CC BY
33
УДК 539.3
С.М. Шляхов, Э.Ф. Кривулина
ЗАДАЧА ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ КРУГЛОЙ ПЛИТЫ
ИЗ ПОРИСТОГО МАТЕРИАЛА В ОДНОМЕРНОМ ПОЛЕ ТЕМПЕРАТУР
Представлено решение задачи термоупругости для круглой плиты, выполненной из пористого материала. В основу решения положен метод конечных элементов (МКЭ). Полученные результаты позволяют оценить НДС плиты при различных законах изменения пористости по толщине и разных способах ее закрепления.
S.M. Shlyakhov, E.F. Krivoulina
THERMOELASTICITY PROBLEM FOR A THICK ROUND PLATE OF PORISITY MATERIAL IN A ONE-DIMENSIONAL FIELD OF TEMPERATURES
In this article the solution of thermo elasticity problem of a thick round plate (slab) made of porous material is given. The solution is based on finite element methods. The results we’ve got allow to evaluate strain-stress state of a slab under different laws of variety of porosity along thick and different means of strengthening it.
Рассмотрим тонкую пластину радиуса R, выполненную из пористого материала с пористостью, изменяющейся по толщине h. Пластинка может быть как свободной, так и закрепленной по внешнему контуру. Полагаем, что пластинка находится в одномерном поле температур, вызванным внутренним тепловыделением джоулевым теплом.
На верхнем и нижнем торцах пластинки поддерживается постоянная различная температура. Боковые цилиндрические поверхности - теплоизолированы. Теплофизические и механические характеристики материала зависят от местной температуры и пористости (рис. 1). Тепловой режим в пластине - стационарный.
і
Рис. 1. Схема круглой пластины в одномерном поле температур
Решение задачи теплопроводности сводится к интегрированию нелинейного дифференциального уравнения [1], [2].
й
й2
Х(Т, Р)
йТ
й2
+ Ж (Т, Р) = 0
при удовлетворении граничным условиям
Т = ї1 при 2 = 0, Т = і2 при 2 = И.
(1)
(2)
Здесь Х(Г,Р) - коэффициент теплопроводности материала как функция температуры и пористости; Р(2 — объемная пористость; Ж(Т,Р) - удельная объемная мощность источников тепла.
Аппроксимируем Х(ТР), Ж(Т,Р) функциями
Х(Т,Р) = Хол/(1 -Р)3 (1 + віТ + в2Т2 +...), Ж (Т, Р) = Жо(1 - Р)(1 + УіТ + у Т2 +...)
(3)
в соответствии с [3], [4].
Решение нелинейного уравнения с переменными коэффициентами (1) будем искать по схеме метода последовательных приближений, сведя исходное уравнение к виду
й
й2
Xт-1) (2) йТ (т) й2
+ Ж(т-1) (2) = 0, т = 1,2,...
(4)
При т=1 принимаем
Х(0)(2) = X0^(1 -Р)3,
Ж (0)(2) = Ж0(1 - Р).
При т>1 имеем
(5)
Xт-1)(2) = X0[1 - Р]3,2(1 +Р.Тт-„ +Р2Т(1„ +...)
2
Ж'т-1)(2) = Ж0 [1 - Р](1 + у, + у,7(2,-,) +...).
Решение краевой задачи (4)-(2) заменим эквивалентной ей вариационной с поиском минимума соответствующего функционала
Х( т-1)(2)
2
йТ (т) й2
- Тт) Ж>т-п(2)[■ й2
(6)
Множитель пЯ перед интегралом в дальнейшем опустим, так как он не влияет на экстремальные свойства функционала.
Для реализации минимума функционала (6) воспользуемся методом конечных элементов (МКЭ) [6].
2
Разбиваем толщину пластины к на N элементов (отрезков) и пронумеруем их границы /=1,2,...,N+1. Обозначим Тг - искомую температуру в г-м узле; соответственно будем иметь Т=і\ при /=1, Т=2 при /=N+1. Рассмотрим два смежных элемента 1 и 2, примыкающих к узлу (І) и представим функционал J в виде суммы
J = Jl + J2 , (7)
где имеем
7/+1 J1 = I
7<
Jг = I
Х( т-1)(7 ) д Т (т)
2 _ д 7 _
[х( т-1)(7 ) д Т (т)
2 _ д 7 _
- ТЫ) —т1)(7)
Л7,
(8)
- Ты —(т-п(7 )!■ Л7.
Другие элементы в сумме (7) можно не учитывать, так как они не содержат узел (/'). Представим функцию температур в каждом из элементов линейным сплайном.
Т = N Т + N Т • Т = N Т + N Т (9)
г ,г+1 42^ г+1> г—1,г ^21'' г—1 ^ 1 у 221 г ■ \у)
Здесь через ^, ., ^2 обозначены функции формы [6]
7 - 7,
7 - 7 7 - 7
N = г+1 _ /+1
N21 =
7 - 7
г+1 і
7 - 7
к
N12 =
к
N22 =
А
7-7
г-1
К
22 Соответственно для функционала J1 будем иметь
(10)
7/+1 Jl = I
7/
1
Х(1”!-1)
Л тЧт)
и 1(г ,/+1)
ё7
—п Т(т) + ^2 Т+т ]—1(т-1)
ё7
(11)
где принято
Л (т-1) Л (т-1) тхКт-1) . щ-(т-1)
+ Л/+1 — (т-1) = — + —+1
2 ’ 1 2
(12)
Аналогично можно записать функционал /2. Подставляя (9), (10) в (11) и выполняя интегрирование, получим:
Х(т-1) г і —(т-1)к
J. = — [ - 2Т,Т,+ + т; ]--1—1-(Т + Т +),
2к
аналогично
J2 =
(т-1)
2 к2
-! - 27/7/-, + ТД]-
—(т-1) к
—* а (7/-1 + Т) .
(13)
(13)
Условием экстремума функционала J будет
5 J д J1 5 J7
- 1 + —2 = 0 .
д Т д Т д Т
(14)
г г
На основании (13) и (14) получим алгебраическую систему уравнений относительно узловых температур
2
2
7
/-1
2
2
7*0 + 2 [( т-1[ + ж,(т-1) Ъъ ]
(15)
Здесь Ъ11 = г+1 - г, Ъ2г = _1.
Решение системы (15) дает искомое поле температур по высоте сечения Ъ в т-м приближении. Последовательные приближения повторяются до получения заданной точности решения.
В частном случае, при равномерной сетке разбиения Ъц=И2=И0, формула (15) обретает
вид
Для поиска температурных напряжений в пластине исходим из посылки, что толщина пластинки мала, и в ней реализуется плоское напряженное состояние. Для общности решения остановимся вначале на случае свободной (не закрепленной) пластинки. Для решения применим приближенный прием, основанный на принципе освобождаемости от связей, и используем суперэлементный подход.
Представим условно, что плита закреплена по наружному краю радиуса Я. В этом случае в плите возникнут окружные ое и радиальные ог напряжения.
О =^=-7^^ а (Т) Т (г) . (17)
1 -Д (г)
Здесь а(Т) - средний в рабочем диапазоне температур коэффициент линейного расширения материала как функция координаты (г)
1 Т
а (Т (г))!а(т) ё т , (18)
7 - 7 и т
н 1н
Тн - начальная температура бруса, принимаемая чаще за ноль; Е(г) - переменный по толщине пластины модуль Юнга, зависящий от пористости и температуры.
На основании [4] представим модуль Юнга и коэффициент Пуассона следующими функциональными зависимостями:
Напряжения (17), действующие в заделке, дают результирующее радиальное усилие с
(16)
Е(г) = Е(Т) • Е(Р) ,
где
Е (Т) = Е0(1 - к1Т - к2Т2), Е (Р) = 1 - а1Р + а2 Р2 ,
Д(г) = До(1 - С1Р + СР2 - сзР3) .
(19)
интенсивностью
Ъ
Ч Ре3 =К ( г)
(20)
0
и результирующий момент с интенсивностью
(Ъ-го)
т
= К(г),
(21)
где і0 - расстояние от нейтрального слоя до торца плиты.
Если плита свободна по краю, то, пренебрегая краевым эффектом, напряжения в ней получим, добавив к напряжениям (17) напряжения от нагрузок (20), (21), взятых с обратным знаком, т.е. q=-qрез, т=-трез.
Для нахождения этих напряжений по схеме суперэлементов разобьем плиту по ее толщине на п слоев (дисков).
В пределах толщины кг каждого /-го диска полагаем пористость и физикомеханические характеристики материала постоянными, средними по слою.
Очевидно, что силовой фактор q распределится по слоям в соответствии с жесткостными параметрами слоев при соблюдении равновесия и условий совместности деформаций (рис. 2)
q = 1 qг , и1 = и2 = ... = иг = и0.
(22)
Здесь ч, - интенсивность радиального усилия, приходящегося на 1-й диск; и, - радиальное перемещение /-го диска на контуре г=Я.
По закону Гука радиальное перемещение на внешнем контуре диска определится по формуле
(23)
9і
92
9п
-Еіг рі ■
Е2, Р2
'•Еп,■ рп
R
Ьп
і
иі
ип
9
г=1
Рис. 2. Распределение силового фактора по слоям
На основании (22) и (23) получим
Ч, = . „ Т . ' = 1.2,. .,П . (24)
I
(1 Рг ) КЕк
к=1 (1 -Рг ) кгЕг
Соответственно получим значения радиальных и окружных напряжений в /-м диске от нагрузки ч, по формуле
-г" — -г" — qi
°Г(г) = аЄ(г) = к . (25)
При оценке напряжений, обусловленных краевым моментом т, воспользуемся гипотезой единой нормали для всех слоев (суперэлементов) плиты (рис. 1).
Следуя [7], расстояние г0 от нейтральной поверхности плиты до ее основания определится по формуле
IЕА
20 =■
к=1
21ЕК
(26)
Для изгибной жесткости всего пакета слоев в целом принимается значение
Б =
1
3(1 - До)
I Е
і=1
і-1
(20 -1 Кк )3 - (20 -1 Кк )3
к=0
к=1
(27)
Здесь до - приведенный коэффициент Пуассона для всего пакета «слоев»
£^еЛ
До =
і=1
I ЕЛ
і=1
і = 1,2,..., п,
(28)
где Еі = ■
Еі
1 - Дг
- эффективный модуль Юнга.
Согласно принятой гипотезе напряжения, возникающие в нормальных сечениях плиты в слоях, расположенных на расстоянии г от нейтральной поверхности, определяются по формуле
° г (і) = ° Є (і) =
Кг
(
1 - Д
і
й З 3
~т~ + Д — аг г
\
у
(29)
где угол наклона нормали 3 определится из решения задачи изгиба круглой плиты, нагруженной по контуру моментами т
тг
т (30)
3 =
Б (1 + До)
На основании (30) формула для напряжений (29) примет вид
тгЕ:
Б (1 -д2)
1 + Ді 1 + До
(31)
Окончательно для свободной плиты (рис. 3, в) будем иметь Ог(г)=О0(г)= а (г-) + а + о"),
т.е.
°г (і) = аЄ(і) =
а ТЕ (і) дг
+ — + -
тЕі г
1-Д (г) К Б (1 -Ді)(1 + До)
(32)
При наличии подвижной заделки (рис. 3, б), разрешающей радиальное напряжение, но закрепляющей поворот, в формуле (32) убирается последнее слагаемое. В случае жесткой заделки (рис. 3, а) в формуле (32) остается лишь первое слагаемое.
і=1
і =1
7ТТ
777"
с=с '
с=с'+с"
ст=ст'+с"+с" '
а б в
Рис. 3. Различные способы закрепления пластины
На основании полученных формул проведено исследование полей температур и напряжений круглой пластины, выполненной из пористого железа. Температурное поле вызвано внутренним тепловыделением джоулевым теплом с удельной объемной мощностью ис-кВт
точника Жо=60000 ------. Высота пластины к=0,02 м, к<<Я.
м- К
Пористость изменяется по высоте сечения по линейному закону (рис. 4, а): Р1 от 0% при 1=0 до 5% при г=к (ряд 1), Р2 от 1% при г=0 до 36% при г=к (ряд 2), Р3 от 30% при 2=0 до 5% при г=к (ряд 3). На верхней и нижней границах плиты поддерживается постоянная температура ґ1=100°С и ґ2=10°С соответственно (рис. 1).
Изменение физических параметров по высоте в зависимости от пористости изображено на рис. 4, б, в.
Влияние пористости на теплофизические характеристики показаны на рис. 5, а, б.
Рис. 6 отражает напряженное состояние при различных закреплениях пластины.
а б
в
Рис. 4. Физические параметры: а - пористость; б - модуль Юнга (ГН/м2); в - коэффициент Пуассона
0,02 -0,018 -0,016 -0,014 -0,012 -0,01 -0,008 -0,006 -0,004 -0,002 -п Ряд 1 температура (К) , н Ряд2 ® Ряд3
—1
д
Шщ
А
ЛГ
■ и»
.1^1
и 1 ▼ ■ 1 1 1 1 1 1 0 20 40 60 80 100 120 140
Коэффициент линейного расширения (10-6 1/К)
■ Ряд 1
■ Ряд 2 ■Ряд 3
а б
Рис. 5. Тепловые параметры: а - температура; б - коэффициент линейного расширения (-10"6 1/К)
а б
в
Рис. 6. Напряженное состояние пластины: а - в случае жесткого закрепления по контуру (МПа);
б - в случае скользящей заделки (МПа); в - при шарнирно подвижном опирании плиты (МПа)
Как следует из полученных результатов, зависимость характеристик материала от пористости существенно сказывается на НДС пластины и должна учитываться в расчетах плит на прочность.
ЛИТЕРАТУРА
1. Коздоба Л. А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. М.: Наука, 1975. 228 с.
2. Шнейдер П. Инженерные проблемы теплопроводности. М.: Изд-во И.Л., 1960.
479 с.
3. Литовский Е.Я., Пучкелевич Н.А. Теплофизические свойства огнеупоров. М.: Металлургия, 1982. 152 с.
4. Чиркин В.С. Теплофизические свойства материалов. М.: Физматгиз, 1959.
356 с.
5. Кашталян Ю.А. Характеристики упругости материалов при высоких температурах. Киев: Наукова думка, 1970. 112 с.
6. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.
392 с.
7. Королев В.И. Упругопластические деформации оболочек. М.: Машиностроение, 1971. 304 с.
Шляхов Станислав Михайлович -
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры «Механика деформируемого твердого тела и прикладная информатика» Саратовского государственного технического университета
Кривулина Эльвира Федоровна -
аспирант кафедры «Механика деформируемого твердого тела и прикладная информатика» Саратовского государственного технического университета
