CC BY
101
Cloud of Science. 2016. T. 3. № 1 http:/ / cloudofscience.ru ISSN 2409-031X
Построение линий пересечения поверхностей второго порядка в системе объемного моделирования Autodesk Inventor
О. М. Корягина
Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана 105005, Москва, 2-Бауманская ул., 5
e-mail: [email protected]
Аннотация. В статье рассматриваются задачи на построение линий пересечения поверхностей второго порядка в системе трехмерного компьютерного моделирования Autodesk Inventor. Приведены примеры создания виртуальных моделей, объясняющих построение линий пересечения различных поверхностей. Использование таких моделей развивает способность мысленного воспроизведения пространственного изображения предмета сложной формы по его чертежу.
Ключевые слова: трехмерное компьютерное моделирование, линии пересечения поверхностей второго порядка, начертательная геометрия, система объемного моделирования Autodesk Inventor.
1. Введение
Поверхности второго порядка — это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.
Поверхности второго порядка широко применяются при конструировании инженерных сооружений, входят в очертание многих предметов и технических деталей, станков и инструментов. Многие детали машин представляют собой конструкции из пересекающихся геометрических тел. Общая линия пересекающихся поверхностей называется линией пересечения.
Необходимо уметь строить линии пересечения этих тел. Нанесение линии пересечения на видах и разрезах позволяет повысить наглядность чертежа или эскиза и подчеркнуть характер пересекающихся поверхностей. Точно ее можно построить по правилам начертательной геометрии [1, 2].
Чтобы построить линию пересечения двух поверхностей, нужно найти ряд общих точек, принадлежащих этим поверхностям, эти точки соединить в определенной последовательности. Для этого проводят вспомогательную секущую плоскость, находят линии пересечения этой плоскости с каждой поверхностью и на пересечении найденных линий получают искомые точки. Последовательно вводя ряд вспо-
могательных плоскостей, находят необходимое число точек, принадлежащих линии пересечения.
Если обе поверхности цилиндрические или обе конические, или одна цилиндрическая, а другая коническая, то вспомогательные секущие плоскости следует проводить так, чтобы они пересекали обе поверхности по прямым линиям — образующим этих поверхностей. Точка пересечения образующей одной поверхности с образующей другой принадлежит линии пересечения.
Наиболее простые случаи взаимного пересечения поверхностей, когда одна из поверхностей является проецирующей, т. е. образующие этой поверхности перпендикулярны какой-либо плоскости проекций. В этом случае проекции линии пересечения лежат на следе этой поверхности. Так как на одной из проекций линия пересечения совпадает с проекцией поверхности, то задача сводится к нахождению второй проецирующей линии.
2. Решение задачи
Используя пакет Autodesk Inventor для создания трехмерных моделей, решение позиционных и метрических задач из курса начертательной геометрии значительно облегчается и упрощается [3]. Таким образом, в системе трехмерного компьютерного моделирования Autodesk Inventor была решена задача построения проекций окружности на плоскости проекций [4], сконструирована виртуальная модель процесса вращения плоскости вокруг линии уровня [5] и созданы объемные модели касательных плоскостей и нормалей к различным поверхностям [6]. С помощью этой системы возможно создание рабочих чертежей деталей по их объемным моделям [7].
Рассмотрим последовательность построения линии пересечения конуса и цилиндра в системе трехмерного компьютерного моделирования Autodesk Inventor [8]. Построение двухмерной модели для создания пространственной модели конуса представлено на рис. 1. В координатной плоскости XZ строим треугольник.
Создание SD-модели конуса осуществляется путем применения операции «Вращение» к выполненной на первом этапе двухмерной модели. На рис. 2 представлена SD-модель конуса.
Для создания объемной модели цилиндра в координатной плоскости XZ строим окружность, таким образом, чтобы она пересекала фронтальную очерковую конуса (рис. 3).
Рисунок 1. Построение двумерной модели для создания объемной модели конуса
Рисунок 2. 3Б-модель конуса
Создание 3D-модели цилиндра осуществляется путем применения операции «Выдавливание» к выполненной окружности. На рис. 4 представлена 3D-модель цилиндра, пересекающего конус.
Рисунок 3. Создание двумерной модели цилиндра
Рисунок 4. Создание 3D-модель цилиндра
Система трехмерного компьютерного моделирования Autodesk Inventor имеет функции, позволяющие для наглядности объемного изображения моделей окрашивать поверхности в любой цвет (рис. 5).
Рисунок 5. Окрашивание поверхностей цилиндра и конуса
Изменяя расстояние между осью конуса и центром окружности, являющейся двумерной моделью цилиндра, можно проследить характер изменения их линии пересечения (рис. 6, 7).
Рисунок 6. Изменение расстояния между осью цилиндра и центром окружности
На полученной 3D-модели детали с помощью вспомогательной секущей плоскости а можно объяснить порядок нахождения точек, принадлежащих линии пересечения конуса и цилиндра (рис. 8).
Рисунок 7. Центр окружности лежит на оси конуса
Рис. 8. Нахождение точек, принадлежащих линии пересечения цилиндра и конуса: а — секущая плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций; а — линия пересечения плоскости а с конусом; Ь — линия пересечения цилиндра с плоскостью а; А — точка пересечения линий а и Ь; п — линия пересечения конуса и цилиндра
Рассмотрим алгоритм создания 3Б-модели конуса и сферы. Создание объемной модели конуса аналогично первому примеру. На рис. 9 показано создание двумерной модели сферы.
V
^ Деталь! ф~ (Г^р Твердые тела(1) + Главный
- Начало
— Плоскость
— -^Плоскость
— [5 Плоскость XV
— Н Ось X
— □ Ось У
— □ ось г
Центр + Вращение 1
- ^Вращение 2
[С ЭскизЗ ■ (3 Конец детали
Рисунок 9. Создание двумерной модели сферы
Создание 3Б-модели сферы осуществляется путем применения операции «Вращение» к построенной полуокружности (рис. 10, 11).
Рисунок 11. Центр сферы лежит на оси конуса
Аналогичным способом можно построить объемные модели любых пересекающихся фигур. Рассмотрим порядок нахождения точек, принадлежащих линии пересечения полусферы и конуса (рис. 12).
Рисунок 12. Нахождение точек, принадлежащих линии пересечения полусферы и конуса: а — секущая плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций; а — линия пересечения плоскости а с полусферой; Ь — линия пересечения конуса с плоскостью а; А — точка пересечения линий а и Ь; п — линия пересечения конуса и полусферы
На рис. 13-16 изображены наиболее часто встречающиеся варианты пересечения поверхностей.
Рисунок 13. Нахождение точек, принад- Рисунок 14. Нахождение точек, принадле-лежащих линии пересечения полусферы и жащих линии пересечения наклонного конуса цилиндра: а — секущая плоскость, парал- и цилиндра: а — секущая плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций; лельная горизонтальной плоскости проек-а — линия пересечения плоскости а с полу- ций; а —линия пересечения плоскости а с сферой; Ь — линия пересечения цилиндра с конусом; Ь — линия пересечения цилиндра с плоскостью а; А — точка пересечения ли- плоскостью а; А — точка пересечения линий ний а и Ь; п — линия пересечения цилиндра а и Ь; п — линия пересечения цилиндра и ко-
На рис. 17 представлена модель, объясняющая принцип построения линии пересечения наклонного конуса и цилиндра. Коническая поверхность пересекается плоскостью по прямым образующим, если эта плоскость проходит через вершину конической поверхности, а цилиндрическая поверхность пересекается плоскостью по прямым образующим, если эта плоскость параллельна оси вращения цилиндра.
Для нахождения точек линии пересечения заданных поверхностей необходимо провести ряд секущих плоскостей а через линию I, параллельную образующей цилиндра и проходящую через вершину конуса 5". Плоскости а пересекают задан-
и полусферы
нуса
ные поверхности по образующим (а, Ь, с, й), которые пересекаются в точках, принадлежащих искомой линии пересечения конуса и цилиндра.
Рисунок 15. Нахождение точек, принадлежащих линии пересечения призмы и тора: а —секущая плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций; а — линия пересечения плоскости а с тором; с, Ь — линии пересечения призмы с плоскостью а;
А — точка пересечения линий а и Ь; В — точка пересечения линий а и с; т, п — линии пересечения тора и призмы
Рисунок 16. Нахождение точек, принадлежащих линии пересечения цилиндра и тора: а —секущая плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций; а — линия пересечения плоскости а с тором; с, Ь — линии пересечения цилиндра с плоскостью а; А — точка пересечения линий а и Ь; В — точка пересечения линий а и с; п — линия пересечения тора и цилиндра
Рисунок 17. Построение линии пересечения цилиндра и конуса: а, а2 — вспомогательные секущие плоскости, проходящие через вершину конуса Б и параллельные оси вращения цилиндра; I — линия, принадлежащая ряду секущих плоскостей; Н1 — точка пересечения линии I с плоскостью основания цилиндра и конуса; а — линия пересечения цилиндра с плоскостью а; с — линия пересечения конуса с плоскостью а2; А — точка пересечения линий а и с ; Ь — линия пересечения цилиндра с плоскостью а; й — линия пересечения конуса с плоскостью а; В — точка пересечения линий Ь и й; п — линия пересечения цилиндра
и конуса
3. Заключение
Главным этапом конструирования машиностроительных деталей является определение границ элементарных исходных поверхностей, которыми и являются линии их взаимного пересечения. Таким образом, задача построения линии пересечения двух поверхностей, достаточно часто встречающаяся в начертательной геометрии, имеет широкое применение в конструкциях технических деталей.
Система объемного моделирования Autodesk Inventor позволяет значительно сократить время для выполнения рабочих чертежей деталей, снижает вероятность совершения ошибок при выполнении необходимых изображений и построения их линий пересечений. Применение системы Autodesk Inventor в начертательной геометрии помогает овладению основными законами геометрического построения и взаимного пересечения геометрических объектов в пространстве.
Литература
[1] Фролов С. А. Начертательная геометрия. — М. : Машиностроение, 1983.
[2] Бубенников А. В. Начертательная геометрия. — М. : Высшая школа, 1985.
[3] Корягина О. М. Создание моделей преобразования ортогональных проекций в системе трехмерного моделирования Autodesk Inventor // Известия вузов. Проблемы полиграфии и издательского дела. 2014. № 6. С. 35-39.
[4] Хуснетдинов Т. Р. Начертательная геометрия в моделях // Инженерный вестник. 2013. № 05. С. 7-18.
[5] Корягина О. М. Графическое описание трехмерных объектов в Autodesk Inventor // Главный механик. 2015. № 4-5. С. 72-75
[6] Корягина О. М. Построения касательных плоскостей и нормалей к поверхностям вращения в системе трехмерного моделирования Autodesk Inventor // Cloud of Science. 2015. T. 2, № 1. С. 100-106.
[7] Корягина О. М., Эрастова Е. С. Разработка объемных моделей деталей и создание их рабочих чертежей в программе Autodesk Inventor Professional // Главный механик. 2015. № 8. С. 42-47.
[8] Банах, Д. Т., Джонс Т. Autodesk Inventor. Полное руководство. — М. : Лори, 2004. Автор:
Ольга Михайловна Корягина — старший преподаватель кафедры РК-1 «Инженерная графика», Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана
Drawing the lines of intersection of second-order surfaces in Autodesk Inventor
O. M. Korygina
Bauman Moscow State Technical University 5, Baumanskaya 2-ya, Moscow, Russia, 105005
e-mail: [email protected]
Abstract. The article discusses the training of the intersection of the surfaces of the second order system in three-dimensional computer modeling Autodesk Inventor. Examples of cre ation of virtual models to explain the construction of the intersection of different surfaces. The use of such models develops the ability to visualize spatial playback image of an object of complex shape according to his drawing.
Key words: three-dimensional computer modeling, the lines of intersection of surfaces of the second order, descriptive geometry, system solid modeling Autodesk Inventor.
References
[1] Frolov S. A. (1983) Nachertatel'naja geometrija. Moscow, Mashinostroenie. [In Rus]
[2] Bubennikov A. V. (1985) Nachertatel'naja geometrija. Moscow, Vysshaja shkola. [In Rus]
[3] Korygina O. M. (2014) Izvestija vuzov. Problemypoligrafii i izdatel'skogo dela, 6:35-39. [In Rus]
[4] Husnetdinov T. R. (2013) Inzhenernyj vestnik, 05:7-18. [In Rus]
[5] Korygina O. M. (2015) Glavnyj mehanik, 4-5:72-75. [In Rus]
[6] Korygina O. M. (2015) Cloud of Science, 2(1):100-106. [In Rus]
[7] Korygina O. M., Erastova E. S. (2015) Glavnyj mehanik, 8:42-47.
[8] Banah, D. T., Dzhons T. (2004) Autodesk Inventor. Polnoe rukovodstvo. Moscow. [In Rus]
