CC BY
7УДК 372.8 (514.18)
Н.В. Кайгородцева,
Омский государственный технический университет
Инновационный подход к изложению темы «Поверхности» в курсе начертательной геометрии
Омский государственный технический университет
Начертательная геометрия как наука, а впоследствии и как учебная дисциплина возникла более двухсот лет назад. Ее появление как науки было вызвано потребностями техники и производства того времени, а как учебной дисциплины - необходимостью создания сильного инженерного корпуса специалистов с техническим образованием.
Сегодня благодаря развитию компьютерных графических технологий появляется возможность решения невыполнимых раньше задач. Например, создание виртуальных 3D-моделей, автоматическое построение линий пересе-
© Кайгородцева Н.В., 2014
чения поверхностей и др. При этом исчезла крайняя необходимость промежуточного этапа по созданию двумерного (комплексного) чертежа. Это позволяет дисциплине «Начертательная геометрия», отвечавшей ранее за изыскание средств и методов отображения объектов Евклидова пространства на плоскость чертежа, трансформироваться в дисциплину математического профиля, предназначенную для исследования и анализа геометрических объектов и условий, их размерностей и структурных характеристик.
Кроме того, сегодня в системе высшего технического образова-
ния проявляется тенденция принизить методы начертательной геометрии и перевести эту уникальную учебную дисциплину в разряд неактуальных, устаревших дисциплин. Однако начертательная геометрия как наука не проявила ни своей несостоятельности, ни каких-либо внутренних или внешних противоречий. Поэтому начертательная геометрия как дисциплина, уникальность которой заключается в развитии пространственного мышления, должна остаться в багаже знаний будущего высококвалифицированного специалиста, особенно инженерного профиля. Что касается ин-
НАТАЛЬЯ ВИКТОРОВНА КАЙГОРОДЦЕВА
кандидат педагогических наук, доцент кафедры инженерной геометрии и систем автоматизированного проектирования Омского государственного технического университета. Сфера научных интересов: методика преподавания геометро-графических дисциплин, информатизация образования. Автор более 100 публикаций
Показано, что развитие информационных технологий требует не только изменения содержания классического курса начертательной геометрии, но и методики его преподавания. Делается вывод о том, что подведение под теоретический материал дисциплины, развивающей пространственное воображение, современной логико-математической базы в сочетании с использованием представления изучаемых начертательной геометрией объектов в новой информационной среде позволит снизить традиционную сложность усвоения этой дисциплины студентами и повысить их интерес к овладению учебным материалом.
Ключевые слова: начертательная геометрия, поверхности, размерность, параметризация.
The article it is shown that the development of information technologies requires not only changes in the content of the classical course of descriptive geometry and its teaching methods. The conclusion is that the rendering to the theoretical material discipline, which develops spatial imagination, modern logical-mathematical base, combined with a representation of the study of descriptive geometry objects in the new information environment that will reduce the traditional complexity of learning this course students and increase their interest in mastering the course material.
Key words: descriptive geometry, surface, dimension, parameterization.
формационных технологий, то они могут быть лишь новым инструментом, способным во всех отношениях (скорость, время, качество) улучшить уровень усвоения студентами геометро-графиче-скихдисциплин.
Методы новой начертательной геометрии, разработанные современными учеными-геометрами, позволяют достаточно обоснованно и математически строго проводить анализ на достаточность и совместность условий задач, рассчитывать параметры и структурные характеристики искомого решения, определять количество возможных ответов, а следовательно, и находить выбор оптимального алгоритма решения [1-3, 5].
Классическая начертательная геометрия традиционно изучала пространственные объекты, их размеры, формы, положение в пространстве при помощи построения их изображений на плоскостях проекций, а геометрические построения в пространстве заменялись более доступными геометрическими построениями на соответствующих плоскостях проекций.
Для того чтобы начертательная геометрия не только не потеряла своей актуальности на фоне появления графических компьютерных технологий и изменения требований к современной профессиональной компетенции выпускников - будущих специалистов современного производства и промышленности, но и была полезна в высшем инженерном образовании, следует изменить подход и к изложению тем учебного курса. Необходимо максимально приблизить теоретический материал курса и методику его преподавания к методам и способам создания виртуальных поверхностей в существующих пакетах графических программ. Кроме того, наряду с обзором способов образования поверхностей нужно ввести понятие «размерность условий», накладываемых на определитель поверхности, с целью адаптации курса начертательной геометрии под инновационный курс инженерной графики.
Начертательная геометрия, как ни какая другая учебная дисциплина, активно влияет на развитие пространственного мышления.
Этот вид мыслительной деятельности является довольно редким даром, формирование которого весьма затруднительно, но необходимо для полноценного интеллектуального развития человека.
Классический курс начертательной геометрии всегда считался сложной для понимания учебной дисциплиной. Это было связано с тем, что методика преподавания была основана на изложении бездоказательных фактов по принципу «смотри и делай так!». Что же касается школьной методики преподавания, то она основана на логическом мышлении будущих студентов. Поэтому инновационный курс начертательной геометрии должен получить логическую основу. Это поможет студентам (вчерашним школьникам) легче усвоить теоретический материал такой сложной для понимания дисциплины, как «Начертательная геометрия».
Инновационная методика преподавания должна встать на путь обучения студентов алгоритмизированному аппарату исследования по типу «все нужно проверять!». Такой методический прием позволит развить в будущих высококвалифицированных специалистах компетенцию исследования условий и поиска оптимального алгоритма действий.
Именно поэтому в инновационном курсе начертательной геометрии тему «Поверхности» следует излагать с логико-конструктивной точки зрения. Этот подход значительно отличается от традиционного демонстративно-эмпирического подхода, который был направлен на предоставление информации в основном об ортогональных проекциях поверхностей, их свойствах и особенностях. В классическом курсе начертательной геометрии знания об образовании поверхностей содержали сведения об определителе поверхности и способе ее образования, но никакой доказательной базы состава определителя
не было, то есть не объяснялось и не доказывалось, что и при каком условии должно входить в определитель поверхности.
Первоначальные (наглядные) представления о поверхностяхче-ловек приобретает из повседневного опыта, наблюдая за естественными и искусственными окружающими объектами. Эти представления формируют формальный подход к определению более простых фигур, например точек и линий. Тогда по аналогии с определением линии как одно-параметрического (одномерного) множества точек поверхность можно определить как непрерывное двупараметрическое или двумерное множество точек [4]. Общеизвестно, что в декартовой системе координат точка на плоскости однозначно определяется двумя параметрами - абсциссой и ординатой. На произвольной поверхности точка также будет определяться двумя координатами, но криволинейными.
В геометрии известно возможное сочетание множеств точек, линий и поверхностей, при котором данные множества можно представить в виде своеобразного флага: полотнище Р - плоскость (частный случай поверхности) - может быть определено как множество линий (кривых или прямых в данном случае), которые, в свою очередь, можно представить в виде древка б, которое по аналогии можно определить как множество точек - звездочка А (рис. 1). Визуальная схожесть с
Рис. 1. Графическая интерпретация понятия «флаг»
флагом, имеющим звезду, древко и полотнище, дало такому геометрическому множеству название «флаг» [1].
Из сказанного вытекает другое определение поверхности: поверхность - это непрерывное од-нопараметрическое (одномерное) множество линий, имеющих единый закон образования.
Здесь следует обратить внимание, что множество точек, определяющих поверхность, называется точечным каркасом поверхности, а множество линий - линейным каркасом.
Классификации поверхностей, охватывающей все их виды, не существует. Имеются лишь частные классификации по какому-либо одному признаку. В связи с тем, что образование (построение) поверхностей (вне зависимости на плоскости ли это или в виртуальном пространстве) выполняется графически, широко распространена классификация по виду линий, образующих поверхность. Эти линии называют образующими. В зависимости от вида образующих могут быть получены следующие поверхности:
- линейчатые (образующими являются прямые линии);
- циклические (образующие -окружности);
- эллиптические, параболические, гиперболические (образующими соответственно являются эллипсы, параболы, гиперболы);
- общего вида, не имеющие специального названия (образующие - плоские или пространственные кривые).
Закон перемещения образующей в пространстве для удобства задается в виде неподвижной линии или совокупности таких линий. Линии, задающие закон перемещения образующей, называют направляющими.
Одним из видов создания виртуальных моделей поверхностей в системах автоматизированного проектирования является кинематический способ. Например, это
команды выдавливания замкнутого контура, вращения и сдвига по заданной траектории (кинематическая операция).
Стоит заметить, что графические пакеты программ обладают различными способами визуального отображения поверхностей на экране дисплея. Это, например, такие как каркас, скрытый каркас (без невидимых линий), концептуальный (полутоновое с каркасом), реалистичный. При этом какой бы тип отображения не был выбран, он не оказывает влияния на свойства модели. Модель даже при выборе каркасного отображения остается твердотельной (сплошной), а не превращается в модель, состоящую из «проволочных ребер». Однако функциональная возможность систем автоматизированного проектирования в редактировании отдельных элементов (граней, ребер, вершин) поверхностей побуждает в инновационном курсе начертательной геометрии, наряду с кинематическим способом задания поверхностей, излагать и каркасный способ. Каркасом называют упорядоченное множество линий, принадлежащих поверхности. Обычно в качестве линий каркаса используют семейство образующих и/или семейство направляющих. Здесь, рассматривая каркас, стоит заметить, что образующие и направляющие можно поменять местами, и при этом поверхность получится одна и та же (рис. 2). Например, цилиндрическую поверхность вращения можно получить вращением прямой линии вокруг параллельной ей прямой линии - оси (рис. 2а) или перемещением (сдвигом) окружности, центр которой движется по оси (рис. 2б).
Классификация поверхностей по закону движения образующей может быть следующей:
- поверхности вращения: образующая вращается вокруг прямолинейной оси;
а) б)
Рис. 2. Образование цилиндрической поверхности вращения: а - вращение прямолинейной образующей (линейчатая поверхность); б - прямолинейное перемещение окружности (циклическая поверхность)
- поверхности переноса (сдвига): неизменная образующая совершает плоскопараллельное перемещение;
- поверхности конгруэнтных линий: неизменная образующая совершает движение общего вида.
Эти и другие классификации поверхностей объединяет одна общая зависимость: если размерность множества линий в пространстве равна k, то размерность множества образующих линий этой поверхности равна единице (однопараметрическое множество линий). Отсюда вытекает правило образования поверхностей. Для того чтобы образовать поверхность из заданного в пространстве множества линий, необходимо:
- наложить на это множество какие-либо связи, суммарная размерность которых равна ^1;
- обеспечить условие совместности (совместимости) этих связей.
Таким образом, для каждой линии, используемой в качестве образующей при образовании поверхностей, следует знать все возможные связи и их размерности. Более подробно о понятиях «размерность», «совместимость», «инцидентность», «размерность геометрических объектов и условий», «редукция» и других можно ознакомиться в монографии В.Я. Волкова и В.Ю. Юркова [1].
В образовании линейчатых поверхностей участвует прямолинейная образующая. Размерность множества прямых в Евклидовом пространстве равна четырем [1]. Чтобы образовать поверхность, то есть однопараметрическое множество прямых, необходимо на множество прямых пространства наложить условия, суммарная размерность которых должна быть равна трем. Наложенные условия свяжут три из четырех параметров прямых Евклидова пространства. Тогда можно утверждать, что образованное множество будет линейчатой поверхностью. 22
Рассмотренные и другие возможные случаи расположения прямой, являющейся образующей для конструируемой поверхности относительно геометрических объектов трехмерного пространства, в целях наглядности следует изложить в виде таблицы с указанием значения размерности (табл. 1). Эта таблица не является завершенной, так как может дополняться другими геометри-
ческими условиями. Поэтому для удобства пользования и возможности расширения таблицы геометрические условия сгруппированы по виду объектов, участвующих в накладываемых на образующую прямую условиях, а в обозначении условий используется первая буква из названий этих объектов на английском языке. Например, все условия отношений прямолинейной образующей
Таблица 1
Геометрические условия, налагаемые на прямолинейную образующую
№ Формулировка условия Иллюстрация условия Размерность условия
Условия для прямолинейной образующей относительно точки
Инцидентность
Р1 Прохождение через точку '.......\ 2
Условия для прямолинейной образующей относительно прямой
Инцидентность
L1 Пересечение данной прямой 1
L2 Пересечение двух заданных прямых в соответственных точках / \ 3
Параллельность
L3 Параллельность данной прямой 2
Перпендикулярность
L4 Перпендикулярность данной прямой X 1
Окончание табл. 1
Дополнительные метрические условия
L5
L6
Наклоненность к данной прямой под углом а ф 90°
Расположение от данной прямой на расстоянии d
Условия для прямолинейной образующей относительно кривой линии
Инцидентность
C1
C2
C3
Пересечение данной кривой m-го порядка
Пересечение с данной кривой в двух точках
Пересечение двух кривых m-го и n-го порядков в соответственных точках
б
V
Касание
C4
Касание данной кривой
Условия для прямолинейной образующей относительно плоскости
Параллельность
F1
Параллельность данной плоскости
Перпендикулярность
F2
Перпендикулярность данной плоскости
II
Дополнительные метрические условия
F3
F4
Наклоненность к данной плоскости под углом а ф 90°
Расположение от данной плоскости на расстоянии d
Условия для прямолинейной образующей относительно поверхности
Параллельность
S1
Параллельность относительно образующей линейчатой поверхности
Перпендикулярность
S2
Перпендикулярность данной поверхности
Касание
S3
Касание данной поверхности
с точкой будут называться Р1, Р2, так как «точка» по-английски point. В обозначении прямых будет участвовать буква L (прямая линия -line), а кривых С (кривая - ourve). Для плоскости следовало бы выбрать букву F (что так же как и слово plane при переводе означает плоскость flatness), но буква Руже занята для обозначения точки) и, наконец, поверхность будет обозначаться буквой S(поверхность -surface).
Подбор условий из табл. 1 должен предусматривать, что их суммарная размерность равна трем, так как только тогда конструируемым многообразием будет поверхность. Это позволяет сделать вывод, что некоторые виды поверхностей могут быть сконструированы несколькими способами. Так, например, в табл. 2 представлены некоторые возможные комбинации условий для конструирования цилиндрической и конической линейчатых поверхностей.
Существуют виды линейчатых поверхностей, конструирование которых возможно лишь при единственном наборе представленных условий. Например, торсовую поверхность можно образовать наложением на прямолинейную, образующую условие.
Существуют поверхности, которые могут быть образованы только при обязательном наложении уточнений на задаваемые условия из табл. 1 (табл. 3).
Предлагаемый логико-конструктивный подход к изложению темы «Линейчатые поверхности» позволяет сформировать научно-исследовательскую мысль студентов и вызвать интерес к конструированию и исследованию линейчатых поверхностей довольно сложной конструктивной формы, что может быть реализовано в студенческом научно-техническом обществе и при дальнейшем обучении в магистратуре и/или аспирантуре.
2
3
3
2
2
2
2
Таблица 2
Комбинации условий для образования некоторых линейчатых поверхностей
Комбинация условий
Определитель поверхности
Иллюстрация поверхности
Цилиндрическая
L1 ■ C1
Параллельность прямой и пересечение кривой т-го порядка
L4 ■ L4 ■ C1
Перпендикулярность относительно двух заданных прямых и пересечение кривой т-го порядка
L4
C1
F1
Перпендикулярность относительно прямой, пересечение кривой т-го порядка и параллельность заданной плоскости
C1
F1
F1
Пересечение кривой т-го порядка и параллельность двум заданным плоскостям
C1 ■ F2
Пересечение кривой m-го порядка и перпендикулярность заданной плоскости
Коническая
P1 ■ C1
Прохождение через точку и пересечение заданной кривой m-го порядка
P1 ■ F3
Прохождение через точку при сохранении угла наклона к заданной плоскости
P1 ■ S3
Прохождение через точку и касание заданной поверхности
Таблица 3
Линейчатые поверхности, образуемые только при наложении на условия дополнительных уточнений
Комбинация условий
Определитель поверхности
Иллюстрация поверхности
Геликоид
Прямой закрытый геликоид
L1
L4
C1
Пересечение прямой под прямым углом и пересечение заданной кривой - винтовой линии, осью которой является заданная прямая
Прямой открытый геликоид
L4
C1
S3
Перпендикулярность прямой, пересечение кривой - винтовой линии и касание заданной поверхности - цилиндра вращения
Косой закрытый геликоид
C1
S1
Пересечение кривой (винтовой линии) и параллельность относительно образующей заданной линейчатой поверхности - конуса
Косой открытый геликоид
L6
C1
C1
Расположение от заданной прямой на расстоянии I и пересечение двух заданных кривых - винтовых линий
Аналогичный логико-конструктивный подход можно осуществить и при изложении темы «Нелинейчатые поверхности». То есть можно составить таблицу с возможными геометрическими условиями для криволинейных образующих, затем, комбинируя наборы условий с учетом соответствующих размерностей, можно конструировать нелинейчатые поверхности.
Например, выберем для образующей окружности следующие условия:
- образующая - окружность «скользит» по параболе, ветви которой направлены вниз;
- образующая - окружность касается плоскости параболы;
- плоскости параболы перпендикулярны относительно горизонтальной плоскости OXY, которая играет роль плоскости параллелизма.
Итак, суммарная размерность условий равна трем, так как каждое из перечисленных условий имеет размерность равную единице [1]. Для конструирования циклической поверхности (образующей которой выступает окружность) как раз сумма размерностей условий, накладываемых на эту образующую, должна быть равна трем. Поэтому данный набор геометрических условий позволяет сконструировать циклическую поверхность с образующей окружностью постоянного радиуса, представленную на рис. 3.
Рис. 3. Циклическая поверхность
Сегодня первостепенной задачей учебного курса начертательной геометрии, развивающей пространственное мышление студентов, должно стать не изыскание средств и методов отображения объектов Евклидова пространства на плоскость чертежа, а внедрение исследовательской задачи, которая реализует возможность проведения анализа объектов как трехмерного мира в бакалавриате, так и многомерных пространств в магистратуре и аспирантуре соответствующего профиля.
Сегодня в преподавании начертательной геометрии уже нецелесообразно ограничиваться связью наглядных представлений с моделями одномерных, двухмерных и трехмерных пространств. Теория построения конструктивных моделей, обобщающих модель Монжа, сохраняет свой геометрический характер при переходе к многомерным (конечномерным) пространствам. Инновационный подход к решению и составлению новых геометрических задач предусматривает использование формализованного аппарата, состоящего из строгой математической базы ис-числительной геометрии с применением основ параметризации геометрических объектов и условий между ними.
Инновация позволит подойти к теоретическому материалу начертательной геометрии с научно-исследовательской стороны. Это станет хорошим стимулятором активизации познавательного интереса обучающихся. Всем известно, что знания усваиваются лучше, если в их основе лежит интерес к изучаемому объекту или явлению.
Предлагаемая инновационная перестройка учебного курса начертательной геометрии позволит сохранить дисциплину, направленную на развитие пространственного мышления, важного в общем интеллектуал ь-ном развитии человека и при-
меняемого в любой сфере человеческой деятельности, а также адаптировать теоретические положения под реалии современного информационно-коммуникационного времени.
Литература
1. Волков В.Я., Юрков В.Ю. Многомерная исчислительная геометрия: монография. Омск, 2008.
2. Волков В.Я., Юрков В.Ю., Пан-
чук К.Л., Кайгородцева Н.В. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования: учебник. Омск, 2010.
3. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии: учеб. пособие. М., 1998.
4. Кайгородцева Н.В. Инновация содержания и методики преподавания начертательной геометрии: монография. Омск, 2011.
5. Пеклич В.А. Высшая начертательная геометрия: монография. М., 2000.
