CC BY
15
УДК621.88.082
ПРИМЕНЕНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ПРИ ГРАФИЧЕСКОМ ОТОБРАЖЕНИИ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ДЛЯ ПОВЫШЕНИЯ ДОСТУПНОСТИ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ СТУДЕНТАМИ ТЕХНИЧЕСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
1 2 © Куропаткина О.В. , Федорова Е.С.
1,2Ст. преподаватель, кафедра «Инженерная графика» Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
Аннотация
Данная публикация посвящена проблемам создания благоприятной информационно-образовательной среды для повышения эффективности обучения графическим дисциплинам и организации самостоятельной работы студентов. Эта работа создана, как электронная коллекция по дисциплине «Начертательная геометрия» и направлена в помощь студентам при выполнении домашнего задания по теме: ««Частные случаи пересечения поверхностей». В статье рассмотрены некоторые частные случаи пересечения поверхностей, приведены примеры задач на построения линий пересечения поверхностей, выполнены чертежи и трёхмерные модели. Работа является дополнительной информационной поддержкой по начертательной геометрии, помогает студенту наглядно представить реальное изображение объектов, развивает пространственное воображение, позволяет организовать учебный процесс в группах, имеющих различный уровень психофизических возможностей.
Ключевые слова: начертательная геометрия, визуализация, поверхность, пересечение, проекция, характерные точки.
Keywords: descriptive geometry, visualization, surface, intersection, projection, characteristic points.
Введение.
Визуализация учебного материала:
1. дает возможность повысить эффективность процесса обучения;
2. помогает студенту наглядно представить реальное изображение объектов;
3. развивает пространственное воображение;
4. позволяет организовать учебный процесс в группах, имеющих различный уровень психофизических возможностей.
Пересечение поверхностей
Задачи по построению линий пересечения поверхностей считаются наиболее сложными, трудоемкими из всех задач домашнего задания, так как при их решении кроме знания материала, непосредственно относящегося к теме задачи, потребуется и умение использовать материал практически всего курса начертательной геометрии, изученный к данному моменту.
Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка
Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, декартовы координаты, которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени.
© Куропаткина О.В., Федорова Е.С., 2017 г.
Две поверхности второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной линии четвертого порядка, которую называют биквадратной кривой. В некоторых случаях биквадратная кривая распадается на две плоские кривые второго порядка, причем одна из них может быть мнимой. Опуская доказательства, приведем некоторые теоремы и примеры, иллюстрирующие их применение[5,124].
Теорема 1. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то существует и другая плоская кривая, по которой они пересекаются.
Рассмотрим пример, к которому приложима теорема.
Фронтальные проекции 02 сферы 0 и П2 эллиптического цилиндра имеющих общую окружность т(т2) с центром О(О2) (рис.1).
Рис. 1. Пересечение сферы и эллиптического цилиндра
Плоскость а, определяемая центром сферы С и осью I цилиндра, является плоскостью симметрии заданных поверхностей, и параллельна фронтальной плоскости проекций.
Общая окружность радиуса г - это одна из плоских кривых второго порядка распавшейся линии пересечения. Остается построить вторую кривую, плоскость а которой должна быть в условиях данного примера перпендикулярна плоскости симметрии а, а следовательно и П2. Вторая линия пересечения (окружность) проецируется на П2 в виде отрезка прямой п2. Для ее построения следует воспользоваться точками А2 и В2, принадлежащими очеркам заданных поверхностей.
Теорема 2 (о двойном касании). Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках А и В, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскость которых проходит через отрезок АВ, соединяющий
точки
а) мод а) модель б) эпюр
Рис. 2. Пересечение сферы и эллиптического цилиндра, имеющих две точки
касания
Например, по двум окружностям т и п пересекается сфера £и эллиптический цилиндр 0(рис.2). Точки касания и касательные плоскости обозначены соответственно через А, В, а, р. Окружности, на которые распалась линия пересечения поверхностей, расположены во фронтально- проецирующих плоскостях у и д.
Теорема 3(теорема Г. Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки линий касания[2,121],[5,150].
В соответствии с этой теоремой линия пересечения конуса X и цилиндра 0 (рис.3), описанных около сферы £, будут плоскими кривыми - эллипсами (расположенными в плоскостях а и Ь), фронтальные проекции которых изображаются прямыми А2В2 и СД2,
Теорема Монжа находит эффективное применение при конструировании трубопроводов
Теорема 4. Если две поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде кривой второго порядка.
а) модель б) эпюр
Рис. 4. Пересечение сферы и цилиндра
Плоскость симметрии определена осью симметрии цилиндра 0 и центром сферы X (рис.4). Плоскости принадлежат и симметричные сами себе точки А, В, С и Б линий пересечения. Проекция же линий на фронтальную плоскость имеет форму параболы т2 и аналитически описывается формулой параболы[1,230],[2,118],[3,21],[4,27].
Одна из пересекающихся поверхностей занимает проецирующее положение относительно какой-либо плоскости проекций.
Следовательно, сразу известна одна из проекций линии пересечения: она совпадает со следом данной проецирующей поверхности. Вторая проекция находится по принадлежности искомой линии другой, не проецирующей поверхности.
Пересечение сферы с прямым круговым цилиндром Построение линии пересечения поверхностей следует начинать с характерных точек: высшей и низшей, ближайшей и наиболее удаленной, точек изменения видимости линии пересечения [2,110], [5,127].
Заключение.
Использование электронных средств для визуализации учебного материала обеспечивает более быстрое понимание теории начертательной геометрии и эффективное усвоение предмета.
Литература
1. Левицкий В. С. Машиностроительное черчение и автоматизация выполнения чертежей. - М: Высшая математика, 2006. - 429 с.
2. Нартова Л.Г., Якунин В.И. Начертательная геометрия: учебник. М.: Дрофа, 2003. - 208 с.
3. Прокофьева И.В., Тарасов В.В., Демидов С.Г. Построение линий перехода: методические указания. М.: МВТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. - 42 с.
4. Сенченкова Л.С., Жирных Б.Г. Основные правила выполнения изображений изделий: учебное пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. - 46 с.
5. Фролов С.А. Начертательная геометрия: учебник. М.: ИНФРА-М, 2015. - 240 с.
