CC BY
24
Решение этой системы удовлетворяет в каждый момент времени £ краевым условиям (1) и условиям согласования (2), (4). Кроме того, в начальный момент времени t = 0 решение (и, </?) удовлетворяет начальным условиям
ди(х, £)
и(ж,0) = и0(х), —=щ{х), у(х,0) = <ро(х).
ОТ ¿=0
Для нахождения решения полученной смешанной задачи, моделирующей малые упругие колебания стержневой системы, предлагается метод разделения переменных (метод Фурье). Опираясь на полученные выше результаты, описывающие спектральные свойства краевой задачи (3), (1), метод разделения переменных строго обоснован. Отметим, что обоснование метода Фурье для частного случая краевой задачи на графе Г для дифференциального уравнения второго порядка приведено в работе автора [5]. В этой же работе приведено решение смешанной задачи на графе, моделирующей малые упругие колебания струнной системы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. М.-Л.: ГТТИ, 1933. 525 с.
2. Лейбензон Л.С. Собрание трудов. Т. 1. М.: Изд-во АН СССР, 1951. 468 с.
3. Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. 532 с.
4. Покорный Ю.В., Лазарев К.П. Некоторые осцилляционные теоремы для многоточечных задач // Дифференц.
уравнения. 1987. Т. 23. № 4. С. 658-670.
5. Завгородний М. Г. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи на графе // Доклады АН РФ. 1994. Т. 335. № 3. С. 281-283
ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ АСИМПТОТИЧЕСКИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ БИЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ © В.А. Зайцев, С.Н. Попова, Е.Л. Тонков (Ижевск)
В докладе представлены результаты, полученные авторами в работах [1 - 20]. Билинейная управляемая система
х = (A0{t) 4- uiAi(t) --h urAr(t))x, (t, x, и) E Rl+n+r, (1)
заданная ограниченной измеримой функцией А = (Ло, А\,..., АГ) : R —> Horn(Rn^r+1K Rn), называется равномерно согласованной [1, 16], если “большая система” [4, 7]
z = F{t)z + G(t)v, z € Rn , v € Rr,
равномерно вполне управляема. Здесь F(t) = Ao(t) I -1 <8) A^t), <g> - прямое произведение матриц, G(t) = (vec^i(i),..., vecAr(t)), vec - операция, разворачивающая матрицу по строкам в вектор-столбец. Назовем допустимым управлением всякую измеримую функцию и : R -* Rr. |w(£)| ^ е, е > 0 - некоторое фиксированное число. Система (1) обладает свойством локальной управляемости
показателей Ляпунова, если существует 8 > 0 такое, что для любого вектора /г = (fi\,-/¿п), |/х| ^ 6,
найдется допустимое управление u^(t), t G R, обеспечивающее равенства ЛДЛ, и^) = Aj(.4,0) + /¿¿, г = 1,... ,п; здесь Xi(A. u^) - показатели Ляпунова системы (1) с управлением и = u^(t).
452
Теорема 1. Пусть система (1) равномерно согласованна. Тогда существует S > 0 такое, что для любой измеримой матричной функции |Р(£)| ^ S, t € R, найдется допустимое управление и = u(t), при котором система (1) асимптотически эквивалентна системе у = (Ao(i) + P{t))y.
Теорема 2. Пусть система (1) равномерно согласованна. Предположим, что выполнено хотя бы одно из условий:
a) система
х = A0(t)x (2)
правильная;
b) система (2) диагонализируемая;
c) показатели Ляпунова системы (2) устойчивы.
Тогда система (1) обладает свойством локальной управляемости показателей Ляпунова.
В условиях равномерной согласованности система (1) обладает также свойством локальной управляемости центральных и особых показателей и свойством достижимости центральных показателей.
Предположим, что функция t —> A(t) ограничена и равномерно непрерывна на R. Построим динамическую систему сдвигов (ЩА),/1) в топологии равномерной сходимости на отрезках.
Теорема 3. Пусть функция t -» A(t) рекуррентна и система (1) согласованна. Тогда существует допустимое управление, при котором для почти всех А € V,(A) (относительно любой инвариантной вероятностной меры на 1Z{A)) система (1) является правильной и обладает свойством локальной управляемости показателей Ляпунова.
ЛИТЕРАТУРА
1. Попова С.Н., Тонкое Е.Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. I // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 10. С. 1687-1696.
2. Попова С.Н., Тонкое Е.Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. II // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. № И. С. 1949-1957.
3. Попова С.Н., Тонкое Е.Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. III // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 2. С. 228-238.
4. Попова С.П., Тонкое Е.Л. К вопросу о равномерной согласованности линейных систем // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 4. С. 723-724.
5. Попова С.Н., Тонкое Е.Л. Равномерная управляемость показателей Ляпунова // Успехи матем. наук. 1995. Т. 50. Вып. 4 (302). С. 108-109.
6. Тонкое Е.Л. Задачи управления показателями Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. .М’г 10. С. 1682-1686.
7. Попова С.Н., Тонкое Е.Л. Согласованные системы и управление показателями Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. N°. 2. С. 226-235.
8. Макаров Е.К., Попова С.Н. О достаточных условиях локальной управляемости характеристических показателей Ляпунова двумерных систем с кратными показателями // Сб. статей, поев. 60-летию со дня рождения проф. В.Г. Спринджука. 1997. С. 75-77.
9. Макаров Е.К., Попова С.Н. О локальной управляемости характеристических показателей Ляпунова системы с некратными показателями // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. №4. С. 495-499.
10. Тонкое Е.Л. Задачи управления показателями Ляпунова // Успехи матем. наук. 1998. Т. 53. Вып. 4 (322) С. 146.
11. Зайцев В.А. Достижимость и локальная управляемость показателей Ляпунова систем со случайными параметрами // Изв. ИМИ (УдГУ). Ижевск. 1998. Вып. 2 (13). С. 71-88.
12. Макаров Е.К., Попова С.Н. К методу поворотов для линейных управляемых систем // Доклады НАН Беларуси. 1998. Т. 42. X» 6. С. 13-16.
13. Макаров Е.К., Попова С.Н. О глобальной управляемости центральных показателей линейных систем // Изв. вузов. Математика. 1999. № 2 (441). С. 60-67.
14. Zaitsev V.A. On Controllability of Ergodic System Lyapunov Exponents // Nonsmooth and Discontinuous Problems of Control and Optimization / A Proceedeengs volume from the IFAC Workshop (Chelyabinsk, Russia, 17-20 June 1998). 1999. P. 223-226.
15. Макаров Е.К., Попова С.Н. О глобальной управляемости полной совокупности ляпуновских инвариантов двумерных линейных систем // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. №1. С. 97-106.
16. Зайцев В.А., Тонкое E.J1. Достижимость, согласованность и метод поворотов В.М. Миллионшикова // Изв. вузов. Математика. 1999. № 2 (441). С. 45-56.
17. Зайцев В.А. Согласованность и управление показателями Ляпунова // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 1999. Вып. 2 (17). С. 3-40.
18. Зайцев В.А. Об управлении показателями Ляпунова и о А-приводимости // Вестн. Удмурт, ун-та. Ижевск, 2000. № 1. С. 68-77.
19. Тонкое Е. Л. Ляпуновская приводимость линейной системы, стабилизация и управление показателями Изобова // Тр. ИМ НАН Беларуси. Минск, 2000. Т. 4. С. 146-155.
20. Tonkov 3. L. Uniform attainability and Lyapunov reducibility of bilinear control system // TYudy Inst. Mat. i Mekh. Ekaterinburg, 2000. V. 6.
ЭРМИТОВА ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ДВУКРАТНЫМИ УЗЛАМИ
© И.С. Захаров, А.П. Локтионов (Курск)
В технических системах управления, при распознавании образов, при математической обработке информации в линейной аппроксимационной задаче [1] рассматриваем эрмитову интерполяцию двукратными узлами. Функция /(х) задана конечными значениями /(ж*) и /(|)(х¿) в N узлах равномерной сетки
= XI + /г, х £ [а, 6], г = 0,1,..., п., а ^ х0 = 0, хп < 6, (1)
шаг сетки 1г > 0.
Функцию /(х) и ее г-производную /(г)(ж) приближенно восстанавливаем по формулам
Дх) « Я2п+1(х),/М(х) « Я&>+ ,(х) с использованием интерполяционного многочлена степени 2п + 1 в виде линейной комбинации [2]
п 1
^2п + 1{х) =
1=0 j=0
удовлетворяющего на сетке (1) условиям
я2п+1(Ж|) = /Ы,Я2п+1Ы = 1(1)(2г),г =.0,
Сц(х) - многочлены степени 2п + 1.
Нормированные г-производные функции /(х) и интерполяционного многочлена Н2п+¡(я) степени п, передающего в узлах сетки (1) значения /(ж*),
/<,г)(х) = Лг/(г)(х),д^п+1(х) = Агяйм(*),г € (0,1, ...,п) в узле Х3, 5 € (0,1,..., п)
п
НМ2п+1 (*^*) = ^ ] ^^пга4^2п+1 (*^1) "Ь ^Спгвг^2п + 1 >
г=0
г е (0,1,...,2п + 1),5 € (0,1,...,тъ)— (2)
