CC BY
45
УДК 53
С.М. Шляхов, А.В. Мозжилин
АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПОРИСТОЙ КРУГЛОЙ КЕРАМИЧЕСКОЙ ПЛАСТИНЫ В КОНСТРУКЦИОННО-СВЯЗАННОЙ ЗАДАЧЕ
ТЕРМОУПРУГОСТИ
Представлены решение конструкционно-связанной задачи термоупругости и анализ полей температур и напряжений круглой пористой пластины в одномерном поле температур под СВЧ воздействием. Проанализировано изменение НДС при различных способах закрепления пластины с пористостью, зависящей от НДС.
Пластина, термоупругость, пористость
S.M. Shlyakhov, A.V. Mozzhilin
ANALYSING STRESS-DEFORMED CONDITIONS OF THE POROUS ROUND CERAMIC PLATE IN TERMS OF THERMOELASTICITY PROBLEMS
The presented solution refers the constuction problems of thermoelasticity, including the analysis of the temperature pattern and stresses of the round porous plate within the univariate temperature field under a high frequency impact. The analysis refers the changes of stress-strain conditions using various fastening methods to the plate characterized for porosity which depends on stresses.
Plate, thermoelasticity, porous
Для решения задачи рассмотрим тонкую пластину радиуса R толщиной h, выполненную из пористой керамики на основе оксидов алюминия. Принимаем, что пластина находится в одномерном поле температур под действием полей СВЧ. Тепловой режим - стационарный. На верхней и нижней гранях поддерживаются различные постоянные температуры. Считаем, что боковая поверхность теплоизолирована, следовательно ^ = 0. Свойства материала меняются по высоте сечения, так как зависят от температуры и пористости (рис. 1).
\ \ V\ \ у
V
СВЧ нагрев \______________й
'\\\И
h , Е,,Д,
T(z) P(z) <5z s
t
r
Рис. 1. Схема пористой круглой пластины под действием полей СВЧ
Решение задачи теплопроводности сводится к интегрированию нелинейного дифференциального уравнения:
&
йТ
А(Т'Р)Тг.
+ Ш(Т,Р) = 0 (1)
йг
при удовлетворении граничным условиям Т=1\ при 2=0 и Т=2 при 2=Ь.
Здесь А(Т,Р) — коэффициент теплопроводности материала как функция температуры и пористости [4]; Р(2) - объемная пористость; "(Т,Р) - удельная объемная мощность источников тепла.
Представим, что пластина защемлена жестко по контуру. Окружные и радиальные напряжения за счет теплового расширения будут равны
—Е(г)
о'г=------ • а(Т) • Т(г), (2)
1 — р(г)
а(Т(г)) - коэффициент линейного расширения, равный
т
а(Т) = а(Т(г)) = Т_Тн | а(т)й.т; (3)
Тн
Е(г) — модуль Юнга, зависящий от пористости и температуры. На основе экспериментальных данных, имеем [3]:
Е(г) = Е(Р) • Е(Т) = Е$ • (1 — к& • Т — к2 • Т2) • (1 — Р + а2^ Р2); (4)
у.(г) — коэффициент Пуассона зависит от пористости и температуры выражается эмпирической формулой [3]:
И-(г) = ^(Р) • И-(Т) = (1 — с1^р + С"^р2 — С"^р+)^ (—а& •Т + ("• Т2);
Т (г) — закон изменения внутренней температуры по высоте сечения получен из решения задачи теплопроводности. В частном случае при равномерной сетке разбиения слоев пластины Ь\=Ь2=...=Ь0 расчетная формула Т(г) имеет вид [2]
2(т-\)т(т) + 2(т-\)т(т) Ь2 г ,
Т(I) = 1-----7+\п + 1(+11)Т-\ + ( ( ”° ( , [2Щ(т-1) + Ш+т-1) + Ш-т-1) I (5)
V > 1т-1) +1(т-1) 4(Л(т-\) + 1 Г ’
Т,_& — температура предыдущего слоя; Т,+& — температура последующего слоя; Е0 — модуль Юнга
(МПа); Р — пористость материала как функция от напряжений [6], [7], Р = Р0(\ + 2^-)2.
Е
В заделке за счет окружных и радиальных напряжений (2) возникают результирующие радиальные усилия и момент, определяемые по формулам:
5
Чрез ^ 0 Г(г')йг; (б)
О
(5-8о)
7рез= I а'г(г)гйг; (7)
80
Если освободить пластинку от связей, то для расчета действительных напряжений, пренебрегая краевым эффектом, необходимо к напряжениям (2) добавить напряжения от нагрузок (6) и (7) взятых с обратным знаком, т.е. / = —/рез, т = —шрез
ог = о'г(г) + о"г(г) + о'"г(г) (8)
Для поиска напряжений о"г, обусловленных радиальными усилиями, используем следующий прием. Разобьем пластинку по высоте на п слоев (дисков). В пределах каждого слоя физикомеханические характеристики материала Е1, ц1, XI, а1 принимаем постоянными и средними по слою. Распределим радиальное усилие /рез по слоям в соответствии с условиями совместности деформации:
Чрез = Им, =1 = =2 = "' = и? (9)
где Ч, — интенсивность радиального усилия, воздействующего на /-й диск; и, — радиальное перемещение /-го диска на контуре г=Я.
Для определения радиальных перемещений на внешнем контуре воспользуемся законом Гука:
Щ=@ (о д(1) — щога)). (10)
Е1
На основании (9) и (\0) получим
/і =
-,і = 1,2, ...,п.
2 •!?=&-
(11)
(1 р,')НкЕк
(1 — Ик)Е1Е1
Соответственно средние значения окружных и радиальных напряжений в каждом >м диске пластины от нагрузки д, определятся по формуле
ав(і) = аг(і) =
Зі
Еі
(12)
Для поиска напряжений, обусловленных краевым моментом т, воспользуемся гипотезой единой нормали для всех слоев пластины (рис. 1).
Расстояние г0 от нейтральной оси до ее основания, согласно [5], равно
_Т1=1Е1к1 [2Тк=1Ек-Е]
2Тк=1Е,к,
Изгибную жесткость всех слоев в целом определяем по формуле [5]
і-&
Ь-ь)3 -(гп- М Е )+
0 3(1-и")ТаЕі (г$ (г$
3(1 — щ"0)А
где що — приведенный коэффициент Пуассона для всего пакета «слоев»
ро
їиЬЕ'і
(13)
(14)
(15)
-эффективный модуль Юнга.
и' - Е1 где Е , — &_ 2 1 и1
Соответственно, напряжения, возникающие в нормальных сечениях пластины, расположенных на расстоянии ъ от нейтральной оси, определяются по формуле
Е,г (йд [
г Еіг (а[
r(ї) = I-Рi\d\ + Рi:\),
(16)
где угол наклона нормали [ находим из решения задачи изгиба круглой пластинки, нагруженной по контуру моментами т
тг
[ =
Подставив (17) в (16), получим
_т _____________ _///
в г(і) = в
0(1 -Ро)
тгЕ,-
Рі
ро-
тгЕі
х([)-и в(1)~И(1— щ")
В итоге формула напряжений для свободной плиты примет вид
тгЕ,
°г(1) — ав(1) ' '
0(1 + Рі)(1 - Ро)
Е(г)а(Т) • Т(г)+/і_ +
(17)
(18) (19)
1-р(г) ' Е 0(1+Рі)(1-Ро)Ш
На основании полученных решений, используя принцип суперпозиции, получим расчетные формулы для температурных напряжений в пластине при различных способах закрепления (рис. 2).
а = а
' I ~-'П 8 ^ О 8
а — а^>
a б в Рис. 2. Различные способы закрепления пластины
Формула (19) отображает состояние пластины в случае, когда пластина свободна от связей. При наличии подвижной заделки (рис. 2, б), разрешающей осевое перемещение, но запрещающей поворот, в формуле (19) убирается последнее слагаемое. В случае жесткой заделки (рис. 2а) в формуле (19) остается лишь первое слагаемое.
В качестве примера расчета возьмем круглую пористую керамическую пластину со следующими характеристиками и параметрами: толщина пластины Ь=20 мм (радиус Я>>Ь), температура на гранях 11=200°С, 1;2=300°С; мощность источника тепла W=6 (МВт/м3). Модуль упругости кристаллов оксида алюминия Е=3.9*105 (МПа). Пластинка разбивается на 50 тонких слоев (суперэлементов) и подвергается воздействию полей СВЧ. График изменения температуры по высоте сечения отображен
на рис. 5. Эпюры напряжений от температуры при различных закреплениях отображены на рис. 6-8. Начальная пористость пластинки Р=0,27.
На рис. 3, 4 представлены зависимости теплофизических и механических характеристик по толщине пластины. На графике температурной зависимости по высоте на рис. 5 видно, что при учете конструкционной связанности наблюдается падение температуры по всей толщине на 0.1%.
Анализ напряжённо-деформированного состояния пластины при различном закреплении (рис. 6-8) показывает повышение напряжений, вызванных изменением пористости по высоте сечения, которое, в свою очередь, зависит от температуры и напряжений в предыдущем приближении. Для достижения необходимой точности оказалось достаточно 3 приближений. При жесткой заделке напряжения изменились на 0,482046%; при скользящей заделке напряжения изменились на 2,829938%; при шарнирной заделке напряжения изменились на 0,182374%. Результаты вычислений показаны в виде графиков на рис. 5-8.
0,1466 0,1468
Толщина
0,147 0,1472 0,1474
Ц (Р, Т)
Рис. 3
Температура по высоте сечения
а(Т)*10Л5 Рис. 4
■ Температура *С (без КС)
-Температура *С (конст. Связ.)
Рис. 5 Жесткая заделка
Толщина
:# :• \\ •Л
>чч %
в 1 1 1 1 1 1 1 1 1
-800
-750
-700 -650
■ а (Мпа) (без КС)
-600 -550 -500
... а (Мпа) (Конст.связ.)
-450
Рис. 6
Толщина Скользящая заделка
/ \
G
-9G -45 G 45 9G 135 18G 225
-----а (Мпа) (без КС) =а (Мпа) (Конет.евяз.)
Рис. 7
Толщина Шарнирная заделка
2 - —
—-j^6 X»
G ****** -— SB s-., *■ —
-60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120
-----а (Мпа) (без КС) =а (Мпа) (Конст.связ.)
Рис. 8 ЛИТЕРАТУРА
1. Кашталян Ю.А. Характеристики упругости материалов при высоких температурах / Ю.А. Кашталян. Киев: Наукова думка, 1970. 112 с.
2. Кривулина Э.Ф. Задача термоупругости для балки-пластины из пористого материала в одномерном поле температур / С.М. Шляхов, Э.Ф. Кривулина // Вестник СГТУ. 2005. № 6. С. 59-68.
3. Чиркин В.С. Теплофизические свойства материалов / В.С. Чиркин. М.: Физматгиз, 1959.
356 с.
4. Литовский Е.Я. Теплофизические свойства огнеупоров / Е.Я. Литовский, Н.А. Пучкелевич. М.: Металлургия 1982. 152 с.
5. Королев В.И. Упругопластические деформации оболочек / В.И Королев.. М.: Машиностроение, 1971. 304 с.
6. Мозжилин А.В. Анализ напряженного состояния пористой балки-пластины в конструкционно-связанной задаче чистого изгиба / С.М. Шляхов, А.В. Мозжилин // Вестник СГТУ. 2011. №4(60). Вып. 2. С. 38-42.
7. Шляхов С.М. Конструкционно-связанная задача термоупругости круглой керамической пластины нагреваемой источником тепла / С.М. Шляхов, А.В. Мозжилин // Экономикоматематическое моделирование в инновационном развитии АПК: материалы Междунар. науч.-практ. конф. / СГАУ имени Н.И. Вавилова. Саратов, 2012. С. 68-70.
Шляхов Станислав Михайлович -
доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Теория сооружений и строительные конструкции» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Stanislav M. Shlyakhov -
Dr. Sc., Professor
Department of Theory of Structures and Structural Engineering
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Мозжилин Александр Владимирович-
аспирант кафедры «Теория сооружений и строительные конструкции» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Alexander V. Mozhilin -
Postgraduate
Department of Theory of Structures and Structural Engineering
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Статья поступила в редакцию 17.08.13, принята к опубликованию 15.09.13
