CC BY
6УДК 371.24+371.212
ЗАКОНОМЕРНОСТИ АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ СВОЙСТВ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В.И. Горбачев, Е.Д. Сенченко
Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского
В статье рассматриваются закономерности становления аналитического метода исследования геометрических фигур в трехмерном евклидовом пространстве.
Ключевые слова: методика обучения математике, учебная геометрическая деятельность, евклидово пространство, аналитический метод исследования.
В вузовском учебнике «Геометрия» Л.С. Атанасян и В.Т. Базылев характеризуют аналитический метод исследования геометрических фигур, как на уровне общего математического образования [1], [10], [12], так и на уровне высшего [2], [6], [14], как продолжение координатного метода: «метод координат в геометрии в том и состоит, что посредством координат точек геометрические объекты задают аналитически с помощью чисел, уравнений, неравенств или их систем и тем самым при доказательстве теорем или решении геометрических задач используют аналитические методы» [2, с. 49].
Ключевым в аналитическом методе исследования геометрических фигур, на базе которого разработан важный раздел геометрии - аналитическая геометрия, Л.С. Атанасян и В.Т. Базылев рассматривают действие описания геометрических фигур аналитическими условиями: «Но для того, чтобы пользоваться методом координат, необходимо уметь с помощью чисел, уравнений, неравенств или их систем задавать геометрические фигуры» [2, с. 49-50]. Тем самым в развитии аналитического метода выделяются две задачи [7], [8], [9], [13], [15]:
- описание геометрических фигур аналитическими (знаковыми) моделями (уравнениями, неравенствами, системами уравнений или неравенств) в векторном, евклидовом пространствах в содержании координатного метода;
- исследование пространственных, метрических свойств геометрических фигур в содержании аналитических (знаковых) моделей геометрических фигур в арифметическом пространстве.
Общей закономерностью аналитического метода в общеобразовательном курсе геометрии является последовательное формирование каждой из выделенных задач в двумерном векторном, евклидовом пространствах (аналитический метод в планиметрии) и в трехмерном векторном, евклидовом пространствах (аналитический метод в стереометрии).
Методология аналитического метода задается схемой становления субъектных представлений пространств «геометрическое пространство - векторное пространство -евклидово пространство - арифметическое пространство» [3], [4], [5], [11]. В целостной геометрической деятельности геометрические фигуры последовательно «помещаются» в каждое из пространств выделенной схемы и исследуются адекватными пространству методами.
В содержании представлений каждого из пространств создаются адекватные пространству представления геометрических фигур [8], [9], [13], [14], [17]:
- в геометрическом пространстве в интуитивном, конструктивном, аналитическом представлении класса геометрическая фигура задается в системе определений, классификации фигур, с преобразованиями движения, подобия, проектирования, логико-содержательными способами доказательства свойств;
- в векторном пространстве геометрическая фигура исследуется в аффинном базисе с векторным, координатным представлением (векторной, координатной моделями) пространственных свойств;
- в евклидовом пространстве геометрическая фигура конструируется в целесообразно выбранных ортонормированном базисе, декартовой системе координат с обогащенным скалярным произведением векторным, координатным представлением пространственных, метрических свойств;
- в арифметическом пространстве геометрическая фигура представлена своей аналитической моделью - уравнением (неравенством, системой), выражающем характеристическое свойство всех точек фигуры, заданных координатами в декартовой системе координат.
На базе представлений каждого из пространств, начиная с геометрического, в нем создаются образные, аналитические, логико-символические представления геометрических фигур, установленными в пространстве методами осуществляется доказательство, исследование определенного, адекватного пространству спектра свойств геометрических фигур [3], [4], [16], [18].
На каждом этапе перехода «геометрическое пространство - векторное пространство», «векторное пространство - евклидово пространство», «евклидово пространство -арифметическое пространство» свойства геометрической фигуры, установленные в предыдущем пространстве, активно используются и дополняются спектром свойств последующего пространства, имеют накопительный характер.
Учебная геометрическая деятельность в геометрическом пространстве с аналитико-синтетическим методом исследования свойств геометрических фигур, в векторном и евклидовом пространствах с векторным, координатным методами характеризуют достаточно высокий уровень сформированности субъектных пространственных представлений, пространственного мышления в классах геометрических фигур. Однако, векторно-геометрическими представлениями геометрических фигур как понятийно определенных классов геометрическая деятельность не ограничивается, понятие геометрической фигуры как множества точек плоскости, пространства пока не получило своего развития.
В содержании пространственных представлений, мышления схема «евклидово пространство - арифметическое пространство» выступает основанием становления аналитического метода, в котором геометрическая фигура характеризуется координатами своих точек, ее пространственные и метрические свойства получают описание свойствами составляющих фигуру точек. Базовым в точечном, аналитическом (знаковом) представлении метода выступает понятие уравнения геометрической фигуры.
Определение. В декартовой системе координат (О, i, j) на плоскости уравнение F-.x у; = С называется уравнением геометрической фигуры F, если для него справедливы следующие условия:
1) Если точка М(а, Ь) принадлежит фигуре F, то ее координаты (а, Ь) удовлетворяют уравнению (являются решением) Fix, у) = 0;
2) Если координаты точки N{crd) удовлетворяют уравнению F(x,y) = 0 , то точка N принадлежит фигуре F.
Пример. В декартовой системе координат (0,1, j) на плоскости уравнение х2 + у2 = 4 называется уравнением окружности с центром в начале координат:
1) Если точка М(а,Ь) принадлежит окружности, то она удалена от центра на 2 единицы, т.е. \ом\ = 2. В координатной форме равенство имеет вид -Ну2 = 2, при возведении в квадрат имеем верное равенство л:" + у = 4 .
2) Если точка М1(х1,у1) не принадлежит окружности, то она удалена от начала координат на расстояние, отличное от 2, равенство \ом\ = 2 для нее не выполняется. Это означает, что координаты точки не удовлетворяют уравнению х2 + у2 — 4 .
Замечание. Окружность, как геометрическая фигура со свойством расстояния расположена в двумерном евклидовом пространстве, изображена в декартовой системе координат на плоскости. Множество всех точек окружности - совокупность упорядоченных пар, т.е. элементов арифметического пространства К-. Уравнение х2 + у2 = 4 есть аналитическая модель геометрической фигуры, ее исследование осуществляется в арифметическом пространстве. Итак, в аналитическом исследовании геометрической фигуры происходит переход от евклидова пространства к арифметическому пространству, при этом фигура, расположенная в евклидовом пространстве замещается своей аналитической моделью в арифметическом пространстве.
Пример. В декартовой системе координат (0,1, ]) на плоскости неравенство .V - у" - является аналитической моделью круга с центром в начале координат и радиуса 2.
В трехмерном евклидовом пространстве справедлив аналог уравнения геометрической фигуры.
Определение. В декартовой системе координат [0,1, в пространстве уравнение .. ,. _■. _ - называется уравнением геометрической фигуры Б, если для него справедливы
следующие условия:
3) Если точка М[а, Ь, с) принадлежит фигуре Б, то ее координаты {а,Ь, с) удовлетворяют уравнению (являются решением) Р{х, у, г) = 0;
4) Если координаты точки Ы{с,сЕ,/) удовлетворяют уравнению = 0, то точка N принадлежит фигуре Б.
Пример. В декартовой системе координат (о, X 7, к) в пространстве уравнение (*)Аг + В у + С г -Ь О = 0 называется уравнением плоскости:
1) Пусть в декартовой системе координат [ОгТ, У,к) плоскость задана координатами точки М1(х1,у1,г1) и нормальным вектором п = (А, Б, С}. Если М(х,у,г) -произвольная точка плоскости, то вектор ММ1= (ж — х1гу — уг,г — 21) и вектор п = (Л, В, С) будут ортогональны, по условию ортогональности векторов их скалярное произведение равно нулю + + С{т. — г^) = 0. В результате координаты
точки М (а'., у, г) удовлетворяют уравнению (*)
2) Пусть координаты точки М2(хг,уг,
удовлетворяют уравнению Ах + В у + С г 4- О = 0, т.е. справедливо равенство Ах2 + 5уг Сг2-\- О = 0. Точка М1(лс1,у1,г1) принадлежит плоскости, е координаты удовлетворяют уравнению, т.е. Ахг + Ву1 + Сг1 + О — 0. Вычитая почленно верные равенства получаем координатную форму А(х2 — I,) + В(у2 — у,) -Ь С(г2 -г^ = 0 равенства нулю скалярного произведения вектора п = (А, В, С) и вектора М2М1 = (х2 -г,,уг — — 21) Это означает, что точка М2(х2,у2гг2 ) принадлежит плоскости.
Замечание. Плоскость, как геометрическая фигура, заданная точкой и нормальным вектором, расположена в трехмерном евклидовом пространстве, изображена в декартовой системе координат {рХ 7, к) Множество всех точек плоскости - совокупность упорядоченных троек, т.е. элементов арифметического пространства И3. Уравнение Я.у - £■;.■ — £г — !• = 2 есть аналитическая модель геометрической фигуры, ее исследование осуществляется в арифметическом пространстве. Итак, в аналитическом исследовании геометрической фигуры в пространстве также происходит переход от евклидова пространства к арифметическому пространству, геометрическая фигура как объект евклидова пространства замещается своей аналитической моделью в арифметическом пространстве.
Пример. В декартовой системе координат в пространстве система
(Агх + Вху + Сгг + £>г = 0
уравнений у 1-|-Бу+Сг+0 =0 с непРопоРЦиональньми коэффициентами при
переменных задает множество точек пространства, являющихся общими для двух плоскостей. Но множество точек пересечения плоскостей есть прямая.
Значит, в трехмерном арифметическом пространстве система линейных уравнений с тремя переменными есть аналитическая модель прямой, как пересечения двух плоскостей трехмерного евклидова пространства.
Вывод. В арифметическом пространстве в форме аналитических моделей -уравнений, неравенств, систем уравнений могут быть заданы определенные классы геометрических фигур евклидова пространства.
Свойства аналитических моделей арифметического пространства, установленные в процедуре их аналитического исследования, характеризуются как свойства геометрических фигур евклидова пространства.
Практическое становление аналитического метода в схеме «евклидово пространство - арифметическое пространство», отражающего задачу описания геометрических фигур аналитическими (знаковыми) моделями (уравнениями, неравенствами, системами уравнений или неравенств) и задачу исследования пространственных, метрических свойств геометрических фигур в содержании аналитических (знаковых) моделей осуществим в двумерном евклидовом пространстве (аналитический метод в планиметрии) и в трехмерном евклидовом пространстве (аналитический метод в стереометрии) отдельно.
Аналитический метод в планиметрии. Базовыми геометрическими фигурами, описываемыми аналитическими моделями в двумерном евклидовом пространстве, выступают: прямая, окружность, гипербола, парабола. Для построения аналитических моделей используются их характеристики в геометрическом, векторном пространствах как определенных множеств точек плоскости.
Прямая (в геометрическом пространстве) характеризуется как первичный термин, определенный аксиомами единственной определенности двумя различными точками, выбора точки на прямой и расположения точек на прямой. В образном представлении прямая отражает конструктивные возможности линейки. Характер евклидовой геометрии как теории геометрического пространства отражает аксиома параллельности о единственности прямой, проходящей через точку, не лежащую на данной прямой, и не пересекающую ее.
В векторном пространстве прямая задается либо двумя точками, либо точкой и направляющим вектором. Ее характеристическое свойство - свойство коллинеарности всех векторов, определенными точками прямой - А В = [м|лм и Л5коллинеарны].
d
М(х,у)
О
Аналитические модели прямой в евклидовом пространстве:
Пусть прямая в декартовой системе координат (Ол J) на плоскости задана координатами точки А (а,, Ь)и направляющего вектора р = {а,0\. Если М (х, у) -произвольная точка прямой, то вектор AM = {_% — а,у — Ъ} и вектор р = {я,/?} коллинеарны. По условию коллинеарности векторов их координаты пропорциональны, в результате получена аналитическая модель прямой
Преобразование пропорции приводит к другой аналитической модели прямой -общему уравнению Ах + By + С = 0.
Третья важная модель прямой связана с выражением одной переменной общего уравнения через другую - у = kx + Ь.
Окружность в геометрическом пространстве определяется как множество всех точек плоскости равноудаленных от данной точки. В векторном пространстве определение окружности имеет форму модульного равенства \ам\ = г. Для центра А(а,Ь) окружности, заданного координатами в декартовой системе координат (Ол, /), координатная форма модуля вектора приводит к аналитической модели окружности в форме уравнения
Эллипс, гипербола в геометрическом пространстве определяются постоянством суммы (модуля разности) расстояний до двух заданных точек плоскости. Их определения в векторном пространстве имеют форму конкретных модульных векторных равенств. В евклидовом пространстве координатная форма равенств приводит к соответствующим
аналитическим моделям - уравнению -7 + ^7 — т"2 эллипса и ^т — = г2 гиперболы.
Важными в их использовании выступают факты:
- уравнение окружности является частным случаем уравнения эллипса;
- в теории функций широко используется частный случай гиперболы в форме функции обратной пропорциональности.
Парабола в геометрическом пространстве определяется как множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной прямой и данной точки. В векторном пространстве определение параболы принимает форму модульного векторного равенства, в евклидовом пространстве - координатную форму равенства, приводимую к аналитической модели у2 = 2рх. В курсе алгебры одной из важнейших функциональных зависимостей выступает другая аналитическая модель параболы у = ах - + Ьх + с.
Сущность аналитического метода исследования геометрических фигур на плоскости состоит в следующем:
- в геометрической фигуре в качестве структурных элементов выделяются базовые геометрические фигуры (прямые, окружности), для которых известны методы построения их аналитических моделей;
- структурные элементы в геометрической фигуре имеют конкретное пространственное положение, определенным образом расположены друг относительно друга;
- в целесообразно выбранной системе координат структурные элементы однозначно определяются своими аналитическими моделями;
- взаимное расположение структурных элементов фигуры приводит к исследованию взаимных связей их аналитических моделей в форме систем, совокупностей уравнений, неравенств;
- в исследовании взаимосвязей аналитических моделей устанавливаются аналитические характеристики исходной геометрической фигуры.
На конкретных примерах исследования геометрических фигур проверим указанные закономерности аналитического метода.
Задача. Составить уравнения сторон треугольника, зная две его вершины Д(3,5) и В{6,1) и точку пересечения его медиан М( 4,0).
Треугольник, как геометрическая фигура, находится в двумерном евклидовом пространстве, определяется координатами вершин и точки пересечения медиан. Уравнение прямой, содержащей известные вершины /1(3,5) и В[Ь,1) треугольника, составляется по координатам двух точек. Для медианы А/) треугольника неизвестные координаты точки Б находятся из свойств точки пересечения М( 4,0) медиан треугольника. Аналогично, если N -основание медианы ВЫ, то по свойству точки пересечения М(4,0) медиан находятся и ее координаты. По установленным координатам точки Б и известным координатам точки В строится уравнение прямой ВС. По найденным координатам точки N и координатам точки А строится уравнение прямой АС. Координаты третьей вершины С треугольника удовлетворяют уравнениям сторон АС и ВС и вычисляются как решение системы соответствующих уравнений.
Задача. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма х — у — 1 = 0 , х — 2у = 0 и точка пересечения его диагоналей М(3,— 1). Написать уравнения двух других
сторон параллелограмма.
В декартовой системе координат на плоскости возможно построение прямых, содержащих смежные стороны параллелограмма и точки пересечения диагоналей. Ели вершина В находится на пересечении смежных сторон параллелограмма с известными уравнениями, то ее координаты находятся из решения системы соответствующих уравнений. На основании свойства диагонали параллелограмма по найденным координатам вершины В и координатам точки М(3,—1) пересечения диагоналей находятся координаты противоположной вершины И параллелограмма. Для прямой АВ, заданной уравнением х — у — 1 = 0, ее направляющий вектор р — (1Д) по определению параллелограмма будет направляющим и для прямой 1)С. Для прямой КС, заданной уравнением х — 2у = 0 , ее направляющий вектор г = (2,1) по определению параллелограмма будет направляющим и для прямой БА. По известной вершине Б и направляющим векторам строятся уравнения сторон /)Си/Х4.
Задача. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин А(3,—4) и уравнения двух высот 7х— 2у — 1 = 0 и 2д; — 7у — 6 = 0.
Координаты вершины и уравнения высот треугольника позволяют схематично построить треугольник в декартовой системе координат на плоскости.
В геометрическом пространстве высоты треугольника обладают двумя характеристическими свойствами:
- выходят из некоторой вершины треугольника;
- перпендикулярны противоположной стороне треугольника.
В векторном пространстве высота, заданная уравнением (аналитической моделью) 7ж — 2у — 1 = 0 имеет направляющий вектор jj1 = (2,7), высота 2х — 7у — 6 = 0 имеет направляющий вектор р2 = (7,2).
В евклидовом пространстве высота с уравнением 7х — 2у — 1 = 0 имеет нормальный вектор % = (7,-2), высота с уравнением 2х — 7у — 6 = 0 имеет нормальный вектор п2 = (2,—7).Первая из высот перпендикулярна стороне АС треугольника, т. е. нормальный вектор ii-j = (7,-2) высоты является направляющим для стороны АС. Тогда уравнение АС строится по точке А(3,— 4) и направляющему вектору п^ = (7,-2). Вторая из высот перпендикулярна стороне АВ треугольника, т. е. нормальный вектор п2 = (2,-7) высоты является направляющим для стороны АВ .
Уравнение АВ строится по точке А(3,— 4) и направляющему вектору п2 = (2,-7). Координаты вершины В треугольника вычисляются как решение системы уравнений стороны АВ и высоты 7х — 2v — 1 — 0 Координаты вершины С треугольника вычисляются из системы уравнений стороны АС и второй из высот.
Задача. Найти точки пересечения окружности х~ + у" + 2х — 4у — 20 = 0 с
Геометрические фигуры (окружность, прямые) в условии задачи заданы своими аналитическими моделями в арифметическом пространстве. Уравнения фигур позволяют построить их образы в декартовой системе координат евклидова пространства, что обеспечивает проведение исследования их взаимного положения в визуальной форме.
Аналитическое уравнение окружности в канонической форме (ж + I)2 + (у — 2)г = 52 определяет координаты центра А(—1,2) и радиус г = 2.
В арифметическом пространстве координаты точек пересечения всяких линий находятся как решения системы соответствующих уравнений линий.
Координаты точек пересечения окружности (ж + I)2 + (у — 2)2 = 52 и прямой
х — у — 4 = 0 находятся из исследования системы уравнений ^ ^ ^ ^ —^q
Координаты точек пересечения окружности (ж + 1)" + (у — 2)2 = 5"
находятся из исследования системы уравнений
и прямой '(ж + I)2 (у — 2)2 = 52 0
Зж - 4у + 36
Координаты точек пересечения окружности (ж + 1)_ + (у — 2)' = 5_ и прямой ж — у — 5 = 0 находятся из исследования системы уравнений ^ ^ ^
Отсутствие решений у системы уравнений означает, что соответствующие линии не пересекаются, кратные решения означают, что прямая касается окружности, два набора решений системы означает, что прямая и окружность пересекаются в двух точках.
Аналитический метод в стереометрии. Базовыми геометрическими фигурами, описываемыми аналитическими моделями в трехмерном евклидовом пространстве, выступают: прямая, плоскость, сфера. Для построения аналитических моделей используются их характеристики в геометрическом, векторном пространствах как определенных множеств точек пространства.
Плоскость в геометрическом пространстве задается аксиомой существования и единственности плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой; аксиомой пересечения двух плоскостей с общей точкой по прямой; аксиомой существования точки вне плоскости. Геометрические фигуры в плоскости характеризуются пространственными, конструктивными свойствами, метрические свойства геометрических фигур представлены линейными, угловыми величинами, величиной площади. Основными преобразованиями плоскости выступают преобразования движения, подобия.
В векторном пространстве плоскость рассматривается как двумерное векторное пространство, в котором любые два неколлинеарных вектора образует базис. Характеристическим свойством векторов плоскости является их комплонарность. Геометрические фигуры в плоскости как двумерном векторном пространстве исследуются в содержании векторного метода - целесообразным выделением базиса и разложением векторов, определенных сторонами, отрезками фигуры, по базисным векторам.
В евклидовом пространстве плоскость задается как двумерное евклидово пространство - с базисом из двух ортонормированных векторов, со скалярным произведением векторов в векторной и координатной форме, с произвольным выбором декартовой системы координат. В плоскости как двумерном векторном пространстве геометрические фигуры исследуются в содержании векторного и координатного методов. Пространственные свойства геометрических фигур характеризуются в системе свойств коллинеарности и ортогональности, метрические свойства длины, величины угла, площади вычисляются на базе свойств скалярного произведения.
Аналитические модели плоскости в евклидовом пространстве:
Пусть в декартовой системе координат [0,Т, У к) плоскость задана координатами точки и нормальным вектором п = (А, Б, С}. Если М(х,у,г) - произвольная
точка плоскости, то ее координаты удовлетворяют уравнению Ах + В у + Сг + О = 0. Данное уравнение первой степени с тремя переменными есть аналитическая модель плоскости в трехмерном арифметическом пространстве.
Пусть в декартовой системе координат [0,Т, У к) плоскость задана координатами точки и парой неколлинеарных векторов рг — и р^ — (яг,/?г,уг) в
качестве базиса плоскости. Если М{х,у,г) - произвольная точка плоскости, то вектор ММ± = (х — х±,у — у±/х — 2±~) разлагается по векторам базиса ММ1 = кр1+1р^. В координатной форме векторное равенство имеет вид системы уравнений (аналитической модели плоскости)
Прямая в геометрическом пространстве помимо задания двумя различными точками в аксиомах планиметрии определяется пересечением плоскостей, заданием плоскости двумя пересекающимися прямыми, выбором прямой в плоскости и вне ее.
В векторном пространстве прямая определяется фиксированной точкой и направляющим вектором, свойства параллельности и перпендикулярности прямых трактуются в понятиях коллинеарности и ортогональности направляющих векторов прямых.
В евклидовом пространстве в ортонормированной системе координат исследуются все условия взаимного расположения прямых в пространстве, прямой и плоскости, вычисляются расстояния от точки до прямой, между прямыми.
Аналитические уравнения прямой:
Пусть прямая в декартовой системе координат (0,7, У,к) в пространстве задана координатами точки А(а,Ь,с)и направляющего вектора "р = {я,/?,)'}. Если М(:*,у,г) -произвольная точка прямой, то вектор АМ = {д; — а,у — Ь,г — с} и вектор р = {я,/?,у} коллинеарны. По условию коллинеарности векторов их координаты пропорциональны. В результате получена аналитическая модель прямой
х-а _ у—Ь _г—с
Пусть прямая в декартовой системе координат (о, V, 7 к) в пространстве задана пересечением двух плоскостей А^х + В ¿у -+- С+ 1^ = 0 и А2х В2у С2е 02 = 0. Все точки прямой удовлетворяют каждому из уравнений плоскостей, т. е. являются решением системы
А±х 4- Вгу + Сгг + Пг = О А2х-\- В2у + С2г Н- = О
Сфера в геометрическом пространстве определяется как множество всех точек пространства, равноудаленных от данной точки, сечения сферы плоскостями задают окружности. В геометрическом пространстве исследуется взаимное расположение сферы и многогранников, вычисляются площадь поверхности сферы и ее объем.
В евклидовом пространстве сфера задается модульным векторным равенством. Для центра А (а, Ь, с) сферы, заданного координатами в декартовой системе координат [0,7 7
координатная форма модуля вектора приводит к аналитической модели сферы в форме уравнения (ж — а)2 + (у — Ь)2 -+- (г — с)2 = г2.
Сущность аналитического метода исследования геометрических фигур в пространстве, аналогичная аналитическому методу на плоскости, состоит в следующем:
- в геометрической фигуре в качестве структурных элементов выделяются базовые геометрические фигуры (точки, прямые, плоскости, окружности, сферы), для которых известны методы построения их аналитических моделей;
- структурные элементы в геометрической фигуре имеют конкретное пространственное положение, определенным образом расположены друг относительно друга;
- в целесообразно выбранной системе координат структурные элементы однозначно определяются своими аналитическими моделями;
- взаимное расположение структурных элементов фигуры приводит к исследованию взаимных связей их аналитических моделей в форме систем, совокупностей уравнений, неравенств;
- в исследовании взаимосвязей аналитических моделей устанавливаются аналитические характеристики исходной геометрической фигуры.
На конкретных примерах исследования геометрических фигур проверим указанные закономерности аналитического метода.
Задача. Проверить, что четырехугольник, вершины которого находятся в точках А (5,2,6), В (6,4,4), С (4,3,2), Л (3,1,4), есть квадрат.
Геометрическая фигура (четырехугольник) задана в декартовой системе координат [О, г., 7,к) трехмерного евклидова пространства своими координатами.
Принадлежность всех вершин четырехугольника плоскости определяется комплонарностью векторов АБ = {1,2,-2}, АС = {—1,1,-4} и АО = {—2,-1,-2}, т. е. разложением вектора АС = {-1,1,-4} по векторам АВ = {1,2,-2}, АО = {— 2,-1,-2} в форме равенства АС = хАВ у АО с неизвестными коэффициентами. Подстановка координат в векторное равенство приводит к системе уравнений с решением х — 1, у = 1т. е. АС = 1АВ + 1АО.
Для плоского четырехугольника проверим характеристические свойства квадрата -параллельность противоположных сторон, равенство смежных сторон, перпендикулярность смежных сторон.
Поскольку векторы АВ = {1,2,-2} и ОС = {1,2,-2} имеют равные координаты, то противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны.
\AD\
Длины сторон вычисляются как модули соответствующих векторов | АВ \ = 3
Угол между векторами вычисляется из условия ортогональности векторов А В и AD.
Задача. Даны вершины треугольника А(4,1,-2), В ( 2,0,0), С (—2,3, — 5}. Составить уравнение его высоты, опущенной из вершины B на противолежащую сторону.
Геометрическая фигура (треугольник) задана в декартовой системе координат [О, г., j, к) трехмерного евклидова пространства координатами своих вершин. Если
М(x,y,z) - произвольная точка высоты на прямую АС,то вектор ВМ = {д; — 2,у — 0,z — 0} и вектор АС = {-6,2,-3} ортогональны, их скалярное произведение рано 0, имеем уравнение плоскости: — б(я — 2) + 2 (у — 0) — 3 (z — О) = 0.
Вершины треугольника А(4,1, — 2), В(2,0,0),С(—2,3,—5) задают
плоскость Ах -f By -f Cz -f D = 0 с неизвестными коэффициентами. Их поиск осуществляется из системы уравнений, полученных подстановкой координат вершин треугольника. Система уравнений выделенных плоскостей определяет высоту.
В системе закономерностей аналитического метода исследования геометрических фигур, конкретизированная на задачах планиметрии и стереометрии определяет базовые виды деятельности по его формированию.
1. Представление арифметической модели трехмерного евклидова пространства:
- представление векторов трехмерного евклидова пространства упорядоченными тройками координат в фиксированном ортонормированном базисе, представление векторов координатной плоскости (двумерного подпространства) упорядоченными парами координат в фиксированном базисе;
- установление соответствия между линейными комбинациями векторов трехмерного евклидова пространства и линейными комбинациями каждой из координат упорядоченных троек, между линейными комбинациями векторов координатной плоскости (двумерного подпространства) и линейными комбинациями каждой из координат упорядоченных пар;
- установление соответствия между скалярным произведением векторов трехмерного евклидова пространства, двумерного подпространства и действительным числом, равным сумме произведений соответствующих координат упорядоченных троек, пар;
-представление арифметического пространства Я3 всех упорядоченных троек действительных чисел в качестве арифметической модели трехмерного евклидова пространства, арифметического пространства R2 всех упорядоченных пар в качестве арифметической модели двумерного подпространства;
- постановка задачи поиска аналогов (аналитических моделей) прямых, плоскостей, линий, поверхностей в арифметическом пространстве R3, двумерном подпространстве R2.
2. Становление аналитического метода исследования пространственных и метрических свойств геометрических фигур в двумерном евклидовом пространстве:
- представление прямых, базовых линий на плоскости как объектов двумерного евклидова подпространства характеристическими свойствами точек, векторов;
- построение арифметических образов (моделей) прямых, базовых линий в арифметической модели R2 двумерного евклидова пространства координатным методом в форме уравнений с двумя переменными;
- исследование расположения прямых, линий относительно системы координат, их взаимного расположения алгебраическими средствами анализа соответствующих арифметических моделей;
- представление плоской геометрической фигуры, указанной в исходной практической задаче исследования метрических и пространственных свойств, в ортонормированном базисе двумерного евклидова пространства векторно-координатными характеристиками
структурирующих ее вершин, изображенных и достраиваемых прямых, линий, точек их пересечения;
- построение аналитической модели практической задачи в форме координат вершин, уравнений изображенных и достраиваемых прямых, линий;
- исследование аналитической модели исходной практической задачи алгебраическими средствами на базе координатных условий принадлежности, коллинеарности, ортогональности;
- интерпретация результатов исследования аналитической модели, их применение в вычислении пространственных, метрических свойств геометрической фигуры в евклидовом пространстве.
3. Становление аналитического метода исследования пространственных и метрических свойств геометрических фигур в трехмерном евклидовом пространстве:
- представление плоскостей, базовых поверхностей, прямых, линий их пересечения как объектов трехмерного евклидова подпространства характеристическими свойствами точек, векторов;
- построение арифметических образов (моделей) плоскостей, базовых поверхностей, прямых, линий их пересечения в арифметической модели R3 трехмерного евклидова пространства координатным методом в форме уравнений с тремя переменными, их систем;
- исследование расположения плоскостей, поверхностей, относительно системы координат, их взаимного расположения алгебраическими средствами анализа соответствующих арифметических моделей;
- представление пространственной геометрической фигуры, указанной в исходной практической задаче исследования метрических и пространственных свойств, в ортонормированном базисе трехмерного евклидова пространства векторно-координатными характеристиками структурирующих ее вершин, изображенных и достраиваемых плоскостей, поверхностей, прямых, линий, точек их пересечения;
- построение аналитической модели практической задачи в форме координат вершин, уравнений изображенных и достраиваемых плоскостей, поверхностей геометрической фигуры;
- исследование аналитической модели исходной практической задачи алгебраическими средствами на базе координатных условий принадлежности, коллинеарности, ортогональности компонентов геометрической фигуры;
- интерпретация результатов исследования аналитической модели, их применение в вычислении пространственных, метрических свойств геометрической фигуры в евклидовом пространстве.
Список литературы
1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия: Учебное пособие для учащихся 10 кл. с углуб. изуч. математики. М.: Просвещение,1999. 238 с.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. I. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1986. 336 с.
3. Горбачев В.И. Теория трехмерного евклидова пространства в методологии теоретического типа мышления // Ученые записки Орловского государственного университета. 2016. № 1(70). С. 151-158.
4. Горбачев В.И. Теория геометрических фигур геометрического пространства в методологии теоретического типа мышления // Наука и школа. 2016. № 4. С. 132-144.
5. Горбачев В.И., Сенченко Е. Д. Закономерности исследования геометрических фигур в евклидовом пространстве // Ученые записки Брянского государственного университета: физико-математические науки / биологические науки / ветеринарные науки. Брянск: РИО БГУ, 2016. № 4. С. 18-29. [URL: http://scim-brgu.ru].
6. Гусев В.А., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. Векторы в школьном курсе геометрии. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1976. 48 с.
7. Далингер В.А. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений: кн. для учителя. М.: Просвещение, 2006. 256 с.
8. Каюмов О.Р. Диалоги о векторном методе. Аффинные задачи // Математика в школе. 2015. № 8. С. 24-34.
9. Каюмов О.Р. Диалоги о векторном методе. Метрические задачи // Математика в школе. 2015. № 9. С. 25-35.
10. Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Черкасов Р.С. Геометрия. Учебное пособие для 6-8 классов средней школы. М.: Просвещение,1980. 382 с.
11. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / Под ред. В.А. Гусева. М.: Издательский центр «Академия». 368 с.
12. Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 7-11 классов средней школы. М.: Просвещение, 1989. 303 с.
13. Потоскуев Е.В. Векторно-координатный метод при решении стереометрических задач // Математика в школе. 1995. №1. С. 23-25.
14. Скопец З.А. Векторное решение стереометрических задач // В кн.: Преподавание геометрии в 9-10 классах. М.: Просвещение, 1980. С.184-230.
15. Шестаков С.А. Векторы на экзаменах. Векторный метод в стереометрии. М.: МЦНМО, 2005. 112с.
16. Яглом И.М. Аксиоматические обоснования геометрии // В кн.: Новое в школьной математике. М.: Знание, 1972. С. 40-63.
17. Яглом И.М. О школьном курсе геометрии // Математика в школе. 1963. № 2. С.
53-57.
18. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. Научн. исслед. ин-т общей и пед. психологии Акад. пед. наук СССР. М.: Педагогика, 1980. 240 с.
Сведения об авторах
Горбачев В.И. - кандидат физико-математических наук, доктор педагогических наук, профессор, Заслуженный учитель Российской Федерации - директор естественно-научного института Брянского государственного университета имени акад. И.Г. Петровского; e-mail: [email protected];
Сенченко Е.Д. - магистрант направления «Педагогическое образование» Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского.
REGULARITIES OF ANALYTICAL METHOD OF INVESTIGATION OF THE PROPERTIES OF GEOMETRIC FIGURES IN EUCLIDE SPACE
V.I. Gorbachev, E.D. Senchenko
Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky
The article deals with the regularities of the formation of an analytical method for the study of geometric figures in three-dimensional Euclidean space.
Keywords: methodology of teaching mathematics, educational geometric activity, Euclidean space, analytical method of research.
References
1. Aleksandrov A.D., Verner A.L., Ryzhik V.I. Geometrija: Uchebnoe posobie dlja uchashhihsja 10 kl. s uglub. izuch. matematiki. M.: Prosveshhenie,1999. 238 p.
2. Atanasjan L.S., Bazylev V.T. Geometrija. V 2-h ch. Ch. I. Ucheb. posobie dlja studentov fiz.-mat. fak. ped. in-tov. M.: Prosveshhenie, 1986. 336 p.
3. Gorbachev V.I. Teorija trehmernogo evklidova prostranstva v metodologii teoreticheskogo tipa myshlenija // Uchenye zapiski Orlovskogo gosudarstvennogo universiteta. 2016. № 1(70). P. 151-158.
4. Gorbachev V.I. Teorija geometricheskih figur geometricheskogo prostranstva v metodologii teoreticheskogo tipa myshlenija // Nauka i shkola. 2016. № 4. P. 132-144.
5. Gorbachev V.I., Senchenko E. D. Zakonomernosti issledovanija geometricheskih figur v evklidovom prostranstve // Uchenye zapiski Brjanskogo gosudarstvennogo universiteta: fiziko-matematicheskie nauki / biologicheskie nauki / veterinarnye nauki. Brjansk: RIO BGU, 2016. № 4. P. 18-29. [URL: http://scim-brgu.ru].
6. Gusev V.A., Koljagin Ju.M., Lukankin G.L. Vektory v shkol'nom kurse geometrii. Posobie dlja uchitelej. M.: Prosveshhenie, 1976. 48 p.
7. Dalinger V.A. Metodika obuchenija uchashhihsja dokazatel'stvu matematicheskih predlozhenij: kn. dlja uchitelja. M.: Prosveshhenie, 2006. 256 p.
8. Kajumov O.R. Dialogi o vektornom metode. Affinnye zadachi // Matematika v shkole. 2015. № 8. P. 24-34.
9. Kajumov O.R. Dialogi o vektornom metode. Metricheskie zadachi // Matematika v shkole. 2015. № 9. P. 25-35.
10. Kolmogorov A.N., Semenovich A.F., Cherkasov R.S. Geometrija. Uchebnoe posobie dlja 6-8 klassov srednej shkoly. M.: Prosveshhenie,1980. 382 p.
11. Metodika obuchenija geometrii: Ucheb. posobie dlja stud. vyssh. ucheb. zavedenij / Pod red. V.A. Guseva. M.: Izdatel'skij centr «Akademija». 368 p.
12. Pogorelov A.V. Geometrija: Uchebnoe posobie dlja 7-11 klassov srednej shkoly. M.: Prosveshhenie, 1989. 303 p.
13. Potoskuev E.V. Vektorno-koordinatnyj metod pri reshenii stereometricheskih zadach // Matematika v shkole. 1995. №1. P. 23-25.
14. Skopec Z.A. Vektornoe reshenie stereometricheskih zadach // V kn.: Prepodavanie geometrii v 9-10 klassah. M.: Prosveshhenie, 1980. P.184-230.
15. Shestakov S.A. Vektory na jekzamenah. Vektornyj metod v stereometrii. M.: MCNMO, 2005. 112 p.
16. Jaglom I.M. Aksiomaticheskie obosnovanija geometrii // V kn.: Novoe v shkol'noj matematike. M.: Znanie, 1972. P. 40-63.
17. Jaglom I.M. O shkol'nom kurse geometrii // Matematika v shkole. 1963. № 2. P. 5357.
18. Jakimanskaja I.S. Razvitie prostranstvennogo myshlenija shkol'nikov. Nauchn. issled. in-t obshhej i ped. psihologii Akad. ped. nauk SSSR. M.: Pedagogika, 1980. 240 p.
About authors
Gorbachev V.I. - Doctor of Education, professor, Director of Institute of Natural Sciences, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e- mail: [email protected];
Senchenko E.D. - graduate student, Department of Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky.
