Математическое описание для процедуры калибровки инерциальной навигационной системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.13

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДЛЯ ПРОЦЕДУРЫ КАЛИБРОВКИ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ

А.Г. Щипицын

Появление этой работы вызвано обстоятельством необходимости решения конкретной задачи калибровки ИНС на движущемся объекте и тем, что ко времени написания данной статьи автор не нашел достаточно полных публикаций, посвященных разработкам математического описания для решения указанной задачи, а в найденных публикациях изложены лишь общие подходы к решению проблем калибровки ИНС.

1. Терминология

Калибровкой инерциальной навигационной системы (ИНС) назовем задачу определения коэффициентов моделей погрешностей ее датчиков поступательного и углового движения. Эти коэффициенты далее будем называть калибровочными коэффициентами (КК).

Датчик поступательного движения - однокомпонентный акселерометр, выходным сигналом которого является проекция вектора кажущегося ускорения (ВКУ) начала связанной с акселерометром системы координат (СК) на его измерительную ось.

Датчик углового движения это:

• однокомпонентный датчик угловой скорости (ДУС), выходным сигналом которого является проекция вектора абсолютной угловой скорости (ВАУС) корпуса ДУС, или

• датчик угла стабилизации трехосного гироскопического стабилизатора (ТГС), физически моделирующего на объекте инерциальную систему отсчета.

2. Постановка задач

На объекте, движущемся произвольным образом в инерциальном пространстве, в разных его местах установлены эталонная ИНС (ЭИНС) и калибруемая ИНС (КИНС). Блок инерциальной информации (БИИ) ЭИНС может быть выполнен в двух вариантах:

• три взаимоортогональных ДУС и три взаи-моортогональных акселерометра, сигналы которых подключены к вычислительному блоку (ВБ), выходными сигналами которого являются три проекции ВКУ начала связанной с БИИ СК и три проекции ВАУС связанной с БИИ СК;

• ТГС, на площадке (внутренней раме) которого установлены три взаимоортогональных акселерометров, сигналы датчиков углов ТГС, сигналы акселерометров подключены к ВБ, выходными сигналами которого являются три угла поворота объекта вокруг осей стабилизации ТГС и три проекции

ВКУ начала связанной с площадкой ТГС СК на оси этой СК.

Имеется следующая априорная информация (АИ):

1. О характеристиках местности: движении Земли в инерциальном пространстве и ее гравитационном поле.

2. О начальных условиях об ориентации, движении и положении объекта.

3. Начала и ориентации осей СК, связанных: с Землей, объектом, с БИИ ЭИНС и с БИИ КИНС, расположенных на объекте.

4. Модель погрешностей датчиков БИИ КИНС, т.е. аналитическая зависимость аддитивных погрешностей их выходных сигналов от кинематических характеристик объекта.

Измеряемая информация (ИИ) - это совокупность выходных сигналов БИИ ЭИНС и КИНС. На объекте имеется бортовой компьютер (БК), входными сигналами которого являются выходные сигналы БИИ ЭИНС и КИНС, а его выходными сигналами являются переменные навигационной информации ЭИНС и КИНС, которые обрабатываются в нем по алгоритму вычисления величин КК.

Задачи заключаются в выполнении математических описаний, позволяющих на основе указанных выше априорной и измеряемой информации:

• определить КК КИНС в течение заданного интервала времени движения объекта;

• проверить правильность определения КК путем подачи на вход алгоритма модели погрешностей БИИ с заданными КК и сравнения с вычисленными КК на выходе этого алгоритма.

3. Принятые допущения

1. Земля имеет сферическую форму с радиусом Я2,

2. Земля имеет только собственное вращение с постоянной по величине и направлению угловой скоростью.

3. Гравитационное поле Земли является сферическим и не изменяется в объеме, занятом объектом.

4. Объект представляет собой абсолютно твердое тело (АТТ).

5. Модель погрешностей датчика БИИ представляет собой сумму произведений постоянных во времени величин на проекции ВКУ на оси связанной с БИИ СК и предполагается, что такой вид модели погрешностей определен путем испытаний до навигации объекта, а неизвестными являются только коэффициенты этой модели - КК.

4. Подходы к решению задач

Математическое описание (МО) для решения первой из поставленных задач выполнено на основе теории инерциальной навигации и заданных априорной и измеряемой информации и включает в себя: составление уравнений функционирования ЭИНС и КИНС; приведение этих уравнений к связанной с объектом СК; составление уравнений относительно абсолютных погрешностей переменных навигационной информации, обусловленных только погрешностями КИНС; составление системы уравнений, связывающих абсолютные погрешности БИИ с погрешностями переменных навигационной информации и вычисление этих величин в заданные моменты времени; составление системы уравнений относительно КК КИНС и решение этих уравнений относительно КК.

МО для решения второй задачи включает в себя МО для решения первой задачи с добавлением к нему блоков:

• моделей сигналов БИИ (А) и БИИ (В);

• моделей погрешностей БИИ КИНС с заданными КК;

• сравнения вычисленных КК с заданными.

5. Математическое описание для решения первой задачи

5.1. Системы координат

Введем следующие СК (изображены на рисунке): 0]1\121з (СЮ) - инерциальная, т.е. неподвижная в инерциальном пространстве;

(СК/) - земная геоцентрическая с началом О/ в центре Земли, осью У3 направленной по вектору

и угловой скорости вращения Земли, осью ^ проходящей через нулевой меридиан; 072{2г2ъ (СКТ) - земная географическая с началом Ог на поверхности Земли, осью 2-1 направленной в зенит, осью 2Х направленной на Восток, (осью 2г направленной на Север); ОуУ1У2У3 (СКУ) - объектная с началом в полюсе (например, в центре масс), осью У1 направленной вдоль в сторону положительного направления движения, ось У2 направленной вбок влево, если смотреть в сторону положительного направления движения, (ось У3 - вверх); о£х£х£х$ (СЮ?) - связанная с БИИ ЭИНС =

БИИ (А); ОвхХ*Хв2Х1 (СКХ°) - связанная с БИИ КИНС =БИИ (В).

5.2. Векторы

Введем векторы (см. рисунок): 0302 - ради-ус-вектор начала СК2 относительно начала СК1; 020у = К - радиус-вектор начала СКУ относительно начала СК2: определяет положение объекта относительно Земли; 0У0£ = ЬА - радиус-вектор начала СКХ1 относительно начала СКУ: определяет положение БИИ (А) относительно объекта;

ОуОх = Ь - радиус-вектор начала СКХ8 относительно начала СКУ. определяет положение БИИ

*

(В) относительно объекта; V-Я - вектор скорости точки О/, Ж = ¥ - вектор ускорения точки Оу; б - вектор гравитационного ускорения любой точки объекта (согласно допущению); I/ - вектор абсолютной угловой скорости Земли; О - вектор абсолютной угловой скорости объекта; в - вектор

абсолютного углового ускорения объекта; 0,2Г -вектор угловой скорости объекта относительно

уу

Земли; е - вектор углового ускорения объекта относительно Земли; J¡, 2{, У{, ХА, X? - орты соответствующих осей СК.

5.3. Углы поворотов и направляющие косинусы

Обозначим углы поворотов введенных СК

друг относительно друга: 0^ , т = 1,3 - углы поворотов СКХ относительно СК/ в последовательности: вокруг оси J3 на угол 0^ = X (долгота места) -* вокруг оси У,1 на угол = ф (широта места) -* вокруг оси на угол = у (в частности, у = 0); указанные последовательности поворотов будем обозначать так:

ег

->444-

о?

*2\2г2ъ\

0^ =Qm, т = 1,3 - углы поворотов СКУ относительно СК2 в последовательности:

2\2\2\ 2\2\21.52—> У{У2УЪ;

углы поворотов СКХ4 относительно СКУ в последовательности:

Я1А=РА, и = 1,3

з1

1112л3

<УВ

эВ

-^->Г]2К,2У32-

Ог

->ХЛАХ^Х^\

Ят = К> « = 1,3 - углы поворотов СКХ!'‘ ОТНО-сительно СКУ в последовательности:

дат

2 т/2

3-*х?х%х1

01° 2“ 2з'я

Введем обозначения для направляющих косинусов (НК):

1. от СК/ к СК2:

г',У = 1,3; 2. от СК2 к СКУ:

Н?Г=2ГУ;, /,у=1,3;

3. от СКУ к СКХ°:

НР=УГХ?, В = А, В; и = 1Д

Использовав указанные последовательности поворотов, составим выражения для НК (1), (2),

(1)

(2)

(3)

Пояснения к математическому описанию для решения задачи: а - системы координат, связанные с Землей, объектом, БИИ (А), БИИ (В), б - ориентация осей связанной с объектом системы координат

(3). Для этого введем обозначения для промежуточных НК, т.е. НК: от начальной СК к СК после 1-го поворота, от СК после 1-го поворота к СК после 2-го поворота, от СК после 2-го поворота к СК после 3-го поворота, т.е. к конечной СК, обозначим их соответственно

С *£, *>,<7,7 = и (4)

а затем вычислим НК от предыдущей СК к последующей по формулам:

9=1 р=1 где /,7 = 1,3;

N = J,Z,Y,XЛ,XB ;

8 = г,У,Хл,Хв.

Заметим, что в общем случае НК являются переменными во времени, поэтому необходимо иметь их производные по времени, которые следует вычислять по формулам:

Ну -

з 3

р=1д=1

где і,] = 1,3 , смысл индексов ІУ, Б указан в (5).

5.4. Векторные уравнения функционирования ЭИНС и КИНС

Для решения поставленной задачи составим уравнения функционирования ЭИНС и КИНС. Эти уравнения являются одинаковыми по структуре, отличие заключается в наличии разных индексов (А или В) у векторов и ортов СК. Поэтому вначале запишем уравнения с применением общего индекса Ц подразумевая под ним индекс А или индекс

В. А когда потребуется разделить эти уравнения, введем разные индексы.

Для описания ориентации объекта на основе информации БИИ (В) введем НК:

СР ¿,7 = 1Д (7)

Применяя операцию абсолютного (обозначено «*») дифференцирования по времени (ДВ) к (7), получаем

(8)

Заметим, что орт вращается в инерциаль-ном пространстве с угловой скоростью V, а орт Xвращается в инерциальном пространстве с

угловой скоростью ОР , поэтому перепишем (8) в виде

сР =(ихЩ.^+¥г(оРхх°у (9)

Абсолютная скорость начала 0% СКХ° определяется выражением (см. рисунок)

V0 = + 0302 +Я + 1Д) . (10)

Абсолютное ускорение начала 0% СКХ° определяется выражением:

*

= (11)

Из кинематики АТТ известно векторное равенство:

¡у° = ЇЇ + гхЬ°+Пхф.хіР). (12)

Имеет место векторное равенство

И^ = А°+3, (13)

которое записано с учетом допущения о гравитационном ускорении и в котором А° - вектор кажущегося ускорения начала 0% СКХ°, проекции которого в СКХ° измеряются акселерометрами БИИ (£)). Реально измеряются проекции векторов є, О ,с помощью БИИ (£>), т.е. следует полагать

г = ъ°, и поэтому векторное равенство (12) следует переписать в виде:

= Ж + е°х1?+П5х(П5х1?). (14)

Подставив (13) в (14), получим выражение для вектора ускорения точки Оу.

Ж = А°+'д-еБх1Р-05х(05х1Р). (15)

Применяя операцию ДВ к (10) и учитывая ограничение по движению Земли в инерциальном пространстве, т.е. что *

0, (16) а также то, что вектор

= (17)

модуль которого является постоянным и равен радиусу Земли, и что этот вектор задан проекциями в СШ, вращающейся в инерциальном пространстве с угловой скоростью и , имеем:

*

Я2=дхЯг, (18)

что вектор Я определен проекциями в СШ и что эти проекции изменяются во времени, имеем:

* •

1 = 1+11x1, (19)

что вектор Ь° , постоянный по модулю, задан проекциями в СКУ, вращающейся в инерциальном пространстве с угловой скоростью О = ОР , имеем:

*

1?=0.°х1? (20)

Подставив (16), (18)—(20) в (10), получим

| ______^ • ___________ |

^ихЛ2 +1+их! + П0х1?, (21)

где символами с точкой • обозначены локальные производные по времени.

Из кинематики АТТ известно равенство

Vе =У + П°х1?, (22)

где V - вектор скорости точки Оу объекта. Сравнивая (21) и (22), приходим к равенству:

____ •

ПхЯ2 + 1+11x1 = ?, (23)

откуда имеем

• ________________.

1 = У-их1-ихЯ2. (24)

Применяя операцию абсолютного ДВ к векторному равенству (22), получаем

* * ____^ ___ ____ ____ ____

V0 = У+г°х1Р+0Рх{0.°х1Р), (25)

где учтено, ЧТО *

£5 = аЪ, (26)

Учитывая, что

*

V = Ш, (27)

и что векторопределен проекциями в СЛ2Г, имеем:

V = V+U xV, перепишем (15) в виде:

• ___. __________ __

V = Ad+G-ÜxV-edxLd-

~J>, ’

(28)

-nvx{nuxLu)

(29)

Следует заметить, что в векторных уравнениях (24), (29) символами К, V обозначены соответственно радиус-вектор точки Оу объекта и вектор скорости этой точки, вычисленные на основе информации, полученной с БИИ (£)). А так как £> = А, В, т.е. введены в рассмотрение разные БИИ,

то символы Я , V в уравнениях (24), (26) следует заменить на символы, которые бы учитывали это различие. Поэтому далее вместо символов Я, V

7D

V , понимая

будем использовать символы Л под ними, что они обозначают соответственно радиус-вектор точки Оу объекта и вектор скорости этой точки, вычисленные на основе информации, полученной с БИИ (О). Следовательно, уравнения (24), (26) перепишем в виде:

Vю = А° +G-UxVzd-eD xlP ■ -Q?x(SlDxLD),

rzd = vZD-UxR20-UxRz. Широта места

Ф = ф0 +arctg-

Ro

(ЗО)

(31)

(32)

R3 + R3

где ф0 =ф(?0), т.е. значение ф в начальный момент времени.

5.5. Скалярные уравнения функционирования ЭИНС и КИНС

Уравнения (9) в скалярной форме имеют вид:

¿f = t(Ü.pCpf +C£X')’ (33)

р=i

где введены обозначения:

3

üi„=Y.eqiP ич;

9=1 3

а°. = Уе • оР

а ¿-I ч‘р ч

1, если ук есть 123, 231, 312; еук = - -1, если ук есть 132, 213, 321;

О в остальных сочетаниях. Если ввести матрицы:

(34)

(35)

(36)

ZD

С

С-

і ZD

113x3

‘Р\\3x3 ’

nD = ||q'd.||

“ ІпНІзхз’

(37)

то скалярные уравнения (33) можно записать в матричной форме:

С20 =иСт +С2г,й°. (38)

Уравнение (30) в скалярной форме имеет вид

^ = сг+£с^-м

-Ъ^Г-ЪГА?, 09)

7=1 М

где введены обозначения:

и ¡к = и У’ (40)

>1 3 3 3

j=lk=l р-1

jiiD _

ЛЧ ~

3 3 3

j=\k=\P=\

(41)

(42)

^ -А^,

Здесь использован символ Кронекера 6СЛИ г = У;

4 [О, если г * у.

Если ввести матрицы С же ввести матрицы

,ZD

Ü из (37), а так-

VZD = К- '

113x1

G = Pi\

¡3x1 ’

(43)

113x1

лЮ

\\АП

13x1

то скалярные уравнения (39) можно записать в матричной форме:

у2° = в + С10 А° -ОУ20- СхоАш. (44)

Уравнения (38) определяют ориентацию БИИ (О) относительно земной СК. В правой части уравнения (38) первое слагаемое учитывает влияние вращения Земли и если пренебречь этим вращением, то оно обращается в нуль. Уравнения (44) определяют движение точки Оу объекта относительно земной СК. В правой части (44): первое слагаемое определяет компоненты вектора гравитационного ускорения точки Оу объекта; второе слагаемое определяет компоненты вектора кажущегося ускорения точки Оу в СК2, полученные на основе информации БИИ (£>); третье слагаемое определяет компоненты ускорения точки Оу объекта в СК2, обусловленные вращением Земли; четвертое слагаемое определяет компоненты векторов в СК2 вращательного (41) и центростремительного (42) ускорений точки О% ■

5.6, К составлению алгоритма для определения КК датчиков углового движения

Предполагаем выполненными допущения, перечисленные в разделе 3, а также будем предполагать выполненными следующие допущения.

1. Априорная информация о характеристиках местности задана абсолютно точно, т.е. проекции

б,-, Уі векторов (?, и заданы без погрешностей.

2. Начальные условия для уравнений (38), (44) заданы абсолютно точно, т.е. компоненты

матриц С7'°, У2° в начальный момент времени

I = ?0 не имеют погрешностей.

3. Априорная информация о параметрах положения и ориентации БИИ (А), БИИ (В) относительно объекта задана абсолютно точно, т.е. проекции ЬА, Ьв векторов ЬА, Ьв и углы ориента-

ции , <2™, а значит, и НК НуА, НуВ не имеют погрешностей.

4. ЭИНС не имеет погрешностей, следова-

тельно,

проекции Аа, Оу, ej векторов

Аа, Ол, гА в СКХ4, полученные на основе информации БИИ (А) являются абсолютно точными, а поэтому проекции Оу, ев в (41), (42) при Б = В для КИНС будем вычислять на основе величин Оу, гА, полученных с помощью БИИ (А) при перепроектировании последних на оси СКХ8, для чего введем проекции 0^А, г?А, которые назовем проекциями векторов О, е на оси СКАполученные на основе проекций О'1, еА этих векторов

скх*.

Определение КК датчиков углового движения БИИ (В) включает в себя следующие операции.

1. Задать 1/у,

АВ

начальные условия для

Ну , Ну , углы ориентации БИИ (А) и БИИ (В) относительно СКУ, вычислить НуА , Нуъ .

2. Измерить А,а, О/, ъа , О*, , вычис-

лить О* , С2к по формулам:

В = А,В;

*=і

вычислить , О*- по формулам: ¡1=1

3. Проинтегрировать системы:

НІ=І(иікНА+НАПА); к=1

Щ =^(йікнїі+н?кЩ)\ к=1

(45)

(46)

(47)

(48)

ДНу = + #|о|-НАПА). (49)

4. Найти компоненты матрицы Ну , обратной для матрицы Ну.

5. Найти АО у по формулам:

АО| ^¿Я°[ДЯ¥-

к=\

Р-1

(50)

6. Вычислить АОв по формулам:

ДО* = ДО32, ДО* = АГ^з, АО| = АО|,.

7. Вычислить ЛО^ по формулам:

АПвк=Ін™А&*, ч=і

и зафиксировать =■ АО.вк (ґ() в моменты вре-

(51)

(52)

мени ?,•, г = 1, Nр .

8. Вычислить а;г по формулам:

=ІН?;А+ЦЦетк1 1^ВН^НРА +

г=1 (=1 >и=!т=1

. (53)

г=1 7=1 т~\

и вычислить ()у по формулам:

Га-і =і;

а-

а+1)

■а?(1,), / = 1,3;

0Й =ав (/,)■ ав&) 0«=ав(Ц)-ав(и) 0,7 = а\ (г;)' аз (*/)

2(8 = а2 ({і)’а2 (О

Яі9 ~ а2 (Ц)'аЪ (г<) 6(10 = аЪ (*і)>

1 = Ц0.

9. Решить систему 3

(54)

YJQijxf=Bfk,i = \,Np,k = \,Ъ, (55)

У=1

т.е. определить искомые КК датчиков углового движения ИНС (В).

5.7. К составлению алгоритма определения КК датчиков поступательного движения

Определение КК датчиков поступательного движения ИНС (В) включает в себя следующие операции.

1. Задать углы ориентации БИИ (А), БИИ (В) относительно объекта и вычислить все компоненты соответствующих матриц НуА , НуВ ,

НВА ; проекции и 1, С7,- векторов 0 , Сг и вычислить 0у; проекции ЬА , ¿f, (ЬВА) векторов £А, Ьв, (1ВА); начальные условия У,А(10), УВ(Ц), Щ(ц), (/0), 5“ (г0).

2. Получить на интервале времени [г0;Г] с БИИ (А) и БИИ (В) величины А? , О? , еа ; Ав .

3. Вычислить Ау'4 по формулам (41), (42); ав - по формуле (53); а1в - по формулам:

7=1 Аг=1 р=1

ВА

(65)

, Ч -1,3, (56)

где , ева вычисляются по формулам:

^=1 н“а$;

7=1

в ВА^НВАгА.

7=1

4. Проинтегрировать системы:

С?4 = V У Ге ■ (7 Си + е • о.Ас?А 1 ■

р=1д=1 р=1?=1

^ = О,+¿с? л‘ - -¿с? л?

7=1 7=1 7=1

У°^±8?Ав-±иуГ*-±5?а

7=1 7=1 7=1

где использовано переобозначение

гв^ьв

7

^=К/20, / = 1,3; Б = А>В; ау1^Рав^с^-^у^-

7=1

где обозначено

АУ; = Ув — УА.

5. Вычислить Я?'в по формулам: *,?'=4 Ъ-^М-СРл'-йцЫ,-

7=1

<?гВ1В , л1*А \ ■ -I о

а, + С» А] J, г = 1,3.

6. Решить систему

(57)

(58)

(59)

(60) (61) (62)

(63)

(64)

£^Л<=^, / = и

7=1

и зафиксировать ААВ (г), ав в моменты времени

Ц, г = 1, N р .

7. Вычислить Од по формулам (54).

8. Решить систему

^ОуХАк = вАк, / = 1,^, * = 1,3, (66)

7=1

т.е. определить искомые КК датчиков поступательного движения ИНС (В).

6. Математическое описание для решения второй задачи

6.1. Модели сигналов БИИ (А), БИИ (В)

Согласно подходу к решению второй задачи необходимо смоделировать сигналы БИИ(А), БИИ (В) и модели погрешностей БИИ (В).

Модели сигналов обоих БИИ определяются на основе равенств:

ПА = П-ХА; гА=ё-ХА;

Аа =Аа-Х,а; П? =а-Х?;

е?

(67)

Ав = АВ-ХВ,

где / = 1,3, О, е, Ал, Ав векторы соответственно абсолютной угловой скорости объекта, абсолютного углового ускорения СКХА, кажущегося

ускорения точек Ох, Ов .

Имеет место векторное равенство

& = и + ®, (68)

где О, со - векторы угловых скоростей соответственно Земли и объекта относительно Земли, которые заданы в СКХ.

(69)

7=1

ш = Хш-2у.

М

Имеет место зависимость

Е = а. (70)

Использовав (68), (69), раскроем абсолютную производную в (70):

£ = ¿<¡>^+¿(£/,.+0»?)^. (71)

7=1 7=1

Так как

2] = и*2], (72)

то (71) с учетом (69) примет вид:

В - і »?г,+£ £ [(с/у+Ш? )£/, ](гк X г,). (Щ

}=1 7=1*=1

Для определения со у составим векторное равенство:

к=1

(74)

Умножая (74) скалярно на и учиты-

вая обозначения (4), получим

(?5)

¿=1

Применив операцию ДВ к (75), получим:

^=¿($4+*“&)• (76)

*=1

Умножив (68), (73) скалярно на орт 2т с учетом символа Леви-Чивита, получим:

=ит+®2т-,

Е» = ® ■ + Е Е^ ^+ ю«)’

(77)

у=1 ¿=1

где - проекции векторов О, є в СК2, т.е.

3

о = Е^4;

ё=Е42т- т=1 (78)

Подставив (78) в выражения для

П?, Оf, є^, г? из (67) с учетом обозначений (7),

получим:

т=1 ьі ^ ьт»

- /и=1 з (79)

^ = ЕВД; /И—1

Б? = У Ч «і «• к т=1

6.2. Модели поступательного движения объекта

Поступательное движение объекта относительно начала СК2 зададим проекциями гк вектора Я в СК2, а значит,

1=^гт2т. (80)

т-\

Применяя операцию ДВ к (80), получим локальную производную

^ = (81)

т-1

Подставив (80), (81) в (23) с учетом того, что векторы € , К2 заданы проекциями в СК2, получим:

Г = * = +ІиА *І(Гк +КЇ )4 (82)

т=1 у=1 к=1

Умножив (82) на вектор 2т скалярно, получим

К„ = гп +ЕЕєуь, и] (гк+Кк\ (83)

7=1 к~\

Применив операцию ДВ к (83) с учетом того, что І]і =0, = 0, получим

з з

К = Гт + Е Е1и/к ■ (84)

7=1*=1

Умножив векторное равенство

*

ЇЇ = Г = Р + ихУ (85)

скалярно на орт 2т с учетом того, что векторы V,

О, V заданы проекциями в СК2, получим

^=^+ЕЕе^Л- (86)

7=1 ¿=1

Вектор Ї? задан проекциями в СКУ, поэтому

£°=Е^. (87)

к=1

Орт Ук связан с ортом 2^ зависимостью

^Е^У' (88)

7=1

Двойное векторное произведение, входящее в (12) можно представить в виде

= (89)

Использовав (87)—(89), перепишем (12) в виде

к-17=1 р-1

<*»

Умножив (90) скалярно на орт 2т и использовав (3), символы Леви-Чивита и Кронекера, перепишем (90):

к=17=1 р=1

4-(Н%Е]Ш-ЕР]Н%)П*П

, П = А,В. (91)

Итак, задавая проекции гк, их первые гк и вторые гк производные по времени и задавая проекции С,-, 111, К? , учитывая, что

Я2 =0, = 0, я1=Кг, (92)

где Я2 - радиус Земли, а затем последовательно применяя формулы (83), (84), (86), алгоритмы вычисления 0.7т , , и (91) на основе равенства

А° -в, £> = А,В (93)

вычисляем модели сигналов акселерометров БИИ (А), БИИ (В) по формулам:

4А = (94)

т=1

4В = Е с™ (IV*-С,„), (95)

т=1

где А,а , А? - проекции векторов Ал , Ав, являющиеся имитационными моделями для а/, а?.

6.3. Модели углового движения объекта

В выражениях (94), (95) использованы НК

С%=Ёт-Х?, (96)

которые должны быть вычислены на основе проекций ик , путем интегрирования уравнений:

7=14=1

*СР,0 = А,В. (97)

В выражениях (91) использованы НК (2), которые должны быть вычислены на основе проекций ик,0.1 путем интегрирования уравнений:

ЙУГ = ££ [%* ик + О?]< . (98)

£=1 т=1

6.4. Модели погрешностей датчиков поступательного и углового движения

Модели погрешностей БИИ (В) по условию задачи имеют вид

Дй? = ^+ £^ + 11^4?; (99)

7=1 у=1 ¿=1

мй=+£#ч*+£ £ *$ччд - (юо)

7=1 7=1 ¿=1

где проекции Ав вектора Ав должны быть вычислены по формулам (95). В зависимостях (99), (100) использован символ «волна» над буквенными символами, указывающий на то, что эти буквенные символы относятся к обозначению величин, являющихся имитационными моделями соответствующих величин, обозначенных без символа«волна», т.е. АС^ , АА? - это обозначения для имитационных моделей соответствующих величин АО? , А4? .

6.5. Начальные условия для ориентации объекта

Для интегрирования уравнений (97), (98) понадобятся начальные условия, т.е. значения НК

Су°, Н2к в начальный момент времени ¡ = Согласно (2) имеет место зависимость:

¿, = £я|% (Ю1)

¿•=1

Подставив (101) в (7) и приписывая символ «волна», получаем:

ЯГ

*=1

или с учетом (2):

¿Г=£я,Гя^, (102)

к=1

где Я™ - это НК от СКУ к СКХ°, являющиеся

постоянными величинами и характеризующие установку БИИ (Б) на объекте, Б = А, В. Таким образом для определения начальных условий для

необходимо задать начальные условия для Я|у, направляющих косинусов Я® и вычислить Су° по формулам (102).

Начальные условия для НК Я,|у - это начальная ориентация объекта (СКУ) относительно Земли (СК2?), которая в общем случае должна быть задана углами:

$?=&(<о)> *=й, (ЮЗ)

где 0Ь 02, бз - соответственно углы крена (поперечной качки), тангажа (продольной качки), курса.

Вычислив по алгоритму НК величины Н2/ для аргументов (103), получим искомые начальные условия.

Заключение

1. Выполнено математическое описание для задачи определения калибровочных коэффициентов моделей погрешностей датчиков углового и поступательного движения калибруемой инерци-альной навигационной системы (ИНС), установленной на движущемся объекте при условии наличия на этом же объекте эталонной ИНС, позволяющее составить алгоритм определения указанных калибровочных коэффициентов на основе:

• известной априорной информации о гравитационном поле и вращении Земли, расположении обеих ИНС на объекте, начальных условий об ориентации, движении и положении объекта;

• измерений сигналов датчиков эталонной и калибруемой ИНС.

2. Выполнено математическое описание для задачи построения имитационной модели определения указанных выше калибровочных коэффициентов, которое включает в себя выполненное по разделу 5 матаматическое описание и совокупность зависимостей, позволяющих на основе информации о кинематических характеристиках объекта определить имитационные модели сигналов

датчиков обеих ИНС и имитационные модели погрешностей калибруемой ИНС.

Литература

1.Лурье А.И. Аналитическая механика. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961. - 824 с.

2.Дмитриев С.П. и др. Информационная надежность, контроль и диагностика навигационных систем. - СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2004. - 208 с.

3.Щипицын А.Г. Обработка информации в инерциальных навигационных системах: монография. - Челябинск: Изд-во ЧГТУ, 1995. - 339 с.

4. Голиков В.П. и др. Алгоритмы калибровки платформенной инерциальной навигационной системы// Гироскопия и навигация. - 2006. - № 4. -

С. 89.

5. Николаев С.Г. Калибровка БИНС с использованием моделей ошибок системы// Гироскопия и навигация. - 2006. -№4.-С. 90-91.