Глобальная ляпуновская приводимость и равномерная глобальная квазидостижимость линейных управляемых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.926+517.977

ГЛОБАЛЬНАЯ ЛЯПУНОВСКАЯ ПРИВОДИМОСТЬ И РАВНОМЕРНАЯ ГЛОБАЛЬНАЯ КВАЗИДОСТИЖИМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

© И.В. Инц, А.А. Козлов

Ключевые слова: глобальная ляпуновская приводимость; равномерная полная управляемость; равномерная глобальная достижимость; равномерная глобальная квазидостижимость.

В работе рассмотрена линейная управляемая система с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами. Для неё введено понятие равномерной глобальной квазидостижимости и установлено, что наличие свойства равномерной глобальной квазидостижимости двумерной рассматриваемой системы является достаточным условием для её глобальной ляпуновской приводимости.

Пусть дана линейная нестационарная управляемая система

X = A(t)x + B(t)u, x € Rn, u € Rm, t ^ 0, (1)

в которой матрицы-функции A(-) и B(-) являются локально интегрируемыми и интегрально ограниченными [1, с. 252]. Если управление u задано по принципу линейной обратной связи u = U(t)x, где (m х n) -матрица U предполагается измеримой и ограниченной, то система (1) переходит в однородную систему с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами

X = (A(t) + B(t)U(t))x, х € Rn, t ^ 0. (2)

Наряду с системой (2) рассмотрим также произвольную систему

z = D(t)z, z € Rn, t ^ 0, (3)

с измеримой и интегрально ограниченной матрицей коэффициентов D.

Задача о глобальной ляпуновской приводимости [2, с. 259] линейной системы (2) заключается в нахождении для системы (1) такого измеримого и ограниченного управления, при котором система (2) с этим управлением будет асимптотически эквивалентна (кинематически подобна) [2, с. 56-57] системе (3). Это значает [2, с. 57-58], что будет существовать такое линейное преобразование х = L(t)z, связывающее системы (2) и (3), где матрица L(t) (матрица Ляпунова) для всякого t ^ 0 обратима, кусочно непрерывно дифференцируема, и для неё имеет место неравенство

sup ||L(t)|| + sup ||L(t)|| + sup 11L 1 (t)|| < 0 0 0

Здесь || ■ || — спектральная (операторная) норма матриц [3, c. 355], то есть матричная норма, индуцированная евклидовой нормой в Rn.

Е.Л. Тонковым было предложено изучать вопрос о наличии свойства глобальной ляпуновской приводимости у системы (2) в предположении равномерной полной управляемости системы (1).

Определение! [4, 5] Система (1) называется равномерно вполне управляемой, если существуют такие числа а > 0 и y > 0, что при любых to ^ 0 и хо € Rn на отрезке

[¿о,£о + 0] найдется измеримое и ограниченное управление и, при всех £ € [¿о, ¿о + 0] удовлетворяющее неравенству ||и(£)|| ^ 7||жо|| и переводящее вектор начального состояния ж(£о) = хо системы (1) в ноль на этом отрезке.

На основании предложенного подхода Е.К. Макаровым и С.Н. Поповой в 1999 году была доказана [6] глобальная ляпуновская приводимость двумерной системы (2) с кусочно-непрерывными и ограниченными коэффициентами в случае кусочной равномерной непрерывности матрицы В. Позже на основании работы [6] С.Н. Поповой показано [7], что для п -мерной периодической системы (1) равномерная полная управляемость является достаточным условием глобальной ляпуновской приводимости соответствующей однородной системы (2).

Необходимо отметить, что указанные выше результаты получены для систем, у которых матрица В обладает свойством кусочной равномерной непрерывности (такие системы можно назвать медленно изменяющимися). В случае же отказа от наличия такого свойства, то есть при рассмотрении систем (1) с кусочно-непрерывными и ограниченными либо с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами, методы, созданные для медленно изменяющихся систем, оказываются неприменимыми [2, с. 346], и вопрос о глобальной ляпуновской приводимости систем (1) остаётся открытым.

Определение2. [8] Для произвольного г ^ 1 обозначим множество матриц

С(г) := (Я € Мп : det Я ^ 1/г, ||Я|| < г}.

Система (2) называется равномерно глобально достижимой, если для некоторого Т > 0 при любом г ^ 1 существует такое число й = й(г) > 0, что для всякой матрицы Н € € С(г) и произвольного ¿о ^ 0 на отрезке [£о, ¿о + Т] найдётся такое кусочно-непрерывное и ограниченное управление и, удовлетворяющее условию ||и|| ^ й для всех £ € [£о, ¿о + + Т], при котором для матрицы Коши Хи(£,«), ^ 0, системы (2) с этим управлением обеспечивается равенство Хи (¿о + Т, ¿о) = Н.

Известно [8], что наличие у системы (2) свойства равномерной глобальной достижимости является достаточным условием её глобальной ляпуновской приводимости. В данной работе нами установлено, что для двумерных систем с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами достаточным условием глобальной ляпуновской приводимости является более слабое, по сравнению с понятием равномерной глобальной достижимости, условие — наличие у системы (2) свойства равномерной глобальной квазидостижимости.

ОпределениеЗ. Для произвольного г ^ 1 обозначим множество верхнетреугольных матриц с положительными диагональными элементами

Сд(г) := (Я € Мп : det Я ^ 1/г, ||Я|| < г}.

Система (2) обладает свойством равномерной глобальной квазидостижимости, если для некоторого Т > 0 при любых г ^ 1 и ¿о ^ 0 для всякой матрицы Я € Сд(г) на отрезке [¿о, ¿о+Т] найдутся такое число й = й(г) > 0 , ортогональная матрица ^ € Мп и измеримое и ограниченное управление и, удовлетворяющее условию ||и|| ^ й для всех t € [¿о, ¿о + + Т], при котором для матрицы Коши Хи(¿,8), ¿,8 ^ 0, системы (2) с этим управлением обеспечивается равенство Хи(¿о + Т,¿о) = X(¿о + Т,-1, где X(¿,8), ¿,8 ^ 0 — матрица Коши системы (2) с нулевым управлением.

Имеет место

Теорема 1. Пусть п = 2 и т € (1,2}. Если система (2) равномерно глобально квазидостижима, то она глобально ляпуновски приводима.

Связь свойства равномерной полной управляемости системы (1) со свойством равномерной глобальной квазидостижимости соответствующей однородной системы (2) устанавливает

Теорема2. Пусть n = 2 и m €{1, 2}. Если система (1) обладает свойством равномерной полной управляемости, то соответствующая однородная система (2) обладает свойством равномерной глобальной квазидостижимости.

Из теорем 1 и 2 очевидным образом вытекает

Следствие 1. Пусть n = 2 и m € {1, 2}. Если система (1) обладает свойством равномерной полной управляемости, то соответствующая однородная система (2) глобально ляпуновски приводима.

ЛИТЕРАТУРА

1. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966.

2. Макаров Е.К., Попова С.Н. Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем. Минск: Беларус. навука, 2012.

3. Хорн Р. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

4. Тонков Е.Л. Критерий равномерной управляемости и стабилизация линейной рекуррентной системы // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 10. С. 1804-1813.

5. Kalman R.E. Contribution to the theory of optimal control // Boletin de la Sosiedad Matematika Mexicana, 1960. V. 5. № 1. P. 102-119.

6. Макаров Е.К., Попова С.Н. О глобальной управляемости полной совокупности ляпуновских инвариантов двумерных линейных систем // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 1. С. 97-106.

7.Попова С.Н. Глобальная управляемость полной совокупности ляпуновских инвариантов периодических систем // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 12. С. 1627-1636.

8. Зайцев В.А. Глобальная достижимость и глобальная ляпуновская приводимость двумерных и трёхмерных линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами // Вестник Удмуртского ун-та. Серия: Математика. 2003. С. 31-62.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом №Ф13М-055 Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований.

Поступила в редакцию 10 июня 2015 г.

Ints I.V., Kozlov A.A. GLOBAL LYAPUNOV REDUCIBILITY AND UNIFORM GLOBAL QUASI-ATTAINABILITY OF LINEAR DIFFERENTIAL SYSTEMS

The paper considers the linear control system with locally integrable and integrally bounded coefficients. For her, we have defined the concept of uniform global quasi-attainability, and found that the presence of property of uniform global quasi-attainability of observe two-dimensional system a sufficient condition for its global Lyapunov reducible.

Key words: global Lyapunov reducibility; uniform global controllability; uniform global attainability; uniform global quasi-attainability.

Инц Ирина Викторовна, Полоцкий государственный университет, г. Новополоцк, Беларусь, аспирант кафедры высшей математики, e-mail: i.ints@mail.ru

Ints Irina Viktorovna, Polotsk State University, Novopolotsk, Belarus, Post-graduate Student of the Higher Mathematics Department, e-mail: i.ints@mail.ru

Козлов Александр Александрович, Полоцкий государственный университет, г. Новополоцк, Беларусь, кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой высшей математики, e-mail: kozlovaa@tut.by

Kozlov Aleksandr Aleksandrovich, Polotsk State University, Novopolotsk, Belarus, Candidate of Physics and Mathematics, the Head of the Higher Mathematics Department, e-mail: kozlovaa@tut.by