CC BY
25
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 517.934+517.977
© В. А. Зайцев, Е. К. Макаров, С. Н. Попова, Е.Л. Тонков ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВАРИАНТАМИ А. М. ЛЯПУНОВА1 Введение
Всякая характеристика линейной системы
х = Б(і)х, х Є Мп, і Є М, (1)
сохраняющаяся при ляпуновских преобразованиях, называется инвариантом А.М. Ляпунове?. Инвариантами Ляпунова являются, например, такие величины (свойства), как полный спектр показателей Ляпунова, свойства правильности и приводимости, коэффициенты неправильности, центральные, особые и экспоненциальные показатели и многие другие.
Задачи управления ляпуновскими инвариантами, будучи задачами управления на неограниченных интервалах времени, не являются задачами классической математической теории управления. К числу таких задач относится, например, задача стабилизации системы
х = А(і)х + Е(і)и, х Є Мп, и Є Мт, і Є М, (2)
с помощью линейной обратной связи и = и(і)х. Для стационарных систем эта задача стабилизации известна достаточно давно и может рассматриваться как традиционная задача теории автоматического регулирования.
Наш доклад посвящён задачам управления инвариантами Ляпунова и результатам в этом направлении, полученным в Ижевске и Минске [1-25].
§ 1. Билинейные управляемые системы
Билинейной мы называем систему
х = А(і,и)х, где А(і,и) = А(і) + иіАі(і) + ... + игАг(і), (і,х,и) Є М1+п+г, (3)
с измеримыми по Лебегу и ограниченными на М коэффициентами і м А(і),Аі(і) Є М(п).
Здесь М(п) — пространство квадратных матриц порядка п с нормой, индуцированной евклидовой нормой в Мп. Управление і м и(і) = (пі(і),..., иг(і)) Є Мг называется допустимым, если оно измеримо по Лебегу и принимает значения в заранее заданном множестве, расположенном в Мг. Система
х= (А(і)+ Е(і)и)х, х Є Мп, і Є М, (4)
полученная из (2) с помощью обратной связи и = и(і)х, может быть записана в виде (3); если же наблюдению доступны не все координаты х, но только их линейная комбинация у = С *(і)х, то линейное по наблюдаемым параметрам управление и = и (і) у приводит к изучению замкнутой системы
х = (А(і) + Е(і)иС*(і))х, х Є Мп, і Є М, (5)
которая тоже может быть записана в виде (3).
Всякой билинейной системе можно поставить в соответствие так называемую «большую систему» [3, 7]
г = ^(і)г + С(і)у, г Є Мп , V Є Мг, (6)
хРабота выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 06-01-00258).
2Любые две системы вида (1), связанные преобразованием Ляпунова, называются асимптотически эквивалентными. Все асимптотически эквивалентными системы имеют общую совокупность инвариантов Ляпунова.
наследующую многие свойства системы (3). Здесь матрица Е(Ь) = А(Ь) 0 Е — Е 0 А*(Ь) , 0 — кронекерово (прямое) произведение матриц, С(Ь) = (чес А\(Ь),..., чес Аг(Ь)), чес — операция, разворачивающая матрицу по строкам в вектор-столбец (в случае системы (5) матрица С(Ь) имеет вид В(Ь) 0 С(Ь)).
/•*0 +$
Пусть 2(Ь,в) — матрица Коши системы г = Е(Ь)г, £$(Ьо) = I 2(Ьо,Ь)С(Ь)МтйЬ —
Ло
пространство управляемости системы (6) на отрезке I = [Ьо,Ьо + §]• Системы (6) называется вполне управляемой на I, если £#(Ьо) = Мп • Далее, система (6) называется 'равномерно вполне управляемой, если найдутся такие § > 0 и а > 0, что для любого Ьо ^ 0 она вполне управляема на I и для всякой точки го € Мп среди управлений, переводящих (Ьо,го) в (Ьо + §, 0), найдется управление у(Ь,Ьо,го), удовлетворяющее неравенству 1ь(Ь,Ьо, го)| ^ а|го|, Ь € I• Если «большая система» равномерно вполне управляема, то систему (3) будем называть равномерно согласованной [2, 11].
Основные результаты о локальной управляемости различных ляпуновских инвариантов основаны на следующих двух теоремах.
Теорема 1. Если система (3) равномерно согласованна, то для каждого £ > 0 существует 5 > 0 такое, что для любой измеримой функции Ь м Q(t) € Ш(и), удовлетворяющей неравенству вир* ^(Ь)| ^ 5, найдется допустимое управление Ь м и(Ь), вир* 1и(Ь)1 ^ £, при котором система (3) асимптотически эквивалентна системе X = (А(Ь) + Q(t))x•
Для линейной управляемой системы (2) имеет место более сильное утверждение.
Теорема 2. Если система (2) равномерно вполне управляема, то существуют такие 5 > 0 и I > 0, что для любой измеримой функции Ь м Q(t) € Ш(п), вир* ^(Ь)| ^ 5, найдется допустимое управление Ь м и(Ь) € Ш(т,п)3, вир* |и(Ь)| ^ I вир* |Q(t)|, при котором система (4) асимптотически эквивалентна системе X = (А(Ь) + Q(t))x•
Из этих теорем и асимптотической теории линейных систем следует локальная управляемость центральных и особых показателей, достижимость верхнего центрального показателя и возможность с помощью сколь угодно малого управления и(Ь) превратить систему (3) в систему с интегральной разделенностью (то есть систему с попарно различными устойчивыми показателями Ляпунова).
§2. Управление ляпуновскими инвариантами
Пусть &п — пространство систем вида (1) с измеримыми и ограниченными на М матрицами В, I — некоторый ляпуновский инвариант, £(&п) — множество значений инварианта I, и — множество допустимых управлений4. Определим отображение : и м £(&п) , которое ставит в соответствие всякому допустимому управлению и(-) значение £(Л) инварианта £ системы (3) при и = и(-) .
Определение 1. Система (3) обладает свойством глобальной управляемости ля-пуновского инварианта I, если отображение ^ сюръективно: (и) = £(6п).
Если множество £(&п) содержится в некотором метрическом пространстве (X, р) , введем определения локальной, а также пропорциональной локальной и пропорциональной глобальной управляемости этого инварианта.
Определение 2. Система (3) обладает свойством локальной управляемости ля-пуновского инварианта I, если отображение ^ открыто при и(Ь) = 0, то есть для любого £ > 0 найдется 5 > 0 такое, что для каждого а € £(&п) , удовлетворяющего неравенству р(£(А),а) ^ 5, существует допустимое управление и(-) € и, что вир* 1и(Ь)1 ^ £ и ^(и) = а. Определения пропорциональной локальной (и пропорциональной глобальной) управляемости инварианта £ дополнительно включают в себя липшицеву оценку вир* 1и(Ь)1 ^ кр(£(А),а).
3 Ш(т,п) —пространство (гахи) -матриц.
4Для системы (3) это измеримые и ограниченные на К функции Ь ^ и(Ь) = (и(Ь),... , иг(Ь)) со значениями в Кг, для систем (4) и (5) — матрицы и(Ь) соответствующих размеров с аналогичными свойствами.
Теорема 3. Пусть І — произвольный ляпуновский инвариант, множество значений которого содержится в метрическом пространстве.
1) Если система (2) равномерно вполне управляема, то из пропорциональной глобальной управляемости инварианта І для системы
х = (л(і) + и)х, х Є Мп, (7)
следует его пропорциональная локальная управляемость для системы (4).
2) Если система (3) равномерно согласованна, то из пропорциональной глобальной управляемости инварианта І для системы (7) следует его локальная управляемость для системы (3).
Теорема 4. Если система х = Л(і)х правильная или диагонализируемая или имеет устойчивые показатели Ляпунова, то система (7) обладает свойством пропорциональной глобальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова.
Теорема 5. Пусть выполнено условие теоремы 4. Тогда:
1) если система (2) равномерно вполне управляема, то система (4) обладает свойством пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова;
2) если система (3) 'равномерно согласованна, то она обладает свойством локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова.
Определение 3. Система (4) обладает свойством глобальной ляпуновской приводимости, если для произвольной системы (1) из множества &п найдется допустимое управление такое, что система (4) с этим управлением асимптотически эквивалентна системе (1).
Теорема 6. Пусть (2) — система с Т-периодическими коэффициентами. Тогда система (4) обладает свойством глобальной ляпуновской приводимости в том и только в том случае, если система (2) вполне управляема.
Теорема 7. Пусть п = 2 . Если система (2) равномерно вполне управляема, то замкнутая система (4) обладает свойством глобальной ляпуновской приводимости.
Теорема 8. Если система (2) равномерно вполне управляема, а функция і ^ В (і) кусочно равномерно непрерывна на М, то полный спектр показателей Ляпунова системы (4) глобально управляем.
Пусть I — совокупность ляпуновских инвариантов, которые для треугольных систем определяются системами их диагонального приближения5.
Теорема 9. Если система (2) равномерно вполне управляема, а функция і ^ В (і) кусочно равномерно непрерывна на М, то система (4) обладает свойством одновременной глобальной управляемости ляпуновских инвариантов, принадлежащих множеству I.
Теорема 10. Если система (2) равномерно вполне управляема, то система (4) равномерно стабилизируема, то есть для каждого ^ > 0 найдется допустимое управление и (і), что старший показатель системы (4) удовлетворяет неравенству Хп(Л + Ви) < —^.
§3. Модальное управление
Будем говорить, что стационарная система
х= (Л + ВиС*)х, х Є Мп, (8)
обладает модальным управлением, если для любого многочлена р(А) = Хп + 71 Ап-1 + ... + Уп, 7і Є М существует матрица и Є М(т, к) такая, что характеристический многочлен системы (8) совпадет с р(А). Матрица и называется модальным управлением. Если система (8) обладает модальным управлением, то она обладает свойством глобальной управляемости показателей Ляпунова, причем и может быть выбрано из класса постоянных управлений.
5Множеству I принадлежат такие инварианты преобразований Ляпунова, как центральные, особые и экспоненциальные показатели, свойство правильности.
Пусть матрицы системы (8) имеют следующий вид: элементы первой наддиагонали матрицы А не равны нулю, элементы выше первой надиагонали равны нулю; первые р — 1 строк матрицы В и последние п — р строк матрицы С нулевые, р € {1,... ,п}. Пусть Х(А; А) = Хп + а\Хи-1 + ... + ап. Построим по матрице А матрицу $1 следующим образом: вычеркнем из матрицы А последнюю строку и припишем сверху первую строку единичной матрицы Е € Ш(п). Далее строим матрицу 5^+1 по матрице Si, г = 1,... ,п — 1, следующим образом: вычеркиваем из матрицы Si последнюю строку и последний столбец и приписываем сверху и слева первую строку и первый столбец единичной матрицы. Все матрицы Si невырожденные. Положим $ = $п ■ $п-1 ■... ■ $1. Пусть .]1 € Ш(п) — это первый единичный косой ряд (то есть матрица, элементы первой наддиагонали которой равны 1, остальные элементы —
п
нули); 1 = .1^; 1о = Е. Построим матрицу С = ^ а.1-11*-1; ао = 1.
i= 1
Теорема 11. Система (8) обладает модальным управлением тогда и только тогда, когда матрицы С*$-11оС$В,... ,С*$-11п-1С$В линейно независимы. В этом случае модальное управление и, приводящее х(А + ВиС*; X) к наперед заданному многочлену р(Х) с коэффициентами у, находится из системы линейных уравнений
Яр С*$-11оС$Ви = а1 — ъ,
Яр С*$-111С$Ви = а2 — Ъ,
Яр С *$-11п-1С$Ви = ап — у п.
§4. Пространство линейных управляемых систем
Существует стандартная процедура построения динамической системы сдвигов по линейной управляемой системе, позволяющая эффективно исследовать асимптотическое поведение исходной системы и всех систем, полученных замыканием множества сдвигов. Эта методика (описание которой в простейшей ситуации дано ниже) использовалась нами при доказательстве утверждений §§1,2.
Пусть Т — полное метрическое пространство, {/*} — поток на Т,, тогда (Т, /*) — топологическая динамическая система. Семейство линейных управляемых систем
х = А(/га)х + В(/га)п, (I, а,х,п) € М х Т х Мп х Мт (9)
будем отождествлять с парой ($, Т), $ (а) = (А(а), В (а)) € Ш(п,п + т), а фиксированную систему семейств ($, Т) — с парой ($,а). Пространство систем ($,а) с ограниченными на Т функциями а ^ $ (а) обозначим &. Оператор Коши системы х = А(/га)х обозначим X(I, в, а).
Всякой системе ($, а) и каждому § > 0 поставим в соответствие пространство управляе-
г д
мости Сд($,а) = / X(0,Ь,а)В(/*а)Мт М системы (в, а) на отрезке [0, §]. о
Семейство ($, Т) назовем регулярным, если найдется §о > 0 такое, что для всех § ^ §о размерность ёт Сд($,а) пространства Сд($,а) не зависит от § и а. Регулярное семейство ($, Т) назовем каноническим, если:
1) для каждого к = 1,...,п и любого а € Т линейное пространство Ек = Мп{е1,..., ек} ( е1,... ,еп — ортонормированный базис в Мп ), инвариантно относительно системы (А, а);
2) найдется такое §о > 0, что для каждого а € Т и всех § ^ §о имеет место равенство Сд($,а) = Ет, где г = ётСд($,а).
Каноническое семейство (С, Т), С (а) = (Е (а), С (а)) будем называть каноническим представителем семейства ($, Т), если найдется такая ортогональная при каждом а матрица Р(а) € Ш(п), что при каждом а € Т преобразование х = Р(/га)у приводит систему ($,а) к системе (С, а).
Напомним ещё, что динамическая система (О,дг) называется расширением системы (Т, /г), если существует непрерывное отображение р пространства О на Т, сопрягающее потоки (то
есть р(О) = Т и рдг = /г,р). Если (О,дг) — расширение динамической системы (Т, /г) и задано семейство ($, Т), где $ € &, то для каждого а € Т и любого и € р-1(а) определена непрерывная и ограниченная на О функция и ^ 5(и) = $('р(и)) = $(а). Построенная так функция 5 = (А, В): О ^ Ш(п, п + т) порождает семейство (5, О) систем (5, и) вида
х = А(дьи)х + В(дьи)и, (Ь, и,х,и) € М х О х Мп х Мт.
Это новое семейство (5, О) (назовем его псевдорасширением семейства ($, Т) ) фактически является другой записью семейства ($, Т). Действительно, для каждого а € Т все системы (5,и) на слое у(а) = {и € О: р(и) = а} совпадают с системой ($,а). Поэтому для каждого а € Т и всех и € у(а) матрица Коши X(Ь,в,и) системы (А,и) совпадает с X(Ь,в,а). Следовательно, имеет место равенство С(Б,и) = С($,а).
Теорема 12. Для всякой топологической динамической системы (Т, /*) с компактным фазовым пространством Т и любого регулярного семейства ($, Т) систем вида (9), где $ € &, найдется такое расширение (О,дг) с компактным фазовым пространством
0. что отвечающее ему псевдорасширение (Б, О) семейства ($, Т), обладает каноническим представителем (С, О).
В силу теоремы 12, псевдорасширение (5, О) семейства ($, Т) (удовлетворяющего условиям теоремы 12) приводимо стационарным перроновским преобразованием х = Р(дги)у к каноническому семейству (С, О).
Для формулировки следующего утверждения напомним, что фазовое пространство Т динамической системы (Т, /*) называется минимальным (относительно потока /1), если оно замкнуто и для всех Ь € М выполнено равенство /гТ = Т.
Теорема 13. Для всякой топологической динамической системы (Т, /*) с минимальным (относительно /1) компактным фазовым пространством Т и любого семейства ($, Т) систем вида (9), где $ € &, найдется такое расширение (О,дг) с минимальным, (относительно д1) компактным фазовым пространством О, что отвечающее ему псевдорасширение (5, О) семейства ($, Т) обладает каноническим представителем (С, О).
Из теоремы 13 следует, в частности, что если размерность пространства управляемости системы (2) равна г ^ п и матрицы А(Ь) и В(Ь) рекуррентны, то система (2) приводима рекуррентным перроновским преобразованием х = Р(Ь)у к системе у = Е(Ь)у + С(Ь)и с рекуррентными Е(Ь) и С(Ь), причем Е(Ь) —верхняя треугольная, а последние п — г строк матрицы С(Ь) равны нулю.
Список литературы
1. Тонков Е. Л. Критерий равномерной управляемости и стабилизация линейной рекуррентной системы // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 10. С. 1804-1813.
2. Попова С.Н., Тонков Е. Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. I // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 10. С. 1687-1696.
3. Попова С.Н., Тонков Е. Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. II // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 11. С. 1949-1957.
4. Попова С.Н., Тонков Е.Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. III // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 2. С. 228-238.
5. Попова С.Н., Тонков Е.Л. К вопросу о равномерной согласованности линейных систем // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 4. С. 723-724.
6. Тонков Е.Л. Задачи управления показателями Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 10. С. 1682-1686.
7. Попова С.Н., Тонков Е.Л. Согласованные системы и управление показателями Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 2. С. 226-235.
8. Макаров Е. К., Попова С. Н. О локальной управляемости характеристических показателей
Ляпунова систем с некратными показателями // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 4. С. 495-499.
9. Макаров Е.К., Попова С.Н. К методу поворотов для линейных управляемых систем //
Доклады НАН Беларуси. 1998. Т. 42. № 6. С. 13-16.
10. Макаров Е. К., Попова С.Н. О глобальной управляемости полной совокупности ляпунов-
ских инвариантов двумерных линейных систем // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 1. С. 97-106.
11. Зайцев В. А., Тонков Е.Л. Достижимость, согласованность и метод поворотов В. М. Мил-лионщикова // Известия вузов. Математика. 1999. № 2(441). С. 60-67.
12. Зайцев В. А. Об управлении показателями Ляпунова и о А -приводимости // Вестник Удмуртского университета. 2000. № 1. С.35-44.
13. Зайцев В. А. Согласованность, достижимость и управление показателями Ляпунова: Дис....канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Ижевск, 2000. 102 с.
14. Тонков Е. Л. Ляпуновская приводимость линейной системы, стабилизация и управление показателями Изобова // Труды Института математики НАН Беларуси. Минск, 2000. Т. 4. С. 146-155.
15. Tonkov E. L. Uniform attainability and Lyapunov reducibility of bilinear control system // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl. 1. 2000. P. S228-S253.
16. Макаров Е. К. Асимптотические инварианты линейных дифференциальных систем: Дис....док. физ.-мат. наук: 01.01.02. Минск, 2001. 207 с.
17. Попова С. Н. Об эквивалентности локальной достижимости и полной управляемости линейных систем // Известия вузов. Математика. 2002. № 6(481). С. 50-53.
18. Зайцев В. А. Глобальная достижимость и глобальная ляпуновская приводимость двумерных и трехмерных линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами // Вестник Удмуртского университета. Серия «Математика». 2003. С. 31-62.
19. Макаров Е. К., Попова С. Н. О достаточных условиях локальной пропорциональной управляемости показателей Ляпунова линейных систем // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 2. С. 217-226.
20. Попова С. Н. К свойству локальной достижимости линейных управляемых систем // Диф-ференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 1. С. 50-56.
21. Попова С.Н. К свойству пропорциональной управляемости ляпуновских инвариантов линейных систем // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 11. С. 1578-1579.
22. Попова С.Н. Глобальная управляемость полной совокупности ляпуновских инвариантов периодических систем // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 12. С. 1627-1636.
23. Попова С. Н. Глобальная приводимость линейных управляемых систем к системам скалярного типа // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 1. С. 41-46.
24. Попова С. Н. Одновременная локальная управляемость спектра и коэффициента неправильности Ляпунова правильных систем // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 3. С. 425428.
25. Попова С.Н. Управление асимптотическими инвариантами линейных систем: Дис... .док. физ.-мат. наук: 01.01.02. Екатеринбург, 2004. 264 с.
Зайцев Василий Александрович Удмуртский государственный ун-т, Россия, Ижевск e-mail: vaz@verba.udm.ru
Попова Светлана Николаевна Удмуртский государственный ун-т, Россия, Ижевск e-mail: ps@uni.udm.ru
Макаров Евгений Константинович Ин-т математики НАН Беларуси, Беларусь, Минск e-mail: jcm@im.bas-net.by
Тонков Евгений Леонидович Удмуртский государственный ун-т, Россия, Ижевск e-mail: eltonkov@udm.ru
