О глобальной ляпуновской приводимости двумерных линейных стационарных управляемых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977

© В.А. Зайцев

vaz@verba.udm.ru

О ГЛОБАЛЬНОЙ ЛЯПУНОВ СКОЙ ПРИВОДИМОСТИ ДВУМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ1

Ключевые слова: линейная управляемая система, асимптотически эквивалентные системы, глобальная достижимость, стационарные системы.

Abstract. Let the stationary system x = Ax + Hu. x € R2, 'u € RTO is totally controllable. Then it possesses the property of global Lyapunov reducibility in class of stationary controls и = Ux , that is for any fixed stationary system у = Су there exists the time-independent matrix U , such that the system x = (A + BU)x with this matrix is asymptotically equivalent (kinematically similar) to the above fixed system.

Рассмотрим линейную управляемую систему

х = A(t)x + B(t)u, (t, x, и) 6 Ж1+”+т, (1)

где А(-), В(-) —ограниченные кусочно непрерывные матричные функции. Управление строится в виде и = U(t)x, где U(-) — ограниченная кусочно непрерывная функция. Соответствующая замкнутая система имеет вид

Х= (A(t) + B(t)U(t))x. (2)

Изучается задача о глобальной ляпуновской приводимости си-

стемы (2). Задача состоит в следующем. Требуется для произвольной заданной системы

y = C(t)y, (t,y)€ К1+” (3)

1 Работа поддержана Конкурсным центром фундаментального естество-

знания (грант Е 00-1.0-5).

с ограниченной кусочно непрерывной матрицей С(-) построить управление и(-) так, чтобы система (2) с этим управлением была асимптотически эквивалентна системе (3). Асимптотическая эквивалентность двух линейных однородных систем означает, что существует преобразование Ляпунова х = Ь(1)у, связывающее эти системы. Если для произвольной системы (3) найдется такое управление 1/(-) , то говорят, что система (2) обладает свойством глобальной ляпуновской приводимости. В работе [1] доказана

Теорема 1. Пусть п = 2 . Предположим, что система (1) равномерно вполне управляем,а. Тогда система (2) обладает свойством глобальной ляпуновской приводим,ост,и.

При доказательстве этой теоремы используется понятие глобальной достижимости системы (2). Глобальная достижимость системы (2) означает, что найдется д > 0 такое, что множество достижимости 33$ (г) системы (2) в пространстве (пхп)-матриц за время § из точки X(г) = I под действием допустимых управлений и(-) (при условии, когда на управления не накладываются ограничения) совпадает с множеством матриц с положительным определителем, т. е. Э^(г) = ОЬп(Ж) . Строгое определение формулируется следующим образом.

Определение 1. Система (2) называется глобально достижимой на отрезке [т, т + $] (см. [2]), если для любого N > О существует такое I = ¿(-/V) > 0 , что для любой (п х п) -матрицы Н с |Д~| ^ N и <1е1 Н 1/Ж > 0 найдется управление £7(£), £ €Е [г, г + 1?] такое, что \и(1)\ ^ I, £ 6 [г, г + $], и для матрицы Коши Хи(1,,э) системы (2) с этим управлением выполнено равенство Хц(т + #, г) = Н .

Определение 2. Система (2) называется равномерно глобально достижимой, если найдется # > О такое, что для любого г £ I система (2) глобально достижима на [г, г + Щ , причем константа I из определения 1 равномерная (не зависит от г).

Известно, что условие равномерной глобальной достижимо-

сти является достаточным условием глобальной ляпуновской приводимости. В работе [1] в случае п = 2 доказано, что из равномерной полной управляемости системы (1) на отрезках длины 1? следует равномерная глобальная достижимость системы (2) на отрезках длины 4# .

Основным результатом настоящей работы является нижеследующая теорема.

Теорема 2. Пусть система (1) стационарна, т. е. А и В — постоянные матрицы, и пусть п = 2 . Предположим, что система (1) вполне управляема. Тогда система (2) обладает свойством глобальной ляпуновской приводим,ост,и в классе постоянных управлений, т. е. для произвольной стационарной системы у = Су найдется постоянная матрица II такая, что система (2) с этим управлением асимптотически эквивалентна заданной.

Отметим, что эта теорема не вытекает из теоремы 1, т. к. здесь утверждается существование постоянного управления.

Замечание 1. В работе [3] для произвольного п доказана эквивалентность свойств полной управляемости стационарной системы (1) и глобальной управляемости коэффициентов характеристического многочлена матрицы системы (2) (в иной формулировке, система (1) вполне управляема тогда и только тогда, когда система (2) обладает модальным управлением). Теорема 2 не следует из этого результата, так как свойство глобальной ляпуновской приводимости является более общим по сравнению со свойством существования модального управления.

Замечание 2. В теореме 2 нельзя утверждать, что матрица преобразования Ляпунова, связывающего стационарные системы (2) и (3), является постоянной. Рассмотрим следующий пример. Пусть

А =

О 1 О О

В =

С =

о о о о

Система (1) с заданными матрицами является вполне управляемой. Следовательно, существует матрица II = («1,^2) такая,

что системы с матрицами А + В11 и С асимптотически эквивалентны. Если мы предположим, что матрица Ь преобразования Ляпунова, связывающего эти системы, постоянна, это будет означать, что матрицы А + В11 и С подобны. Отсюда необходимо вытекает, что их характеристические многочлены совпадают: хс(^) = А2 1 Ха+ви(^) = А2 ^ щХ — щ ; следовательно, Щ = ь,2 = 0, т. е. А + Ви = А. Однако матрицы А и С не подобны, мы пришли к противоречию. В действительности нужно взять С/ = (—1,0) . Тогда система с матрицей

A + BU =

0 1 -1 о

и С асимптотически эквивалентны и L{t) =

cos t sini

— sin t COS t

Список литературы

1. Макаров Е. К., Попова С.Н. О глобальной управляемости полной совокупности ляпуновских инвариантов двумерных линейных систем // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, Ґ 1. С. 97-106.

2. Зайцев В. А. Глобальная ляпуновская приводимость двумерных управляемых систем с кусочно-постоянными коэффициентами // Вестн. Удм. ун-та. Ижевск, 2002. Ґ 1. С. 3-12.

3. Попов В. М. Гиперустойчивость автоматических систем. М.: Наука, 1970. 456 с.