О ляпуновской приводимости стационарных управляемых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 517.977

© А. Ф. Габдрахимов, В. А. Зайцев О ЛЯПУНОВСКОЙ ПРИВОДИМОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ1

Рассмотрим линейную управляемую систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

х = Ах + Ви, х € Мп, и € Мт, (1)

где А € Мп, В € Мп,т. Пусть управление в системе (1) строится в виде и = и(Ь)х, где

и : М ^ Мт,п — кусочно-непрерывная ограниченная матричная функция. Тогда система (1)

перейдет в однородную систему

х = (А + Ви(Ь)) х, х € Мп (2)

Задача ляпуновской приводимости заключается в следующем: требуется для произвольной (канонической в некотором смысле) системы дифференциальных уравнений

у = С(Ь)у, у € Мп (3)

с ограниченной на М кусочно-непрерывной матрицей С (Ь) построить управление и (Ь) , Ь € М такое, чтобы система (2) с этим управлением была асимптотически эквивалентна системе (3) с заданной матрицей С(Ь), то есть чтобы матрицы А + Ви(Ь) и С(Ь) были кинематически подобны. Асимптотическая эквивалентность систем (2) и (3) означает существование преобразования Ляпунова х = Ь(Ь)у , связывающего эти системы. Величины и свойства, сохраняющиеся под действием ляпуновских преобразований, называются ляпуновскими (асимптотическими) инвариантами. Решения двух асимптотически эквивалентных систем имеют «одинаковое» поведение при Ь ^ , поэтому приводимость к системе определенного вида позволяет вли-

ять на асимптотическое поведение решений системы. Если в качестве С(Ь) брать постоянные матрицы, то это означает приводимость в классическом смысле. Если в качестве С(Ь) брать порождающие матрицы для некоторого обыкновенного дифференциального уравнения, то говорят о приводимости системы (2) к обыкновенному дифференциальному уравнению. Если в качестве системы (3) выбирать систему с отрицательными характеристическими показателями Ляпунова, то из ляпуновской приводимости к системе (3) будет следовать стабилизируемость системы (2), то есть экспоненциальная устойчивость всех решений системы (2). В качестве допустимых управлений также можно выбирать различные классы управлений, например, постоянные, или кусочно-постоянные, или периодические и т.п. Тогда говорят о ляпуновской приводимости в соответствующем классе управлений.

Здесь рассмотрены случаи п = 2, 3, 4 .

Теорема 1 [1]. Пусть п = 2 и пусть система (1) вполне управляема. Тогда для любой системы (3) найдется кусочно-постоянное периодическое управление и = и(Ь), при котором система (2) асимптотически эквивалентна системе с заданной матрицей С(Ь). Если матрица С (Ь) постоянна, то есть С (Ь) = С, то управление и можно выбрать постоянным.

Теорема2[1]. Пусть п = 3 и пусть система (1) вполне управляема. Тогда для любой системы (3) найдется кусочно-постоянное периодическое управление и = и(Ь), при котором система (2) асимптотически эквивалентна системе с заданной матрицей С(Ь).

хРабота второго автора выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 06-01-00258).

Предположим теперь, что система (3) стационарная, то есть С(Ь) = С.

Т еорема 3 [1]. Пусть п = 3 и пусть система (1) вполне управляема. Тогда для любой матрицы С найдется управление и, при котором матрицы А + Ви(Ь) и С кинематически подобны. Причем, если матрица С имеет элементарные делители (X — а)2, (X — а), то управление и = и(Ь) можно выбрать кусочно-постоянным, периодическим с любым наперед заданным периодом § > 0 с тремя переключениями на от/резках длины §; в других случаях управление можно выбрать постоянным.

Теорема 4 [2]. Пусть п = 4 и пусть система (1) вполне управляема. Тогда для любой матрицы С найдется управление и, при котором матрицы А + Ви(Ь) и С кинематически подобны. Причем: а) если матрица С имеет элементарные делители (X — а)3, (X — а), то управление и = и(Ь) можно выбрать кусочно-постоянным, периодическим с любым наперед заданным периодом § > 0 с тремя переключениями на от/резках длины §; б) если матрица С имеет элементарные делители (X — а)2, (X — а), (X — Ь), Ь = а, то управление и = и(Ь) можно выбрать кусочно-постоянным, периодическим с любым наперед заданным периодом § > 0 с четырьмя переключениями на от/резках длины §; в других случаях управление можно выбрать постоянным.

Замечание 1. Построенное во всех теоремах управление и = и (Ь) обладает свойством «локальной ограниченности» относительно С(Ь) в следующем смысле: для любого N > 0 существует I = 1(Ы) такое, что для любой матрицы С(Ь), удовлетворяющей неравенству |С(Ь)| ^ N, Ь € М, кусочно-постоянное управление и(Ь), обеспечивающее кинематическое подобие матриц А + Ви(Ь) и С(Ь), будет удовлетворять неравенству | и(Ь)| ^ I, Ь € М.

Список литературы

1. Зайцев В. А. Глобальная достижимость и глобальная ляпуновская приводимость двумерных и трехмерных линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами // Вестник Удмуртского университета. Математика. Ижевск, 2003. С. 31-62.

2. Габдрахимов А. Ф., Зайцев В. А. Ляпуновская приводимость четырехмерных линейных стационарных управляемых систем в классе кусочно-постоянных управлений // Вестник Удмуртского университета. Математика. Ижевск, 2006. С. 25-40.

Габдрахимов Александр Фаритович Удмуртский государственный университет

426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1 (корп.4) e-mail: [email protected]

Зайцев Василий Александрович Удмуртский государственный университет

426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1 (корп.4) e-mail: [email protected]