Внутренне-процессуальная компетенция в системе общепредметных компетенций математической деятельности (на содержании базовых теорий числовых систем, функций) Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

УДК 371.24+371.212 ГОРБАЧЕВ В.И.

доктор педагогических наук, профессор, директор естественно-научного института, Брянский государственный университет имени И.Г, Петровского Е- тай: [email protected]

UDC 371.24+371.212 GORBACHEV V.I.

Doctor of Pedagogics, Professor, Director of the Institute of Natural Sciences, Bryansk State Academician I.G.

Petrovsky University E- mail: [email protected]

ВНУТРЕННЕ-ПРОЦЕССУАЛЬНАЯ КОМПЕТЕНЦИЯ В СИСТЕМЕ ОБЩЕПРЕДМЕТНЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ (НА СОДЕРЖАНИИ БАЗОВЫХ ТЕОРИЙ ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ, ФУНКЦИЙ)

INTERNAL PROCEDURAL COMPETENCE IN THE SYSTEM OF COMMON SUBJECT COMPETENCES OF MATHEMATICAL ACTIVITY (ON THE CONTENT OF THE BASIC THEORIES OF NUMERICAL SYSTEMS, FUNCTIONS)

В статье исследуется содержание внутренне-процессуальной компетенции как общепредметной, реализующей личностную цель учебной математической деятельности. В становлении внутренне-процессуальной компетенции изучаются общие закономерности формирования типов мышления и представлений памяти. На содержании базовых математических теорий числовых систем, функций выделены конкретные типы мышления, памяти, способы их формирования.

Ключевые слова: методика обучения математике, общепредметные компетенции, личностная цель обучения, внутренне-процессуальная компетенция, учебные математические теории числа, функций.

The article analyzes the contents of the internal procedural competence as a common subject competence, which implements the personal goal of learning mathematical activity. General regularities of types of thinking and memory concepts are explored in the development of the internal procedural competence. On the content of the basic mathematical theory of numerical systems, functions are allocated specific types of thinking, memory, processes for their formation.

Keywords: methodology of teaching mathematics, common subject competences, personal goal of learning, internal procedural competence, learning mathematical theory of numbers, functions.

Компетенции личностной цели. Личностная цель учебной математической деятельности направлена на интеллектуальное развитие, формирование внутренних как общеучебных, так и частно-предметных качеств субъекта, востребованных условиями и содержанием учебной, социопрофессиональной деятельностей [12]. В содержании общеучебного взаимодействия, в личностно-социальном плане базовой выступает группа субъектных качеств целостной учебной деятельности в форме общепредметных компетенций [2, 10, 13]:

- формируемых преимущественно в математической среде и проецируемых, развиваемых в других предметных сферах;

- привнесенных в математику на определенном уровне предметного становления и приобретающих в ней специфическую представленность.

В общей структуре формируемых в математической деятельности и транслируемых в систему других учебных дисциплин в качестве общеучебных «абстрактно чистых, содержательно не завуалированных» внутренних видов учебной деятельности разделяются:

- общеинтеллектуальные способы познавательной деятельности, не имеющие предметной «привязанности», выступающие эффективными средствами всякой учебной предметной деятельности и в отрефлек-

сированном виде обладающие высокой ценностью для субъекта;

- предметно-математические способы учебной деятельности, востребованные в иных учебных предметных сферах как в математически сформированном виде, так и адаптированные в процессе переноса;

- методологически обоснованные способы синтезирования всякой адаптированной учебной предметной теории в ее ставшем системно-структурном представлении.

Каждый вид деятельности обладает относительной самостоятельностью, является объективно необходимым во всякой учебной предметной теории, в системе критериальных признаков опосредует адекватную «личностную общепредметную» компетенцию [2. 13]:

- общеинтеллектуальную;

- внутренне-процессуальную;

- теоретико-развивающую.

В учебной математической деятельности, проектируемой в плане личностного развития ее включенностью в общепредметную с позиции общей цели выделения внутренних общеучебных качеств субъекта, деятельностная структура общепредметных компетенций может быть в определенной степени уточнена[2, 3,13]:

© Горбачев В.И. © Gorbachev V.l.

1. Общеинтеллектуальная компетенция в системе учебных математических теорий обоснована сформированностью «чистых» форм действий сравнения, обобщения и конкретизации, абстрагирования и идеализации, анализа и синтеза, классификации, систематизации, аналогии, формализации, выделением закономерностей их использования в общеучебной деятельности.

2. Внутренне-процессуальная компетенция опосредована становлением общих в каждой из математических теорий действий, формирующих базовые способы мышления и фундаментальные представления памяти: определение, формулировка, доказательство, преобразование, вычисление, решение, исследование, построение, моделирование.

Имеющие исполнительскую форму выраженности общеучебные действия, формирующиеся в их содержании внутренние психические процессы, имеют сложную взаимосвязь:

- в содержании учебной математической теории действия первичны, объективно необходимы в становлении процедур мышления, представлений памяти и, конкретной содержательной формой маскируют, делают незаметными для сознания факты мышления, памяти;

- процедуры мышления, представления памяти взаимно обусловлены, не разделены, выступают внутренними средствами осуществления исполнительских действий, становятся фактами сознания лишь в условиях направленной рефлексии;

- обобщенная форма действия в представлениях памяти, его логико-содержательное обоснование выступают основными характеристиками сформированности действия.

Становление внутренних процессов из внешних исполнительских действий обосновывает закономерность формирования внутренне-процессуальной компетенции в содержании анализа действия, выделения в действии обобщенной формы его обоснования (мышление), содержательной структуры (память).

3. Теоретико-развивающая компетенция характеризует уровень системно-структурных представлений учебных математических теорий в методологии общеучебных действий формально-интуитивного представления, содержательного абстрагирования, системного структурирования понятий, становления обобщенных способов деятельности, целостного представления. Закономерности формирования теоретико-развивающей компетенции в содержании адаптированных учебных математических теорий числовых систем, функций, геометрических фигур, трехмерного евклидова пространства установлены в работах автора [4, 5, 6, 7, 9].

В классической методике обучения математике, в принципе, выделены и система общеинтеллектуальных методов учебно-познавательной деятельности, и система конкретных видов (умений) предметно-математической деятельности, и закономерная система действий систематизации математических теорий:

- спроектирована базовая методика формирования

понятий в последовательности закономерных этапов, конкретизируемая в научно-теоретических и конкретно-практических исследованиях;

- разработаны базовые методики формирования умений, доказательства теорем, решения математических задач, средства их диагностирования, оценки;

- на интуитивно-содержательном уровне выстроены учебные математические теории числа, функций, геометрических фигур, меры, уравнений, неравенств, систем;

- в теоретическом плане на конкретном математическом содержании исследованы методы формирования определенных общеинтеллектуальных действий.

В условиях определенной методической реализации в математической деятельности, адекватной цели личностного развития, не исследовались и в полной мере не достигнуты критериальные признаки компетентностно-го подхода [2, 3, 10, 13]:

- общая структура общеинтеллектуальных способов математической деятельности учения (представление общепредметного уровня) не выделяется, специфика их проявления в содержании конкретной теории (опыт конкретизации) не фиксируется:

- общеучебные действия формируются во внутреннем плане субъекта лишь как средства, в содержании конкретной учебной математической теории, вне анализа общетеоретических закономерностей - не как общеучебных (опыт общеучебной деятельности);

- учебные математические теории исследуются в историко-генетическом плане, во фрагментарно-модульном подходе - в системе классов объектов, свойств различных теорий (функций и числовых систем, функций и уравнений, фигур и преобразований), систематизация теории, ее методологический анализ при этом не предполагаются (рефлексия), фиксируя эмпирический (не теоретический) тип мышления.

Внутренне-процессуальная компетенция математической деятельности учения. Внутренне-процессуальная компетенция характеризует уровень системной организации, сформированности представлений памяти, процесса мышления в содержании обобщенных действий учебной математической деятельности [2, 3].

Определяющими в становлении памяти и мышления, как вну тренних психических процессов, формируемых субъектом при изучении учебных математических теорий, выступают закономерности:

- каждая из адаптированных учебных математических теорий числа, функций, фигур, векторов, предикатов. вероятностей характеризуется структурным представлением пространства абстрактных объектов в спектре моделей, базовых классов, операций, отношений и их свойств и исследуемой абстрактной теорией системой фундаментальных закономерностей пространства;

- учебная деятельность, направленная на становление во внутреннем плане субъекта как пространственных. так и теоретико-пространственных

представлений (числового пространства, функционального пространства, геометрического пространства, векторного пространства, пространства числовых предикатов, вероятностного пространства), структурируется соответствующими деятельностью представливания и теоретико-пространственной деятельностью с адекватными деятельностям типами памяти, мышления.

- становление внутренних психических процессов в значительной степени зависит от принятия субъектом этапной реализации в системе обобщенных действий, направленной рефлексии задач становления пространственных представлений и задач исследования закономерностей внутреннего образа сформированного пространства.

В деятельности представливания разделяются задача создания объектов, операций, отношений пространства в процедурах абстрагирования, идеализации, систематизации и классификации и задача становления системно-структурного образа пространства в его фундаментальных свойствах. Задаче абстрагирования и идеализации объектов, операций, отношений соответствует абстрактно-алгоритмический этап становления представлений памяти, мышления, целостный содержательный образ пространства выступает результатом этапа системного структурирования внутренних пространственных представлений.

Теоретико-пространственная деятельность базируется на интуитивных, образных, аналитических представлениях пространства, систематизирует абстрактно-алгоритмические и системно-структурные представления памяти, мышления в задачах исследования закономерностей пространства абстрактно-аксиоматического (процедуры абстрагирования, аксиоматизации фундаментальных свойств пространства), аналитико-синтетического (понятийные способы доказательства, решения, исследования на классах объектов пространства) и методологического (модельные представления пространства, базовые методы доказательства, фундаментальные свойства и взаимосвязи пространств) этапов (табл. 1).

Цели формирования общепредметной внутренне-процессуальной компетенции в системе задач деятельности представливания и теоретико-пространственной деятельности, этапов становления внутренних процессов познания предшествует исследование деятельност-ной и психологической структур в каждой из учебных математических теорий общеобразовательного курса математики (числа, функций, фигур, векторов, предикатов, вероятностей):

- выделение базовых видов деятельности в структуре составляющих их исполнительских действий (создание пространства объектов и исследование его закономерностей);

- проектирование, обоснование, реализация, обобщенный анализ действий, адекватных этапам становления пространственно-теоретического мышления, в системе ранее установленных фактов пространства, закономерностей теории (механизм мышления):

- синтезирование исполнительской и обосновывающей процедур в форме способа, метода, формулировки, модели данной теории (представление памяти).

Теория числовых систем. В теории числовых систем самостоятельно развиваются, интегрируются в целостном образе алгебраические теории натуральных, целых, рациональных, действительных чисел вместе с геометрическими, арифметическими, алгебраическими моделями, выстроенными в процедуре наследования, поглощения.

Фундаментальная категория числа как абстрактного объекта каждой из числовых теорий вместе с ее базовыми модельными образами формирует категорию «числовое пространство», охватывающую в теоретической и модельной формах классы объектов в их взаимных связях, алгебраические операции, операторные действия, отношения порядка, эквивалентности. Обобщенное отражение практической деятельности счета, измерения, вычислений в системе внутренних образов числового пространства, оперирование образами на разных уровнях сформированности составляют содержание числовых пространственных представлений, воображения. Числовые пространственные представления. воображение, выступающие универсальными средствами не только математической, но и всякой познавательной деятельности, позволяют выделять для исследования задачи формирования пространственно-числовое мышление.

Каждая из числовых систем в сочетании абстрактной теории и ее базовых моделей вместе со своими классами абстрактных объектов, операциями, отношениями образует определенное числовое подпространство с системой общих и специфических закономерностей, выделяемых лишь в содержании целенаправленных абстрактно-аксиоматических и модельно-теоретических исследований. Последовательность теорий числовых систем в их закономерных связях, интегральные теоретико-числовые представления востребуют теоретико-числовой тип мышления, формирующийся в понятийной, доказательной форме, выстроенный в содержании аксиоматического метода с опорой на модельные представления теории [8, с. 31-32].

Пространственно-числовой тип мышления формируется в адекватной деятельности представливания. основное содержание шторой составляет становление аппарата арифметических, алгебраических действий в системе операций, отношений - от уровня конкретных алгоритмов до обобщенных алгоритмических схем [9, с. 42].

Теоретико-числовой тип мышления, становящийся в сочетании абстрактно-аксиоматической и теоретико-модельной деятельносгей, направлен на формирование в конкретно-обобщенной форме базовых методов доказательства - по индукции, по определению, предельного перехода, понятийную интеграцию на инту итивном, образном, аналитическом, логико-символическом, знаковом уровнях теории числовых систем и ее базовых моделей.

В целостной математической деятельности по исследованию числовых систем пространственно-числовой и

Таблица 1.

Виды деятельности в изучении пространства объектов, теории пространства Задачи реализации деятельности Этапы становленияпространственно-теоретических мышления, представлений памяти Обобщенные действия формирования внутренних процессов

Деятельность представливания (про-странственные представление, мышление) Создание объектов, классов объектов. Введение операций, отношений на классах объектов. Выделение свойств объектов, операций, отношений. Интуитивное представление пространства объектов. Абстрактно-алгоритмический: - абстрактно-алгоритмическое мышление в процессе обоснования обобщенных действий; - базовые представления памяти на шкале формирования «алгоритмы конкретных действий - обобщенные алгоритмические схемы деятельности». Определение Формулировка Преобразование Вычисление Решение Исследование Построение

Систематизация объектов, классов в их взаимных отношениях. Выделение структурных компонентов пространства объектов, их свойств. Целостное представление пространства объектов в образной, понятийной формах. Системно-структурный: - системно-структурное понятийное (уровень имен) пространственное мышление в выделении базовых способов деятельности, классов объектов, исследовании их взаимных связей; - понятийные системно-структурные представления пространства во взаимосвязи классов объектов, их свойств.

Теоретико-пространственная деятельность (за-кономерности пространства в образной, понятийной, логико-символической формах) Процедуры абстрагирования, аксиоматизации базовых объектов, операций, отношений, их свойств. Понятийное выделение классов объектов пространства в аксиоматическом подходе Абстрактно-аксиоматический: - абстрактно-аксиоматическое мышление в установлении предмета учебной математической теории; - представление математической теории в системе определений базовых и производных понятий, аксиоматизируемых и выводимых свойств адекватных классов объектов пространства. Определение Формулировка Доказательство Преобразование Вычисление Решение Исследование Построение Моделирование

Доказательство свойств классов объектов пространства в понятийной, логико-символической формах. Исследование свойств классов объектов в сочетании образной и понятийной форм. Аналитико-синтетический: - понятийное аналитико-синтетическое мышление в доказательстве свойств классов объектов, операций пространства, исследовании классов задач теории; - представление базовых методов доказательства, обобщенных способов исследования классов объектов в содержании теории.

Модельные представления пространства, классов объектов и их свойств. Анализ базовых методов доказательства в теории. Выделение фундаментальных свойств пространства, взаимосвязей пространств различных теорий. Методологический: - методологическое мышление в анализе взаимосвязей пространства объектов и его базовых моделей, модельных способов доказательства, исследования фундаментальных свойств пространства; - модельные представления фундаментальных свойств пространства и его базовых классов объектов, представление теории пространства в ее абстрактно-аксиоматическом построении, взаимной связи с другими теориями.

теоретико-числовой типы мышления выступают взаимосвязанными специфическими компонентами математического мышления, отражающими общепредметный характер исследования всякой адаптированной учебной теории в сочетании ее классов объектов и предмета.

Составляющими в целевом аспекте формирования пространственно-числового типа мышления обобщенными действиями деятельности представливания выступают отражающие историко-математические закономерности становления целостной теории числовых систем, ее дидактической адаптации на уровне общего

образования базовые виды деятельности [9, с. 42-44 ]:

1. Описание классов объектов в числовых системах и их моделях (натуральные, целые, рациональные, действительные числа; числовые промежутки: числовые последовательности; упорядоченные пары, тройки чисел);

2. Оперирование объектами (сложение, умножение, степень, показательные, тригонометрические, логарифмические значения) в теории числовых систем и их базовых моделях;

3. Сравнение объектов (порядка, делимости) в теории числовых систем и их базовых моделях;

4. Отображения в классах объектов числовых систем и их моделей (числовые функции);

5. Исследование числовых предикатов (уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств), их областей истинности на конкретных числовых множествах;

6. Мировоззренческое отражение в процедуре счета фундаментальных свойств конечности, бесконечности, счетности, континуальности числовых множеств, категории «дискретность - непрерывность» - в процедуре измерения.

Абстрактно-алгоритмический этап становления пространственно-числового мышления характеризуется обоснованием модельных представлений объектов (чисел) каждой из числовых систем, процедур оперирования, сравнения в базовых моделях и в абстрактной теории. Стратегия развития абстрактно-алгоритмического этапа пространственно-числового типа мышления была вполне определена И. Ньютоном во «Всеобщей арифметике или книге об арифметических анализе и синтезе»: «... ознакомиться со значением употребляемых в ней (науке вычислений) терминов и знаков и изучить основные действия, как-то: сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корня, приведение дроби и радикалов.. ., приобрести сноровку во всех этих действиях...» 111, с. 7-8]. Высокая значимость представлений числовых систем^ оперирования, сравнения в плане развития субъекта отмечена Р. Дедекиндом: «Уже сама по себе цепь этих чисел образует необычайно полезное вспомогательное средство для человеческого ума и представляет неиссякаемое богатство замечательных законов, к которым мы приходим посредством введения четырех основных арифметических действий» [1, с. 12].

Методы представления, оперирования, сравнения объектов определенной числовой системы в каждой из базовых моделей, формирующиеся в процедурах логических операций абстрагирования, сравнения, анализа и синтеза, классификации и систематизации в сочетании образной и понятийной форм, характеризуют становление математического мышления - абстрактного, алгоритмического, понятийного, имеющего широкое прикладное значение в учебной деятельности и математической, в частности. Адекватными этапу представлениями памяти высту пают харакгеризация числа в арифметической, алгебраической, геометрической моделях числовых систем, алгоритмы оперирования, сравнения, алгоритмические схемы «науки вычислений (И. Ньютон)».

Системно-структурный этап пространственно-числового мышления формируется в обосновании базовых способов деятельности представливания:

- в переходах в представлении числа, вычислениях от одной модели числовой системы к другой;

- в обобщении процедур оперирования каждой из расширяющихся моделей числовых систем;

- в исследовании базовых классов каждой из числовых систем (простые и составные натуральные числа, делители и кратные целые числа, конечные и бесконечные периодические дроби, рациональные и иррациональные числа, алгебраические и трансцендентные

действительные числа);

- в исследовании фундаментальных свойств конечности и бесконечности, счетности и континуальности, дискретности и непрерывности числовых систем.

Адекватными системно-структурному этапу представлениями памяти являются:

- описание каждой числовой системы базовыми моделями в их взаимной связи;

- становление базовой (арифметической, алгебраической, геометрической) модели в последовательном расширении числовых систем;

- соответствие классов чисел конкретной числовой системы и их свойств;

- представление задач изучения числовой системы и обобщенных способов их решения.

Целостный характер пространственно-числовых представлений, этапов становления теоретико-числового типа мышления, представлений памяти определяется включенностью в учебную математическую деятельность обобщенных действий (табл. 2):

1. Модельное и абстрактно-аксиоматическое определения понятий числовых систем в их обосновании и взаимной связи, понятийная систематизация числовой системы.

2. Доказательство свойств счетных классов объектов методом математической индукции в теории числовых систем и их базовых моделях.

3. Доказательство свойств классов объектов числовых систем средствами базовых моделей.

4. Исследование свойств классов объектов числовых систем на основе их определения

5. Исследование свойств классов объектов системы действительных чисел методом предельного перехода.

6. Исследование фундаментальных свойств «конечность - бесконечность», «счетность - континуальность», «дискретность - непрерывность», «периодичность» числовых систем и их моделей.

7. Исследование системы моделей (геометрической, арифметической, алгебраической) теории, сконструированных из объектов предыдущей числовой системы, наследующих её свойства, определяющих прикладные аспекты теории.

8. Синтезирование в спектре классов объектов, операторных действиях, их свойствах модельных и теоретических представлений, установление соответствия алгебраического способа аксиоматизации в числовой теории наглядно-модельных свойств операций, отношений.

9. Интеграция числовых систем на теоретическом, модельном, операторном уровнях как основа целостного представления категории числа, обоснования взаимосвязей математических теорий.

Обобщенные действия теоретико-числовой деятельности развивают пространственно-числовое мышление, направлены на становление теоретико-числового типа мышления и адекватных представлений памяти в последовательности абстрактно-аксиоматического, аналитико-синтетического и методологического этапов.

На абстрактно-аксиоматическом этапе в анализе модельных представлений числа, операций аксиоматизируются фундаментальные свойства каждой из числовых систем, выделяется предмет теорий числовых подпространств, на базе модельных, образных представлений формируется абстрактное аксиоматическое мышление. В системах аксиом алгебраических структур полукольца, кольца, поля со свойством линейной упорядоченности, во взаимной связи теорий числовых систем и их базовых моделей создаются абстрактно-аксиоматические представления памяти.

Аналитико-синтетический этап характеризует становление мышления в плане доказательства - понятийной логико-содержательной формы рассуждений по установлению свойств классов объектов абстрактного числового пространства, выступающего основным содержанием математического мышления в учебной математической деятельности. Итоговыми для этапа представлениями памяти являются закономерности доказательств в форме конкретного метода - по индукции (в счетных совокупностях объектов), модельной представленности (на базе представлений числа, операций в конкретной модели), по определению (аналитико-синтетических рассуждений на базе аксиом и характеристических свойств понятия), предельного перехода (бесконечного процесса приближения в определении, вычислении, исследовании).

Методологический этап теоретико-числового мышления направлен на становление обобщенных целостных представлений памяти, мышления:

- в разделении числового пространства и теории по исследованию его закономерностей;

- в абстрактной аксиоматизации базовых моделей каждой из числовых систем;

- в модельно-теоретическом развитии понятий числа, операций, отношений и их свойств;

- в исследовании на моделях, в теории фундаментальных свойств конечности, бесконечности, дискретности, непрерывности, периодичности числовых систем;

- в обосновании категориального характера понятия числа в системе учебных математических теорий.

Следующие закономерности формирования внутренних качеств субъекта, установленные в процессе изучении числовых систем, в учебной математической деятельности являются общими, характеризуют внутренне-процессуальную компетенцию в качестве общепредметной.

1. В деятельности представливания в системе классов объектов, операций, отношений создается образ пространства объектов с пространственно-предметным типом мышления, в теоретико-предметной деятельности в содержании аксиоматического подхода, либо на его основе исследуются закономерности созданного абстрактного пространства с теоретико-предметным типом мышления.

2. Сформированность в числовых системах абстрактно-алгоритмического, системно-структурного, абстрактно-аксиоматического, аналитико-синтетического.

методологического этапов мышления, памяти в значительной степени определяет эффективность становления внутреннего субъектного образа всякой учебной математической теории.

3. Становление каждого из этапов мышления, памяти проектируется, выступает прямым результатом вполне определенных действий, видов деятельности в условиях обобщения, обоснования, рефлексии в соответствие с общедидактическими закономерностями деятельностной теории учения, теории поэтапного формирования умственных действий:

- в системе внутренних и внешних мотивов создается ценностно-волевой компонент деятельности;

- в деятельности выделяется обоснованная закономерностями теории структура действий, их операционный состав с требованиями полноты, обобщенности, строится ориентировочная основа;

- последовательно формируются интуитивный, образный, аналитический, логико-символический уровни становления понятий, действий;

- в последовательном сочетании, развитии материализованного. внешнеречевого уровней осуществляется становление внутреннего уровня деятельности (в форме алгоритма, обобщенного способа, метода).

Теория функций. Классическое методико-математическое представление теории функций базируется на классе числовых элементарных функций с функционально-графическим описанием свойств, что не отвечает историко-математическому (Л. Эйлер, К. Гаусс, Г. Вейль), общекультурному подходам к одной из центральных категорий математики.

В целостной учебной математической деятельности понятие функции исследуется в содержании двух принципов [6, с. 340-341]:

- принципа универсальности - демонстрации универсальности функциональных представлений в спектре функциональных моделей (пространственно-векторная, пространственно-точечная. пространственно-метрическая. векторно-координатная, вероятностная, логическая), определенных на абстрактных классах объектов конкретных математических теорий с общей для всех теорий системой понятий-категорий и специфической системой свойств;

- принципа фундаментальности - становления основ теории функций на базе дискретных, непрерывных числовых функциональных моделей с фундаментальными методом предельного перехода, свойствами дифференцируемое™, непрерывности, интегрируемо сти.

Принцип универсальности фиксирует спектральный этап развития - «модельный образ теории функций» - в системе классов объектов теорий векторного, евклидова, точечного, геометрического пространств, пространства событий, случайных величин, булева пространства, адекватных классов функций, структурирующих теорию и поглощаемых ей в качестве внешней цели, формирующих систему функциональных свойств в качестве внутренней.

Принцип фундаментальности задает интегральный этап развития теории функций, начиная с ее модельной формы в содержании конкретных классов числовых функций, последующей интеграции целостной системы понятий, базовых свойств в классе числовых элементарных функций, способов исследования средствами дифференциального, интегрального исчисления. Предметом функциональных моделей (дискретной, непрерывной) числового пространства « выступают не объекты теории числовых систем, а теоретические закономерности функционального пространства, обоснованные структурой и содержанием числового пространства:

- связанные с понятиями предела, сходимости последовательности и суммы ее членов в модели функций натурального аргумента;

- представленные в системе понятий предела и непрерывности функции, производной, интеграла в модели числовых элементарных функций» [7, с.208].

Полнота функциональной картины мира предполагает определенный образ теории функций - абстрактной аксиоматической теории на базе интуитивной теории множеств в системе категориальных понятий, представленных в логико-символической, предикатной форме. В сочетании абстрактного описания теории функций и всего спектра модельных функциональных представлений, включая числовые, создается внутренний интегральный образ.

Опосредованность свойств функциональных моделей спектрального и интегрального этапов классами объектов конкретных математических теорий приводит к закономерности выделения деятельности по формированию пространственно-функционального типа мышления в системе абстрактных объектов (векторы, точки, фигуры, события, логические символы, числа), адекватных классов функций со специфической для теории системой свойств - деятельности представливания. Другая закономерность в общей методологии становящегося функционального мышления связана с выделением теоретико-функционального типа мышления, в содержании которого осуществляется исследование системы понятий спектрального и интегрального этапов развития теории функций, способов доказательства свойств функций теоретического и модельного планов, интеграция теоретико-модельных представлений.

В деятельности представливания по формированию пространственно-функционального типа мышления на спектральном и интегральном этапах развития теории функций базовыми выступают обобщенные действия:

1. Описание классов объектов в содержании математической теории (векторного, евклидова, точечного, геометрического пространств, пространства событий, случайных величин, пространства двоичных последовательностей) спектрального этапа, общефункциональных и предметно-специфических свойств функций на выделенных классах объектов, в содержании которых осуществляется развертывание математической теории.

2. Оперирование в классах функций (комбинация, композиция, обращение) для целей систематизации

математической теории, классификации функциональной модели, становления модельной формы понятий-категорий теории функций.

3. Представление фундаментальных подклассов в классе числовых (дискретных, непрерывных) функций, системы их свойств, общей схемы исследования в графической, логико-символической, аналитической формах.

4. Становление мировоззренческих, прикладных, функционально-графических представлений предельного перехода, операторных действий дифференцирования, интегрирования в классах числовых элементарных функций, анализ их роли в развитии теории числовых элементарных функций.

5. Модельное исследование фундаментальных функциональных свойств «арности (числа переменных)», «конечности-бесконечности», «дискретности-непрерывности», «равномощности» спектрального этапа, а также свойств монотонности, ограниченности, периодичности интегрального этапа развития теории функций.

6. Интеграция категориальной системы понятий, свойств теории функций и ее «предметных» функциональных моделей для цели сформированности, демонстрации универсального и фундаментального характера понятия «функция» в содержании целостного образа -функциональной картины мира.

В выделенных обобщенных действиях деятельности представливания реализуются преимущественно абстрактно-алгоритмический и системно-структурный этапы становления пространственно-функционального типа мышления с адекватными представлениями памяти.

Абстрактно-алгоритмический этап базируется на уже сформированных способах абстрагирования и идеализации понятий-категорий точки, фигуры, вектора, события, двоичной последовательности в содержании соответствующих предметных пространств. В анализе операций, отображений, преобразований предметных пространств выделяется их общая функциональная основа - система классов функций каждого из предметных пространств с операциями комбинирования, композиции, обращения. Функциональное представление операций, отображений, преобразований предметного пространства позволяет придать свойствам операций форму функциональных свойств - как фундаментального, так и предметно-специфического планов. В анализе взаимосвязей классов функций и соответствующих им свойств во внутреннем плане субъекта формируется представление функциональных моделей предметных пространств - пространственно-векторной, пространственно-точечной, пространственно-

метрической, векгорно-координатной, вероятностной, логической. В спектре функциональных моделей в совокупности предметных пространств создается функциональный метод исследования предметных пространств, в представлениях памяти выстраивается модельный образ общей теории функций.

Интеграция спектра функциональных моделей базовых математических пространств осуществля-

Таблица 2.

Числовая картина мира в содержании теории числовых систем и базовых моделей

Пространственно-числовые представления памяти, мышление

V

Система геометричес ких моделей

\ £ ф R

Система арифметич еских моделей

к

Система алгебраиче ских моделей

К

V

N (

\'

Внутренние процессы деятельности представливания:

- обоснование модельных и теоретических представлений числа, классов чисел в системе абстрактных свойств, их взаимной связи,

- модельНо-теоретическое описание процедур оперирования, сравнения в числовых системах, выделение и обоснование свойств операций в теории числовой системы и ее базовых моделях;

- анализ отображений, числовых функций, классов задач в теориях и базовых моделях числовых систем;

- отражение фундаментальных свойств в теории и базовых моделях каждой из числовых систем.

V

Пространственно-числовой тип мышления, памяти в содержании абстрактно-алгоритмического и системно-структурного этапов

Теоретико-числовые представления памяти, мышление

Абстрактна Абстрактна Абстрактна

аксиоматич еская теория "К

аксиоматич еская теория 7,

я

аксиоматич еская теория О

Абстрактна я

аксиоматич еская теория и

V

V

V

Внутренние процессы теоретико-числовой деятельности:

- алгебраическая аксиоматизация модельных представлений фундаментальных свойств каждой из числовых систем;

- определение понятий, понятийное представление теории числовой системы и ее базовых моделей ;

- доказательство свойств классов объектов, операций, отношений методами индукции, модельного представления, предельного перехода;

- исследование на теоретическом и модельном уровнях фундаментальных свойств каждой из числовых систем;

- интеграция числовых систем на теоретическом, модельном уровнях в процедуре становления числовой картины мира.

V

Теоретико-числовой тип мышления, памяти в содержании абстрактно-аксиоматического, аналитико-синтетического, методологического этапов.

ется на системно-структурном этапе становления пространственно-функционального мышления в содержании общего понятия функции и связанных с ней понятий-категорий комбинации, композиции, обращения. Теоретический подход к различным предметным интерпретациям понятия функции, его фундаментальных свойств позволяет построить во внутреннем плане образ функционального пространства, разделить в предметных классах функций общефункциональные и специфические свойства, провести целостный анализ функциональных моделей спектрального этапа. Во взаимной связи общей теории и спектра функциональных моделей формируется модельный подход в становлении

понятия функции.

Пространственно-функциональные представления спектрального этапа выступают основой, получают существенное развитие в исследовании дискретной и непрерывной числовых моделей с понятиями комбинации, композиции, обращения и фундаментальными свойствами монотонности, экстремальности, периодичности, асимптотичности. Описание дискретной и непрерывной функциональных моделей на аналитическом, образном уровнях вместе с базовыми классами числовых элементарных функций приводит к целостному представлению пространства функций, характеризует пространственно-функциональное мышление субъекта.

Его важным аспектом выступает интуитивное, образное представление метода предельного перехода - в содержании пространственно-геометрической, дискретной и непрерывной числовых моделей.

Теоретико-функциональное мышление в учебной математической деятельности ограничено несформиро-ванностью абстрактно-аксиоматических положений теории функций, развивается в модельно-функциональной форме спектрального этапа и сочетании аналитических, логико-символических, функционально-графических представлений интегрального этапа. Предметом теории на интегральном этапе становятся дискретная и непрерывная функциональные модели, категории «счет-ности - континуальности» и «дискретности - непрерывности», обоснованные фундаментальными свойствами числовых систем, пополняются базовыми понятиями «производная», «первообразная», свойствами монотонности, экстремальности, периодичности, ведущую роль в формировании функционально-графических представлений играет метод предельного перехода. В условиях существенного расширения понятийного аппарата, перехода от дискретной к непрерывной функциональной модели, пространственно-функциональные представления, несомненно, богащаются. Однако, и в классах последовательностей дискретной модели, и в классе числовых элементарных функций, расширяющем операциями комбинирования, композиции, обращения стандартные классы непрерывных функций востребовано, в большей степени развивается теоретико-функциональное мышление. В общей структуре функциональной картины мира адекватной процедуре формирования теоретико-функционального мышления выступает следующая система обобщенных действий (табл. 3):

1. Определение функциональных понятий-категорий общей теории функций, их интерпретация в функциональных моделях спектрального, интегрального этапов, расширение категориального аппарата числовых элементарных функций, его мировоззренческое обоснование, образное, аналитическое и логико-символическое представления.

2. Представление функциональных моделей геометрического, числового пространств в содержательно-аксиоматическом подходе, анализ абстрактно-аксиоматического подхода в общей теории функций.

3. Доказательство фундаментальных свойств функциональных моделей в содержании предметных пространств спектрального этапа.

4. Обоснование, доказательство базовых свойств классов функций интегрального этапа в сочетании аналитических, функционально-графических, логико-символических средств, аппарата дифференциального, интегрального исчисления.

5. Описание, обоснование, приложение метода предельного перехода в формировании фундаментальных понятий «предел», «производная», «первообразная» и их свойств в классах числовых дискретных и непрерывных функций.

6. Исследование общих свойств основных классов числовых непрерывных функций, становление общего метода исследования в классе числовых элементарных функций средствами дифференциального и интегрального исчисления.

Выделенные обобщенные действия помимо систематизации пространственно-функциональных представлений памяти реализуют задачу становления теоретико-функционального мышления в схеме «общая теория функций - целостный спектр функциональных моделей» и, на ее основе, - задачу развития теоретико-функционального мышления в числовом пространстве в схеме «теория, методы исследования числовых функций - теория дифференциального и интегрального исчисления в классе числовых элементарных функций». Адекватными задачам становления, развития данного типа мышления, его технологическими процедурами выступают абстрактно-аксиоматический, аналитико-синтетический и методологический этапы.

Абстрактно-аксиоматический этап теоретико-функционального мышления отражает закономерность построения всякой математической теории, специфику аксиоматического метода в условиях интеграции общей теории функций, спектра функциональных моделей и теории числовых элементарных функций. Содержание внутренних субъектных представлений памяти, процедур мышления этапа составляют формирующиеся в системе обобщенных действий:

- метод соответствия аксиоматического описания числового, векторного, геометрического пространств и системы свойств соответствующих функциональных моделей;

- метод модельной интерпретации аксиом общей теории функций в содержании каждой из функциональных моделей;

- механизм построения теории числовых элементарных функций на базе уже построенной математической теории числовых систем и свойств общей теории функций.

Аналитико-синтетический этап теоретико-функционального мышления характеризует процесс формирования мировоззренческих, аналитических, функционально-графических представлений памяти в содержании стандартных классов числовых элементарных функций с фундаментальными свойствами монотонности, экстремальности, периодичности, асимптотичности, их расширений с помощью операций комбинирования, композиции, обращения. Адекватными этапу выступают процедуры мышления в содержании метода предельного перехода с теоретическим обоснованием свойств функции, производной, первообразной, общего метода исследования числовых элементарных функций с помощью аппарата дифференциального и интегрального исчисления, способов вычисления площадей, объемов геометрических фигур, числовых характеристик механического движения, физических процессов как приложений метода исследования функций.

Таблица 3.

Внутренние процессы пространственно-функциональной деятельности:

- актуализация базовых понятий, функциональная трактовка операций, отношений, базовых результатов в описании предметных пространств;

- представление предметного пространства в содержании предметной функциональной модели;

- анализ функциональных моделей спектрального этапа в содержании базовых понятий общей теории функций;

- описание дискретной и непрерывной числовых функциональных моделей в системе общих и специфических свойств теории функций.

V

Внутренние процессы теоретико-

функциональной деятельности:

- актуализация аксиоматического метода в построении предметных пространств, реализация аксиоматического метода в общей теории функций;

- анализ представления базовых свойств общей теории функций и специфических свойств классов функций в предметных функциональных моделях;

- представление, исследование фундаментальных свойств числовых функций в содержании дискретной и непрерывной функциональных моделей;

- становление метода предельного перехода в процедурах дифференцирования, интегрирования, исследования элементарных функций.

V

Пространственно-функциональный тип

мышления, памяти в содержании абстрактно-алгоритмического и системно-структурного этапов

Теоретико-функциональный тип мышления, памяти в содержании абстрактно-аксиоматического, аналитико-синтетического, методологического этапов.

Методологический этап теоретико-функционального мышления характеризуют:

- уровень сформированности во внутреннем плане субъекта мировоззренческих, функционально-графических представлений понятий функции, числовой функции, предела функции, производной функции, первообразной функции с соответствующими операциями и свойствами;

- овладение методом предельного перехода, ме-

тодом дифференцирования, методом интегрирования в пространстве числовых функций, их приложения в исследовании математических величин, характеристик физических и естественнонаучных процессов;

- осознание взаимной связи функционального пространства, его фундаментальных закономерностей и спектра предметных (числового, геометрического, векторного, точечного, арифметического) пространств в содержании соответствующих предметных функцио-

нальных моделей и их свойств.

Общепредметное содержание обобщенных действий становления функционального мышления в содержании пространственно-функционального и теоретико-функционального типов определяется мировоззренческим представлением методов и средств

анализа в многообразии зависимостей различной природы, возможностью их исследования в содержании определенной функциональной модели, определенным методом теории числовых дискретных, непрерывных функций.

Библиографический список

1. Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа. Пер. с нем. Под ред. проф. С.О. Шатуновского. Одесса, 1923. 44 с.

2. Горбачев B.II. Предметные компетенции общеобразовательного курса математики и их классификация // В кн.: Интеграция общего и профессионального математического образования стран европейского сотрудничества в контексте Болонского соглашения. Брянск: Изд-во ООО «Ладомир», 2014. С. 96-105.

3. Горбачев В.II. Методология компетентностного подхода в учебной математической деятельности общего образования // В кн.: Научные основы интеграции национальных образовательных стандартов общего и высшего математического образования (Россия-Беларусь-Украина): Международная коллективная монография / Под общ. ред. И. Е. Маловой. Брянск: Изд-во ИИ Огнева, 2014. С, 32-50'

4. Горбачев В.II. Теория трехмерного евклидова пространства в методологии теоретического типа мышления // Ученые записки Орловского государственного университета. 2016. №1(70). С. 151-158.

5. Горбачев В.И. Теория геометрических фигур геометрического пространства в методологии теоретического типа мышления // Наука и школа. 2016. № 4. С. 132-144.

6. Горбачев В.II. Теория функций в методологии теоретического типа мышления: теоретико-модельные представления уровня общего образования // Вестник Брянского государственного университета: Исторические науки и археология /литературоведение/ языкознание/ педагогические науки. 2016. №1 (27). С. 336-343.

7. Горбачев B.II. Теория функций в методологии теоретического типа мышления: содержание учебной деятельности уровня общего образования // Вестник Брянского государственного университета: Исторические науки и археология /литературоведение/ языкознание/ педагогические науки. 2016. № 3 (29). С. 204-211.

8. Горбачев B.II. Развитие аксиоматического метода в содержании общеобразовательного курса математики // Вестник Калужского университета. 2009. № 3. С. 31-38.

9. Горбачев B.II. Теория числовых систем в методологии теоретического типа мышления (общее представление числового пространства, теория) // Вестник Калужского университета. 2016. № 2. С. 37-45

10. Зимняя IIA. Ключевые компетенции - новая парадигма результата образования // Высшее образование сегодня. 2003. № 5. С. 34-45.

11. Ньютон II. Всеобщая арифметика или книга об арифметических синтезе и анализе. М.: Изд-во АН СССР, 1948. 448 с.

12. Сборник нормативных документов. Математика. Сост. Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев. М.: Дрофа, 2004. 79 с.

13. ХуторскойА.В. TexHonorHHnpoeKrapoBmHHraro4eBbixHnpeflMeTHbixKOMneTeHUHtt//http://www.eidos.iri/joiimal/2005/1212.

htm

References

1. DedekindR. Continuity and irrational numbers / Edited by S.O. Shatunovskiy. Odessa, 1923. 44 p.

2. Gorbachev V.I. Subject competences of general education of the mathematics and their classification // In: The integration of general and vocational mathematic education of countries of European cooperation in the context of the Bologna agreement. Bryansk: Publishing house «Ladomir», 2014. Pp. 96-105.

3. Gorbachev V.I. Methodology of the competence approach in educational mathematical activity of general education //In: Scientific basis for the integration of national educational standards for general and higher mathematics education (Russia-Belarus-Ukraine): The international collective monograph / Edited by I.E. Malova. Bryansk: Publishing house of Ognev, 2014. Pp. 32-50.

4. Gorbachev VI. The theory of three-dimensional Euclidean space in the methodology of theoretical type of thinking // Scientific notes of Orel State University. 2016. Vol. 1. № 70. Pp. 151-158.

5. Gorbachev' VI. The theory of geometric shapes in geometric space in methodology of theoretical type of thinking // Science and School. 2016. №4. Pp. 132-144.'

6. Gorbachev VI. The theory of functions in the methodology of theoretical type of thinking: model-theoretic representation of the level of general education // The Bryansk State University Herald. Historical sciences and archaeology / science of literature / linguistics / pedagogical science. 2016. № 1 (27). Pp. 336-343.

7. Gorbachev VI. The theory of functions in the methodology of theoretical type of thinking: content of learning activity of level of general education // The Bryansk State University Herald. Historical sciences and archaeology / science of literature / linguistics / pedagogical science. 2016. № 3 (29). Pp. 204-211.

8. Gorbachev VI. The development of the axiomatic method in the content of general education course in mathematics // The Kaluga State University Herald. 2009. № 3. Pp. 31-38.

9. Gorbachev VI. Theory of numeral system in methodology of theoretic type of thinking (learning activity projection) // The Kaluga State University Herald. 2016. № 2. Pp. 37-45.

10. 10. Zimnyaya IA. Core competences - a new paradigm of education results//Higher education today. 2003. № 5. Pp. 34-45.

11. Newton I. Universal arithmetic or book on arithmetic synthesis and analysis. Moscow: the USSR Academy of Sciences Publishing House, 1948. 448 p.

12. Collection of normative documents. Mathematics / Сотр. by E.D. Dneprov, A.G. Arkadjev. Moscow: Drofa, 2004. 79 p.

13. Hutorskoy A.V Technology of designing key and subject specific competences // http: //www.eidos.ru/joumal/2005/1212.htm