CC BY
7ЗАДАНИЕ, ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ В КУРСАХ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Аннотация
Актуальность статьи обусловлена тем, что тема «Пересечение поверхностей» является одной из основных на первых курсах технических вузов. Для успешного усвоения программы студентам необходимы понятные и доступные методические указания. С пересечениями различных поверхностей человек постоянно встречается как в повседневной жизни, так и на производстве, например, в многообразных механизмах, приборах и аппаратах, что имеет важное значение в деле подготовки будущих инженеров. В данной статье рассматриваются понятия пересечения поверхностей, конуса, цилиндрической поверхности, которые изучаются как в курсе высшей математики, так и начертательной геометрии. Особое внимание при изучении данного вопроса следует уделить проведению межпредметных связей с целью формирования целостного представления о подобных объектах. Содержание статьи представляет интерес для учащихся старших классов, студентов первых курсов технических специальностей, а также преподавателей начертательной геометрии и курса высшей математики.
Ключевые слова
методические указания, пересечение поверхностей, конусы, цилиндрические поверхности
АВТОРЫ
Мурашкина Татьяна Ивановна,
кандидат технических наук, доцент кафедры инженерной графики ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва murashkinat@yandex.ru
Петруничева Александра Сергеевна,
студентка ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет
им. Н. Э. Баумана», г. Москва alexandrapetrunicheva@gmail.com
Суркова Нина Григорьевна,
кандидат педагогических наук, доцент кафедры инженерной графики ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва ninasurok@yandex.ru
Укажем кратко, какой теоретический материал по теме «Конические и цилиндрические поверхности» из курса высшей математики должны изучить студенты перед решением задач по данной теме в курсе начертательной геометрии.
Коническая поверхность образуется при вращении прямой ¿, пересекающейся с осью вращения, вследствие чего образует прямой круговой конус. (Рис. 1). Точка О
является точкой пересечения вращающейся прямой с осью вращения. Она остаётся неподвижной и называется вершиной конуса.
Рис.1
Рис.2
Рис.3
Коническая поверхность задается уравнением, которое мы будем выводить в декартовой системе координат. Начало системы координат совпадает с вершиной конуса, а ось Ох совпадает с осью вращения. Расположение оси Ох задаем таким образом, чтобы прямая Iнаходилась в координатной плоскости 0x2 и описывалась уравнением х = кхх где - угловой коэффициент наклона прямой. В этой системе координат уравнение поверхности вращения получается из уравнения прямой
заменой х на ±^х2 + у2. Вследствие данной замены уравнение будет выглядеть: х =
±к1^х2 + у2. После возведения уравнения в квадрат, получаем соотношение х2 = к2(х2+у2) , после чего его необходимо разделить на с2 = к2а2 для получения
х2 У2 7,2
а2 а2 с2
канонического уравнения прямого кругового конуса:
В начертательной геометрии коническая поверхность создается движением прямой (образующей д), проходящей через неподвижную точку 5 и перемещающейся вдоль кривой - направляющей й. (Рис.2). Если направляющая - ломанная линия, то получим пирамидальную поверхность. На рис.3 показано задание конической поверхности на эпюре. Если направляющая - окружность, то получим прямой круговой конус.
Из прямого кругового конуса можно получить уравнение эллиптического конуса путем преобразования сжатия к координатной плоскости хОх с коэффициентом сжатия ^ который добавляется в уравнение прямого кругового конуса, полученного
ранее: — +
а2
к2у2
каноническое
= — , переобозначим уравнение
параметры, вследствие чего эллиптического конуса:
х2 .У2 _ г2
-.2 + Ъ2 = г2
получаем Уравнение
а2 Ь2 с2
эллиптического конуса при одинаковых значениях а и Ъ совпадает с уравнением прямого кругового конуса. Оба конуса будут являться поверхностями второго порядка.
Студенты также должны знать уравнение цилиндрической поверхности и все основные понятия по данной теме.
Поверхность кругового цилиндра можно получить путем вращения прямой вокруг некоторой оси (прямая должна быть параллельна оси). (Рис.4). Подобная поверхность считается частным случаем цилиндрической поверхности, которую получают при движении прямой, сохраняющей параллельность своему исходному состоянию в пространстве. (Рис. 5). При фиксации какой-либо точки на движущейся прямой она опишет кривую, называющейся направляющей цилиндрической поверхности. (Рис. 5). Стоит отметить, что цилиндрическая поверхность является множеством точек на
2
а
прямых, параллельных фиксированной прямой. Такие параллельные прямые называют образующими цилиндрической поверхности.
В начертательной геометрии цилиндрическая поверхность создается движением прямой линии (образующей д ), имеющей постоянное направление и перемещающейся вдоль кривой направляющей й . (Рис.5). Если образующие цилиндрической поверхности перпендикулярны к плоскости проекций, то поверхность называется проецирующей. В том случае, когда направляющая -ломанная линия, получим призматическую поверхность. На рис.6 показан эпюр задания цилиндрической поверхности.
В выбранной ранее декартовой системе координат цилиндр второго порядка описывается уравнением второй степени: Ах 2 +2Вгу + Су 2 +2йг + 2Еу + F = 0,гдеА2+В2+С2Ф 0. [1]
После ознакомления с заданием на чертеже цилиндрической и конической поверхностей перейдём к примерам решения задач по начертательной геометрии.
Рассмотрим алгоритм решения задач на построение линии пересечения двух поверхностей: = 1(1''; Г)=?
1) у{ вводим вспомогательную поверхность;
2) = ~;
3) у1п~ = ~;
4) щп~1 = к1;
5) I .
у{ может быть сфера или плоскость. [2,3]
Рассмотрим случай, когда у{ - плоскость. Причем это может быть плоскость общего положения (способ пучка плоскостей) (задача 1) или плоскость уровня (задача 2). Решение задач 1 и 2 демонстрируют применение способа вспомогательных плоскостей для поверхностей общего положения. [4]
Рис. 4
Рис. 5
Рис.6
Задача 1.
Построить проекции линии пересечения конической и цилиндрической поверхностей. (Рис.7).
Рис. 7 Рис. 8
Пример цилиндрической поверхности приведен на рис. 5. (Рис.5).
В заданной задаче коническая поверхность - это конус с наклонной осью и круговыми сечениями в горизонтальных плоскостях. [2, 3]
Решение.
В данном случае для нахождения линии пересечения удобно использовать пучок плоскостей общего положения. Введём ось пучка - прямую а через вершину конуса 5 и параллельно образующей цилиндра д.
Таким образом, каждая из вспомогательных плоскостей у будет пересекать коническую и цилиндрическую поверхности по образующим. Точки пересечения этих образующих дадут нам искомую линию пересечения, что показано на рис. 8.
На плоскости п1 имеем две характерные точки А' и В'. Третья характерная точка С принадлежит БР - очерковой образующей конической поверхности, она является границей видимости линии пересечения на фронтальной проекции.
Полученная линия пересечения конической и цилиндрической поверхностей, является кривой четвертого порядка. (Рис. 8).
Задача 2.
Построить проекции линии пересечения конической и сферической поверхностей. (Рис.9).
Рис. 9 Рис. 10
Решение.
По условию задачи поверхности расположены таким образом, что имеется общая плоскость симметрии, параллельная фронтальной плоскости проекций (д || п2). (Рис.9). Из этого следует, что их очерки пересекутся в точке А. Она - самая высшая. Горизонтальная проекция даёт нам ещё две характерные точки и В2 . Промежуточные точки 1,2,3 получим, вводя последовательно вспомогательные горизонтальные плоскости уровня у. (См. алгоритм решения задачи 1). Эти плоскости пересекают конус по окружностям с радиусом г{, а сферу с радиусом Щ . На пересечении этих окружностей получим искомые промежуточные точки 1,2,3.
На чертеже показано построение точки 1. Точки 2 и 3 строятся аналогично. Получим кривую четвертого порядка.
Рассмотрим задачу 3 с поверхностью, занимающей частное положение. [3]
Задача 3.
Построить проекции линии пересечения конуса и цилиндра. (Рис.11).
Постановка задачи: апр = 1(Г;1'), где а - конус, р - цилиндр. Но алгоритм изменится:
Решение.
Г
Цилиндр занимает фронтально проецирующее положение, следовательно, известна фронтальная проекция искомой линии пересечения - I''. Она совпадает с фронтальной проекцией цилиндра. (Рис. 12).
Горизонтальную проекцию I' будем искать из условия принадлежности самой линии пересечения I конусу а.
Сначала определяем характерные точки: А и В - точки на очерке конуса, а С -низшая точка.
й - граница видимости на горизонтальной проекции линии пересечения - Г.
Особый интерес представляет точка Е - это точка перегиба I'. Чтобы её найти, нужно на плоскости проекций п2 построить образующую д конуса, касательную к цилиндру.
Чтобы построить горизонтальную проекцию линии пересечения, возьмём несколько промежуточных точек.
Принцип построения опирается на свойства ортогонального проецирования. Если точка принадлежит поверхности, то на чертеже её проекции принадлежат одноимённым проекциям линии, принадлежащей поверхности.
А Е а ^ N Е I' с а', Л" Е1' с а'.
В качестве вспомогательных линий используем окружности - параллели конуса.
Полученная линия пересечения конуса и цилиндра является кривой четвертого порядка.
Рис. 11
Рис. 12
Задача 4.
На поверхности эллиптического конуса найти геометрическое место точек, равноудаленных на 30 мм от прямой I. (Рис.12).
Решение.
Геометрическое место точек (далее - ГМТ), равноудаленных от прямой / на 30 мм, есть цилиндрическая поверхность с осью / и радиусом Я =30 мм. (Рис. 13).
Чтобы ответить на вопрос, поставленных в задаче, нужно найти линию пересечения этого цилиндра с заданной поверхностью эллиптического конуса.
Построим горизонтальную проекцию этого цилиндра. Так как цилиндр занимает горизонтально проецирующее положение - это будет окружность с центром в точке V и Я =30 мм.
Дуга этой окружности А'В'С' - есть горизонтальная проекция искомой линии пересечения - I.
Характерные точки: А - самая высшая, В и С - самые низшие.
Фронтальную проекцию линии пересечения определяем, как точки, лежащие на конусе с помощью образующих конуса. [2-5]
Рис.12 Рис.13
Таким образом в процессе изучения данной темы и курса начертательной геометрии в целом, необходимо, чтобы студенты самостоятельно или с помощью преподавателя устанавливали межпредметные связи между курсами математики и начертательной геометрии, что, несомненно, является важным для формирования и развития инженерного мышления будущих специалистов. [5]
ССЫЛКИ НА ИСТОЧНИКИ
7. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов. -М.ООО «Издательство «Мир и образование»,2003. - 304 с.
8. Жирных Б.Г., Серегин В. И., Шарикян Ю.Э. Начертательная геометрия. -М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. -166с.
9. Гордон В. О., Семенцов-Огиевский М. А. Курс начертательной геометрии: учеб. пособие / под ред. Ю. Б. Иванова. -М.: Наука, 2007. -272 с.
10. Иванов Г. С. Начертательная геометрия: учеб. -М.: ГОУ ВПО МГУЛ, 2008. -224 с.
11. Фролов С. А. Начертательная геометрия: учеб. -М.: ИНФРА-М, 2007. - 286 с.
Tatiana I. Murashkina,
Candidate of Engineering Sciences, Associate Professor, Engineering Graphics Chair, Moscow Sate Technical University named after N.E. Bauman, Moscow murashkinat@yandex. ru Alexandra S. Petrunicheva,
Student, Moscow Sate Technical University named after N.E. Bauman, Moscow
alexandrapetrunicheva@gmail.com
Nina G. Surkova,
Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor, Engineering Graphics Chair, Moscow Sate Technical University named after N.E. Bauman, Moscow ninasurok@yandex. ru
The task, definition and use of cylindrical and conical surfaces in the courses of analytical geometry and descriptive geometry
Abstract. The relevance of the article is due to the fact that the topic "Intersection of surfaces" is one of the main topics in the first courses of technical universities. For successful learning of the program, students need understandable and accessible methodical instructions. People constantly face with intersections of various surfaces both in everyday life and in manufacture, for example, in diverse mechanisms, devices and machines, which is important in the training of future engineers. This article deals with the concepts of
intersection of surfaces, a cone, a cylindrical surface, which are studied both in the course of higher mathematics and descriptive geometry. Particular attention in researching of this point should be given to conduct interdisciplinary relations in order to form a holistic view of such objects. The content of the article is of interest to high school students, first-year students of technical specialties, as well as teachers of descriptive geometry and the course of higher mathematics.
Keywords: methodical instructions, intersection of surfaces, cones, cylindrical surfaces.
ИГРОВЫЕ ОБУЧАЮЩИЕ СИТУАЦИИ В ЭКОЛОГИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ ДОШКОЛЬНИКОВ
Аннотация
В данной статье дается теоретическое обоснование возможности использования игровых обучающих ситуаций в экологическом образовании детей дошкольного возраста. Дана характеристика типов и видов игровых обучающих ситуаций, приведены примеры использования ИОС, связанных с жизненным опытом детей, в экологическом образовании.
Ключевые слова
игровые обучающие ситуации, экологическое образование дошкольников,
типы игровых обучающих ситуаций
АВТОРЫ
Савинова Светлана Васильевна
кандидат педагогических наук, доцент ФГБОУ ВО «Вятский государственный университет», г. Киров E-mail: ssavv@yandex.ru
Черезова Валерия Павловна
студентка факультета дедагогики и психологии ФГБОУ ВО «Вятский государственный университет», г. Киров E-mail: cher.valerya@yandex.ru
Нарастающие в мире экологические проблемы побуждают педагогов к более интенсивному поиску способов осмысления ценностей природы, средств развития экологического сознания у населения планеты. Непрерывное экологическое образование - это необходимость, которую осознали не только специалисты, но и большая часть населения планеты. Заметное влияние на исследование проблемы определения содержания и методов экологического образования оказали труды: Ж.Л. Васякиной [1], Н.А. Рыжовой [8], С.Н. Николаевой [5], Л.М. Маневцовой [3] и др. Идея включения игры в образовательный процесс всегда привлекала отечественных педагогов. К.Д. Ушинский говорил, что «дети легче усваивают новый материал в процессе игры, и рекомендовал педагогам стараться делать занятия более занимательными» [4, с. 2].
З.А. Михайлова, А.С. Каменная, О.Б. Васильева отмечают, что образовательные задачи для детей могут быть представлены в виде практических, творческих, проблемных мини-ситуаций, игр и игровых упражнений, загадок и пословиц, кратких литературных текстов, элементов исследовательской деятельности, опытов,
