CC BY
19Пересечение двух идентичных однополостных гиперболоидов вращения в архитектуре
Ваванов Дмитрий Алексеевич,
ассистент кафедры начертательной геометрии и графики, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), kohinor51@yandex.ru
Иващенко Андрей Викторович,
кандидат технических наук, старший научный сотрудник, Столичная финансово-гуманитарная академия (СФГА), ivashchenko_a@inbox.ru
В предлагаемой статье рассматриваются различные варианты формы пространственной линии пересечения двух однополостных гиперболоидов, поскольку из множества поверхностей второго порядка, изучаемых в курсе начертательной геометрии (сфера, конус, цилиндр), это единственная поверхность, в которой возможно получить в сечении все варианты кривых второго порядка. Актуальность изучения однополостного гиперболоида объясняется тем, что эта поверхность часто используется в архитектуре и строительстве. Наиболее известный пример использования гиперболоида в строительстве - башни Шухова.
Помимо использования в строительстве, однополостные гиперболоид используются и в механических системах, для передачи вращения от одного вала другому, при этом оси этих валов представляют собой скрещивающиеся прямые. В статье делаются попытки исследовать все многообразие линий пересечений двух однополостных гиперболоидов на примере двух идентичных гиперболоидов. Вводятся параметры, влияющие на форму результирующей кривой. Рассматриваются частные случаи, т.е. ситуации, в которых кривая пересечения принимает вид известных кривых второго порядка, или распадается на прямые. Намечены пути дальнейших исследований изучения кривых пересечения гиперболоидов.
Ключевые слова. Линейчатые поверхности, поверхности вращения, однополостной гиперболоид, пространственная кривая, пересечение поверхностей.
Среди всего множества поверхностей второго порядка, детально изучаемых в курсе начертательной геометрии (сфера, конус, цилиндр) отсутствуют поверхности, в которых возможно получить в сечении все варианты кривых второго порядка. В сечении конуса отсутствует пара параллельных прямых, а в сечении цилиндра отсутствует пересекающиеся прямые.
Единственная поверхность, в которой возможно совместить варианты сечений, является однополостной гиперболоид. Актуальность изучения однополостного гиперболоида объясняется тем, что эта поверхность часто используется в архитектуре и строительстве. Известны башни Шухова, составленные из секций, каждая из которых представляет собой каркас однопо-лостного гиперболоида вращения, построенный на двух семействах прямолинейных образующих, за счет чего и обеспечивается дополнительная прочность конструкции. Помимо использования в строительстве, однополостные гиперболоид используются и в механических системах, когда требуется передать вращение одного вала другому, при этом оси этих валов представляют собой скрещивающиеся прямые.
В настоящее время в программах курса начертательной геометрии уделяется недостаточное внимание поверхностям второго порядка, из которых изучается лишь сфера (как частный случай эллипсоидов), коническая поверхность (да и то лишь частично - как боковая поверхность конуса), и цилиндрическая поверхность (также как часть боковой поверхности цилиндра). Необходимо отметить, что одним из наиболее интересных объектов в этом ряду является однополостной гиперболоид вращения, который по ряду своих свойств не уступает конической поверхности.
Так, например, если сопоставить варианты конических сечений и сечений однополостного гиперболоида, то можно заметить, что почти все варианты конических сечений (за исключением случая, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса) можно получить и на однополо-стном гиперболоиде. Сверх того, на однополост-ном гиперболоиде можно получить в сечении и
0 55 I» £
55 П П Н
ы
а
s
«
а б
пару параллельных прямых, что на конусе невозможно.
Однополостной гиперболоид вращения использует и А.Л. Хейфец, затрагивая труднодоступные темы в курсе начертательной геометрии, освещаемые средствами компьютерной графики.
Необходимо отметить, что в статье исследуется не поверхность, а линия пересечения двух поверхностей, что является одной из основных задач курса начертательной геометрии.
В современном состоянии научного и технического обеспечения учебного процесса основное внимание уделяется не ручному, а компьютерному подходу к алгоритмизации решения этих задач.
В мире уже имеются определенные наработки по классификации различных аналитических поверхностей на основе заранее заданных их свойств, и составлению на их основе энциклопедий.
Основные задачи, в которых используется од-нополостной гиперболоид, могут быть такими же, как и те, в которых участвует конус, и способы решения этих задач практически не очень отличаются от решения задач на пересечения конуса с прямой, с плоскостью, с другими телами.
Однако существует и специфика. Например, для задач с участием конуса возможны случаи, когда вспомогательные плоскости проводят через вершину конуса, что для однополостного гиперболоида не имеет смысла. Зато для одно-полостного гиперболоида возможны такие выбранные вспомогательные секущие плоскости, которые порождают в сечении пару параллельных прямых. Пару пересекающихся прямых возможно получить и в сечении однополостного гиперболоида, но только секущая плоскость должна проходить через горловую окружность.
Наиболее интересен случай построения линии пересечения двух однополостных гиперболоидов. В результате получается пространственная кривая 4-го порядка, которая в определенных частных случаях может распадаться на несколько ветвей. Представляет определенный интерес задача классификации взаимного расположения этих двух однополостных гиперболоидов и исследования линии пересечения.
Однополостной гиперболоид вращение - одно-связная (в отличие от двуполостного гиперболоида) незамкнутая (в отличие от эллипсоида) линейчатая (подобно гиперболическому параболоиду) поверхность второго порядка, характеризующаяся наличием оси симметрии и центра.
Особенность его строения, позволяющая рассматривать эту поверхность с различных точек зрения, делает возможным использовать некоторые приемы построения линий пересечения с плоскостью, а также с другими поверхностями.
В этой статье рассматривается взаимное расположение двух однополостных гиперболои-
дов, а также варианты получающейся при этом их линии пересечения.
Возможная линия пересечения зависит от нескольких факторов: от взаимного расположения осей этих поверхностей, от взаимного расположения центров на осях, а также от эксцентриситета и формы образующих их гипербол.
По взаимному расположению осей и центров два однополостных гиперболоида могут быть:
> с совпадающими осями:
• с совпадающими центрами;
• с различными центрами;
> с параллельными осями:
• с центрами, находящимися на общем перпендикуляре к осям;
• с центрами, произвольно расположенными на своих осях;
> с пересекающимися осями:
• с центрами, находящимися в точке пересечения осей;
• центр одного гиперболоида находится в точке пересечения осей, центр другого - нет;
• центры обоих гиперболоидов не совпадают с точкой пересечения осей;
> со скрещивающимися осями:
• с центрами, находящимися на общем перпендикуляре к осям;
• центр одного из гиперболоидов находится на общем перпендикуляре к осям, центр другого - нет;
• центры обоих гиперболоидов не лежат на общем перпендикуляре к осям.
В каждом из случаев возможны различные ситуации, связанные с эксцентриситетами и формами образующих гипербол. Возможны ситуации отсутствия линии пересечения.
Форма однополостного гиперболоида сама по себе, т.е. его "внутренняя геометрия" (вне связи его с окружающим пространством) определяется во-первых, углом при вершине асимптотического конуса, и во-вторых, степенью "близости прилегания" самой поверхности к этому конусу, что, в свою очередь, определяется "степенью близости" образующей гиперболы к ее асимптотам. Понятно, что на достаточно удаленной точке поверхности можно получить сколь угодно близкое расстояние от нее к асимптотическому конусу, однако при фиксированном масштабе рассмотрения различные гиперболы порождают и различные поверхности.
Однополостной гиперболоид - дважды линейчатая поверхность. Через точку, лежащую на гиперболоиде, можно провести две прямые, которые будут целиком лежать на данной поверхности.
В данной статье для построения линий пересечения гиперболоидов использован пакет Maple. В дальнейшем, для визуализации полученных изображений, возможно сохранение их как чертежей AutoCAD.
Чтобы построить однополостной гиперболоид вращения, можно использовать следующие способы:
- Гиперболу
а
= 1 вращаем
вокруг оси 02 .
- Прямолинейная образующая вращается вокруг оси 02, при этом две прямые являются скрещивающимися.
В дальнейшем будет использован способ вращения гиперболы вокруг оси Oz.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
Случай, когда гиперболоиды имеют общий центр (рис. 1).
Представлены ортогональные проекции лини пересечения гиперболоидов, заданных уравнениями:
Ь1: =Х1 +уг-Х'-1 = О
Рис.1. Гиперболоиды имеют общий центр. Две кривые пересечения - эллипс и гипербола.
Видно, что кривая пересечения распадается на две плоские кривые - 2-го порядка: эллипс и гиперболу, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях. Гипербола и эллипс соприкасаются в двух точках. В зависимости от угла между осями гиперболоидов, а также метрическими характеристиками гиперболоидов, т.е. эксцентриситетов, определяемых, в общем случае углом при вершине асимптотического конуса, возможны еще и другие случае кривой пересечения.
Например, если угол между осями гиперболоидов равен 90 градусов, и углы при вершинах асимптотических конусов равны 45 градусам, то линия пересечения вырождается в 4 прямые,
попарно пересекающиеся, и попарно параллельные (рис. 2).
ь1: =х* - 1 = о
ь4 =х1 -у* = о
Рис. 2. Линия пересечения - 4 прямые, попарно пересекающиеся и попарно параллельные
Представленный случай единственный для ситуации пересечения двух идентичных гиперболоидов вращения, т.е. если реализуется строго при указанных условиях угла при вершине асимптотического конуса и угла между осями. Таким образом, на форму линии пересечения влияют в общем случае и метрические характеристики пересекающихся гиперболоидов.
Представим вариант, когда в результате пересечения получается гипербола (рис. 3).
Уравнения гиперболоидов следующие:
ь1:= л1 1 =о
: = Й" - Г)' -НУ1 -Г1 -1 = 0
О 55 I» £
55 т П Н
Рис. 3 Линия пересечения - гипербола
Второй гиперболоид сдвигается относительно первого в плоскости, параллельной горловой окружности. Гипербола имеет данную ориентацию вплоть до того момента, когда в процессе движения горловые окружности гиперболоидов будут касаться в одной точке.
Но как только горловые окружности гиперболоидов станут касаться друг друга, линия пересечения гиперболоидов выродится в пару пересекающихся прямых (рис. 4).
а1: -х* -1 = о
а9: = & - 2}: + - 1 = о
Рис. 4. Линия пересечения гиперболоидов выродилась в пару пересекающихся прямых
В случае если гиперболоиды соосны, линия пересечения будет представлять собой окружность (рис. 5). Гиперболоиды заданы уравнениями:
В некоторых случаях окружность может деформироваться в эллипс (рис. 6). а'1 : = х* 4-у1 - ¿ 3 -3 = о
Рис. 6. Линия пересечения - эллипс
Эллипс получается пространственным сдвигом на небольшие расстояния первого гиперболоида относительного второго (т.е. на расстояния, не превышающие радиус горловой окружности).
В качестве вырожденной линии пересечения может фигурировать и пара параллельных прямых (рис. 7).
Например, в случае:
Ь1 — X1 4-у1 -Iе- 1 = 0
и
ь7 = ос - гу* -н у ■ - # - г у - 1 = о
мы получаем следующую картину:
Рис. 7. Линия пересечения вырождается в пару параллельных прямых
На фронтальной проекции видно, что проекции прямых лежат на проекции образующих асимптотических конусов гиперболоидов.
Приведем вариант скрещивающихся прямых (рис. 8).
н2: = хг + 1 = о
¿л £л
И
= ^" 1 = 0
Рис. 8. Скрещивающиеся прямые
Приведем пример линии пересечения, распадающуюся на 2 гиперболы (рис. 9).
&4 = х*-у* ы1-1 = о
и
ь8: = СГ-1? " 1 = 0
На профильной проекции видно, что гиперболы взаимно дополняют друг друга (имеют одинаковые в проекции асимптоты, но при этом проекция действительной оси симметрии одной из них совпадает с проекцией мнимой оси симметрии другой, и наоборот).
Мы привели иллюстрации некоторых частных случаев линии пересечения. В общем же случае пространственная кривая имеет неправильную форму, и может состоять из одной или двух ветвей (рис. 10).
Рис. 9. Линия пересечения распадается на две гиперболы
Рис. 10. Кривая пересечения в общем случае
Заключение
В заключение отметим, что рассмотренные варианты представляют собой весьма малую часть множества всех возможных вариантов пересечений однополостных гиперболоидов. В дальнейших исследованиях предполагается постепенное расширение класса рассматриваемых вариантов за счет добавления новых параметров, влияющих на форму результирующей кривой. Например, на первом этапе можно рассматривать однополостные гиперболоиды вращения с одинаковыми радиусами горловой окружности, но при этом с различными углами при вершине асимптотического конуса.
Затем можно варьировать величину радиуса горловой окружности.
И на последнем этапе можно отказаться от гиперболоидов вращения и рассматривать трехосные гиперболоиды с горловыми эллипсами. При этом сразу возрастает число входных параметров, поскольку надо еще и определять влияние ориентации горлового эллипса на форму кривой. Постепенное увеличение входных параметров дает возможность исследовать форму кривой в многомерном пространстве па-
О 55 I» £
55 т П Н
ы
а
s
«
а б
раметров и возможность управления ею за счет плавного изменения определенных параметров. Это возможно с применением компьютерных средств и алгоритмов вычислительной геометрии, реализованных в таких пакетах символьной математики, как Wolfram Mathematica и Maple.
Литература
1. Кривошапко С.Н., Мамиева И.А. Возможности конических поверхностей применительно к архитектуре зданий и конструкций// Монтажные и специальные работы в строительстве. 2011. № 9. С. 2-8.
2. Иванов В.Н. Новые конструктивные формы в XXI веке//Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы»: Труды международной научной конференции, Москва, 4-8 июня 2001 г. М.: Изд-во РУДН. С. 510.
3. Подгорный Ф.Л., Обухова В.С. Формообразование оболочек из отсеков косых и торсовых поверхностей высших порядков //Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы: Труды международной научной конференции. Москва, 4-8 июня 2001 г.: Изд-во РУДН. С. 324-329.
4. Скидан И.А. Аналитическая теория формообразования оболочек //Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы: Труды международной научной конференции, Москва, 4-8 июня 2001 г. - М.: Изд-во РУДН. С. 127-134.
5. Замятин, А.В. Конструирование поверхностей на основе качения однополостного гиперболоида переменной геометрии по линейчатым поверхностям / Замятин А.В. Элиста: Джангр, 2002. 71 с.
6. Романова В.А., Оськина Г.Н. Визуализация кинематического способа задания поверхности гиперболического параболоида// Труды международной научно-практической конференции «Инженерные системы - 2010» Москва, 6 -9 апреля 2010 г. М.: Изд-во РУДН, 2010. С. 196-200.
7. Романова В.А., Оськина Г.Н., Жиль-улбе Матье. Визуализация образования поверхностей вращения// Вестник Российского университета дружбы народов, серия Инженерные исследования. М.: Изд-во РУДН. 2014, № 2. С. 82-87.
8. А.Л. Хейфец, А.Н. Логиновский. 3D технология построения чертежа в AutoCAD. СПб, 2005.
9. Иващенко А.В., Кондратьева Т.М. Проективные конфигурации на проективографических чертежах// Вестник МГСУ. 2015 №5. С. 221-229.
10.Хейфец А.Л. Теоретические основы 3D-компьютерного моделирования и Гаспар Монж
/III Международная интернет-конференция КГП-2012. URL: http://dgng.pstu.ru/conf2012/papers/70/
Construction of the crossing of two identical hyperboloids of one sheet in arhitecture
Vavanov D.A., Ivashchenko A.V.
NRU MGSU
From the set of second-order surfaces studied in the course of descriptive geometry (sphere, cone, cylinder), a single surface, which may get in the section all the options of second-order curves is a hyperboloid of one sheet.
The relevance of the study of hyperboloid of one sheet due to the fact that this surface is often used in architecture and construction. The most famous example of a hyperboloid in construction is Shukhov tower.
In addition to use in construction, one-sheeted hyperboloid and used in mechanical systems for transmitting rotation from one shaft to another, the axes of these shafts are skew lines.
Currently, the rate of descriptive geometry of second order surfaces programs only studied sector (a special case of the ellipsoid), the conical surface (side surface as a cone), and the cylindrical surface (as part of the side surface of the cylinder). It should be noted that one of the most interesting objects in this series is a hyperboloid of rotation, which for a number of its properties are not inferior to the conical surface.
All of the above allows to draw conclusions about the need to expand the basic set of primitives, studied in detail in the course of descriptive geometry and engineering graphics, and along with the sphere, cone, cylinder and torus, add to this set and hyperboloid of rotation.
The article attempts to explore the diversity of lines of intersection of two-sheeted hyperboloids on the example of two identical hyperboloids. Input parameters affecting the shape of the resulting curve. Are considered special cases situations in which the intersection of the curve takes the form of well-known second-order curves, or breaks up straight. Ways of further research exploring the intersection curves of hyperboloids.
Keywords: Ruled surfaces, surfaces of revolution, hyperboloids of one sheet, space curve, intersection of surfaces, the system of computer mathematics.
References
1. Krivoshapko S.N., Mamieva I.A. Possibilities of conical surfaces with reference to the architecture of buildings and structures. Assembly and special works in construction. 2011. No. 9. pp. 2-8.
2. Ivanov V.N. New constructive forms in the 21st century. Shell architecture and strength calculation of thin-walled construction and engineering constructions of complex shape. Proceedings of the International Scientific Conference, Moscow, June 4-8, 2001. Moscow: Publishing House of RUDN University. pp. 5-10.
3. Podgorny F.L., Obukhova V.S. Formation of shells from sections of oblique and torso surfaces of higher orders. The architecture of shells and strength calculation of thin-walled construction and engineering structures of complex shape. Proceedings of the International Scientific Conference, Moscow, June 4-8, 2001. RUDN. pp. 324-329.
4. Skidan I.A. Analytical Theory of Shape Formation. Shell Architecture and Strength Calculation of Thin-Walled Construction and Engineering Constructions of Complex Form] Proceedings of the International Scientific Conference, Moscow, June 4-8, 2001, RUDN. pp. 127-134.
5. Zamyatin A.V. Construction of surfaces based on the rolling of a single-sheeted hyperboloid of variable geometry on ruled surfaces. A.V. Zamyatin. Elista: Jungr, 2002. vol. II. 71p.
6. Romanova V.A., Oskina G.N. Visualization of the kinematic method for specifying the surface of a hyperbolic paraboloid. Proceedings of the International Scientific and Practical Conference "Engineering Systems - 2010". M., April 6 - 9, 2010. Moscow: RUDN University, 2010. pp. 196-200.
7. Romanova V.A., Oskina G.N., Gil-ulbe-Mathieu. Visualization of the formation of surfaces of revolution. Bulletin of RUDN University, a series of Engineering Studies. Moscow: Publishing House of RUDN University of Russia, 2014. pp. 82-87.
8. Kheifets A.L., Loginovsky A.N.. 3D technology for drawing in AutoCAD. SPb, 2005.
9. Ivashchenko A.V., Kondratieva T.M. Projective configurations on project drawings. Bulletin of MGSU. 2015 №5.
10. Heifets A.L. Theoretical foundations of 3D computer modeling and Gaspar Monge] III International Internet Conference KGP-2012. URL: http://dgng.pstu.ru/conf2012/papers/70/
