CC BY
10
УДК 371.24+371.212 UDC 371.24+371.212
ГОРБАЧЕВ В.И.
доктор педагогических наук, профессор, директор естественно-научного института, Брянский
государственныйуниверситет имени академика И.Г. Петровского. E- mail: enibgu@mail.ru
GORBACHEV V.I.
Doctor of Pedagogics,professor, director of the Institute of Natural Sciences, Bryansk State Academician I.G. Petrovsky
University. E- mail: enibgu@mail.ru
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ ВНУТРЕННЕ-ПРОЦЕССУАЛЬНОЙ КОМПЕТЕНЦИИ В СОДЕРЖАНИИ БАЗОВОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА
REGULARITIES OF FORMATION OF THE INTERNAL PROCEDURAL COMPETENCE IN THE CONTENT OF BASIC MATHEMATICAL THEORIES OF EUCLIDEAN SPACE
В статье исследуется содержание внутренне-процессуальной компетенции, отражающей становление в деятельности абстрактного, алгоритмического, логического типов мышления вместе с адекватными представлениями памяти. Деятельности представливания соответствует пространственный тип мышления в последовательности абстрактно-алгоритмического и системно-структурного этапов. В теоретико-пространственной деятельности осуществляется становление теоретико-пространственного типа мышления с абстрактно-аксиоматическим, аналитико-синтетическим и методологическим этапами. В работе установленные закономерности формирования внутренне-процессуальной компе-тенцииисследуютсяв содержании учебнойтеории евклидова пространства.
Ключевые слова: общее математическое образование, методика обучения математике, внутренне-процессуальная компетенция, учебная математическая теория евклидова пространства.
The article examines the contents of the internal procedural competence, reflecting the establishment of operations in the abstract, algorithmic, logical thinking types, together with adequate memory representations.Activity on the formation of the submission corresponds to the spatial type of thinking in the abstract sequence of algorithmic and system-structural phases.Theoretical space activities carried becoming theoretical spatial type of thinking with an abstract axiomatic, analytic-synthetic and methodological steps. In the article regularities of formation of the internal procedural competence are examined in the content of educational theory of Euclidean space.
Keywords: general mathematics education, mathematics teaching methodology, internal procedural competence, learning of mathematical theory of Euclidean space.
Закономерности внутренне-процессуальной компетенции. Внутренне-процессуальная компетенция математической деятельности учения - субъектная характеристика фундаментального вида деятельности учения, направленного на развитие в содержании учебных предметных теорий базовых типов мышления вместе с адекватными представлениями памяти:
1. Направленных на последовательную интеграцию пространственно-предметного типа мышления с абстрактно-алгоритмическим и системно-структурным этапами (формами) и теоретико-пространственного типа мышления с абстрактно-дедуктивным, аналитико-синтетическим, методологическим этапами (формами) мышления, представлений памяти, систематизирующих принятые в теории и методике обучения математике абстрактное, аксиоматическое, логическое, продуктивное, формализованное и другие виды мышления, представлений памяти.
2. Становящихся в последовательно организуемых деятельности представливания (создания целостного представления математического пространства абстрактных, идеализированных объектов в единстве его фундаментальных свойств, свойств составляющих его классов объектов, преобразований, базовых способов деятельности) и теоретико-пространственной деятельности (логико-содержательных действий понятийного выделения, доказательства (дедуктивного вывода), исследования закономерностей математического пространства объектов).
3. Выступающих внутренним содержанием методологической схемы «реальное пространство (объектов, отношений, связей) - пространство математических объектов - теория математического пространства» в последовательности:
a. базовых представленийматематического пространства объектов в системе фундаментальных свойств, отража-ющихзакономерные свойства объектов, явлений, процессов реального мира;
b. интеграцииобразной и понятийной форм соответствия классов объектов пространства и системы абстрактных свойств, взаимной связи классов объектов, отношений, преобразований;
c. дедуктивного построения теории математического пространства с системой аксиоматизируемых первичных и производных понятий, отношений,свойства которых устанавливаются в логико-содержательной процедуре доказательства;
(1 системного структурирования теории математического пространства абстрактным определением понятий, формализацией их свойств в теоремах, использованием характерных для пространства объектовметодов доказательства;
е. мировоззренческого анализа пространства математических объектов, его фундаментальных закономерностей, взаимной связи с другими математическими пространствамив сформированной системе понятий, фактов, методов доказательства теории.
4. Формирующихся в последовательности внешних исполнительских действий (определения, формулировки, доказа-
© Горбачев В. И. © Gorbachev V.I.
тельства, преобразования, вычисления, решения, исследования, построения, моделирования), проектируемых этапов преобразования учебных действий по цели, форме, характеру включенности в деятельность от материализованного через внешнеречевой к внутреннему уровню представленности [2, 9].
Целевая, деятельностная, системно-структурная и технологическая характеристики внутренне-процессуальной компетенции позволяют уточнить, детализировать выделенные закономерности ее предметного формирования в методике обучения математике уровня общего образования.
Внутренне-процессуальная компетенция формируется в содержательно-теоретическом (не содержательно-методическом) подходе к проектированию деятельности учения. Объектом изучения выступают адаптированные (к уровню общего образования, психолого-педагогическим закономерностям возраста) учебные предметные теории мировоззренческой, общекультурной, методологической значимости, важные с позиции развития личности. В математической деятельности учения внутренние психические процессы становления мышления, памяти исследуются в содержании базовых учебных математических теорий числового пространства, функционального пространства, геометрического пространства, векторного пространства, пространства числовых предикатов, вероятностного пространства.
Объективные закономерности пространства объектов предметной теории в форме понятий, методов, алгоритмов, способов конструирования, исследования составляют лишь реально видимую сторону деятельности учения. Адаптированные учебные предметные теории, в содержании которых устанавливаются, исследуются закономерности пространства объектов, выстроены, систематизированы в совокупности объективно востребованных форм, типов мышления, мысленных конструкций памяти, формирующихся во внутреннем плане субъекта лишь в условиях направленной рефлексии, выделения в качестве личностно значимого вида деятельности учения. Внутренний уровень сформированности как деятельности усвоения системы понятий, обобщенных способов предметной деятельности, так и опосредующих их механизмов мышления, системных представлений памяти определяет содержание внутренне-процессуальной компетенции [3, 8].
Основанием системного представления внутренних психических процессов изучения учебной предметной теории выступает разделение деятельности учения на деятельность представливания (представление пространства объектов в целом, классов объектов в их взаимосвязи, классификация объектов и их свойств, пространственное воображение в условиях преобразований, комбинирования объектов) и теоретико-пространственную деятельность (системное представление теории, выявление фундаментальных связей, закономерностей пространства, обоснование установленных и открываемых в исследовании свойств, становление теоретико-модельных итеоретико-прикладных представлений). Деятельности представливания соответствует формирующийся в ней пространственно-предметный тип мышления (математических - числового, функционального, геометрического, векторного, числовых предикатов, вероятностного пространств), в теоретико-пространственной деятельности осуществляется становление теоретико-пространственного (математических теорий - числа, функций, фигур, векторов, предикатов, вероятностей) типа мышления [1, 10].
Структурная систематизация процессов мышления, представлений памяти позволяет ее уточнять, дополнять в содержании математической деятельности учения, задает последовательность формирования в процессе изучения адапти-
рованной учебной предметной теории (Таблица 1).
Технология становления этапов (форм) мышления субъекта, представлений памяти в соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий [2, 9] опосредована сплавом предметных математических и учебно-организационных действий в схеме «внешние исполнительские действия - саморегуляция действий - внутренняя форма действия» (Таблица 2).
Закономерности целеполагания, системного структурирования учебной математической деятельности в соответствии с выделенными типами, формами мышления, представлений памяти в содержании учебных теорий числовых систем, функций, геометрических фигур установлены в [4, 5]. Задача проектирования внутренних психических процессов в содержании математических теорий других пространств пока остается открытой.
Типы мышления в представлении трехмерного евклидова пространства. Теория геометрических фигур евклидовой геометрии в категориях «геометрическое пространство», «геометрическая фигура» не охватывает содержание целостной геометрической деятельности [6, 7]:
- геометрическое пространство в условиях несконстру-ированности своей векторной модели - «трехмерное евклидово пространство» не обладает фундаментальным свойством размерности;
- в пространственном мышлении не формируются абстрактное векторное представление системы отсчета, аффинной и, в частности, прямоугольной систем координат;
- в отсутствие векторной трактовки ограничены лишь визуально-геометрическими представления параллельности и перпендикулярности, не используется эффективный в математике, естествознании векторный метод исследования геометрических фигур;
- не установлена связь геометрического пространства посредством системы действительных чисел Я с арифметической моделью - «арифметическим трехмерным пространством »;
- вне фундаментальной связи геометрического пространства с его векторной, арифметической моделями не осуществляется становление имеющего общенаучную значимость векторно-координатного (аналитического) метода исследования свойств геометрических фигур.
Адаптирование математической теории трехмерного евклидова пространства в качестве «векторно-координатного» компонента геометрической деятельности не исключает, более того, опирается на сложившиеся пространственные представления в системе пространственных, метрических, конструктивных свойств геометрических фигур, придавая им современную абстрактно-алгебраическую форму [5, 7]:
- введением нового фундаментального математического, естественнонаучного понятия «вектор»;
- построением абстрактной модели геометрического пространства - векторного, евклидова пространства с исследованием геометрических фигур в произвольно выбранном базисе;
- установлением фундаментальной связи теории геометрических фигур и теории числовых систем в арифметической модели геометрического пространства;
- исследованием геометрических фигур с помощью соответствующих им алгебраических моделей - уравнений,
неравенств, систем на множестве действительных чисел в целесообразно выбранной прямоугольной системе координат.
Таблица 1.
Типы, этапы, содержание внутренних процессов деятельности учения.
Фундаментальные типы мышления, представлений памяти математической деятельности учения Этапы (формы) становления типов мышления Содержание внутренних процессов становления мышления, представлений памяти
Пространственно-предметные (пространственно-числовой, пространственно-функциональный, пространственно-геометрический, пространственно-векторный, пространственно-предикатный, пространственно-вероятностный)типы мышления, представлений памяти деятельности представливания. Абстрактно-алгоритмическое (абстрактное, алгоритмическое, интуитивное, образное, обобщенное, операторное) мышление в классах объектов математического пространства. Восприятие абстрактных идеализированных объектов, конструкций, пространственных соотношенийво взаимосвязи реального и математического пространств. Создание образов объектов пространства, их классов в интуитивной, конструктивной, функционально-графической, аналитической, знаковой формах, перекодирование образов во внутреннем плане субъекта. Становление процедур оперирования образами объектов, классов объектов, выделение соотношений на множестве образов пространства. Выявление и обоснование свойств объектов, соотношений, операций на базе фундаментальных свойств математического пространства.
Системно-структурное (пространственное,образное, продуктивное, системное, эвристическое, творческое) мышление в целостном математическом пространстве. Анализ фундаментальных свойств математического пространства и обоснованных ими свойств классов объектов, операций, отношений в отражении базовых свойств физического пространства. Понятийное представление математического пространства в системе классов объектов, преобразований, операций. Систематизация классов объектов, их образов, свойств в понятийном, образном представлениях математического пространства. Выделение классов задач и базовых видов деятельности в математическом пространстве: - ориентации в математическом пространстве,классов объектов, операций, отношений и их свойств; - создания новых классов объектов и их пространственных образов; - исследования свойств классов объектов, операций, отношений и пространства в целом; - целостного представления математического пространства в отражении определенных форм, связей, свойств физического пространства.
Теоретико- пространственные (теоретико-числовой, теоретико- функциональный, теоретико- геометрический, теоретико-векторный, теоретико- предикатный, теоретико- вероятностный) типы мышления, представлений памяти теоретико- пространственной деятельности. Абстрактно-дедуктивное (аксиоматическое, абстрактное, индуктивное, дедуктивное, формализованное) мышление встановлении теории математического пространства. Переход от задачи «Представление абстрактного математического пространства в отражении содержательных свойств физического пространства» к задаче «Построение математической теории для исследования абстрактных закономерностей математического пространства». Представление дедуктивного подхода в построении теории математического пространства - использовании лишь логических рассуждений, исходя из определенных терминов (понятий, отношений) и положений (аксиом), для установления свойств, закономерностей математического пространства и всех его классов объектов, операций, отношений. Описание и обоснование способа выбора первичных понятий и отношений в построении теории математического пространства «с точным и для математических целей полным описанием их свойств (Д. Гильберт)». Абстрактное представление фундаментальных понятий, свойств математического пространства в аксиоматическом построении теории. Установление структурных связей методологической схемы «математическое пространство - теория математического пространства»: - классов объектов, отношений математического пространства и первичных, производных понятий теории; - фундаментальных свойств, закономерностей математического пространства и аксиомтеории; - пространственных свойств классов объектов, отношений, операций математического пространства и признаков (теорем) на множестве понятий теории; - системы свойств классов объектов математического пространства и системы понятий теории в их структурной взаимосвязи. Аргументация представления свойств классов объектов математического пространства на языке понятий в форме истинных (доказуемых) предложений теории. Интуитивное, логико-содержательное представление доказательства в теории в качестве базового способа установления свойств класса объектов математического пространства.
Аналитико-синтетическое (интуитивное, логическое, логико-содержательное, понятийное, формально-алгоритмическое, дедуктивное,продуктивное, системно-структурное, эвристическое, творческое) мышление в развитии теории математического пространства. Понятийное представление теории математического пространства: - анализ спектра понятий теории в отражении классов объектов, отношений, операций и их свойств в математическом пространстве; - структурирование понятий теории в схеме «первичные понятия теории - производные понятия теории - конструирование понятий»; - определение понятий в системе необходимых и достаточных свойств, в процедурах обобщения и конкретизации, с использованием интуитивной, наглядно-образной, аналитической, логико-символической форм представления; - системно-структурное представление теории математического пространства в содержании классификации, систематизации понятий. Представление содержания теории в системе теорем по исследованию общих закономерностей математического пространства: - логико-содержательный анализ теоремы с позиции установления общих свойств класса объектов математического пространства; - формально-логический анализ структуры теоремы, процедуры ее доказательства в аксиоматическом построении теории; - логико-содержательное построение доказательства теоремы в сочетании наглядных образов и абстрактных понятий, положений теории; - выделение базовых (аналитико-синтетический, конструктивный, аналитический) и пространственно-специфических (по индукции, комбинаторный, предельного перехода, модельный) методов доказательства теорем, исследование закономерностей их использования в процедурах доказательства конкретных теорем. Представление содержания теории в содержании учебных задач исследования закономерностей математического пространства в целом, его подпространств, базовых классов объектов: - постановка, принятие задачи приложения теории для установления метода исследования конкретных закономерностей математического пространства; - выделение базовых подпространств, классов объектов, моделей математического пространства, имеющих общекультурную, математико-мировоззренческую значимость в изучаемой теории; - актуализация базовых понятий, теорем теории математического пространства в их соответствии, приложении к задачам исследования конкретных закономерностей математического пространства; - анализ задачи исследования выделенного класса объектов пространства как учебной - с позиции установления обобщенного способа решения в форме алгоритмической схемы; - конкретно-понятийное выделение способа исследования объектов в процедуре восхождения от абстрактного к конкретному; - обоснование действий обобщенного способа исследования, его рефлексия, структурирование; - синтезирование обобщенного способа в системе методов доказательства теорем, способов исследования математического пространства в целом, его подпространств, базовых классов объектов. Развитие эвристических, творческих форм мышления, представлений памяти в образно-понятийном расширении классов объектов пространства, в процедурах комбинирования способов исследования, методов доказательства.
Методологическо е (теоретико-модельное, формально-логическое, модельно-прикладное, символическое, структурно-теоретическое, критическое) мышление в анализе, целостном представлении теории математического пространства. Мировоззренческое представление математического пространства: - в отражении определенных свойств, отношений реального пространства; - в системе фундаментальных абстрактных идеализированных свойств; - в анализе моделей пространства, их роли в исследовании закономерностей пространства; - в системе базовых закономерностей пространства, установленных в теории; - в спектре классов задач на множестве объектов пространства и обобщенных способов деятельности; - в анализе взаимной связи различных пространств, опосредо-ванности закономерностей одного пространства свойствами объектов другого. Представление закономерностей математического пространства в содержании теории: - обоснование потребности развития теории для выделения, анализа, доказательства, исследования свойств классов объектов, пространства; - абстрагирование и аксиоматизация фундаментальных понятий, отношений математического пространства как основа доказательства свойств классов объектов, пространства, его моделей; - категориальное, понятийное системное представление теории пространства, его классов объектов, отношений, преобразований, свойств; - структурное представление теории пространства в спектре теорем, процедур доказательства, методов доказательства, исследования; - сопоставление выделенных закономерностей пространства, образной и понятийной форм их представления, способов их доказательства, исследования в содержании теории.
Таблица 2.
Саморегуляция внешних действий учения в субъектном развитии
Внешние исполнительские действия Саморегуляция исполнительских действий Внутренняя форма действия
Описание. Определение. Формулировка. Доказательство. Преобразование. Вычисление. Решение. Исследование. Построение. Конструирование. Моделирование. Структурирование. Систематизация. Классификация. Обобщение. Конкретизация. Субъектная постановка задачи реализации действия и осознание условий его выполнения; Актуализация предшествующего опыта; Поиск способа приложения субъектного опыта; Планирование конкретной формы исполнения действия; Реализация, внешнеречевое обоснование действия; Разделение общих закономерностей и конкретных особенностей в исполнении действия; Рефлексия образа действия в целостной учебной математической деятельности; Анализ процесса субъектного становления действия. Становление обобщенной формы действия во внешней речи, во внутренней субъектной речи, в мышлении. Анализ теоретических закономерностей, условий и последовательности их применения в обобщенной форме действия. Обоснование обобщенной формы действия теоретическими закономерностями пространства объектов, соответствующей теории. Фиксация содержательной структуры действия и класса задач, в котором действие применимо. Установление места и роли действия, соответствующего класса задач в системно-структурном представлении теории.
В становлении теории трехмерного евклидова пространства, каки теории геометрических фигуревклидовойгеометрии, раздельно формируются и дополняют друг друга деятельность представливания с пространственно-геометрическим типом мышления и теоретико-геометрическая деятельность исследования векторной, арифметической моделей геометрического пространства в содержании теоретико-геометрического (абстрактного аксиоматического) типа мышления [6]. Если в теории геометрических фигур деятельность представливания связана с визуальными пространственно-геометрическими образами во взаимной связи реального физического и геометрически сконструированного пространств, то в теории трехмерного евклидова пространства категория геометрического пространства выступает исходной, деятельность представли-вания направлена на конструирование векторной и арифметической моделей пространства, установление соответствия их общих и специфических свойств, способов исследования геометрических объектов.
Закономерности геометрического пространства и его векторной, арифметической моделей выступают общим предметом теории геометрических фигур и теории трехмерного евклидова пространства, однако существенно разные аксиоматизация теорий, методы доказательства свойств геометрических фигур приводят к задаче отдельного формирования соответствующих видов теоретико-геометрической деятельности, в методологическом плане через эквивалентность теорий позволяют глубже осознать сущность аксиоматического подхода в математике.
Деятельность представливания в классах объектов геометрического, векторного, арифметического пространств, определяющая процесс перекодирования во внутреннем плане субъекта условных наглядных геометрических образов в знаковые (векторные, координатные равенства, соотношения, аналитические уравнения, неравенства, системы), алгебраическая по своему содержанию, выстроена в определенной последовательности базовых видов:
1. Становление аппарата векторной алгебры на содержательном уровне в системе понятий трехмерного евклидова пространства.
2. Описание, исследование свойств геометрических фигур в содержании аппарата векторной алгебры (векторный метод).
3. Формирование фундаментальных в математике понятий базиса, аффинной и прямоугольной систем координат на плоскости и в пространстве, координат вектора, точки в выбранной системе координат.
4. Описание, исследование в системе координат базовых геометрических фигур (прямая и плоскость, окружность и сфера), их взаимных связей векторными, координатными уравнениями, системами уравнений.
5. Исследование в системе координат пространственных, метрических, конструктивных свойств геометрических фигур посредством векторных, координатных уравнений структурирующих их базовых фигур (аналитический, векторно-координатный методы).
6. Становление общего представления о фундаментальных понятиях математики «вектор», «векторное пространство», «система координат», схемы абстрагирования «физическое пространство - геометрическое пространство - векторное пространство - арифметическое пространство».
В деятельности представливания геометрического пространства как трехмерного евклидова абстрактно-алгоритмический этап пространственно-геометрического типа мышления характеризуется последовательным формированием представлений трехмерного евклидова пространства в содержании уже сложившихся представлений геометрического пространства:
- становлением нового аппарата векторной алгебры в геометрическом пространстве;
- анализом фундаментальных понятий базиса и размерности в геометрическом (трехмерном векторном) пространстве, в плоскости (двумерном векторном пространстве), на прямой (одномерном векторном пространстве);
- обоснованием метода исследования пространственных свойств базовых классов геометрических фигур в системе понятий коллинеарности, комплонарности трехмерного векторного пространства;
- представлением геометрического пространства как трехмерного евклидова в системе фундаментальных понятий скалярного и векторного произведений, ортонормированного базиса;
- обоснованием метода исследования метрических свойств базовых классов геометрических фигур в трехмерном евклидовом пространстве.
Системно-структурный этап пространственно-геометрического мышления направлен на последовательное обоснование векторного, координатного, аналитического методов исследования геометрических фигур в содержании представлений геометрического пространства как трехмерного евклидова пространства:
- представлением субъекту геометрического пространства как трехмерного векторного пространства (совокупности
всех линейных комбинаций трех базисных векторов) с векторным методом исследования пространственных свойств геометрических фигур;
- конкретизацией векторного пространства как трехмерного евклидова (совокупности всех линейных комбинаций трех ортонормированных базисных векторов) с векторным методом исследования пространственных и метрических свойств геометрических фигур;
- отождествлением геометрического пространства и трехмерного арифметического пространства с координатным методом исследования геометрических фигур;
- описанием базовых классов геометрических фигур их знаковыми моделями в арифметическом пространстве с аналитическим методом исследования.
Абстрактно-алгоритмический и системно-структурный этапы пространственно-геометрического типа мышления существенно дополняют представления геометрического пространства его векторной и координатной формами, описанием и исследованием классов геометрических фигур в содержании векторного, координатного и аналитического методов. Однако математическая составляющая пространственного геометрического мышления векторно-координатной деятельностью представливания при этом не исчерпывается:
- закономерности геометрического пространства как трехмерного евклидова, с арифметической моделью не исследованы в содержании соответствующей математической теории;
- фундаментальные математические понятия «трехмерное векторное пространство», «трехмерное евклидово пространство» не получили описания в аксиоматическом подходе;
- не реализована уникальность геометрической деятельности по исследованию категории «геометрическое пространство» в двух различных аксиоматизируемых теориях (теории геометрических фигур евклидовой геометрии и теории трехмерного евклидова пространства), обладающих свойством эквивалентности.
Типы мышления в теории трехмерного евклидова пространства. Методологию объективно необходимой теоретико-геометрической деятельности в трехмерном евклидовом пространстве и его арифметической моделис формирующимся теоретико-геометрическим типом мышления определяют виды деятельности:
1. Аксиоматизация трехмерного евклидова пространства в базовых понятиях «точка», «вектор», «операция над векторами», «размерность пространства», «скалярное произведение векторов», «система координат».
2. Описание базовых объектов геометрического пространства в аксиоматизируемом трехмерном евклидовом пространстве их векторной, координатной моделями.
3. Доказательство, исследование свойств геометрических фигур в аксиоматизируемом трехмерном евклидовом пространстве в содержании векторного, координатного методов.
4. Анализ базовых объектов геометрического пространства в арифметической модели евклидова пространства, исследование их свойств в содержании аналитического метода.
5. Исследование взаимной связи представлений геометрического пространства, трехмерного векторного пространства, трехмерного евклидова пространства, арифметической модели евклидова пространства.
6. Анализ теории геометрических фигур евклидовой геометрии и теории трехмерного евклидова пространства в системах базовых понятий, аксиом, методов доказательства, соответствия объектов геометрического пространства и их векторной, арифметической моделей, с позиции эквивалентности теорий.
На абстрактно-аксиоматическом этапе теоретико-геометрического типа мышления содержание категорий
«вектор» и «векторное пространство» определяются только перечнем аксиом, их ранее сформированные образы пространственно-геометрического типа мышления выступают лишь конкретизацией интуитивного плана. Внутренней закономерностью конструирования трехмерного векторного и, затем, евклидова пространств выступает аналоговая с теорией геометрического пространства процедура аксиоматизации - построение теории евклидова пространства в методологии аксиоматического метода. Аналоговый характер аксиоматизации, даже при наличии определенной общей терминологии, не предполагает наличие в структуре векторного пространства геометрического пространства и наоборот. Однако общими фактами аксиоматических теорий геометрического и векторного пространств являются:
- включение в структуру теорий системы действительных чисел с фундаментальными свойствами непрерывности, континуальности - либо в аксиомах меры геометрического пространства, либо в аксиомах скалярного произведения векторов евклидова пространства;
- мысленный перенос объектов одного пространства в другое, что обосновывает векторный и координатный методы исследования геометрических фигур;
- исследование пространственных свойств геометрических фигур в понятиях коллинеарности, ортогональности, комплонарности векторного пространства, метрических свойств на базе понятий скалярного, векторного произведений евклидова пространства.
Аналоговый характер аксиоматизации, поглощение системы действительных чисел и явление мысленного переноса объектов одного пространства в другое не затушевывают важного факта абстрактно-аксиоматического этапа теоретико-геометрического типа мышления - аксиоматическая теория трехмерного евклидова пространства - самостоятельная математическая теория, исследующая закономерности трехмерного евклидова пространства.
Другой значимый результат абстрактно-аксиоматического этапа теоретико-геометрического типа мышления связан с введением понятия координат вектора в терминах разложения вектора по базисным векторам векторного пространства. Соответствие вектора и его координат в ортонормированном пространстве позволяет построить арифметическое пространство как модель трехмерного евклидова пространства со знаковыми образами базовых классов геометрических фигур в форме алгебраических уравнений, неравенств, систем и аналитическим методом их исследования.
Содержанием аналитико-синтетического этапа теоретико-геометрического типа мышления выступает комплексный анализ задач по исследованию пространственных, метрических свойств геометрических фигур, обоснованный схемой «геометрическое пространство - трехмерное векторное пространство - трехмерное евклидово пространство - арифметическое трехмерное пространство»:
- как понятие геометрической фигуры, так и понятия геометрического, векторного, евклидова, арифметического пространств являются мысленными конструкциями, что выступает основой мысленного переноса геометрической фигуры в любое из пространств;
- в условиях мысленного переноса геометрической фигуры в каждое из пространств оказывается возможной переформулировка задачи исследования свойств геометрической фигуры в форме векторной, координатной (в векторном, евклидовом пространствах), аналитической (в арифметическом пространстве) моделей с соответствующими методами исследования;
- в теории трехмерного векторного пространства разработаны векторный и координатный методы исследования пространственных свойств геометрических фигур в аффинном базисе, в теории трехмерного евклидова пространства обосно-
ваны векторный и координатный методы исследования пространственных и метрических свойств геометрических фигур в ортонормированном базисе, в арифметическом пространстве получил обоснование аналитический (комплексный) метод исследования свойств геометрических фигур;
- аналитический метод исследования геометрических фигур базируется на закономерностях векторного, координатного методов теории трехмерного евклидова пространства и в содержании аналитической модели задачи исследования использует аппарат теории алгебраических уравнений, неравенств, систем для ее исследования с последующей интерпретацией результатов аналитической деятельности.
Синтезирование процесса переформулировки задачи исследования геометрической фигуры в спектре векторного и евклидова пространств, анализа применения векторного, координатного методов, выделение этапа построения аналитической модели задачи и ее исследование с помощью аппарата алгебры составляет основное содержание аналитико-синтетического этапа теоретико-геометрического типа мышления [5, 6]. В соответствии пространств, моделей задачи исследования геометрической фигуры и адекватных им методов решения, интерпретации создаются представления памяти этапа (Таблица 3).
Методологический этап теоретико-геометрического типа мышления направлен на формирование процедур мышления, представлений памяти, связанных с исследованием:
- взаимной связи геометрического, векторного, евклидова и арифметического пространств и способов перехода от одного пространства к другому;
- соответствия каждого из пространств и теоретических закономерностей методов исследования геометрических фигур в данном пространстве;
- взаимной связи теорий геометрического, евклидова пространств - с позиции эквивалентности теорий, разделения евклидовой и неевклидовой геометрий.
Общеучебный характер составляет реализуемый в категории геометрического пространства процесс формирования целостных геометрических представлений в схеме: «визуальные геометрические представления - содержательные геометрические представления - векторные геометрические представления - аналитические представления» (Таблица 4).
Пространственно-геометрический тип мышления, формирующийся в деятельности представливания как в категории геометрического пространства, так и в его векторной, арифметической формах, выступает основным внутренним интегральным качеством, транслируемым в содержание других учебных дисциплин в виде общеучебного. Так же немаловажен в качестве общенаучного теоретико-геометрический тип мышления в содержании двух эквивалентных геометрических теорий с общим предметом исследования, но различными аксиоматикой, методами доказательства, способами исследования.
Взаимосвязь пространств и методов геометрической деятельности учения.
Теория геометрического пространства
Теория векторного пространства
Теория евклидова пространства
Теория арифметического пространства
Характеристика пространства
Аксиоматизируемое пространство геометрических фигур в системе пространственных, метрических, конструктивных свойств.
Аксиоматизируемое трехмерное пространство векторов, комбинаций с аффинным базисом, со знаковыми (векторными, координатными) моделями геометрических фигур в системе пространственных свойств.
Аксиоматизируемое трехмерное про-
странство векторов, комбинаций с ортонор-мированным базисом, со знаковыми (векторными, координатными) моделями геометрических фигур в системе пространственных и метрических свойств.
Арифметическая модель трехмерного евклидова пространства с ортонормированным базисом, со знаковыми (аналитическими) моделями геометрических фигур в системе пространственных, метрических, конструктивных свойств.
Базовые методы
исследования
Аналитико -синтетический метод исследования геометрических фигур на базе аксиом, теорем геометрического пространства, определений и конструктивных образов фигур.
Векторный, координатный методы исследования пространственных свойств геометрических фигур на базе аксиом, теорем векторного пространства, представлений фигур в аффинном базисе.
Векторный, координатный методы исследования пространственных, метрических свойств геометрических фигур на базе аксиом, теорем евклидова пространства, представлений фигур в ортонормиро-ванном базисе.
Аналитический метод исследования пространственных, метрических, конструктивных свойств геометрических фигур на базе алгебраического метода исследования уравнений, неравенств, систем, выступающих знаковыми моделями компонентов фигур.
Представления классов задач
Задача исследования пространственных, метрических, конструктивных свойств геометрической фигуры в системе свойств геометрического пространства.
Векторная, координатная модели задачи исследования геометрической фигуры, представленной в аффинном базисе векторного пространства.
Векторная, координатная модели задачи исследования геометрической фигуры, представленной в ортонормирован-ном базисе векторного пространства.
Аналитическая модель задачи исследования геометрической фигуры на базе координатной модели в евклидовом пространстве.
Таблица 3.
Систематизация представлений геометрического пространства
Таблица 4.
Геометрическая векторно-координатная картина мира в содержании теории трехмерного евклидова пространства и его арифметической модели
v
Пространственно-геометрические представления памяти, мышления
Теоретико-геометрические представления памяти, мышления
v
V
V
V
Трехмерное евклидово пространство в содержании представлений геометрического пространства
Арифметическое пространство как модель трехмерного евклидова пространства
v
Внутренние процессы пространственно-геометрической деятельности:
- представление геометрического пространства как трехмерного евклидова в процедурах оперирования над векторами, установления метрических свойств, свойств размерности пространства;
- становление векторного метода исследования геометрических фигур в содержании векторной модели геометрического пространства;
- представление арифметического пространства как модели трехмерного векторного пространства в процедурах оперирования над координатами, аналитического представления свойств пространства;
- становление координатного метода исследования геометрических фигур в содержании арифметической модели трехмерного евклидова пространства;
- интегральное представление геометрического пространства, его
Пространственно-геометрический тип мышления, памяти в содержании абстрактно-алгоритмического и системно-структурного этапов
Теория трехмерного евклидова пространства
Методология геометрического пространства в содержании векторного, координатного, аналитического методов исследования геометрических фигур
v
V
Внутренние процессы теоретико-геометрической деятельности:
- актуализация аксиоматического метода построения евклидовой геометрии, аналоговая аксиоматизация свойств трехмерного евклидова пространства;
- представление, исследование свойств базовых геометрических фигур в аксиоматике трехмерного евклидова пространства;
- анализ соответствия аксиоматического представления трехмерного евклидова пространства и его арифметической модели;
- обоснование закономерностей векторного, координатного, аналитического методов исследования геометрических фигур трехмерного евклидова пространства;
- анализ классов задач по исследованию базовых фигур геометрического пространства в содержании закономерностей аналитического метода;
- обоснование эквивалентности систем аксиом геометрического пространства и трехмерного евклидова пространства;
Ф
Теоретико-геометрический тип мышления, памяти в содержании абстрактно-аксиоматического, аналитико-синтетического, методологического этапов.
Библиографический список
1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия: учебник для учащихся 10 кл. с углуб. изуч. математики. М.: Просвещение, 1999. 238 с.
2. Гальперин П.Я. Психология как объективная наука. М.: Изд-во «Институт практической психологии», 1998. 480 с.
3. Глейзер Г.Д. Психолого-математические основы развития пространственных представлений при обучении геометрии // Преподавание геометрии в 9-10 классах. М.: Просвещение, 1980. С. 253-269.
4. Горбачев В.И. Внутренне-процессуальная компетенция в системе общепредметных компетенций математической деятельности учения (на содержании базовых теорий числовых систем, функций) // Ученые записки Орловского государственного университета. 2016. № 4 (73). С. 253- 264.
5. Горбачев В.И. Закономерности формирования внутренне-процессуальной компетенции в содержании базовой математической теории геометрического пространства // Наука и школа. 2017. № 1. С. 124-135.
6. Горбачев В.И.Теория трехмерного евклидова пространства в методологии теоретического типа мышления // Ученые записки Орловского государственного университета.2016.№ 1 (70).С. 151-158.
7. Горбачев В.И., Сенченко Е. Д. Закономерности исследования геометрических фигур в евклидовом пространстве // Ученые записки Брянского государственного университета: физико-математические науки / биологические науки / ветеринарные науки. 2016. № 4. С. 18-29. [электронный ресурс]М1р://8сгт-Ь^и.га (дата обращения: 15.03.2017).
8. Дорофеев Г.В. Гуманитарно ориентированный курс - основа учебного предмета «Математика» в общеобразовательной школе // Математика в школе. 1997. № 4. С. 53-66.
9. Талызина Н. Ф. Теория поэтапного формирования умственных действий // Теория учения. Хрестоматия. Ч. 1. Отечественные теории учения. М.: Редакционно-издательский центр «Помощь», 1996. С. 98-137.
10. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. М.: Педагогика, 1980. 240 с.
References
1. AleksandrovA.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometry: a textbook for students 10 cells. with a deep. expl. mathematics. Moscow: publishing house «Prosveshchenie», 1999. 238 p.
2. GalperinP.Ya. Psychology as an objective science. Moscow: Publishing house «Institute of Practical Psychology», 1998. 480 p.
3. Glazer G.D. Psychological and mathematical foundations for the development of spatial representations in the teaching of geometry // Teaching geometry in 9-10 grades. Moscow: publishing house «Prosveshchenie», 1980. Pp. 253-269.
4. Gorbachev V.I. Internal procedural competence in the system of general subject competencies of mathematical activity of the teaching (on the content of basic theories of numerical systems, functions) // Scientific notes of Orel State University.2016. No.4 (73). Pp. 253-264.
5. Gorbachev V.I. Regularities in the formation of internal procedural competence in the content of the basic mathematical theory of geometric space // Naukaishkola. 2017. No. 1. Pp. 124-135.
6. Gorbachev V.I. Theory of three-dimensional Euclidean space in the methodology of theoretical type of thinking // Scientific notes of Orel State University. 2016. No. 1 (70). Pp. 151-158.
7. Gorbachev V.I., Senchenko E.D. Regularities of the study of geometric figures in Euclidean space // Scientific notes of Bryansk State University: physical and mathematical sciences / biological sciences / veterinary sciences. 2016. No. 4.Pp. 18-29. [electronic resource] http://scim-brgu.ru (reference date: 15.03.2017).
8. Dorofeev G.V. Humanitarian-oriented course - the basis of the academic subject «Mathematics» in the general education school // Mathematics in the school. 1997. No.4. Pp. 53-66.
9. Talyzina N.F. Theory of the step-by-step formation of mental actions // Theory of Learning. Reader.Part 1.Domestic theory of learning.Moscow: Editorial and publishing center «Help», 1996. Pp. 98-137.
10. Yakimanskaya I.S. Development of spatial thinking of schoolchildren. Moscow: publishing house«Pedagogika», 1980. 240 p.
