Эрмитова интерполяция двукратными узлами Текст научной статьи по специальности «Математика»

15. Макаров Е.К., Попова С.Н. О глобальной управляемости полной совокупности ляпуновских инвариантов двумерных линейных систем // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. №l. С. 97-106.

16. Зайцев В.А., Тонкое Е.Л. Достижимость, согласованность и метод поворотов В.М. Миллионшикова // Изв. вузов. Математика. 1999. № 2 (441). С. 45-56.

17. Зайцев В.А. Согласованность и управление показателями Ляпунова // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 1999. Вып. 2 (17). С. 3-40.

18. Зайцев В.А. Об управлении показателями Ляпунова и о А-приводимости // Вестн. Удмурт, ун-та. Ижевск, 2000. № 1. С. 68-77.

19. Тонкое Е. Л. Ляпуновская приводимость линейной системы, стабилизация и управление показателями Изобова // Тр. ИМ НАН Беларуси. Минск, 2000. Т. 4. С. 146-155.

20. Tonkov 3. L. Uniform attainability and Lyapunov reducibility of bilinear control system // Trudy Inst. Mat. i Mekh. Ekaterinburg, 2000. V. 6.

ЭРМИТОВА ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ДВУКРАТНЫМИ УЗЛАМИ

© И.С. Захаров, А.П. Локтионов (Курск)

В технических системах управления, при распознавании образов, при математической обработке информации в линейной аппроксимапионной задаче [1] рассматриваем эрмитову интерполяцию двукратными узлами. Функция f(x) задана конечными значениями /(я*) и в N узлах

равномерной сетки

Xi+i = it -I- h, x E [a, b], i = 0,1, a ^ xo = 0, xn ^ 6, (1)

шаг сетки h > 0.

Функцию f(x) и ее г-производную fir){x) приближенно восстанавливаем по формулам

f(x) % H2n+l{x)J{r){x) « #2n+l (х) с использованием интерполяционного многочлена степени 2п + 1 в виде линейной комбинации [2]

п 1

Я2п+1(х) = '^2^2cijfb)(xi),

i—0 j= О

удовлетворяющего на сетке (1) условиям

Hin+iixt) = f{xi),H^J+1{xi) = f{l){xi),i=.О, l,...,n,

Cij(x) - многочлены степени 2n + 1.

Нормированные Г-производные функции f(x) И интерполяционного многочлена H-2n + l(x) степени п, передающего в узлах сетки (1) значения /(х*),

/&’(*) = ftr/(r)(*)Xrl„+iM = hrHS+1(x),r е (0,1 в узле xs, s € (0,1,..., n)

n

^N2n+li^s) = ^ > ^HnrsiH2n+l{Xi) + h.CnrsiH.2n + i (^i)j >

г=0

r e (0, l,...,2n + l),s € (0,1,..., n)— (2)

линейная функция от значений #2П+і(яі) и Я^п+іО^*)» а

п

/н\х3) = ^ \нпг8і/(хі) + /гСпГ5І/(1)(жі)

1=0

г 6 (1,2,..., 2п + 1), в € (0,1,..., п)—

также линейная функция от значений /(я*) и /^(я»), если не учитывать погрешность усечения; N = п + 1; действительные четырехиндексные коэффициенты Нпг31 и СПГ31 называем коэффициентами Эрмита. Значение каждого коэффициента Эрмита зависит от указанных первым индексом, уменьшенного на единицу, количества отсчетных точек (1), вторым индексом - порядка производной, третьим индексом - номера точки, в которой вычисляют производную, четвертым индексом -номера отсчетной точки. Знаком ~ (тильда) в индексе указываем на отсутствие зависимости значения данного //-коэффициента от соответствующего параметра интерполяции.

Для коэффициентов Эрмита и производных интерполяционного многочлена Р-2П+\(х) справедливы утверждения 1-4.

Утверждение 1. Производная Р^2п^\{х) представима без погрешности усечения линейной функцией (2) при г = 2п + 1 с коэффициентами Эрмита

Нп2п+1~і- 2[<!(п_4),]2 І**' С'»2"+1~<-

(2га + 1)! [г!(п - г)!]2 ’

Утверждение 2. Производная Р^2п+і(хо) представима (2) при г = 2п, 5 = 0 с коэффициентами Эрмита

Нп2п0і —

(2т.)!

[г!(тг — г)!]2

Сп2п0і — г.

1 — 2(г — п2 — п) ——~

(2 п)\ г!(п — г)!]2

г — к (г — пг — п).

к=о

.2

кфі,

Утверждение 3. Пусть в (2) г £ (2,3,2п),в Є (1,2,...,п). Тогда коэффициенты Эрмита Нпгзі и СПГ8і представимы линейными функциями от значений функции з-7-Г/0 — г)! = г, г +

+ 1,..., 2П+1) с коэффициентами НП]0і для Нпгзі и Сп_,оі для Спгзі

Нг

2п+1 = £

І=г

н

*3~Г

гг^'О і

и - г)'.

2п + 1

3=г

' пі 0 і

(з ~Г)!.

Утверждение 4. Пусть в (2) г Є (2,3,..., 2тг-1). Тогда коэффициенты Эрмита #,ігоі и Спгоі представимы линейными функциями от значений функции V/{])\ и £7-1/С? — 1)!(< = 0.1,...,тп; ^ = = г + 1,г + 2,..., 2/1 + 1) в виде линейных комбинаций

2п+1 т

НпгОі = Нтгоі ^ ^ ^ ^ ,;=г+1 £=0

2п+1 т

СпгОі = С*тг0і — ^ ^ ^ ^

^=г+14=0

где т — [г/2] - целая часть числа г/2.

Доказанные утверждения являются основой разработанного линейного 27?, — г + 2 - шагового метода определения коэффициентов Эрмита и метода численного дифференцирования при эрмитовой интерполяции двукратными узлами с последовательным вычислением производных от высшего порядка, равного степени интерполяционного многочлена, к низшим.

Результаты вычисления некоторых коэффицииентов Эрмита: #25~о = 90; С25~о = 30; Я25~х =

= 0;С25~1 = 120; #25^2 = —90;С25~2 = 30; #2400 = — Ю2;С24оо = ~ 36; .£/2401 = 24;С2401 =

= — 120;Я24О2 = 78;С2402 = —24; #13^0 = 12;С71з^о = 6; Н2300 — 99/2;С2зоо = 39/2; Я2301 =

= — 24;Сгзо1 = 48; Н2302 = ~51/2;С2302 = 15/2; Н2320 — —51/2;С2320 = 15/2; Н2з2\ = 24;С2321 =

= 48; Н2з22 = — 99/2;Сгз22 = 39/2.

Метод обладает высокой эффективностью в задаче вычисления производной высокого порядка (близкого или равного степени интерполяционного многочлена).

ЛИТЕРАТУРА

1. Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. 384 с.

2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.

ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ © Ю.И. Зубко, В.М. Тюрин (Липецк)

Примем следующие обозначения: X гильбертово пространство; Ь2 = Ь2(Яп,Х) - пространство Лебега сильно измеримых (по Бохнеру) функций и : Яп —> X, Нт = Нт(Кп,Ь2) - пространство Соболева (т € 14). Пространства Ь2 и Нт наделены структурой гильбертова пространства обычным образом.

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор

Р = ^ Аа(х)(1а,

\а\^т

где а-мультииндекс, коэффициенты Аа € Ст (Я, ЕпёХ) (ЕпЛХ - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X),

;-|аЫа|

оа =---------------

Оператор Р называется корректным относительно пространств Нт, Ь2, если существует такая постоянная К > 0, что

1М|я- ^ к\\/\\ь,

как только Ри = /, и € #т, / € Ь2.

Обобщенным решением уравнения

Ри = / (/ 6 I2)

называется функция и € Ь2, для которой существуют последовательность функций € Ят, сходящаяся в Ь2 к функции и, и последовательность функций fj 6 Ь2, слабо сходящаяся к функции / в Ь2 на элементах пространства Нт, при этом Puj = fj.

Пусть Р* двойственный (формально сопряженный) оператор к Р.

Теорема. Если оператор Р корректен относительно пространств Нт, Ь2, то уравнение Р*и = / при любом / € Ь2 имеет обобщенное решение и.

Замечание. Корректность линейных дифференциальных операторов введена в [1].

ЛИТЕРАТУРА

1. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1976. Т. 40. № 6. С. 1380-1408.