CC BY
58
УДК 159.9
В. В. МИТЮКОВ, А. С. НАЗАРОВ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРОВ, ВХОДЯЩИХ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМОГО ПОЛЁТА
Поставлена задача последовательного усложнения/упрощения уравнений двю/сения воздушного судна для задач моделирования полёта, что предполагает грамотное получение проекций добавляемых/удаляемых векторных компонентов. Исходя из геометрических представлений, обоснована и получена методика преобразования проекций векторов меэ/сду системами координат, регламентированными в ГОСТ 20058-80.
Ключевые слова: инерциальная система отсчёта, система координат, абсолютное движение.
Введение
При математическом моделировании полёта обычно предполагается, что воздушное судно (ВС) представляет собой твёрдое тело (без учёта упругости конструкции). Поскольку расстояния между любыми точками твёрдого тела сохраняются неизменными, то движение такой системы материальных точек сводится к сумме двух движений:
® перемещение центра масс твёрдого тела (на вектор г);
• вращение всех точек тела вокруг центра масс (вектор поворота (р).
Из теоретической механики известно, что в инерциальной системе отсчёта уравнение движения центра масс (1) и уравнение движения вокруг центра масс (2) в векторной форме имеют следующий вид:
¿V
т---к ,
Л
(1)
где V - вектор скорости центра масс ВС; Я суммарный вектор внешних сил.
¿Ь
а
= м
(2)
где Ь - вектор момента количества движения ВС; М - вектор главного момента от внешних сил.
Для ВС в качестве инерциальной системы отсчёта обычно выбирается система координат (СК), связанная с поверхностью земли, оси которой фиксированы относительно этой поверхности и образуют правую систему координат (на
пример, нормальная земная СК). Такая система отсчёта участвует в суточном вращении Земли вокруг своей оси и в годовом вращении вокруг Солнца. Однако порядок перегрузок, обусловленных влиянием этих вращений, весьма мал, даже для гиперзвукового ВС.
На практике чаще используются уравнения движения, записанные в проекционной системе координат, которая уже не будет являться инерциальной.
При рассмотрении нескольких систем координат возникает понятие сложного движения, когда твёрдое тело движется относительно какой-либо системы координат, а та, в свою очередь, движется относительно другой системы отсчёта. Обычно выбирают одну из СК за «абсолютную» (инерциальную), другую называют «подвижной» и вводят следующие термины:
• абсолютное движение - это движение точки/тела в базовой (инерциальной) СК;
• относительное двю/сение - это движение точки/тела относительно подвижной СК;
• переносное движение - это движение второй СК относительно первой.
Уравнения (1), (2) относительно подвижной проекционной СК примут следующий вид:
с1 V
т •(——нсох\/)=К 5
(3)
ж
(1 ь
ж
со х Ь = М »
(4)
Митюков В. В., Назаров А. С., 2010
где со - вектор скорости вращения проекционной СК относительно инерциальной.
Полученные динамические уравнения необходимо дополнить кинематическими уравнениями, которые определяют значения векгоров V и оз.
dx_ dl
d ф ~dT
= V ,
(5)
-= 00
(6)
В общем случае динамика управляемого движения самолёта в атмосфере Земли может быть описана двенадцатью дифференциальными уравнениями. Первые шесть соответствуют уравнениям сил и моментов в проекциях на оси проекционной системы координат, а шесть остальных - кинематическим уравнениям в проекциях на оси той же системы координат.
В СК, жёстко связанной с движущимся телом, тензор момента инерции уже не зависит от времени (если не учитывать влияние расходования топлива), поэтому такая СК чаще выбирается в качестве проекционной. В проекциях уравнений (3), (4), (5), (6) на оси связанной СК принято использовать следующие 12 переменных:
Ух>Уу,Ух ~ проекции вектора земной
скорости Ук на оси связанной СК;
со л- > % 5 со г ~ проекции вектора скорости
вращения со на оси связанной СК;
Ц Н9 2 - удаление, высота и боковое отклонение ВС (относительно земной СК);
У ~ Угол рыскания, тангаэюа и крена
(вокруг промежуточных осей СК).
Включенные в эти уравнения векторы обычно представлены в различных СК, и их требуется приводить к проекционной СК. Например, вектор перемещения (г) и вектор силы тяжести (в) ориентированы относительно поверхности земли; вектор тяги двигателя (Р) задаётся относительно связанной СК; аэродинамические силы -в полусвязанной СК.
Взаимосвязь систем координат, связанных с поверхностью земли и воздушным судом
Системы координат, связанные с поверхностью земли и с воздушным судном, регламентируемы согласно [1]. В соответствии с [1] взаимосвязь основных систем координат может быть представлена в виде схемы, показанной на рис. 1.
Нормальная земная С К OgXgYgZg
LH
Нормальная
СК OXgYgZg
4/ S
Связанная СК OXYZ
¥ а
Траекторная Скоростная
СК СК
О Xk Y к Zk О Ха Y a Za
Рис. 1. Основные системы координат в ГОСТ 20058-80 и связи между ними
Положение этих СК относительно друг друга характеризуется следующими параметрами:
Л - удаление центра масс ВС вдоль земной поверхности (координата Ag);
H - высота центра масс ВС над земной поверхностью (коордииата Yg);
Z - боковое отклонение центра масс ВС (координата Zg);
\|/ - угол рыскания (соответствует повороту связанной СК, совмещённой с нормальной СК, вокруг оси Y (оси Yg));
& - угол тангажа (соответствует повороту вокруг оси Z, повёрнутой на угол v|/);
у — угол крена (соответствует повороту вокруг оси X, повёрнутой на углы ц/ и
¥ - угол пути (поворот траекторной СК, совмещённой с нормальной СК, вокруг оси Yk);
0- угол наклона траектории (поворот вокруг оси Z/c, повёрнутой на угол
а - угол атаки (поворот скоростной СК, совмещённой со связанной СК, вокруг оси Za)\
|3 - угол скольжения (поворот вокруг оси Y а, повёрнутой на угол а) [ 1 ].
При выводе рабочих формул для линейных преобразований поворотов необходимо учитывать следующие 4 обстоятельства:
1. Неважно, в какой очерёдности выполняется произведение матриц, однако важна их последовательность в этом произведении. В общем случае произведение АхВ не равно ВхА, вследствие чего важно стро го соб л юдать поел е до вател ь н ость выполнения поворотов.
2. В трёхмерном пространстве три координаты (компоненты) л; у z вектора могут быть представлены в виде вектор-строки или вектор-ç-голбца. Линейное преобразование вектор-столбца соответствует умножению его справа на матрицу этого преобразования. Таким образом, матрица каждого последующего преобразования становится левым сомножителем. В случае вектор-строки (как в зарубежной литературе), производится его умножение слева на транспонированную матрицу линейного преобразования, следовательно, каждая следующая транспонированная матрица является правым сомножителем.
3. Кажд ы й поел едо вател ь н ы й по во рот вектор-столбца в положительном направлении представляется матрицей, в которой элемент главной диагонали, соответствующий оси вращения, равен 1, а элементы проходящих через него строки и столбца равны нулю. Четыре остальных элемента - это синусы и косинусы
соответствующего угла поворота. Отдельным плоским поворотам объекта вокруг осей л% у, 2 системы координат на соответствующие углы
а, р, у будут соответствовать следующие матрицы: 4.
/
Кх(а)=
КУ(Р)=
1 О о
О соз(а) -з'т(а) О зт(а) соз(а)
собС^) 0 БШОв) О 1 О
л
К2(У)=
к-ь\г\{Р) О соъЦЗ) /соз(7) -5т(/) О
БШ^) соз(к) О О 0 1
\
5. Перемещение или поворот рассматриваемой системы координат относительно неподвижного вектора эквивалентен переносу или повороту вектора относительно неподвижной системы координат в обратную сторону.
Методика перехода от норм(альной к связанной системе координат
Предлагается следующая методика перехода от нормальной к связанной системе координат. Пусть объект - вектор силы тяжести задан в нормальной СК, С == {0, —О, 0}. Чтобы получить его координаты относительно связанной СК, нужно совместить некоторую систему координат наблюдателя с нормальной СК и, поворачивая СК наблюдателя на углы \|/, у вокруг промежуточных положений ее осей, совместить с осям
илтд —11
связанной СК. Это будет эквивалентно поворотам объекта (вектора в) относительно СК наблюдателя в обратные стороны, на углы -ху, -9, -у.
Тогда с учётом пунктов 2, 3 общая матрица преобразования заданных в нормальной СК координат вектора-столбца в, в систему координат наблюдателя, совмещённой со связанной СК, определится следующим произведением матриц:
у) = Ях(-у)• 11у(-у) =
/
1
0
о
\
0 СО$(у) 0 -Б1П(у)
^СОБ^) 0 0 1
\
5Ш(у)
соз(у)
о
/ соэ(&) яп(») 0^1
-ИПф) С05(&) 0
/
\
о
о
1
/
0 С05(у)
/
(7)
Аналогично определяются матрицы перехода между остальными СК:
- переход от связанной к скоростной системе координат:
1Уа(а, (3) =
'СОБ(Р) 0 0 1
Цу(Р) о
\
-втСР) 0 соб(Р)
/
Иг(а) =
'соз(а) зт(а)
V о
-$т(а) 0 соБ(а) 0
\
о
1
(8)
- переход от нормальной к траекторией системе координат:
1^к(У,©)= Кг(-0)-1*у(-Ч') =
СО5(0) зт(0) 0 -зт(0) со5(0) 0 0 0 1
'собОИ) О 0 1 51П(^Р) 0
V
-втО?) 0
собОИ)
\
/
(9)
Обратные переходы между перечисленными системами координат осуществляются поворотами в обратную сторону и в обратной последовательности:
Ду) = Куад-КгС^-КхСу);
КаГ(а,р) = Кг(-а)-Ну(-Р);
БадТ, 0) - Ку(Ч0-К2:(в).
Заключение
Использование полученных матриц преобразования координат векторов облегчает развёртывание уравнений (3), (4), (5)? (6). Например, в правую часть уравнения (3) входят:
вектор тяги двигателей (Р), фиксированный относительно связанной СК, главный вектор аэродинамических сил(КА), приведённый .в полусвязанной СК (На Г (а, 0)), вектор силы веса (в), заданный в связанной СК.
Таким образом, в векторном виде К = Р + + ИаГ'Кд + -в, и уравнения для центра масс принимают вид
Л
с1г Л7 ш
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. ГОСТ 20058-80. Динамика летательных аппаратов в атмосфере (термины, определения, обозначения). - М.: Изд-во стандартов, 1981.
2. Фокс, А. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве / А. Фокс, М. Пратт; пер. с англ. -М.: Мир, 1982. - 304 с.
Митюков Виктор Вениаминович, инженер отдела автоматизации УВАУ ГА (И), научные интересы - математические методы моделирования.
Назаров Артём Сергеевич, курсант УВАУ ГА (И).
УДК 004.42
»
В. В. СЫЧЁВ
ПРОГРАММНАЯ СИСТЕМА ОБРАБОТКИ ДИАГРАММНО-ГРАФИЧЕСКИХ ЯЗЫКОВ САПР
Предлагается архитектура системы построения, сопровождения и последующего анализа диаграмм с применение клиент-серверного подхода и использованием технологий WEB 2.0.
Ключевые слова: диаграммно-графические языки, анализ графических языков, WEB 2.0, САПР.
В настоящее время в САПР активно используется графические представления объектов и процессов с использованием диаграммных языков. Существует большое количество коммерческих и свободно распространяемых программных средств, которые позволяют работать с популярными диаграммными языками, такими как ЕРС, UML, SDL, DFD и т. д., однако большая их часть не ориентирована на коллективную разработку, имеет скудные средства по расширению нотаций языка и зачастую не имеет средств анализа. Перечисленные недостатки снижают преимущества от использования средств работы с диаграммными языками для предприятий и
ТГТЛЛ/ГТ LJIL1 V 1/Т\Л*ГТС»1_1ТЛТ*
В данной статье предложена архитектура программной системы для коллективной работы,
межплатформенного сопровождения и анализа
• • __
диаграммных языков САПР, которая лишена вышеперечисленных недостатков.
Общие характеристики системы
Основной задачей, поставленной при проектирование и реализации системы, является построение универсального набора инструментов, обеспечивающих следующие основные функции для пользователя:
«> создание диаграмм графических языков; • добавление новых нотаций диаграммно-графических языков;
©Сычёв В. В., 2010
• анализ построенных диаграмм по предварительно загруженным в систему нотациям языка и алгоритмам анализа;
• добавление новых алгоритмов анализа с помощью плагинов;
• добавление описания синтаксических и семантических правил графических языков;
• создание взаимосвязи между построенными проектировщиками диаграммами;
• одновременный доступ нескольких инженеров к базе данных построенных диаграмм.
К системе предъявляются следующие требования:
должна обеспечиваться возможность межплатформенной работы приложения, т. е, интеграции приложений, функционирующих в среде различных операционных систем и на различных аппаратных платформах;
архитектура интеграционного решения должна быть основана на открытых общепризнанных стандартах.
Архитектура системы
Исходя из вышеперечисленных требований к программному продукту, архитектура приложения представляет собой несколько компонентов, взаимодействующих между собой в сети, т. е. приложение должно быть клиент-серверное. Предлагается использовать четырёхуровневую архитектуру (рис. 1), которая содержит:
• презентационный слой (клиент);
• слой взаимодействия с интерфейсом (сервер);
