CC BY
8
Митюков В.В.
Ульяновское высшее авиационное училище гражданской авиации
(институт), программист ОВТИ v.mityukov@gmail.com
Задача уточнения результатов измерений путем согласования с априорными связями
Введение
Измеряемая информация в различных исследовательских задачах представляется в виде числовых рядов в массивах данных, записанных с некоторым шагом дискретизации по времени. Между измеряемыми переменными (числовыми рядами) часто существует априорная избыточность в виде имеющихся связей между ними (уравнений). Эта избыточность может быть использована для уточнения и корректировки измеренных данных, как указывается в работе [3].
Измеренные массивы данных геометрически должны находиться в некотором подмножестве, определяемом связями между имеющимися переменными. Например, множество значений трех переменных при отсутствии связей между ними составляет трехмерное пространство, наличие одной связи определяет уже такое двумерное подмножество как поверхность, а при двух связях одномерную линию пересечения двух поверхностей. Если значения некоторых измерений находятся за пределами подмножества, то перемещение таких точек в сторону этого подмножества, несомненно приблизит их значения к истинным.
Чаще всего связи между рядами переменных бывают представлены в виде алгебраических и дифференциальных уравнений. Последний вид связей требует более подробного рассмотрения. Геометрически общим решением обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка является семейство функций одной переменной. Из этого семейства можно выделить одну из функций у(£) (частное решение), которое определяется как исходящее из некоторой начальной точки уо} (задача Коши), или как удовлетворяющее значениям у, при различных значениях ^, чаще концевых (краевая задача).
Дальнейшее изложение посвящено выявлению дифференциальных связей, присутствующих в математической модели полета некоторого объекта и возможному подходу к разработке алгоритмов согласования измеренных данных с априорными дифференциальными связями.
Моделирование полета
При традиционном математическом моделировании движения некоторого объекта обычно предполагается, что составляющая его система материальных точек представляет собой твердое тело (недеформируемая конструкция). Поскольку расстояния между любыми точками твердого
тела сохраняются неизменными, то движение такой системы материальных точек, сводится к сумме двух движений:
• перемещение центра масс твердого тела (на вектор г)
• вращение точек тела вокруг центра масс (вокруг вектора угловой ориентации ф)
Из теоретической механики известно [1], что в инерциальной (неускоренной) системе отсчета, которая находится в состоянии покоя, или движется равномерно и прямолинейно, уравнения движения твердого тела в векторной форме принимают наиболее простой вид. На практике чаще используются уравнения движения, записанные в проекционной системе координат (СК), которая уже не является инерциальной. Например, в СК, фиксированной относительно твердого тела, уравнение движения центра масс под действием суммарного вектора внешних сил F и уравнение вращения вокруг центра масс под воздействием суммарного момента М, для системы из к материальных точек с массами Ши, скоростями V, на расстояниях ±+Ги от центра масс примут следующий вид:
+ ш X р = F — + ш X Ь = М ( 1 )
йг йг ( )
где Р = ^mk • ^к - вектор количества движения системы точек Ь = ^ хmkVk - вектор момента количества движения ю - вектор скорости вращения системы точек (или СК) Для однозначного определения положения твердого тела, систему динамических уравнений (1) необходимо замкнуть кинематическими уравнениями, связывающими векторы движения V и ю этого тела (или подвижной СК) с векторами гиф его положения относительно инерциальной СК:
^ = V ^Ф = ш ( 2 )
йг йг ^ J
Если воспользоваться сведениями о регламентированных в ГОСТ 20058-80 [2] системах координат, на которые преимущественно проецируются векторные компоненты уравнений движения летательных аппаратов, то в качестве инерциальной системы отсчета следует выбрать систему координат связанную с поверхностью Земли, оси которой фиксированы относительно этой поверхности. Такая система отсчета участвует в суточном вращении Земли вокруг своей оси и в годовом вращении вокруг Солнца. Однако порядок перегрузок, обусловленных влиянием этих вращений, весьма мал, даже для гиперзвукового ВС. В качестве проекционной (неинерциальной), традиционно выбирается связанная СК, неподвижно фиксированная относительно движущегося тела.
Проекциями векторных компонентов уравнений (1) и (2) на оси указанных СК будут являться следующие 12 переменных (придерживаясь в дальнейшем обозначений стандарта ГОСТ 20058-80):
Укх ,Уку ,Ук2 - проекции вектора Vк земной скорости ВС
на оси связанной СК; сох, со у, со г - проекции вектора ю скорости вращения ВС
на оси связанной СК; ь, н, z - проекции вектора г положения ВС
на оси нормальной земной СК; з, у - проекции вектора ф угловой ориентации ВС
на промежуточные оси Векторы р и L желательно определить как усредненные для всей совокупности точек объекта. Можно показать, что исходя из понятия центра масс, определяемого как г = Хтк' Гъ/Хтк и используя фиксированное положение связанной СК, эти векторы приводятся к интегральному для всей недеформируемой системы точек виду [1]:
р = т ■ V L = I • Ш
где т - общая масса системы материальных точек V - вектор абсолютной скорости центра масс I - тензор инерции
Для симметричного по оси Z объекта:
| (у2 + г2)ёт — |ху ■ ёт
т т
— | ух ■ ёт | (х2 + г2)ёт
тт
0 0
( 3 )
Г 1х 1 ху о 1
I = — I ^ ух 1у 0
1 0 0
0
0
| (х 2 + у 2)ёт
Здесь х,у, z - координаты точки dm в связанной СК Внешние силы F и моменты М, составляющие правые части уравнений (5), должны включать в себя как минимум силу тяжести G, силы и моменты от двигателей - Р и Мр, а также от аэродинамического воздействия - RA и М. Чтобы не загромождать выкладки, желательно отдельно выделить силу тяжести, заданную в нормальной СК - G = {0, -тд, 0}, а остальные внешние силы и моменты представить в общем виде, обозначив их в соответствии с ГОСТ 20058-80 как:
R = Р + RA и MR = Мр + М. При переходе к другому базису - новые значения координат вектора выражаются через старые путем их линейного преобразования (отображения). Наиболее приспособленным средством для линейных операций, является аппарат матричного исчисления, в котором наиболее важной является операция умножения матриц.
При выводе рабочих формул преобразований координат [3] необходимо отметить следующие особенности матричных операций:
1. В трехмерном пространстве три координаты (компоненты) х, у, z вектора могут быть представлены в виде матрицы-строки или матрицы-столбца. Линейное преобразование матрицы-столбца
соответствует умножению его справа на матрицу преобразования. Таким образом, матрица каждого последующего преобразования становится левым сомножителем. В случае матрицы-строки производится ее умножение слева уже на транспонированную матрицу преобразования, являющуюся уже правым сомножителем.
2. Неважно, в какой последовательности выполняется произведение матриц, однако важен их порядок в этом произведении. В общем случае произведение АхВ не равно ВхА, вследствие чего важно четко соблюдать очередность выполнения поворотов.
3. Перемещение или поворот системы координат относительно неподвижного объекта эквивалентен переносу или повороту объекта относительно неподвижной СК в обратную сторону.
4. Желательно также выразить векторное произведение двух векторов, например а и Ь, через произведение матриц. Такую матрицу несложно подобрать, исходя из координатного определения векторного произведения:
(
а х Ь =
а
у ь - а • ьу
а • К - а • Ь,
к а • ьу- ау • К у
0 - а, ау ^ ( Ьх '
а, 0 - ах К
- а у ах 0 у V К ;
В результате преобразований и выкладок получена система ОДУ в компактной матричной форме, приведенная к виду, в котором в левых частях находятся только матрицы-столбцы производных: Уравнения поступательного движения центра масс
( dVkx|dt Л Г 0 а, -ау Л к х (
= -а, 0 ах + § •
1 Л V ау -ах 0 у \Ук. у V
( - sinfl - соэ3соэу соэ3эт у
1
+ — •
т
( Яг 1 Я
V Я у
( 4 )
(dL/dt1 ( соэ^ 0 ( соэ3 -эт3 0^ (1 0 0 1 (V1 кх
dH|dt = 0 1 0 эт3 соэ3 0 0 соэу -эту Уку
dZ/dt у ч -эт^ 0 соэ^ у . 0 0 1 у .0 эту соэу у К ]
( 5 )
Уравнения вращения вокруг центра масс
( dаx/dtЛ dаyjdt dа z|dt
(1 X1 у 1 ху }
Л
1у 1ху
1ху 1х
0 0
0 0
{1х1у 1ху}
0 - а, а„
а, 0 - аа
ах 0
( 1х - 1х
у 0
0 I,
1 ( ах 'Мях
ау + Мяу
у а,у .Мя, у
(6 )
dt 1 d3| dt dу I dt
соэ у sin у Л
соэ 3 соэ 3 (ах 1
эт у соэ у • ау
sin 3 соэ у эт 3 sin у {а у
соэ 3 соэ 3 у
I
а
у
1
0
Окончательно полученная система ОДУ имеет инвариантный вид, пригодный для описания баллистики движения любого твердого тела (транспортного средства) в проекциях на связанную систему координат. Различия между ними будут определяться только их массами, моментами инерции и действующими на них силами и моментами. Согласование измерений
Искомым решением матричной системы ОДУ (4) - (7), является одно из его частных решений - вектор-функция y(t) с компонентами [Vx, Vy, VZ, сох, Wy, Wz, L, H, Z, щ, 3, y}, определяемая их начальными значениями при t = to -{Vxo, Vyo, Vzo, Wo, Wo, Wo, Lo, Ho, Zo, щ.. 3o.. yo }. Можно сказать, что 12 дифференциальных связей, наложенных на 13-мерное пространство
(плюс переменная t), определяют в нем одномерное подмножество в виде некоторой линии.
При наличии измерений всех 12 переменных (12 числовых рядов), алгоритм их связывания с 12 уравнениями определялся бы следующим естественным образом. Систему ОДУ 1-го порядка (4) - (7) можно записать в следующем векторном виде:
dy = f(t, y) или y(tk) = yo + 5^f(t- y) dt ( 8 )
где y(tk ) - значения вектор-функции y(t) в точках tk
Измеренные значения вектора yk должны совпадать с полученными путем численного интегрирования - y(tk ) по формуле (8). В общем случае следует проводить интегрирование последовательно, порциями точек tk . (например, воспользовавшись алгоритмом [5]).
Задача подбора (корректирования) значений yk , является прежде всего задачей оптимизации.. В качестве критериев близости уточняемых значений вектора yk к точному решению системы ОДУ - y(tk), могут служить следующие два, применяемых в вычислительной практике:
• метод коллокаций, состоящий в точном выполнении равенства нулю длины вектора невязки Ayk = yk ~y(tk) в точках tк (к = 0, 1, .. m).
• метод наименьших квадратов, вытекающий из условия минимума суммы квадратов всех невязок на заданной системе точек t k (суммы скалярных произведений векторов невязки):
min X (Ayk 'Ayk )
yk k
На практике все обстоит гораздо сложнее. Представления сил и моментов динамических уравнений (их сложность и полнота), включающих в себя как минимум силы и моменты от двигателя и аэродинамического воздействия, зависят от характера решаемой задачи. Построение достаточно полной и адекватной модели сил и моментов - чрезвычайно трудная задача.
Если использовать понятие перегрузки n, которая представляет собой отношение вектора внешних сил к весу объекта
п
mg
отсюда
Г К ^ ГПх ]
КУ = ^ • ПУ
1К2 ) 1 П J
то при наличии ее проекции в перечне измеряемых параметров, уравнения (4) следует привести к виду:
Г > V0 -ау Л кх ( Пх - sin3 >
= - 0 сох +g • пу - cos3cosу ( 9 )
V J ч ®У -ах 0 х У 1Л,, 1 п + COs3sinу J
Из всех полученных матричных уравнении наиболее точными являются кинематические (5) и (7). В уравнениях (4) и (6) изначально заложена неопределенность из-за сложности и громоздкости описания действующих на объект сил и моментов. Поэтому в качестве дифференциальных связей в первую очередь следует задействовать кинематические уравнения (5) и (7), а также (9). От использования матричного уравнения (6), включающего в себя проекции вектора моментов, лучше отказаться.
Кроме того, некоторые из кинематических переменных вообще не измеряются, например, Ь, Н, Z или выражаются опосредствовано через другие параметры (как щ, 3, у).
После решения этих вопросов, рассматриваемый подход к повышению точности оценивания измеренных координат и параметров движения ВС (или другого объекта) может найти применение в следующих задачах:
В задачах инерциальной навигации для уточнения вычисляемых параметров движения объекта в режиме реального времени.
При расследованиях летных происшествий для восстановления и уточнения записанных параметров движения ВС и предполагаемой траектории.
Литература
1. Халфман Р. Динамика: Пер.с англ. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. литер., 1972. -
568с.
2. ГОСТ 20058-80. Динамика летательных аппаратов в атмосфере. Термины, определения и обозначения. - М.: Изд-во стандартов, 1981. - 53 с.
3. Касьянов В.А. Моделирование полета: Монография. -К.: НАУ, 2004.- 400 с.
4. Митюков В.В., Извольский И.В. Методика преобразования координат при моделировании движения твердого тела. // Научно-технический журнал «Автоматизация процессов управления». - Ульяновск : НПО «Марс», 2010. - № 4 (22). - с. 16-21.
5. Митюков В.В. Унифицированный алгоритм дифференцирования и интегрирования дискретных числовых массивов. «Современные информационные технологии и ИТ-образование». Сборник докладов V междунар. научно-практич. конференции: учебно-методическое пособие. Под ред. проф. В.А. Сухомлина. - М.: ИНТУИТ.РУ, 2010. - с. 509-513.
