CC BY
50
УДК 5З9.З
С.М. Шляхов, А.В. Ефремов
ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕРМОУПРУГОСТИ КРУГЛОЙ ПОРИСТОЙ ПЛАСТИНЫ В НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ
НАГРЕВА
На основе вариационных принципов - метода конечных элементов (МКЭ), построено решение нестационарной задачи теплопроводности и соответствующей ей задачи термоупругости для круглой пластинки, изготовленной из пористого материала. Проведен анализ полей температур и напряжений для различных моментов времени и законов пористости.
THE PROBLEM OF POROUS ROUND PLATE HEAT CONDUCTIVITY AND THERMO ELASTICITY IN UNSTEADY HEATING MODE
The present paper studies the approach based on variation principles - a finite element method (FEM), the solution of a unsteady problem of a thermal conduction and thermo elasticity matching it for a round plate manufactured of a porous material. The article demonstrates the analysis of temperatures and stresses for different instants and laws of porosity.
Рассмотрим тонкую пластину радиуса R, выполненную из пористого материала с пористостью, изменяющейся по толщине h. Пластинка может быть как свободной, так и закрепленной по внешнему контуру. Полагаем, что пластинка находится в одномерном поле температур, вызванным внутренним тепловым источником.
На верхнем и нижнем торцах пластинки поддерживаются постоянные и различные температуры. Боковые цилиндрические поверхности теплоизолированы. Теплофизические и механические характеристики материала зависят от местной температуры и пористости (рис. 1). Тепловой режим в пластине - нестационарный.
Решение задачи теплопроводности сводится к интегрированию нелинейного дифференциального уравнения [3, 7]
Здесь МГР) - коэффициент теплопроводности материала как функция температуры и пористости; Р(2) - объемная пористость; W(TP) - удельная объемная мощность источников тепла; р - плотность материала; Ср - теплоемкость.
В соответствии с [2, 5, 6] аппроксимируем Х(Т,Р), ЩТ,Р) функциями
S.M. Shlyahov, A.V. Efremov
(1)
при удовлетворении начальным и граничным условиям
їде t = 0 T(Z) = 0, W = W0,
їде t > О T = T1 їде Z = ОО, T = T2 їде Z = h.
где Рь Рг, ...,уі,у2... - экспериментальные коэффициенты.
Т}
Решение нелинейного уравнения с переменными коэффициентами (1) ищется методом последовательных приближений [8, 9] на основе метода конечных элементов (МКЭ).
В результате получаем алгебраическую систему уравнений относительно узловых температур
ТҐ = « (О,< ’« + ЩЧ + ОДЧ + ТіІГЧ + ОЙЧ + 1 (Ш + ИЖ )), і = 2......п.
( юД+юД Х1к2 + Х 2 КЛ
(3)
Здесь
^ ^)Ю1И1+Ю1И1 + ХК + Х 2к1
V
а1 =2
3АГ
+
«2 2"
а4 =
Ь1к2
(X 2 ю2К2 =
К 3Аґ
И1г = г,-+1 - г,., ^2і = ^ - г,-1.
2 +^212 V К2 3Аґ
V
а5 =
3Аґ КК2 )
(Х1 юЛ1 „ = (х1 + юл
Х2 _ Ю2К2 V К2 3Аґ
«6 =
К 3Аґ
Решение системы (3) дает искомое поле температур по высоте сечения к в т-м приближении. Последовательные приближения повторяются до получения заданной точности решения.
В частном случае, при равномерной сетке разбиения к\г=к2=к0, формула (3) обретает
вид
Т ( г) ________
1
2Ь (Ю1 + Ю2 ) + Х1 +Х 2
( ( Ог
2К
(ю 1 + Ю 2 ) - Х1 + Х 2 ^ + Т Х 2 - Ю2К(
'1 1 ^2 3Аґ
К
2 и'2"0
+
К0
3Аг
+Ог 1 (Х2+ЮА^+т
V К0 3 Аґ )
V К0 3Аґ
+ О,.
(х!+ЮА ]++ ш2)
V К 3Аґ) 2^ 2,
(4)
где Лt - шаг по времени; Ф(и) - значение узловой температуры Т- на предыдущем шаге по
времени; Ф(0) - начальные распределения температуры Т- при ^0.
^<>-1) ± >-1) ^>-1) ± /(>-1)
А!>-1) = —----——, А,(>-1) = —^—-—-— - средние по элементам коэффициенты
р С (т-1) ± р С (т-1) р С (>-1) ± р с (>-1)
. У-^п- ^Н-±^р-±1 Н-ч^р--1 -^р-
теплопроводности; ю1 =-------------—, ю2 = ■
^ = —-------’ ” І+1—, = ——---'—і-- средние по элементам мощности источников тепла.
Решение задачи термоупругости ищем в квазистатической постановке в фиксированный момент времени, полагая изменение температуры во времени монотонной функцией.
Для поиска температурных напряжений в пластине исходим из посылки, что толщина пластинки мала, и в ней реализуется плоское напряженное состояние. Для общности решения остановимся вначале на случае свободной (не закрепленной) пластинки. Для решения применим приближенный прием, основанный на принципе освобождаемости от связей, и используем конечно-элементный подход.
Рис. 2. Схема нагружения круглой пластины
Представим условно, что плита закреплена по наружному краю радиуса Я. В этом случае в плите возникнут окружные ое и радиальные ау напряжения
О =<=-7^ а(т) Т( г). (5)
1 -Д( г )
Здесь а(Т) - средний в рабочем диапазоне температур коэффициент линейного расширения материала как функция координаты г
1 т
а(Т(г)) = ^~^ ^ а(т) , (6)
Т Т0 То
где Т0 - начальная температура бруса, принимаемая чаще за ноль; Е(г) - переменный по толщине пластины модуль Юнга, зависящий от пористости и температуры.
На основании [2] представим модуль Юнга и коэффициент Пуассона следующими функциональными зависимостями:
Е ( г) = Е(Т) • Е (Р),
где
К2) = І1 + сіР + с2Р 2 + сзр3 )
Напряжения (5), действующие в заделке, дают результирующее радиальное усилие с интенсивностью
Яда, = | < (г№ , (8)
с
и результирующий момент с интенсивностью
(к-го)
тда, = \&г(г) , (9)
- 20
где 20 - расстояние от нейтрального слоя до торца плиты (рис. 1). Схема нагружения пластинки представлена на рис. 2.
Если плита свободна по краю, то, пренебрегая краевым эффектом, напряжения в ней получим, добавив к напряжениям (5) напряжения от нагрузок (8), (9), взятых с обратным знаком, т.е. я= -дрез, т= -трез.
Для нахождения этих напряжений по схеме конечных элементов разобьем плиту по ее толщине на п слоев (дисков).
В пределах толщины кг каждого г-го диска полагаем пористость и физикомеханические характеристики материала постоянными, средними по слою.
я
і
Рис. 3. Распределение силового фактора по слоям
Очевидно, что силовой фактор я распределится по слоям в соответствии с жесткостными параметрами слоев при соблюдении равновесия и условий совместности деформаций (рис. 3):
п
Я = ЕЯ и1 = и2 = .. = и = ио. (10)
г=1
Здесь яг - интенсивность радиального усилия, приходящегося на г-й диск; иг -радиальное перемещение г-го диска на контуре г = Р.
По закону Гука радиальное перемещение на внешнем контуре диска определится по формуле
р
иг = Е[а9(г) -^г^г(г)]. (11)
На основании (10) и (11) получим
Яг = п ( . )и 17 , г = 1,2-,п • (12)
I
(1 -.Ж Ек
к=1 (1 -. к )Иг Е г
Соответственно получим значения радиальных и окружных напряжений в г-м диске от нагрузки яг по формуле
—Яг /1о\
° г (г) 0 (г) - ь • ( )
При оценке напряжений, обусловленных краевым моментом т, воспользуемся гипотезой единой нормали для всех слоев (конечных элементов) плиты (рис. 3).
Следуя [4], расстояние "0 от нейтральной поверхности плиты до ее основания определится по формуле
I ЕгКг [21 Кк - Кг
V к-1
21ЕгК
"0 -^------------Vе------------------------------------------------------- • (14)
1 1 к-1
Для изгибной жесткости всего пакета слоев в целом принимается значение [4]
й = И 1 Е (("о - 1КI-(-0 - 1 К )3 ]• 05)
Здесь .0 - приведенный коэффициент Пуассона для всего пакета «слоев» [4]
I . ЕгКг
.0 = “1—------, г = 1,2,•••, n, (16)
IЕК
-1
— Е
где Ei г—— эффективный модуль Юнга^
1 -.
Согласно принятой гипотезе, напряжения, возникающие в нормальных сечениях плиты в слоях, расположенных на расстоянии " от нейтральной поверхности, определяются по формулам
* = * - Ж(£ + «*), (17)
1 - « V ёп г )
где угол наклона нормали & определяется из решения задачи изгиба круглой плиты, нагруженной по контуру моментами т [1]
тг
а- т ', (18)
В(1 + .0)
На основании (18) формулы для напряжений (17) примут вид
(19)
* т"Е (1 + « «\
* ~ (!+«Г )•
Окончательно для свободной плиты будем иметь ап. - а0г - а' + а" + а'", т^
а ТЕ(") яг тЕ "
а-а0 , -----к^. + .21_ +--------------------------------------г-• (20)
п г 1 -.(") ^ Б(1 - «)(1 + .0)
п
При наличии подвижной заделки, разрешающей радиальное перемещение, но запрещающей поворот, в формуле (20) убирается последнее слагаемое. В случае жесткой заделки в формуле (20) остается лишь первое слагаемое.
Примеры расчетов круглой пластины
Проведем практическое исследование полей температур и напряжений круглой пластины, выполненной из пористого железа. Толщина пластины к=0,02 м, И<<Я.
Температурное поле вызвано внутренним тепловым источником с удельной
объемной мощностью Жо=275000 кВт .
м ■ К
На верхней границе сечения пластины поддерживается постоянная температура Т=120°С, на нижней границе Т=20°С. Боковые поверхности теплоизолированы. Приведены три закона изменения пористости, распределение пористости по высоте сечения непостоянное:
1
0,9
0,8
0,7
£ 0,6 I-
о 0,4 с
0,3 0,2
0,1 0
Рис. 4. Закон изменения пористости по высоте сечения
1. Л= 0%.
2. Р2= -0,00033 г2 + 0,01716 г 0,01683.
3. Рз= 0,00003 г3 - 0,00234 г2 + 0,06084 г - 0,05853 (рис. 4).
Количество разбиений (дисков) по толщине к принято п=50. Поля температур и напряжений приведены на рис. 5-6 для случая закрепления пластины по схеме скользящей заделки. На всех графиках по оси абсцисс показан номер конечного элемента (т.е. координата по радиусу).
Выводы:
Получено решение нестационарной задачи теплопроводности и термоупругости для круглой пластины для различных способов закрепления пластины. Оценено влияние закона изменения пористости, закона изменения температуры и способа закрепления пластины на НДС плит. Установлено, что влияние пористости при нестационарном режиме нагрева на НДС существенно и требует обязательного учета при расчетах и проектировании различных конструкций.
а
Q,Q1 с — — Q,4 с — ■ -1,3 с 3 с
б
в
Рис. б. Поле температур: а - Р1= Q%; б - Po= -Q,QQQ33 z2 + Q,Q1716 z - Q,Q1683; в - P3= Q,QQQQ3 z3 - Q,QQ234 z*2 + Q,Q6Q84 z - Q,Q5853
Q,Q1 с — — Q,4 с — ■ -1,3 с —— 3 с
го
1=
400
300
200
100
О
-100
-200
-300
-400
/
1 1 3
0,01 сек.
■0,4 сек.
■ 1,3 сок.
■ 3 сек.
500
400
300
гз
| 200
| 100 I
{и
* О
сс
о.
% -100 х
-200
-300
-400
1 1 \ з X 1 '*-,4
■ 0,01 сек.
■0,4 сек.
■ 1,3 сек.
■3 сек.
800
600
400
200
О
-200
-400
-600
—
1 1 1 2 1 4 X 7 1 ч/у
7\:
\
Рис. 6. Поле напряжений: а - Р1= 0%; б - Р2= -0,00033 г + 0,01716 г - 0,01683; в - Рз= 0,00003 г3 - 0,00234 г2 + 0,06084 г - 0,05853
а
б
в
ЛИТЕРАТУРА
1. Бояршинов С.В. Основы строительной механики машин / С.В. Бояршинов. М. Машиностроение, 1973. 456 с.
2. Кашталян Ю.А. Характеристики упругости материалов при высоких
температурах / Ю.А. Кашталян. Киев: Наукова думка, 197G. 112 с.
3. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности /
Л.А. Коздоба. М.: Наука, 1975. 228 с.
4. Королев В.И. Упругопластические деформации оболочек / В.И. Королев. М.: Машиностроение, 1971. 3G4 с.
5. Литовский Е.Я. Теплофизические свойства огнеупоров / Е.Я. Литовский,
Н.А. Пучкелевич. М.: Металлургия, 1982. 152 с.
6. Чиркин В.С. Теплофизические свойства материалов / В.С. Чиркин. М.: Мир, 197G. 356 с.
7. Шнейдер П. Инженерные проблемы теплопроводности / П. Шнейдер. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 196G. 479 с.
8. Шляхов С.М. Задача термоупругости для балки-пластины из пористого материала в одномерном поле температур / С. М. Шляхов, Э. Ф. Кривулина // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2GG3. С. 58-63.
9. Шляхов С.М. Термоупругое состояние балки-пластины из пористого материала в нестационарном поле температур / С.М. Шляхов, А.В. Ефремов // Авиакосмические технологии «АКТ-2006»: труды седьмой Междунар. науч.-техн. конф. Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 2GG6. С. 355-36G.
Шляхов Станислав Михайлович -
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры «Механика деформируемого твердого тела и прикладная информатика»
Саратовского государственного технического университета
Ефремов Андрей Владиславович -
аспирант кафедры «Механика деформируемого твердого тела и прикладная информатика» Саратовского государственного технического университета
Статья поступила в редакцию 17.04.07, принята к опубликованию 03.07.07
