Задачи с быстро осциллирующими данными. Два примера построения асимптотик Текст научной статьи по специальности «Математика»

Динамические системы, 2019, том 9(37), №3, 297-310 УДК 517.957

Задачи с быстро осциллирующими данными. Два примера построения асимптотик

H. С. Ивлева

Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Ростов-на-Дону 344058. E-mail: [email protected]

Аннотация. Для двух конкретных задач с быстро осциллирующими по времени данными — полулинейной параболической системы с двумя пространственными переменными и системы Навье-Стокса, моделирующей течение жидкости в плоском случае, — решается вопрос о построении асимптотических разложений их периодических по времени решений. Обе задачи рассматриваются в бесконечном по времени цилиндре, осью которого служит временная числовая ось, а основанием — двумерный единичный круг. В качестве краевых условий взяты условия Дирихле. В основе построения указанных асимптотичесвких разложений лежат два алгоритма, разработанных, обоснованных и полученных ранее Н.С. Ивлевой и В.Б. Левенштамом (2010, 2015 гг.). Ключевые слова: параболическая система, задача Навье-Стокса, высокочастотные коэффициенты, метод усреднения, асимптотика.

Tasks with fast oscillating data. Two examples of asymtotics construction

N. S. Ivleva

I.1. Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Rostov-on-Don 344058.

Abstract. For two specific problems with rapidly oscillating data in time — the semilinear parabolic system with two spatial variables and the Navier-Stokes system that simulates the fluid flow in the flat case — the question of constructing asymptotic expansions of their time-periodic solutions is solved. Both problems are considered in the cylinder, infinite in time, the axis of which is the temporary numerical axis, and the basis is the two-dimensional unit circle. The Dirichlet conditions are taken as boundary conditions. The construction of these asymptotic expansions is based on two algorithms developed, justified and obtained earlier by N. S. Ivleva and V. B. Levenstam (2010, 2015). Keywords: parabolic system, the Navier-Stokes problem, high-frequency terms, averaging method, asymptotics.

MSC 2010: 35K40, 76E06, 35B10, 58J37, 76D05

1. Введение

В настоящее время список работ, посвященных асимптотическому интегрированию различных задач для дифференциальных уравнений с быстро осцилиру-ющими по времени данными, очень велик. Упомянем лишь некоторые особенно

© Н. С. ИВЛЕВА

близкие к данной статье работы [13, 7, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 14, 5, 3], в которых речь идет о параболических, абстрактных параболических уравнениях и некоторых задачах гидродинамики.

В работе [4] для широкого класса полулинейных параболических систем, содержащих быстро осциллирующие по времени слагаемые, построена полная асимптотика периодического по времени решения.

В работе [15] аналогичный вопрос решен для задачи Навье-Стокса с быстро осциллирующими по времени данными, которая моделирует течение жидкости в плоском случае.

В настоящей статье разработанные в [4, 15] алгоритмы применяются в двух модельных задачах.

2. Параболическая система дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми

В цилиндре Q = П х К = {х2 + х2 < 1} х К рассмотрим задачу о —-периодическом по времени решении системы уравнений

дп1 -\х\ (д2Щ д2щ

dt

i д2п1 д 2пЛ \ dxf dx\ )

+ 2 ) + Щ sin 5wt — 2 sin2 wt + п2 cos 4wt+

,2 2,J V3 \

+ уw(1 — (X2 + x2)) sin 3wt--sinwt

V 6 J

дп2 д2п2 д2п

(2.1)

2 д п2 2 + 2 + п2 cos 5wt — 1 + п1 sin 4wt+

dt dx\ ' dx2 ' 2

+ Vw(1 — (x2 — x2)) ( cos 3wt —cos wt

( 3t ^ Л

co s 3wt--co s wt

6

п\г = 0, (2.2)

где Г = {х2 + ж2 = 1} х К — граница Q, ш — большой параметр, х = (х\, х2). Решения всех задач в данной работе мы понимаем в классическом смысле. Наряду с возмущенной задачей (2.1)-(2.2) рассмотрим усредненную [4]:

/г ч д2Vl д 2Vl ,г, .

(Ьо^ " -Щ + = е 'и1\х21+х22=1 = 0, (2 3)

2 1 2 2 (2.3)

<т \ - д2у2 , дЧ 7

(Ь°Ь)2 = Щ + =0-

Заметим, что вектор-функция

uq(x) =

/ 1 \ 7 +-) *

\ т2/4 — 1/4 }

r = \J x2 + x2

является стационарным решением усредненной задачи (2.3) для системы (2.2). Действительно, в задаче (2.3) перейдем к полярным координатам:

d2vi 1 dvi 1 д2 vi -1 +---1 +---1

дг2 r дг r2 дф2 d2v2 1 dv2 1 д 2v2

dr2 r дг r2 дф2

e, vi\r=i 1 v2\r=l =

= 0, 0.

Г2.1)

(2.4)

Будем предполагать, что дфт = = 0 и пусть дГ без учета граничных условий примет вид:

дтг 1 г

—--+ -тг = е ,

дг г

дт2 , 1

—--+ - т2 = 1.

дг г

Найдем общее решение однородной задачи

wi, dr = W2 .Тогда (2.4)

(2.5)

дv 1

7Т + " v дr r

0.

Имеем:

ln\v\ = -ln\r \ + lnc, ln\v\ = ln—,v = — ,ci E R.

Легко проверить, что частным решением неоднородной задачи (2.5) является вектор-функция

( е* т\

f wPi \

V wp2 )

V

--+ e

r

1r

-r +2 J

Решением (2.5) будет сумма частного решения неоднородной задачи и общего решения однородной:

' -e + er + СЛ

rr

1 + r + С2

r 2 r

,ci2 = const.

Подберем константы сг 2 так, чтобы наше решение было непрерывно диффе-

ренцируемо в нуле:

(W2)

er r 1 --+ e + -

1 r 1

r2r

Таким образом, задача (2.3) имеет стационарное вещественное решение

(

Uo(x) =

\

74 - 1/4 У

i

r

Напомним, что под невырожденностью решения и0(х) подразумевается, что линейная эллиптическая задача

д2и1 д2и1

-- +--- = 0,

дх\ дх\

д 2П2 + =0 (2.6)

дх- дх22

= 1 = 0, и2\^1+х1 = 1 = 0,

имеет только нулевое решение в области {х2 + х2 < 1}. Для задачи (2.6) это известный факт.

Определим теперь три вспомогательные задачи (А1) Задача Дирихле для эллиптической системы вида

Ь0и = 7(х),х Е П, и(х) \ап = 0

где 7 — известная бесконечно дифференцирумая вектор-функция.

Еще две задачи представляют собой задачи об ограниченном на луче р > 0 решении следующих обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром ф Е дП.

(А2) 2

гкт(ф,р) = ^Ф^ + Е (ф,р)вХр,

т(ф, 0) = Wо(ф),

™ \ Р=~ = 0,

(А3) 2

+ Е = 0, ™ \ Р=~ = 0

Здесь к Е Z\{0},Де(Л) < 0, Е — полином по р с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, w0 — бесконечно дифференцируемая функция.

Как известно ([4, теоремы 1,2]), в наших предположениях для задачи (2.1)-(2.2) справедливы следующие утверждения.

1. Найдутся четыре положительных числа [3 > 1, ц,г0 Е (0,1], ш0 таких, что при ш > ш0 в шаре БГ0 пространства См(К, Св(П)) с центром в точке и0 радиуса г0 существует и единственно 1-периодическое по Ь решение иш задачи (2.1)-(2.2). При этом выполнено предельное равенство

Ит \\иш - и0Ио^мое) = 0

2. Это решение является бесконечно гладким.

3. В [4] разработан алгоритм построения полной асимптотики решения иш. Построение частичных сумм этой асимптотики сводится к решению линейных

однозначно разрешимых задач типов (А1), (А2), (А3). Эти частичные суммы к

и, к = 1, 2,..., вещественные и бесконечно гладкие.

В данном разделе мы останавливаемся на построении только и . Отметим сразу, что в [4] доказана, в частности, следующая оценка.

4. Найдется такое положительное число что при — > для всякого целого к > 0 справедливо неравенство

пш- п

и k < с(к)ш 2 , c(k) = const > 0. (2.7)

Ck' 2

Асимптотическое разложение будем строить, следуя [4].

Для построения асимптотики решения задачи (2.1)-(2.2) введем в замыкании Пп пограничной подобласти Пп области П ширины п криволинейную систему координат (в,ф) следующим образом.

Определим отображение дП х [0, п] ^ Пп, 0 < п < 1, где дП — граница области П, т.е. круг: [х1 + х2 = 1}, по закону (в,ф) ^ ф + ифв. Здесь ф — точка на дП, имеющая местную координату ф, а пф — вектор внутренней нормали к дП в точке ф.

Согласно методу пограничного слоя [2], введем новую независимую переменную р = ^/—в, в < п, выразим производные по х\,х2 через производные по р,ф и разложим коэффициенты в полученных равенствах по степеням —-1/2:

д дв д + дф д ^щ— дв д + дф д

дхз дхз дв дхз дф дх^ др дх^ дф

ds ds

dx\ д[(1 — s) cos ф]

дф sin ф

ds

ds

= — cos ф,

dx2 d [(1 — s) sin ф]

sln ф,

dx

1

ф

dx2

1—s

cos ф

1- s

— sin ф(1 + pj\fü + p2/ш + ... ), cos ф(1 + р/л/ш + p2/ш + ... ).

Таким образом,

д

dx\ д

dx2.

г~ д д .

— уш— cos ф — -7— sгnф(1 +

л дф ,

— y/u—sm^ + — cos ф(1 +

р ф

ш + р2/ш + ...), ш + р2/ш + ...).

Отсюда

-\x\

д2 д2

+

-{1-р/у/ш)

д2 д2

+

дх2 дх2

дх2 дх2

( д 2 2 ГNo к

= е-1(1 + р/^ + р2/(2и) + ... ) ( и— + х 0 + ^ 2Мг'3'кР Ф) +

\ г i Lk_n

i , j=1 Lk=0

^0 + 1

+ и 2 Mi j,No+1 (Р, ф, S)

(2.8)

где Ыгк, <2, 0<к<Ы0 — дифференциальные выражения относительно р, ф,

коэффициенты которых являются полиномами по р.

Асимптотическое разложение решения пш(х,г) задачи (2.1)-(2.2) строим в виде ряда

п(х, ¿) ~ по(х) +^ ш 2 (пк (х) + ^к(х,т) + + гк(р,ф,г)), т = шг, (2.9)

к=1

где коэффициенты Ук(х, т) и ^к(р,ф,т) являются 2-^-периодическими с нулевыми средними по т, пк(х),ьк(х,т) — регулярные слагаемые, а к(р,ф),гк(р,ф,т) — погранслойные. Следуя [2], мы полагаем, что все погранслойные функции обращаются в ноль вне погранполосы, а в ней умножены на следующую срезающую функцию V(х) € С^(П) такую, что

V (х)

Ю:

1, 0 < r < n/3,

0,х € П \ П2п/з-Подставив ряд (2.9) в исходное уравнение, получим:

^ 2-к д(Ук1 (х,т) + Хк1 (р,Ф,т)) 2 -

-\x\

k=1

д2 д2

+

дт

«01(х) + £ и 2 (ик1(х) + Ук1(х,т)) к=1

дх\ дх2

™ к ( д2 + и-2 e-1 (1 + р/л/й + р2/(2и) +----х ^и— (Wk1 (р, ф) + ^к1(р,ф,т)) +

i j=1

Mi j, 0 (Wk1 (р, ф) + 2к1(р, ф, т)) + -1= Mi j 1^к1(р, ф) + ^(р, ф,т)) + . . .

и

)

+

/3

2 2 I— / /2 2 \ \ / "V 3

+Ui sin 5иЬ — 2 sin иЬ + u2 cos 4иЬ + у и(1 — х + х^) sin 3иЬ--sin иЬ

6

s

)

^ 2-k )+ Zk2(p, ф, Т)) 2 -

k=i

Т

(2.10)

2 2

+

дxl д%\

U02(x) + J^ ш 2 (Uk2(x) + Vk2 (x,T)) k=l

+

+ £

i ,j=i

+ £ ш 2 (^2(р,ф)+ Zk2(P^,T)) +

k=l ^ P

1

Mi j ,o(Wk2(p, ф) + Zk2(p, ф, т)) + Mi j i (Wk2 (p, ф) + Zk2(p, ф, Т)) +

ш

c

л/3

+U2 cos 5wt — 1 + ul sin 4wt + -\/ш(1 — (x-y + x^) cos 3шt--— cos шt

Uo (x) + Y,'к=1 ш 2 (Uk (x) + Vk(x, Т) + Wk (p, ф) + Zk (p, ф, Т)) = 0, x2 + x22 = 1 .

)

+

(2.11)

Сначала найдем регулярные коэффициенты. Приравняем их при степени — 2

DVll(x,T) 2 , 2^ I -о , V73 . -д- = (1 — (xl + x2)) ( sin ¿wt--— sin шt

дVl2(x,Т )

Т

si

6

л/3

(1 — (x2 + x22)) ( cos ¿шt —-— cos шt

1 2 6

(Vl) = 0.

Отсюда

V1=

(1 — (x2 + x2)) (—cofut + V3c6os)

(Л irr-2 I ™2\\ I sin3ut \/3sinut \ (1 — (xl + x2)^-3---6-)

Соберем коэффициенты при степени ш0 в (2.10 дУ21

Т

3-М

c2uoi + c2uoi

( x2 x22

V3

s

+ u^ sin 5шt — 1 + sin 2шt + U02 cos 4wt+

,

+ (u11 + vn) ( sin ¿шt--— sinшt

C>v22 д2Щ2 . ^u02 . 2 K , 1 , • л . , "д— = qx\ + дх2 + u02 cos 5шt — 1 + Uoi sin 4шt+

+ (ul2 + vl2) ^cos ¿шt —^ cos шt ) .

V3

t

(2.12)

(2.13)

Применим к уравнениям (2.13) операцию усреднения по т :

-1 = 0,

e—xl

д2П01 + ß2Uoi

dxf dx\ д2 uo2 + д 2uQI i = o

dxf dx2

Вычтем из (2.13) уравнения (2.14) и упростим полученную систему:

dv21 2 / V - .

— u01 sin 5ut + sin 2ut + uQ2 cos 4ut + uf1 ( sin 3ut--— sin ut | +

(2.14)

дт —------- — — . 6

(• 3 t ^ • Л

s in 3o; t--s in ot

V 6 )

2 2\\ I s in 6ot л/3sin 4ot л/3sinot s in 2ot\

+(i - (x, + ^ ^ — + 9 + — —J

6 9 18 24

< V21 >= 0,

~V"" = uQ2 cos 5u t + uQ1 sin 4u t + u12 ( cos 3 ut — cos tut) + дт 6

. . 2 2.. I sin 6ut v/3sin4ut v^sin ut sin2ut\

+(1 — (X + x2))(—---9---~+ —) •

< V22 >= 0.

Усредненная задача (уравнения (2.14) вместе с соответствующими граничными условиями uQ|x2+x2=1 = 0) есть задача (2.3), которая имеет невырожденное стационарное решение uQ. Подставим это решение в (2.12), ищем vf.

Приравняем коэффициенты при u- 2, учтя последнее представление v2 и полученное далее погранслойное слагаемое wf = 0 :

d2uii i d2uii _ n I _ n

~dxf + -dxf — 0 Unlx?+x2=1 — 0

d2«i2 i d2ui2 — o u I — о ~&xi + — 0 Ul2lx2+x2=1 — 0

Отсюда находим uf = 0.

Перейдем к определению погранслойных коэффициентов. При u 2

dzi ( е-1 0 \ д2zi(p, ф,т)

11 —( e-1 0 \ т V 0 Ч

дт \ 0 1 ) др2

Zllx2+x2 = 1 — -Wllx1+x2 = 1 , zl\p=^ — Т.К. W1\x2+x2 = 1 — 0 ТО z1 —

д 2Ш1(р,ф,т )

др2

0,

wi\p=

р=ж

0.

Получаем: w\ = 0. Таким образом,

(x,t)

l - es

+ eM ds

+

V \r2/4 - l/4] )

(l - (x? + x2))

(l - (x? + x2?))

cos3wt \/3coswt 3 + 6

sin3wt \/3sinwt

2

w —oo,

6

+ 0(w-1)

равномерно относительно (x,t) E Q.

3. Задача о течении жидкости в высокочастотном силовом поле

В цилиндре Q = П х М. = [х2 + у2 < 1} х К рассмотрим задачу о

--периодическом по времени решении системы уравнений Навье-Стокса

ш

dv . .

—--uAv + (v, V)v + Vp

t

divv = 0,

v\r = 0,

w

( (l - (x2 + y2))y \ V (l - (x2 + y2))(-x) )S1

sin wt + b(x, y),

(3.1)

где Г = [x2 + y2 = 1}x R — граница Q, ш — большой параметр. Здесь b(x,y) = — vAa(x,y) + (a(x,y), V)a(x,y), где a(x,y) — какая-либо бесконечно дифференцируемая вектор-функция, которая обращается в ноль на границе дП, со-леноидальная, т.е. diva = 0. Таких вектор-функций a, как известно, бесконечно много (см., например, [6]). Решение задачи (3.1) понимается в классическом смысле.

Ниже будет построена соответствующая (3.1) усредненная задача (см. [15]) и найдено некоторое ее стационарное невырожденное решение (uo,po). При этом для задачи (3.1) в окрестности этого решения выполняются все условия теоремы 1 работы [15], где рассмотрен широкий класс уравнений Навье-Стокса. Из этой теоремы следует, что в некоторой опрестности (u0,Po) существует и единственно 2-^/ш-периодическое по времени решение задачи (3.1). Кроме того, в [15] разработан алгоритм построения полной асимптотики решения.

В данной работе асимптотика решения будет построена для задачи (3.1) в окрестности найденного ранее решения (п0,Ро).

1

Для построения асимптотики решения задачи (3.1) (см. [15]) введем криволинейную систему координат (ф, т) точно так же, как мы это делали в предыдущем параграфе.

Снова введем переменную р = \[шт} т < п < 1. Следуя [15], решение (3.1) будем разыскивать в следующем виде:

те

ь(х, у,г) ш-к/2 [ик(х, У) + Ук(х, У, т) + Шк(ф, р) + гк(ф, Р, т)] ' к=0

те те

р(х,у,г) ^ ш-к/2рк(х,у) + £ ш(-к+2)/2вк(х,у,т)+ (3

к=0 к=0 ( . ) тете

+ ^ ш-к/2Нк(ф, р) + ^ ш(-к+1)/2дк(ф, р, т), к=2 к=1 т = шг,

где ик,ьк,рк и зк — регулярные слагаемые, а ,хк,Нк и дк — погранслойные.

Для (х,у) Е через ^(^(х,у),з = 1, 2, будем обозначать компоненты произвольного вектора ь(х, у) Е К2 в криволинейных координатах (ф, т). Найдем первые погранслойные быстро осциллирующие слагаемые. Подставим решение, представленное в виде (3.2), в систему (3.1), найдем [15]:

дх^ д 2^01}

др др ' др2

где верхние индексы указывают криволинейные координаты вектор-функций. Выпишем уравнения для первых регулярных быстро осциллирующих слагаемых:

_ ( (1 - (х2 + у2))у

—и I V7 ( (! - X + y2))y \ ■ +

—--+ VSo = , 2 , 2\\/ \ smut

дт V (1 - (x + y ))(-x) J

divv0 = 0,

,(2)

-z(2)

Или:

IT + Vso =( (1(- /)-x)) Sin divv0 = 0,

(2)

-z(2)

r=1

r=l

( (1 - 0x2 + y2))y ) ПолУчаем, что Vo = - I (1 - (x2 + y2))(-x) ) cos ut, So = 0.

Займемся стационарными задачами для отыскания регулярных коэффициентов:

-vДио + Vpo + (uo, V)uo+ < (vo, V)vo >= b,

0

г

г

йти0 = 0, ио|г = - о1г . Найдем значение выражения < (г0, V)г0 >. Имеем:

< (vo, V)vq >=

v dvoi I v dvoi

o, dvrn i dvo2 VQl~äX + VQ2 "дУ

1 /4(1 - r2)y]2xy + (1 - r2)x((1 - г2) - 2y2) \ _

2 V (1 - г2)у((1 - г2) - 2x2) + [(1 - r2)x]2xy ) _

[(1 - x2 - y2)y]2xy + (1 - x2 - y2)x(1 - x2 - 3y2) (1 - x2 - y2)y(1 - y2 - 3x2) + [(1 - x2 - y2)x]2xy

)

2

y2x 2

x2y

x3y.2 _ y4x _ x + _ x5

x У 2 2 "Г" x 2

yx

_ x4y _ y + _ 21 2 2 + y 2

)

Таким образом, вектор-функция < (г0, У)г0 > имеет потенциал р =

Тогда вектор-функция (и0,р0) =

4

4

x2+y2 | x4+y4

4 + 4

f 2 2 4 2 2 4

п_ x2y2 | x4y2 | x2y4 | п, 2 + 4 + 4 +

x2+y2

12

4 х_±у—+ х +у ^ удовлетворяет нашим требованиям. Перейдем к погранслойным слагаемым:

dz<

(1)

дт

д2^ др2

Откуда zQ1 = 0.

.(1)

dzQ2)

v

(i)

Наконец, =--= 0.

др дт

Отыщем вторые погранслойные слагаемые:

dwf2 dzf2

р

р

0-^ = 0-

Выпишем уравнения для вторых регулярных быстро осциллирующих слагаемых:

^ + V., = 0,

т

¿ггг, = 0,

(2)

z

(2)

Положим v1 = 0, s1 = 0.

2

0

o

г

г

1

г

г

Перейдем к стационарным задачам для отыскания регулярных коэффициентов:

-иАщ + (ио, У)и1 + (и1, У)ио+ < (уо, У)^1 > + < (VI, У)^о > +Ур1 = 0,

¿гьи1 = 0, их|г = —^|г .

Вектор-функция (и1 ,р1) = (0,0) нам подходит. Перейдем к погранслойным слагаемым:

д41} = д!^

дт др2

(1)

v(1)

Откуда zll) = 0. Наконец, -g— =--= 0, = 0.

dp дт dp

Получаем в итоге приближение компоненты v решения:

/ Ч ( (1 - (x2 + y2))y \ -Ь

v(x,y,т) = -( (1 - (x2 + y2))(_Х) J COS ut + a + 0(u u

равномерно относительно (x,y,t) E Q.

Список цитируемых источников

1. Басистая, Д. А, Левенштам, В. Б. Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми. Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств.науки. Механика сплошной среды. Спецвыпуск, 46-48 (2004).

Basistaya, D. A.; Levenshtam, V. B. The asymptotics of solutions of ordinary differential equations with large high frequency terms. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Sev.-Kavk. Reg., Estestv. Nauki 2004, Spec. Iss., 46-48 (2004). (In Russian) Zbl 1072.34009

2. Вишик, М.И., Люстерник, Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. Успехи мат. наук, 12, №5, 3-122 (1957).

Vishik, M.I., Lyusternik, L.A. Regular degeneracy and boundary layer for linear differential equations with a small parameter. Uspekhi matem. nauk 12, No.5, 3-122 (1957). (In Russian)

3. Ивлева, Н.С., Левенштам, В.Б. Асимптотическое интегрирование параболических систем с большими высокочастотными слагаемыми. Мат. форум, 4. Иссл. по мат. анализу, диф. уравн. и их прил. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 63-78 (2010). (Итоги науки. Юг России)

Ivleva, N.S., Levenshtam, V.B. Asymptotic integration of parabolic systems with large high-frequency terms. Mat.forum, 4. Issl. po mat. analizu, dif. uravn. i ikh pril. Vladikavkaz: YUMI VNTS RAN i RSO-A, 63-78 (2010). (In Russian)

0

l

г

г

4. Ивлева, Н.С., Левенштам, В.Б. Асимптотическое интегрирование параболических систем с большим параметром. Известия высших учебных заведений. СевероКавказский регион. Серия: Естественные науки 172, №6, 26-31 (2012).

Ivleva, N.S., Levenshtam, V.B. Asymptotic integration of parabolic systems with a large parameter. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Severo-kavkazskiy region. Seriya: yestestvennyye nauki, 172, No.6, 26-31 (2012). (In Russian)

5. Капикян, А. К., Левенштам, В. Б. Асимптотика периодического решения системы параболических уравнений с большими высокочастотными слагаемыми. Изв. вузов. Сев-Кавк. регион, 2009.

Kapikyan, A. K., Levenshtam, V. B. Asymptotics of the periodic solution of a system of parabolic equations with large high-frequency terms. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Severo-kavkazskiy region, 2009. (In Russian)

6. Ладыженская, О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости (2-е изд.), М: Наука, 1970.

Ladyzhenskaya O. A. Mathematical problems of the dynamics of a viscous incompressible fluid. Moscow: Nauka, 1970. (in Russian)

7. Левенштам, В. Б. Обоснование метода усреднения для задачи конвекции при высокочастотных вибрациях. Сибирский матем. ж. 34, №2, 92-109 (1993).

Levenshtam, V. B. Justification of the averaging method for the convection problem with high-frequency vibrations. Siberian Math. J. 34, No.2, 280-296 (1993). Zbl 0834.35012

8. Левенштам, В. Б. Асимптотическое разложение решения задачи о вибрационной конвекции, ЖВМ и МФ. 40, №9, 1416-1424 (2000).

Levenshtam, V.B. Asymptotic expansion of the solution to the problem of vibrational convection. Comput. Math. Math. Phys. 40, No.9, 1357-1365 (2000). Zbl 0997.76072

9. Левенштам, В.Б. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми. Сиб. матем. журн. 46, №4, 805-821 (2005).

Levenshtam, V.B. Asymptotic integration of parabolic problems with large high-frequency summands. Siberian Math. J. 46, No.4, 637-651 (2005). Zbl 1114.35011

10. Левенштам, В.Б. Обоснование метода усреднения для параболических уравнений, содержащих быстроосциллирующие слагаемые с большими амплитудами. Изв. РАН. Сер. матем. 70, No. 2, 25-56 (2006).

Levenshtam, V. B. Justification of the averaging method for parabolic equations containing rapidly oscillating terms with large amplitudes. Izv. Math. 70, No. 2, 233263 (2006). Zbl 1105.35137

11. Левенштам, В. Б. Некоторые вопросы теории усреднения параболических уравнений с большими высокочастотными слагаемыми. Доклады РАН 411, №3, 302-305 (2006).

Levenshtam, V. B. Some questions of averaging theory for parabolic equations with large high-frequency summands. Dokl. Math. 74, No.3, 827-830 (2006). Zbl 1211.35032

12. Левенштам, В.Б, Хатламаджиян, Г.Л. Распространение теории метода усреднения на дифференциальные уравнения, содержащие быстроосциллирующие слагаемые с

большими амплитудами. Задача о периодических решениях. Изв. вузов. Математика, No.6, 35-47 (2006).

Levenshtam, V. B.; Khatlamadzhiyan, G. L. Extension of the averaging theory to differential equations with large-amplitude rapidly oscillating terms. The problem of periodic solutions. Russ. Math. 50, No.6, 33-45 (2006). Zbl 1180.34042

13. Симоненко, И.Б. Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в поле быстро осциллирующих сил и для других параболических уравнений. Мат.сб. 87, №2, 236-253 (1972).

Simonenko, I.B. A justification of the averaging method for a problem of convection in a field of rapidly oscillating forces and for other parabolic equations. Math. USSR-Sb. 16, No2, 245-263, (1972).

14. Юдович, В.И. Вибродинамика и виброгеометрия механических систем со связями. Успехи механики 4, №3, 26-158 (2006).

Yudovich, V.I. Vibrodynamics and vibrogeometry of mechanical systems with connections. Uspekhi mekhaniki 4, No.3, 26-158 (2006). (In Russian)

15. Ivleva, N.; Levenshtam, V. Asymptotic analysis of the generalized convection problem, Eurasian Math. J. 6, No.1, 41-55 (2015).

Получена 27.09.2019