CC BY
20
УДК 539.3
С.М. Шляхов, Э.Ф. Кривулина
ЗАДАЧА ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ КРУГЛОЙ,
НЕ ВЫДЕЛЯЮЩЕЙ ТЕПЛО ПЛИТЫ ПРИ ПОРИСТОМ ЕЕ ОХЛАЖДЕНИИ
Представлено решение задачи термоупругости для пористой круглой плиты, охлаждаемой нагнетанием хладагента через поры. Использован метод конечных элементов. Полученные результаты позволяют оценить НДС пластины при различных режимах ее охлаждения.
S.M. Shlyakhov, E.F. Krivoulina
THERMOELASTICITY PROBLEM FOR A ROUND NOT HEAT EVOLVING PLATE
AT IT’S POROUS COOLING
Decision of the thermo elasticity problem is presented in article for porous round plate, cooled by forced refrigerant through holes. The solution is based on finite element method. The Got results allow valuing the strain-stress state of the plate under different modes of its cooling.
Рассмотрим плоскую, не выделяющую тепло пластину радиуса R, выполненную из пористого материала. Пластина может быть как свободной, так и закрепленной по
внешнему контуру. Температурное поле внутри пластины считается одномерным.
Охлаждающая жидкость, нагнетаемая сквозь пластину в положительном направлении x,
На верхнем торце пластины поддерживается постоянная температура t2. Боковые цилиндрические поверхности -теплоизолированы. Теплофизические и
механические характеристики материала зависят от местной температуры и пористости (рис. 1). Тепловой режим в пластине -
стационарный. Весовой расход охлаждающей жидкости вблизи пластины G, удельная теплоемкость С, коэффициент
теплопроводности X зависят от температуры t и пористости Р [1, 2].
Перенос тепла в такой пластине можно определить как сумму двух составляющих [3]. Первая составляющая - это теплопроводность
dt
внутри твердого тела, равная -X (1 - P)—— .
s dx
Вторая составляющая - это теплообмен твердое
тело - жидкость. За счет этой составляющей
температура жидкости повышается на
имеет при х=—го температуру t0.
x
-►
Рис. 1. Схема пористого охлаждения круглой пластины в одномерном поле температур
Жг = dq / ОС , где О=pv.
Исходя из этого, количество тепла, отдаваемого твердым телом жидкости, должно быть равно количеству тепла, переносимому за счет теплопроводности:
-X,(1 -Р+ Х,(1 -Р)(^-+^х) = ОСЛ, . (1)
6/Х ( 6/Х У
Таким образом, дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет температура пластины, имеет вид
dЧ £ dts <8 е ОС
сЙ-*■& = 0 при 0 - х<8 ’ где £ = мГР) (2>
Тепловой баланс, составленный для жидкости, выглядит следующим образом
1% сИг ОС
-X--£ ,-Х- = 0 при -^< х < ^ где £, =-— . (3>
СА-Х- СА-Х- Л,
Из общего решения уравнения (2)
I, = С,е£-х + С2 (4)
получим частное решение, которое удовлетворяет граничным условиям t=tl при х=0, t=t2 при х=8:
t, = tl +1(2,8 -'1)(лЛ: -1) для 0 <х <5 . (5)
Общее решение уравнения (3) имеет вид
tf = Сзв£/Х + С4 . (6)
dtf dt
-1 = Х, (1 - Р)—
1х 1х
:=0.
Частное решение уравнения (3), удовлетворяющее этим условиям, принимает вид:
Граничные условия для потока жидкости tf=t0 при х=—ю, X^—1 = Х,(1 -Рпри
tf = t0 + 7-28—е",х для -го< х < 0 . (7)
V 101 (£,8-1)
Исключая температуру t1 из уравнений (5) и (7), получим
tS = t0 +(t2 - t0 )е ’ 8 . (8)
Для поиска температурных напряжений в пластине исходим из посылки, что толщина пластинки мала, и в ней реализуется плоское напряженное состояние. Для общности решения остановимся вначале на случае свободной (не закрепленной) пластинки. Для решения применим приближенный прием, основанный на принципе освобождаемости от связей, и используем суперэлементный подход.
Представим условно, что плита закреплена по наружному краю радиуса Я. В этом случае в плите возникнут окружные ое и радиальные ау напряжения.
О =< = -7^ а(Т) Т( z) . (9)
1 -Д( ^ )
Здесь а(Т) - средний в рабочем диапазоне температур коэффициент линейного расширения материала как функция координаты (г)
а (Т (г)) =
Т - Т
|а(т)ёт ,
(10)
н Тн
Тн - начальная температура бруса, принимаемая чаще за ноль; Е(г) - переменный по толщине пластины модуль Юнга, зависящий от пористости и температуры.
На основании [4] представим модуль Юнга и коэффициент Пуассона следующими функциональными зависимостями:
Е (г) = Е(Т) • Е (Р),
где
Е (Т) = Е0(1 - к1Т - к2Т2), Е (Р) = 1 - а1Р + а2 Р2
Ц(г) = Цо(1 -сіР + с2Р2 - сзР3) .
(11)
Напряжения (9), действующие в заделке, дают результирующее радиальное усилие с интенсивностью
Ч рез = К (г) ёг
и результирующий момент с интенсивностью
(й-го)
т рез = К (г) гёг
(12)
(13)
где г0 - расстояние от нейтрального слоя до торца плиты.
Если плита свободна по краю, то, пренебрегая краевым эффектом, напряжения в ней получим, добавив к напряжениям (9) напряжения от нагрузок (12), (13), взятых с обратным знаком, т.е. ч= -Чрез, т= -трез.
Для нахождения этих напряжений по схеме суперэлементов разобьем плиту по ее толщине на п слоев (дисков) [5].
В пределах толщины Иі каждого і-го диска полагаем пористость и физикомеханические характеристики материала постоянными, средними по слою.
Очевидно, что силовой фактор ч распределится по слоям в соответствии с жесткостными параметрами слоев при соблюдении равновесия и условий совместности деформаций (рис. 2):
9і
■£і; "ці •
92
Лі
Я
'■Ех Ц2-
9п
Еп-- цп
Я
Лп
ип
9
Рис. 2. Распределение силового фактора по слоям
ч = ЁЧі, и = и2 =... = и = ио .
(14)
Л
2
I = 1
Здесь ^ - интенсивность радиального усилия, приходящегося на 1-й диск; иг -радиальное перемещение /-го диска на контуре г=Я.
По закону Гука радиальное перемещение на внешнем контуре диска определится по формуле
иг = Е[О6(0 -^°г(г)] • (15)
На основании (14) и (15) получим
Чг =■
Ч
(1 -Дг ) КкЕк
г = 1,2,...,п .
(16)
к=1 (1 -дг) к1Е1
Соответственно получим значения радиальных и окружных напряжений в г-м диске от нагрузки Чг по формуле
^ = _» = Ч
°г(г)- е(г) - ь ■
(17)
При оценке напряжений, обусловленных краевым моментом т, воспользуемся гипотезой единой нормали для всех слоев (суперэлементов) плиты (рис. 1).
Следуя [6], расстояние г0 от нейтральной поверхности плиты до ее основания определится по формуле
21 К - Кг
к=1
2Х Е/ к/
/=1
Для изгибной жесткости всего пакета слоев в целом принимается значение
Б =
1
3(1 - До) г=!
г-1
г
(го -1 Кк )3 - (го -1 Кк )3
к=0 к=1
(18)
(19)
Здесь до - приведенный коэффициент Пуассона для всего пакета «слоев»
I ДгЕгкг
До =■
і = 1,2,..., п
IЕК
(20)
где Ег = ■
Ег.
- эффективный модуль Юнга.
1 -м/
Согласно принятой гипотезе, напряжения, возникающие в нормальных сечениях плиты в слоях, расположенных на расстоянии г от нейтральной поверхности, определяются по формулам
= " = Е,г (й3 3^ (21)
°'т = °») = 1 _Ц/ [ф +Лг) • (21)
где угол наклона нормали 3 определится из решения задачи изгиба круглой плиты, нагруженной по контуру моментами т
тг
3 =
В (1 + До)
На основании (22) формулы для напряжений (21) примут вид
(22)
Ш2Е:
Б (1 -д2)
1 + Дг
1 + До
(23)
Окончательно
для
свободной плиты (рис. 3, в) будем иметь
°г(г) = °е(г) = ° (г) + °( г) + °( г ) , т.е.
г=1
г=1
г=1
°г(г) °в(г)
а ТЕ(г) qг
+ ^ + -
1 -|д( г) кг ^(1 -Дг )(1 + ^о)
(24)
При наличии подвижной заделки (рис. 3, б), разрешающей радиальное напряжение, но закрепляющей поворот, в формуле (24) убирается последнее слагаемое. В случае жесткой заделки (рис. 3, а) в формуле (24) остается лишь первое слагаемое.
На основании полученных формул проведено исследование полей температур и напряжений круглой пластины, выполненной из пористого железа. Высота пластины ^=0,05 м, И<<Я. Пористость постоянна по высоте сечения Р=0,3.
Взяты следующие охлаждающие агенты: вода, моторное масло, воздух.
Температуры при х= -го равны ^ воды и моторного масла 20°С, ^ воздуха -10°С. Температура горячей поверхности пластины Ь во всех случаях равна 260°С. Скорости движения охлаждающих агентов внутри пластины соответствуют V воды и моторного масла 0,002 м/с, V воздуха 2 м/с.
' ^
777"
777"
с=с'+с" б
с=с'+с"+с'"
Рис. 3. Различные способы закрепления пластины
с=с '
а
в
Изменение физических параметров по высоте для разных охлаждающих агентов изображено на рис. 4.
Влияние пористости на теплофизические характеристики показаны на рис. 5.
Рис. 6 отражает напряженное состояние при различных закреплениях пластины.
модуль Юнга, Гн/м2
0,05 0,045 0,04 0,035 0,03 0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 0
0,172 0,1725 0,173
а б
коэф. Пуассона
Рис. 4. Физические параметры: а - модуль Юнга (Гн/м2), б - коэффициент Пуассона ( -----вода, ооо- моторное масло, I I I воздух)
0 50 100 150 200 250 300
коэфф. лин. расширения, 1/°С
а б
Рис. 5. Тепловые параметры: а - температура, б - коэффициент линейного расширения
-\-б
(•10-6 1/К) (
Осевые напряжения за счет
вода, ооо моторное масло, -м-—воздух)
-0,01-300
теплового расши (жесткая заделка
рения , МПа
00
00
0,05 -і П ПА Скользящая заделка, МПа
0
0,04 П П'Ч
0,03 п по
0,02 П
0,01 п 0
-3 00 -2 00 -1 00 3 100 2(
0
а
б
Рис. 6. Напряженное состояние пластины: а - в случае жесткого закрепления по контуру (МПа), б - в случае скользящей заделки (МПа), в - при шарнирно-подвижном опирании
плиты (МПа)
Полученное решение позволяет оценить НДС пластины при различных условиях ее охлаждения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Крейт Ф. Основы теплопередачи / Ф. Крейт, У. Блэк. М.: Мир, 1983. 512 с.
2. Кашталян Ю.А. Характеристики упругости материалов при высоких температурах / Ю.А. Кашталян. Киев: Наукова думка, 1970. 112 с.
3. Шнейдер П. Инженерные проблемы теплопроводности / П. Шнейдер. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1960. 479 с.
4. Чиркин В.С. Теплофизические свойства материалов / В.С. Чиркин. М.: Физматгиз, 1959. 56 с.
5. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд. М.: Мир, 1979. 92 с.
6. Королев В.И. Упругопластические деформации оболочек / В.И. Королев. М.: Машиностроение, 1971. 304 с.
Шляхов Станислав Михайлович -
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры «Механика деформируемого твордого тела»
Саратовского государственного технического университета
Кривулина Эльвира Федоровна -
аспирантка кафедры «Механика деформируемого твердого тела»
Саратовского государственного технического университета
