CC BY
83
^уДК-378.14.
СОДЕРЖАНИЕ ОБЩЕГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
КАРТИНА МИРА
В.И. Горбачев
I. Анализ понятия математической картины мира. Общей закономерностью многих областей научного знания (физика, химия, биология, астрофизика, социология, экология) выступает формирующееся в системе научных теорий общее фундаментальное представление об изучаемой реальности - научная картина мира (физическая, химическая, биологическая, астрофизическая, социальная, экологическая).
Философская категория «научная картина мира» отражает процесс познания «мира» либо в определенной его части (микромир, электромагнитные явления, макромир, физические взаимодействия в целом), либо в интеграции цикла научных областей (естествознание, социология), либо в единстве «неживых», «живых», «социальных» явлений «мира». Сообразно уровней построения «образа мира» в науке проведена классификация «научных картин мира»:
- специальные (предметные, локальные) картины мира в содержании системного представления знаний в отдельной науке, фиксирующего целостное видение ее предмета на определенном историческом этапе;
- интегральные картины мира как синтезированные представления системы наук, изучающих определенную область «универсуума»;
- общая (единая) научная картина мира как результат синтезирования системы знаний всех научных областей в форме целостного «образа мира».
Философия науки, различая систему теорий научной области и структурируемую на их основе картину мира и определяя методологию построения «образа мира» от развивающихся специальных картин мира к общей научной картине, выделяет систему общих характеристик категории «научная картина мира» [1]:
- идеализированная модель изучаемых в теории взаимодействий, наделенная небольшим числом свойств и простой структурой, выступающая обобщенным представлением объекта исследования и средством получения о нем теоретических знаний, особого внутреннего абстрактно-структурного видения предмета исследования;
- целостная теоретическая модель (схема), составленная из идеальных теоретических объектов, выступающая существенной характеристикой структуры научной теории, воспринимаемая в качестве изображения предмета исследования в особой процедуре объективирования;
- теоретический конструкт в содержании фундаментальной теоретической схемы и ее производных образований, определяющий внутренний скелет теоретического знания, содержательную специфику и развертывание теории;
- необходимая форма преобразования научных результатов развивающейся теории в систему представлений, имеющих общекультурный, мировоззренческий смысл.
Выделенные и опосредованные характеристики научной картины мира позволяют сделать методологические выводы:
- понятие научной картины мира в историко-научном плане возникло из потребностей теоретического осмысления определенных сторон реального мира (явлений физики, химии, социальных отношений, функционирования человека), однако жесткие связи с объективным миром не являются определяющими в построении научного «образа мира»;
- в содержании всякой научной теории из ее базовых объектов, фундаментальных связей структурируется фундаментальное теоретическое представление, как кристаллизирующееся в процессе становления теории, так и выступающее средой исследования ее закономерностей:
- картина мира (предметная, интегральная, общая) является внутренне необходимой не только как методологическая компонента построения, исследования теории, но и как одно из фундаментальных условий познавательной деятельности в содержании уже сформированной теории.
Содержание общего образования, его предметный спектр не выступают адекватным отражением как современных научных областей знания, так и современных философских представлений о взаимной связи локальных, интегральных, единой научных картин мира:
- современный научный аппарат, глобальный объем теоретических фактов, методов даже отдельной научной области не сопоставимы с интеллектуальным потенциалом учащегося;
- философские представления о научной картине мира - это обобщение, синтезирование нескольких научных областей, производимые в особой научно-философской форме, отсутствующей в
субъектном опыте учащегося;
- специфическая, узконаучная исследовательская деятельность ученого конкретной научной области не только не адекватна, но и резко контрастирует с познавательной, воспроизводящей деятельностью учащегося.
Объективная невозможность формирования учебной деятельности учащегося как научноисследовательской в содержании общих представлений и узко-научного аппарата установления теоретических закономерностей не означает противопоставленности образовательной и соответствующей научной области знания.
В соответствии с генетическим принципом в содержании общего образования [2] предметом познавательной деятельности учащегося выступает совокупность научных теорий:
- ранее разработанных в научном плане, интегрируемых в единой системе;
- отрефлексированных как значимых в личностном и социальном планах;
- структурированных в соответствии с закономерностями познавательной деятельности;
- адекватных по базовым понятиям, их взаимной связи научному уровню теории в современной системе научного знания;
- направленных на сформированность во внутреннем плане субъекта способов деятельности, обеспечивающих достижение образовательных целей.
Вместе с каждой из адаптированных к образовательным целям научных теорий в содержание познавательной деятельности учащегося входят и фундаментальные теоретические представления -научная картина мира. Научный статус картины мира обосновывается отражением научной теории в образовательной области, однако ее ведущая функция - методология исследования научного знания -видоизменяется. Система образовательных целей определяет организацию изучения теории во внутреннем и интеграционном планах в качестве основной функции «познавательной картины мира». В результате при сохранении общих характеристик научной картины мира в образовательном «образе мира» в качестве важнейших выступают:
- форма теоретического представления знаний, которая определяет мировоззренческий статус образовательной области знания;
- систематизированное видение образовательной области в системе интегрированных научных
теорий;
- базовое средство интеграции образовательных областей во внутреннем плане учащегося.
В образовательных областях, отражающих через систему теоретического научного знания определенные стороны объективного мира, познавательная картина мира выступает обязательной содержательной и методологической компонентой методических систем обучения:
- имеющая научный статус в той мере, в которой она отражает научную картину мира;
- формирующаяся на уровне структурирования системы научных теорий образовательной области (рис. 1) в определенную целостность.
познавательная картина мира
научная картина мира
Учебная дисциплина как система адаптированных научных теорий
Теоретическое знание объективной реальности в системе научных теорий
Закономерности
объективной
реальности
Рис.1. Взаимосвязь объективной реальности и познавательной картины мира в содержании
общего образования.
В содержании общего образования математика, выступающая языковым, аппаратным, модельным, логическим средствами развития естественнонаучных, обществоведческих образовательных областей, не связана непосредственно с какой-либо стороной объективной реальности. В этой связи обыденный уровень методической системы обучения математике не предполагает структурирование, развитие математической картины мира как внутренне необходимого этапа формирования математической деятельности учащихся.
Научно-философский анализ категории «научная картина мира» определяет следующие основания теоретической, методической состоятельности понятия «математическая картина мира»:
- в методологическом плане математическая картина мира, выделяющая фундаментальные понятия, их существенные связи, выступает подлинным основанием для познания («видения») учащимся каждой из математических теорий, их интеграции в математике как образовательной области;
- с позиции мировоззренческих представлений математическая картина мира опосредованно отражает многие из сторон объективной реальности - через математические модели, математические способы описания закономерностей в содержании локальных, интегральных картин мира (Рис. 2)
Рис.2. Взаимосвязь объективной реальности и познавательной математической картины мира в
содержании общего образования
- структурирование математической картины мира в содержании фундаментальной теоретической схемы, последовательное развертывание теории в условиях ее целостного видения фиксируют единую методическую схему изучения каждой из математических теорий, соответствующую дидактическим закономерностям познавательной деятельности учащихся.
Мировоззренческий статус математической картины мира [2], методология взаимной связи математической и общенаучной картины мира (рис. 3) отражает общественно-историческую тенденцию интегрального развития математики как в общей системе научного знания, так и в образовательной среде.
Математическая картина мира Общенаучная картина мира
< ►
Математически спроектированный мир
Теоретическое описание реального мира
Рис. 3. Взаимосвязь картины мира в системе теоретического знания.
Общедидактический анализ содержания общего образования В.В. Краевского, И.Я. Лернера[3], B.C. Леднева[4] позволяет установить содержательную структуру общего математического образования с математической картиной мира в качестве одной из системообразующих компонент (Рис. 4).
Рис. 4. Компонентное содержание общего математического образования.
II. Анализ содержания математической картины мира. Методическая система обучения математике в содержании математической картины мира базируется на выделении ее характеристик, становлении структурных общематематических представлений, описании фундаментальных теоретических схем математических теорий, определения места математической картины мира в общеобразовательной картине мира.
Проецирование научно-философских характеристик категории научной картины мира на содержание общеобразовательного курса математики позволяет выделить систему существенных
свойств понятия математическом картины мира:
- система общих представлений о классах математических объектов, о понятийной форме свойств объектов, выраженной на специфическом (математическом) языке, о специфических (доказательных) способах установления свойств объектов;
- система фундаментальных понятий, взаимных связей в содержании математических теорий и их базовых моделей, формирующих предметную область образования (математику);
- система обобщенных способов деятельности, интеллектуальных методов, посредством которых осуществляется интериоризация теорий;
- система приложений математических понятий, фактов, методов, теорий и адекватных им моделей в содержании общего образования;
- система общих представлений о взаимной связи математически спроектированного мира и различных сторон реального мира, выступающих средой формирования образовательной сферы мировоззрения.
Методологический анализ содержания общего математического образования в системе теоретических и нормативных положений [5], [6], авторских концепций и подходов [7], [8] в системе существенных свойств математической картины мира фиксирует ее структурные компоненты:
• общие внутриматематические представления;
• базовые математические теории - числовых систем, элементарных функций, геометрических фигур и их преобразований, уравнений, неравенств, систем, векторов и координат;
• представления о взаимосвязи математически спроектированного мира и реального мира;
• общая схема математической картины мира.
1. Общие внутриматематические представления.
1.1. Математические объекты - абстракции реальных физических объектов (геометрические фигуры), характеристик физических объектов (числа, векторы), равновесных процессов (уравнения), взаимной связи характеристик процесса (функции), выделенные для целей специфической (математической) деятельности и выступающие в образной, символической формах.
1.2. Базовые классы математических объектов - чисел, уравнений, функций, преобразований, геометрических фигур, векторов.
1.3. Форма существования математических объектов - мысленная, субъектная, спроектированная для целей математического моделирования фундаментальных характеристик реальных процессов, явлений.
1.4. Основное пространство математических объектов - трехмерное евклидово пространство Я3; основное числовое множество - множество Я действительных чисел; основные отношения - равенства, порядка, принадлежности, подобия; основные операции - сложения, умножения, композиции; основные преобразования - тождественные, равносильные, движения.
1.5. Алфавит математических теорий:
- символы натуральных, целых, рациональных, действительных чисел в арифметической, алгебраической моделях;
- символы геометрических фигур, их элементов, проективных, метрических, топологических характеристик;
- символы переменных для обозначения чисел, числовых множеств, геометрических фигур;
- символы операций, функциональные символы на множествах математических объектов;
- символы отношений равенства, порядка, подобия, эквивалентности на множествах математических объектов.
1.6. Язык математических теорий:
- совокупность выражений из констант, переменных, операций, функциональных символов, составленных по определенным правилам и либо имеющих общематематический характер, либо специфичных для определенной математической теории;
- совокупность предложений из выражений теории, составленных с помощью отношений, либо общематематического, либо частнотеоретического планов;
- совокупность слов, предложений родного языка, в содержании которого формируется математический язык, фиксируется смысловое содержание математических выражений, предложений.
1.7. Способы установления свойств абстрактных математических объектов - обобщение свойств реальных объектов, перенос их на математические образы, аксиоматизация, доказательство на основе логических правил вывода.
1.8. Структура процесса формирования математических понятий:
Восприятие
Представление
класс реальных объектов
система абстрактных свойств класса объектов
Понятие
Определение
1.9. Структура теории:
а) основные классы объектов и отношения;
б) абстрактная система понятий для описания свойств объектов класса и их взаимных связей;
в) система предложений о справедливости общих свойств объектов класса, выраженных в понятийной форме и установленных в системе правил логического вывода;
г) система предложений о возможной справедливости новых общих свойств объектов класса, выраженных в понятийной форме;
д) система методов установления свойств объектов класса - как общего математического плана, так и специфичных для данной теории;
е) взаимная связь классов объектов разных теорий и обоснованная ей взаимная связь теорий в понятийной форме.
2. Базовая математическая теория - теория числовых систем.
2.1. Методологическая основа - классическая теория множеств.
2.2. Логическая основа - алгебра высказываний, алгебра предикатов с соответствующими системами правил логического вывода.
2.3. Содержательная основа - аксиоматические теории натуральных чисел, колец, полей, упорядоченных полей, непрерывных полей.
2.4. Содержательная схема расширения числовых систем, развития понятия числа
N - множество натуральных чисел ^ - множество целых чисел
число - натуральное число число - целое число, в частности, натуральное число
Q - множество рациональных чисел Я - множество действительных чисел
число - рациональное число, в частности, целое число число - действительное число, в частности, рациональное число
2.5. Основные отношения на числовых системах - непосредственного следования, равенства, порядка, делимости, тригонометрические, показательные; основные операции на числовых множествах
- сложения, умножения, степени.
2.6. Основные алгебраические структуры числовых систем
< N ,+,• > система натуральных чисел < ^ ,+,•> система целых чисел < Q,+,•> система рациональных чисел < Я ,+,•> система действительных чисел
< N ,+> - полугруппа; < N ,+,• > - полукольцо < ^ ,+> - абелева группа; < ^ ,+,• > - кольцо < ^ ,+,•, < > - упорядоченное кольцо < Q ,+> - абелева группа; < Q# ,•> - коммутативная группа; < Q ,+,•> - поле; < Q ,+,•, < > - упорядоченное поле < Я ,+> - абелева группа; < Я #,• > - коммутативная группа; < Я ,+,•> - поле; < Я ,+,•, < > - непрерывное упорядоченное поле
2.7. Основные модели понятия числа в числовых системах
Числовая система N -систем а натура лъных чисел Z -систем а целых чисел е - систем а рацион алъных чисел Я - систем а действ ителън ых чисел
Модели числовой системы
Геометрическая модель Число - точка на числовой прямой с натуральной координатой Число - точка на числовой прямой с положительной или отрицательной координатой Число - точка на координатной прямой со свойством плотности 1. Число - точка на координатной прямой со свойством непрерывности 2. Число - точка на единичной окружности со свойством периодичности
Арифметическая модель Число - систематическая запись в q-ичнoй системе счисления, в 10-ичной системе счисления Число - систематическая десятичная запись с учетом знака Число - конечная или бесконечная периодическая десятичная дробь Число - бесконечная непериодическая десятичная дробь
Алгебраическая модель Число - класс эквивалентных разностей натуральных чисел Число - класс эквивалентных частных целых и натуральных чисел Число - класс эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел
2.8. Основные виды деятельности в числовых системах:
а) в N - систематическая запись, разложение на простые сомножители, поразрядные арифметические операции, вывод признаков делимости, решение уравнений, прикладных задач;
б) в 2 - развитие теории делимости, вычисление НОД и НОК целых чисел, арифметические операции над целыми числами, решение уравнений, прикладных задач;
в) в Q - проверка свойств поля, исследование операций и отношений над обыкновенными и десятичными дробями, решение уравнений, неравенств;
г) в Я - представление действительных чисел бесконечными десятичными дробями, исследование свойств, операций и отношений на множестве действительных чисел, приближение действительных чисел рациональными, исследование свойств элементарных функций, решение уравнений, неравенств.
3. Базовая математическая теория - теория элементарных функций на числовых множествах.
3.1. Методологическая основа - классическая теория множеств.
3.2. Логическая основа - алгебра высказываний, алгебра предикатов в содержательной функциональной форме с системами правил логического вывода.
3.3. Содержательная основа - теории числовых систем, теория Я действительных чисел.
3.4. Пространство объектов - классы элементарных функций на числовых множествах, их композиций, комбинаций - математические модели процессов с причинно-следственными связями в
числовых характеристиках.
3.5. Содержательная схема развертывания пространства объектов в системе общих свойств
Классы функций Абстрактные свойства объектов
Линейные - модели равномерных процессов Соответствие, область определения, область значений; График; Промежутки знакопостоянства; Непрерывность
Квадратные - модели равноускоренных процессов Монотонность, точки экстремума, наибольшие и наименьшие значения; Преобразование функций и графиков; Ограниченность функций
Дробно-рациональные - модели процессов с обратной зависимостью Вертикальные асимптоты; Выпуклость и вогнутость графика
Тригонометрические - модели периодических процессов Четность и нечетность; Периодичность; Нуги и точки разрыва
Показательные, логарифмические - модели экспоненциальных процессов Взаимно-обратные функции; Общая схема исследования; Производная
3.6. Система обобщенных способов деятельности:
- общий способ установления базовых свойств функции по ее графическому представлению;
- общий способ выделения промежутков возрастания и убывания функции с помощью производной на основе достаточных признаков;
- общий способ вычисления точек минимума, максимума с помощью производной на основе
Необходимых и достаточных признаков;
- общий способ исследования всех функций данного класса;
- общий способ исследования комбинаций, композиций элементарных функций;
- общий способ графического изображения функции по системе ее аналитических свойств.
3.7. Фундаментальная система понятий общематематического плана:
- функция;
- предел функции;
- непрерывная функция;
- производная функции;
- первообразная функции;
- определенный интеграл.
3.8. Система внешних связей теории элементарных функций:
- теория функций в геометрии в форме теории преобразований плоскости, пространства;
- опосредование классов уравнений, неравенств, систем соответствующими классами элементарных функций;
- наследование свойств числовых систем (порядка, периодичности, непрерывности, топологии) в теории элементарных функций;
- обоснование равносильности преобразований уравнений, неравенств, систем свойствами элементарных функций.
4. Базовая математическая теория - теория геометрических фигур и их преобразований.
4.1. Методологическая основа - классическая теория множеств.
4.2. Логическая основа - система аксиом евклидовой геометрии (ориентированная на научную аксиоматику Д. Гильберта), алгебра высказываний, алгебра предикатов в содержательной геометрической форме.
4.3. Содержательная основа - трехмерное векторное пространство с естественной метрикой как пространство геометрических фигур.
4.4. Фундаментальные виды геометрической деятельности общематематического плана:
1) формирование пространственного мышления в содержании интуитивного, пространственного, метрического, логического, конструктивного, символического компонентов;
2) формирование логического мышления в содержании аксиоматического построения математической теории, логического анализа геометрических понятий, теорем, структуры их доказательства, базовых методов.
4.5. Пространство объектов теории - множество плоских и пространственных геометрических фигур - абстрактных образов реальных объектов физического пространства - в образном, графическом, символическом изображениях.
4.6. Базовая система понятий пространства геометрических фигур:
- понятия геометрической фигуры определенного класса и ее элементов;
- понятия преобразований движения, подобия, их конкретных видов на множестве геометрических фигур;
- метрические понятия длины, угловой меры, площади, объема как характеристики геометрических фигур;
- аксиоматизируемые понятия первичных терминов теории; абстрактные понятия, формализующие свойства геометрических фигур, их взаимные связи;
- понятия методов построения, преобразования геометрических фигур, методов доказательства свойств классов геометрических фигур, их преобразований;
- понятия структурных элементов геометрии как аксиоматизируемой теории, ее абстрактных свойств, моделей.
4.7. Базовые модели пространствагеометрических фигур:
а) физические модели - совокупность моделей реального физического пространства, как формирующих абстрактные свойства геометрических фигур (траектория движения Земли как основа понятия и свойств эллипса, модель дома в форме прямоугольного параллелепипеда в системе проективных, метрических, топологических свойств, взаимная связь самолета и его тени как модельный образ понятия подобных фигур, метода установления свойств подобия), так и сконструированных на базе установленных абстрактных свойств (вышка в форме однополостного гиперболоида из прямолинейных образующих, фара как модель параболоида вращения);
б) арифметические модели - совокупность определенных множеств точек пространства Я5, удовлетворяющих определенным уравнениям (плоскости, поверхности), неравенствам (области
пространства), системам уравнений (прямые, линии), неравенств (геометрические тела) в содержа векторно-координатного метода.
фигуры в виде знака ^ символическое представление фигуры в процедуре доказательства»;
б) поэтапный процесс конкретизации в схеме: «понятие геометрической фигуры ^
символическое обозначение фигуры ^ графический образ геометрической фигуры как представителя
проективных, топологических элементов»;
в) образно-логический процесс обобщения свойств геометрических фигур: фиксация свойства на наглядной модели; доказательство свойства на условном графическом изображении для класса геометрических фигур; исследование, доказательство свойства посредством символической модели в системе других абстрактных свойств;
г) поэтапный процесс классификации, систематизации в схеме: «анализ совокупности реальных объектов, геометрических моделей в системе родо-видовых свойств ^ выделение системы общих свойств-признаков класса геометрических фигур и его подклассов на условных графических изображениях ^ логический анализ класса геометрических фигур и его подклассов в системе необходимых и достаточных признаков (определений) образного и логического представления ^ теоретическое установление связи определений, классов в системе символических образов»;
д) аналитико-синтетическая деятельность решения геометрических задач:
- фиксация в задаче элементов геометрической фигуры;
- отнесение фигуры к классу геометрических фигур с понятийной системой свойств класса;
- отбор абстрактных свойств класса геометрических фигур, востребованных условием и требованием задачи;
- применение актуализированных абстрактных свойств в содержании конкретной задачи;
- синтезирование условия, свойств класса, результата их применения в форме способа решения;
е) аналитико-синтетическая деятельность доказательства теорем:
- фиксация класса геометрических фигур и нового свойства класса, устанавливаемого теоремой;
- актуализация абстрактных свойств класса геометрических фигур;
- установление логических взаимосвязей известных свойств класса геометрических фигур и нового свойства;
- визуализация устанавливаемых связей на условных графических изображениях и оценка их общности;
- проектирование плана логико-содержательных рассуждений по переходу от известных свойств класса фигур к новому;
- реализация, уточнение плана установления справедливости свойства в цепочке логических содержательных рассуждений, формировании адекватных графических образов;
- анализ способа установления справедливости заключения теоремы;
- оценка общности рассуждений в форме метода доказательства;
ж) становление интеллектуальных способов математической деятельности «анализ - синтез» в форме общенаучных:
- фиксация цели установления целостной системы абстрактных свойств класса геометрических
фигур;
- вычленение совокупности свойств геометрических фигур данного класса, обобщаемых на весь класс или его подкласс;
- выяснение зависимости всякой пары свойств на условных графических изображениях, в системе логико-содержательных рассуждений;
- установление иерархии свойств в классе геометрических фигур, оценка общности взаимных
связей;
- введение системы понятий, фиксирующих свойства геометрических фигур, их взаимные связи;
- построение в процедуре дедуктивных доказательств описания подклассов, свойств, взаимных связей целостного класса геометрических фигур.
4.9. Система внешних связей теории геометрических фигур и их преобразований:
- общий подход в приложении общих свойств, признаков класса геометрических фигур в решении геометрических задач и в приложении общих свойств класса элементарных функций к
4.8. Система обобщенных способов геометрической деятельности:
а) поэтапный процесс абстрагирования в схеме: «реальный объект ^ наглядная модель геометрической фигуры ^ условное графическое изображение геометрической фигуры ^ конструктивное, мысленное преобразование изображения ^ символическая запись геометрической
класса фигур ^ графический образ фигуры, конкретизированный системой ее метрических,
Исследованию конкретных функций;
- взаимная связь расширения числовых систем и метрических способов исследования геометрических фигур (несоизмеримость диагоналей квадрата, удвоение куба, трисекция угла);
- векторно-координатный метод исследования свойств геометрических фигур как средство приложения и развития теории уравнений, неравенств, систем;
- единый состав методов доказательства свойств геометрических фигур, закономерностей в числовых системах, свойств функций;
- наследование закономерностей построения, преобразования графических изображений геометрических фигур в построении, чтении технических чертежей;
- аксиоматический метод построения математических теорий ( числовых систем, меры, векторных пространств) в единстве с аксиоматическим построением геометрии и ее моделей.
5. Базовая математическая теория - теория уравнений, неравенств, систем.
5.1. Пространство объектов теории - классы уравнений, неравенств, систем на числовых множествах - классы математических моделей реальных процессов, явлений:
- уравнения - модели равновесия при определенных условиях двух величин процесса;
- неравенства - модели сравнения при определенных условиях двух величин процесса;
- системы уравнений - модели равновесия при определенных условиях нескольких величин процесса.
5.2. Методологическая основа - классическая теория множеств, предикатная представленность как база интеграции классов уравнений, неравенств, систем.
5.3. Содержательная основа - система предикатов, определенных классами функциональных выражений на различных числовых множествах.
5.4. Логическая основа - алгебра предикатов с понятиями равносильности, логического следования в системе содержательных правил логического вывода.
5.5. Базовая система понятий:
- уравнений, их подклассов, общих методов решения;
- неравенств, их подклассов, общих методов решения;
- систем уравнений, их подклассов, общих методов решения;
- равносильных преобразований уравнений, неравенств, систем - общематематических и специфических для данного класса;
- логического следования уравнений, неравенств, систем и опосредованных им равносильных переходов.
5.6. Система обобщенных способов деятельности:
- общие способы решения уравнений, неравенств, систем данного класса в содержании алгоритмических, эвристических, творческих действий;
- функционально-графические способы решения уравнений, неравенств, систем данного класса на базе функционально-графических представлений, приближенных оценок значений;
- обобщенные способы исследования явлений, процессов, математическими моделями которых выступают классы уравнений, неравенств, систем;
- обобщенные способы описания свойств геометрических фигур в зависимости от аналитической формы описывающих их уравнений, неравенств, систем;
- обобщенные способы применения уравнений, неравенств в исследовании свойств числовых функций.
5.7. Базовые эвристические методы решения уравнений, неравенств, систем:
- метод введения вспомогательной переменной в уравнениях, неравенствах, системах, основанных на композиции функций;
- метод разложения на множители для целых, рациональных уравнений, неравенств, систем;
- метод кусочного исследования области определения - для уравнений, неравенств, систем с переменной под знаком модуля;
- метод применения монотонной функции к обеим частям уравнения, неравенства;
- метод алгебраического сложения в тригонометрических системах уравнений.
5.8. Система внешних связей теории:
- соответствие вида уравнений, методов их решения и числовых систем, на которых они рассматриваются;
- проектирование общей схемы исследования элементарных функций в последовательности функциональных действий, действий по исследованию уравнений, неравенств;
- опосредованный характер преобразований уравнений, неравенств свойствами
Соответствующего класса функций;
- соответствие геометрических фигур евклидова пространства и классов уравнений, неравенств, которые их описывают.
6. Базовая математическая теория - теория векторов и координат.
6.1. Пространство объектов теории:
- множество векторов - абстрактных образов физических величин, характеризуемых величиной и направлением, в условиях их классификации;
- множество точек - абстрактных образов в форме упорядоченных пар, троек, связанных с векторами координатным разложением.
6.2. Методологическая основа - классическая теория множеств, теория евклидовых пространств.
6.3. Содержательная основа - трехмерное евклидово пространство с аналитическими (точечновекторными) методами исследования геометрических фигур.
6.4. Логическая основа - система аксиом евклидовой геометрии в аксиоматике Вейля в содержании взаимосвязанных алгебры высказываний (векторы) и алгебры предикатов (координаты).
6.5. Базовая система понятий:
- вектора и его координат;
- коллинеарности, ортогональности, компланарности векторов;
- операций над векторами, их координатами;
- скалярного произведения, длины вектора, угла между векторами;
- координатных уравнений прямой, окружности, плоскости, сферы;
- уравнений преобразований поворота, симметрии, параллельного переноса.
6.6. Обобщенные способы деятельности:
- построение и исследование геометрических фигур в евклидовом пространстве;
- исследование метрических характеристик геометрических фигур на базе свойств скалярного произведения;
- исследование условий взаимной связи геометрических фигур в системах уравнений евклидова пространства;
- доказательство теорем о свойствах геометрических фигур координатным методом;
- проверка эквивалентности систем аксиом евклидовой геометрии по Гильберту и Вейлю.
6.7. Базовые методы исследования геометрических фигур:
- координатный метод;
- векторный метод;
- векторно-координатный метод.
6.8. Система внешних связей теории:
- согласованное исследование геометрических фигур в логико-образном и векторнокоординатном подходах;
- развитие векторно-координатного метода до общенаучного метода исследования естественнонаучных и общественных процессов.
7. Представления о взаимосвязи математически спроектированного мира и реального мира.
7.1. Пространство объектов математически спроектированного мира:
- числа, операции, отношения - основные объекты абстрактной математической теории «числовых систем»;
- функции, производные, первообразные - основные объекты абстрактной математической теории «элементарных функций»;
- геометрические фигуры, преобразования геометрических фигур - основные объекты абстрактной математической теории «геометрических фигур и их преобразований»;
- уравнения, неравенства, системы уравнений, решения -основные объекты абстрактной математической теории «уравнений, неравенств, систем»;
- вектора, координаты, базис, уравнения фигуры - основные объекты абстрактной математической теории «векторов и координат».
7.2.Обобщенная характеристика базовых математических теорий:
1. Теория числовых систем - развитая на интуитивной теории натуральных чисел математическая теория, охватывающая систему свойств натуральных, целых, рациональных, действительных чисел, позволяющая как изучать числовые характеристики дискретных, непрерывных величин реального мира, так и развивать новые математические теории, описывающие более тонкие закономерности реального мира.
2. Теория элементарных функций - развитая в процедурах абстрагирования прямой, обратной,
обладающая универсальными методами исследования зависимостей величин, их изменений универсальным аппаратом дифференциального и интегрального исчислений.
3. Теория геометрических фигур - обобщающая различные пространственные формы объектов физического пространства математическая теория, позволяющая формировать:
- пространственное мышление учащихся, обеспечивающее их ориентацию в образной, графической, символической системах геометрических объектов, их взаимных связей;
- логическое мышление учащихся, позволяющее устанавливать в процедурах доказательства свойства геометрических фигур, формировать понятийную систему геометрических образов, исследовать становление теории и ее моделей.
4. Теория уравнений, неравенств, систем - возникшая из практических задач нахождения условий равновесия, сравнения двух или более величин математическая теория, охватывающая совокупность классов уравнений, неравенств, систем, адекватную совокупность методов решения, выступающая как средством исследования сюжетных математических задач, так и основой развития новых классов уравнений, неравенств, систем на различных множествах математических объектов.
5. Теория координат и векторов - алгебраическая теория трехмерного евклидова пространства, исследующая в системе аналитических методов свойства геометрических фигур, выступающая удобным средством анализа векторных характеристик явлений, процессов физического мира, позволяющая осуществлять полную классификацию геометрических фигур, их свойств.
7.3. Методологическая схема взаимодействия математических теорий и математически адаптированных процессов, явлений (рис. 5):
Реальный процесс, класс реальных явлений, адаптированные к условиям математической деятельности
Выделение числовых характеристик процесса класса явлений
1
і
Исследование арифметической модели в соответствии с логическими и содержательным и средствами теории числовых систем
1
Выделение функциональных зависимостей величин процесса, класса явлений
4о,
Выделение условий равновесия, сравнения двух или более величин процесса, класса явлений
Выделение пространственных геометриче ских форм процесса, класса явлений
Выделение векторных, метрических характеристик процесса, класса
»делирование средствами математическом теории
г^с
1
Теория числовых Теория Теория уравнений, Теория Теория евклидова
систем как среда элементарных неравенств, систем геометриче ских пространства как
и общий метод функций как среда (предикатов) как среда фигур как среда и среда и общии
построения и общий метод и общий метод общий метод метод построении
арифметической построения построения построения векторно-
модели функциональной предикатной модели геометрической координатнои
модели модели модели
В
!][утритеоретическое исследование математической модели
Исследование функциональной модели в соответствии с логическими и содержательными средствами теории элементарных функций
Исследование предикатной модели в соответствии с логическими и содержательными средствами теории уравнений, неравенств,
Исследование геометрической модели в соответствии с логическими и содержательными средствами теории геометрических
Интерпретация результатов внутритеоретического исследование
Анализ результатов исследования арифметической модели в содержании
і
і
Анализ результатов исследования функциональной модели в содержании процесса, класса
Анализ результатов исследования предикатной модели в содержании процесса, класса
с^е
1
Исследование векторнокоординатной модели в соответствии с логическими и содержательными средствами теории евклидова пространства
Анализ результатов исследования геометрической модели в содержании
1
1
1
1
і
Анализ результатов исследования векторнокоординатной модели в содержании
Т
Рефлексия модельного математического подхода
Анализ закономерностей и исследования особенностей математического модельного подхода реальных процессов, классов явлений
в классе арифметических моделей в классе функциональных моделей в классе предикатных моделей в классе геометриче ских моделей в классе векторнокоординатных моделей
Рис. 5. Схема взаимной связи математической и предметных картин мира.
8. Общая схема математической картины мира
При всей общности математических теорий, схемы их взаимодействия с математически адаптированными процессами, классами явлений в понятии математической картины мира важным выступает и ее целостное представление - схема математической картины мира общего математического образования (рис.6).__________________________________________________________________________
Математика:
- абстрактный образ реального мира;
- система мысленных математических конструкций
Взаимосвязанные классы математических понятий, задач, теорем, доказательств, виды
математической деятельности
Абстрактный язык математики в системе математических символов, выражений,
предложений
Теория Теория Теория Теория Теория евклидова
числовых элементарных уравнении, геометрических пространства
систем функций неравенств, фигур и их
Система новых математических Среда становления Взаимодействие математических
теорий и их приложений математической деятельности, теории и математически
математического мышления адаптированных реальных
процессов, классов явлении
Рис.б. Схема математической картины мира общего математического образования
Список литературы
1. Степин, B.C. Теоретическое знание. [текст]М.: Прогресс-Традиция, 2003. 744 с.
2. Касьян, A.A. Контекст образования: Наука и мировоззрение [текст]: монография. Н.Новгород: Изд-воНГПУ, 1996. 184 с.
3. Теоретические основы содержания общего среднего образования [текст] / Под ред. В.В. Краевского, И.Я. Лернера. М., 1983. 352 с.
4. Леднев, B.C. Содержание образования: сущность, структура,
перспективы [текст]. М., 1991. 224 с.
5. Концепция развития школьного математического образования // Математика в школе. 1990. №1. С. 2-13.
6. Тихомиров, В.М. Геометрия в современной математике и математическом образовании // Математика в школе. 1993. №4. С. 3-9.
7. Дорофеев, Г.В. Гуманитарно-ориентированный курс - основа учебного предмета. Математики в общеобразовательной школе // Математика в школе. 1997. №4. С. 59-66.
8. Мордкович, А.Г. Новая концепция школьного курса алгебры // Математика в школе. 1996. №6.
С. 28-33.
Об авторе
Горбачев В.И. - доктор математических наук, профессор Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского.
