:
- в системе пространственных представлений понятия геометрических фигур характеризуются статичностью, изолированностью изображения на плоскости, в пространстве, высказывательной формой структурной представленности свойства, его слитностью с изображением;
- в процедуре функционирования пространственного мышления понятия геометрических фигур оторваны от их изображений, отражают классы фигур в системе абстрактных аксиоматизированных свойств, формулировки понятий, свойств, их доказательство соотносятся с целостной теорией, имеют предикатную логико-символическую форму;
- этап пространственного воображения характеризуется динамичными конструкциями геометрических образов и их комбинаций, иными способами и средствами построения, новой системой абстрактных свойств в содержании евклидовой геометрии, либо выходящими за ее пределы.
В теории геометрического пространства, в содержании пространственных представлений, мышления, воображения понятие «геометрическая фигура» формируется как базовая категория (Табл.8).
Таблица 8
Уровни становления
Геометрическая фигура
Теоретическое представление
Модельная конкретизация
1 .В реальном физическом пространстве в процедуре абстрагирования выделяются общце для класса объектов пространственные формы - физические модели.
2.В геометрической деятельности физические модели идеализируются в виде геометрических фигур, исследуемых в системе геометрических свойств (формы, размеров, взаимного расположения).
Физическому пространству в системе физических моделей соответствует геометрическое пространство в системе геометрических фигур - образов физических моделей.
Геометрическая фигура - геометрический образ физической модели класса объектов физического пространства, обладающий системой геометрических свойств.
3. В геометрической деятельности геометрической фигуре присваивается «имя» - понятие, охватывающее бесконечный класс конкретных геометрических фигур.
4.Свойства понятия геометрической фигуры (бесконечного класса фигур) могут быть установлены только в процессе рассуждений -доказательств.
Для изучения понятий геометрических фигур строится научная теория геометрических фигур - евклидова геометрия.
Евклидова геометрия позволяет установить более глубокие свойства геометрических фигур и, через них, физические пространственные модели.
1 .В реальном пространстве для определенных классов объектов выделяются физические модели (формы) - призмы, пирамиды, цилиндры, конусы.
2.Выделенные физические модели идеализируются как геометрические фигуры (призма, пирамида, цилиндр, конус), исследуются в системе геометрических свойств .
Геометрические фигуры призма, пирамида, цилиндр, конус - геометрические образы определенных физических моделей .
3. В геометрической деятельности призма, пирамида, цилиндр, конус - понятия классов конкретных геометрических фигур (объектов геометрического пространства)..
4. Понятия призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, их свойства изучаются в евклидовой геометрии.
р рб
О
Физическое пространство
Класс объектов реального физического пространства
Физическая модель
Геометрическое пространство
Представление геометрического пространства в системе свойств геометрических фигур
Геометрическая фигура (класс фигур), ее геометрические свойства
Евклидова геометрия - теория геометрических фигур
Призма. Класс объектов реального пространства (здания, конструкции) имеет форму призмы как физической модели. Ее геометрическим образом выступает призма - многогранник с многоугольниками в основании и гранями в форме параллелограммов, построенный по законам параллельного проектирования.
Конус. Конус - геометрическая фигура, идеализирующая коническую модель, изображенная с помощью окружности с центром в плоскости основания, точки вне ее и касательных к окружности .
I F - геометрическая фигура :
1) F £ V , где V- геометрическое пространство, V = Е3 - трехмерное евклидово пространство;
2) 3 / -Р ^ ^ , где/- проектирование, ^ - условное плоское изображение F;
3) 3 р -Р ^ Р(У) , где Р{¥) - система пространственных свойств геометрического пространства V;
4) 3 т -Р ^ М(К) , где Ы{¥) - система метрических свойств геометрического пространства V;
5) Зк:Р
V;
• Н(У) , где Н{¥) - система конструктивных свойств пространства
6) если F и G - геометрические фигуры, то FnG и F(G) - геометрические фигуры (^(6) - вписывание фигуры G в фигуру F), если/- преобразование движения, подобия и / -Р ^ F1 , то F1 - геометрическая фигура.
SABCD - пирамида :
1) БАВСОе V , где V- геометрическое евклидово пространство;
2) 3 F0 - плоское изображение пирамиды SABCD;
3) 3 р: БАВСО ^ Р(У) , где Р(У):
a) 5 I АВСБ ;
b) ABCD - плоский четырехугольник;
c) SAB, SBC, SAC -боковые грани;
d) SO - высота, О ЕАВСО ;
e) ребра SA,SB, SC, SD проектируются в отрезки ОА, ОВ, ОС, ОП
4)3 т : 5ЛВСО ^ М(К) , гдеЫ{¥):
^АВСС $АВСО $0 ; $АВСО = $АВО + $ВСО;
55АВ = ^ АВ Л5 з1ЕЙ ; 5Л2 =Б02+А02 ; = —.
5) Зй : БАВСй ^ Н(У) , где Н{¥) - система свойств параллельного, центрального проектирований изображения, сечений плоскостью, комбинаций с другими фигурами._
В евклидовой геометрии геометрическая фигура F:
1) объект (класс объектов) геометрического пространства - трехмерного евклидова;
2) для F существует условное геометрическое изображение, из всех изображений выбирается то, которое в условии задачи наиболее наглядно;
3) F обладает системой пространственных свойств внутреннего (взаимное расположение элементов) и внешнего (положение в пространстве, в различных системах координат, относительно других фигур) планов;
4) F обладает метрическими свойствами объема, площади, длины, угловой величины в их взаимной связи;
В определенной системе координат возможны нахождение координат вершин, характеристических точек фигуры F , поиск уравнений прямых, плоскостей, их точек пересечения, вычисление метрических соотношений фигуры.
В прямоугольной системе координат возможны вычисление линейных, угловых величин F , площади, объема аналитическими методами.
5) Изображение фигуры F, ее сечения, комбинации, преобразования строятся в системе требований параллельного либо центрального проектирования, свойств преобразований движения, подобия.
6) Комбинация геометрических фигур (пересечение, вписывание), преобразования движения, подобия приводит к новой геометрической фигуре.
В евклидовой геометрии пирамида SABCD :
1) объект (класс объектов) трехмерного евклидова пространства ;
2) в изображении пирамиды SABCD фиксируется основание ABCD в плоскости изображения, вершина S вне плоскости ABCD , ребра SA, SB, SC, SD и высота SO вместе с проекциями ребер.
3) пространственные свойства пирамиды определяются свойствами основания ABCD, проекцией О высоты, ее длиной.
Пирамида - правильная, если в ее основании правильный многоугольник и высота проектируется в центр многоугольника.
4) Пирамида SABCD обладает метрическими свойствами:
- объем вычисляется через площадь основания и высоту;
- площадь основания находится по длинам сторон и углам многоугольника;
- площади боковых граней вычисляются как площади треугольников;
- длины ребер, углы между ними, с основанием находятся в исследовании треугольников.
В выбранной системе координат возможно аналитическое исследование вершин, ребер, граней пирамиды.
5) Изображение пирамиды, ее сечения, комбинации, преобразования строятся в системе требований параллельного либо центрального проектирования, свойств преобразований движения, подобия.
6) Комбинация пирамиды и других геометрических фигур (пересечение, вписывание), преобразования движения, подобия приводит к новой геометрической фигуре._
1. F - геометрическая фигура;
2. A(x1,y1,z1) в Oxyz;
3. F = G, F~ G ;
4. M EF ;
5. l\\n , lin ;
6. l:Ax + By + C = 0 ;
7. a = x~ël + yêj + zê^ ;
8. f :F ^G ;
9. VF, SF .
1.F= ABCDA1B1C1D1 - призма;
2.S(x1,y1,z1) координаты вершины пирамиды в O
x y z;
3.ЛАВС = A1 Bi Ci, AABC ~ A1 B1 C1 ;
4.M EAB.ME и ;
5.AB \\ CD , AB 1 CD ;
6.AB :2x + 3y + 4 = 0 ;
7.АВ = 2ё1 + 3^ + 4^ ;
8./ -Р ^ б - преобразование подобия;
9.Уавсо — объем пирамиды, 5уВС- площадь грани ._
Субъектное развитие теории геометрических фигур в последовательности видов геометрической деятельности осуществляется в соответствии с общетеоретическими и конкретно-теоретическими закономерностями формирования понятий:
a) геометрические понятия формируются в сочетании уровневых (интуитивного, образного, логико-символического, аналитического, знакового) и обобщенно-конкретного представлений;
b) технологической процедурой становления представлений выступает исследование пространственных, метрических, конструктивных свойств геометрических фигур в сочетании наглядно-образных и логико-содержательных аналитико-синтетических действий;
c) геометрические понятия формируются в содержании и выступают средством целостных системно-структурных представлений геометрического пространства;
d) уровень и обобщенность геометрических понятий соответствуют типу геометрической деятельности (пространственных представлений, мышления, воображения) и ими определяются.
Методологически важной в формировании логико-понятийной компетенции выступает интеграция теорий числа, функций, фигур в форме обзора взаимных связей теорий, анализа роли фундаментальных понятий в общей учебной математической деятельности (Рис.9):
- число - основное понятие математики, свойства числовых функций определяются свойствами конкретных числовых систем, их моделей, пространственные, метрические, конструктивные свойства геометрических фигур обусловлены числовыми соотношениями, свойствами операций;
- функция - базовое понятие математики, свойства числовых систем описываются в спектре числовых функций, метрические, проективные свойства фигур, их преобразования имеют функциональную основу;
- геометрическая фигура - базовое понятие пространственных представлений реального физического пространства, свойства геометрических фигур исследуются в системе функционально-числовых зависимостей.
Рис.9. Общее представление теорий в учебной математической деятельности
Methodological and methodic regularities of making logic-noetic competences, objective competences of general education level by structure and content of base scientific theories are analyzed.
Keywords: Methods and technology of teaching, competent approach, objective competence of studying activity.
Список литературы
1. Горбачев В.И. Предметные компетенции общеобразовательного курса математики/ Горбачев В.И.//Интеграция общего и профессионального математического образования стран европейского содружества в контексте Болонского соглашения. Материалы Международной научно-практической конференции.- Брянск: Изд-во «Ладомир», 2014.- С.96 - 105.
2. Андрейчик М.Н., Грищенкова Л.В., Горбачев В.И. Методика формирования общекультурных и профессиональных компетенций в математической деятельности СПО./ Андрейчик М.Н., Грищенкова Л.В., Горбачев В.И. .//Интеграция общего и профессионального математического образования стран европейского содружества в контексте Болонского соглашения. Материалы Международной научно-практической конференции.- Брянск: Изд-во «Ладомир», 2014.- С.442 - 453.
3. Кирюшина М.Н., Левшенкова Ю.А., Орлова А.А., Горбачев В.И. Реализация компетентностного подхода в математической деятельности среднего профессионального образования./ Кирюшина М.Н., Левшенкова Ю.А., Орлова А.А., Горбачев В.И. .//Интеграция общего и профессионального математического образования стран европейского содружества в контексте Болонского соглашения. Материалы Международной научно-практической конференции.- Брянск: Изд-во «Ладомир», 2014.- С.542 - 556.
4. Горбачев В.И. Методология компетентностного подхода в учебной математической деятельности общего образо-вания./Горбачев В.И.//Научные основы интеграции национальных образовательных стандартов общего и высшего математического образования (Россия-Беларусь-Украина). Международная коллективная монография/ Антоновская и др.; под общей ред. проф. И.Е. Маловой.- Брянск: Изд-во Огнева Т.А., 2014.- С.32-50.
Об авторах
Горбачев В.И - директор естественнонаучного института, доктор педагогических наук, профессор Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского
Горбачева Е.В. - магистр кафедры теории английского языка и переводоведения Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского
Малова И.Е. - доктор педагогических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского
УДК 81'38 + 81'373.4 + 811.161.1'373.614
КАТЕГОРИЗАЦИЯ ЯГОД В НАУЧНОЙ, ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКОЙ, ТОРГОВОЙ, КУЛИНАРНОЙ И БЫТОВОЙ КАРТИНАХ МИРА
Е.В. Дзюба
Публикация осуществлена при финансовой поддержке Российского гуманитарного научного фонда (ргнф), проект № 15-54-00010 "а(ф) " Категоризация действительности в русском языковом сознании 2015 г.
На материале наименований ЯГОД рассматриваются особенности категоризации в научной (ботанической, агрономической), лексикографической, торговой (собственно торговой и таможенной), кулинарной и наивной (бытовой) картинах мира. Ключевые слова: когнитивная лингвистика, категории языкового сознания, категория ЯГОДЫ, картина мира.
В современной когнитивной лингвистике существует два основных направления исследований: собственно когнитивное, изучающее процессы категоризации, и лингвоконцептуальное, направленное на рассмотрение процессов концептуализации [см. подробнее: 1]. Предметом данного исследования является категоризация действительности в языковом сознании человека, который стремится упорядочить знания и представления об окружающем мире. Разделение онтологического пространства на классификационные рубрики - категории - называется категоризацией. Структурирование и систематизация знаний далеко не всегда происходит на научной основе. Человек, получая знания из самых разных источников, подвергая эти знания и представления классифицированию на разных основаниях, создает разные модели (картины) мира, актуальные для той или иной сферы своей деятельности.
